Tema: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

y sistemas. MateB ºESO Tema: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1. Las siguientes ecuaciones tienen alguna solución entera. Intenta encontrarlas tanteando. Qué tipo de ecuación es cada una?. a) x + 6 = b) x x = 0 c) x x = 1 1 d) + = 1 e) x = f) x = 8 x. Resuelve las ecuaciones polinómicas de primer grado: a) x + 6 = b) x + 6 = ( x + 1) + x c) x + 6 = ( x + ) + x. Resuelve la ecuación Sol: x = ( x ) x + 5 x + = x 5. Resuelve las ecuaciones polinómicas de segundo grado: a) 10x x = 0 b) x 0x + 100 = 0 c) x + 5x + 11 = 0 1 1 Sol: a) x =, x = 5 b) x = 10 c) No hay solución 5. Resuelve las ecuaciones x( x ) x + 1 x x 1 x x a) = b) x x + + = 0 6 10 Sol: a) x = 0 x = b) No hay solución. 6. Resuelve la ecuación polinómica de tercer grado: 6x + 15 = 7x + 1x 5 Sol: x = 1, x =, x = x x 1 7. Resuelve la ecuación x ( x x + 1) + 1 = x 9 65 9 + 65 Sol: x = 0, x =, x = 8. Resuelve las ecuaciones: a) ( + 1)( x x + ) = 0 5 5 + 7 17 Sol: a) x =, x = b) x = 1, x =, x = c) x = 0, x =, 9. Resuelve las ecuaciones polinómicas: a) x = x b) x 6 = x Sol: a) x =, x = b) x =, x = 10. Resuelve las ecuaciones polinómicas sencillas: a) x 6 = 0 b) x + 16 = 0 c) x 8 = 0 d) x + 8 = 0 e) 5 x + x 0 f) x = x g) ( x ) = 16 x b) ( x + 1)( x x + ) = c) ( x + 1)( x x + ) = 7 + 17 x = 1

y sistemas. MateB ºESO 11. Resuelve la ecuación racional: x 1 = x x x x + Sol: x = 1. Resuelve la ecuación racional: 5 5 x x = 1 + x x + 1 x + 1 Sol: x = 1 1. Resuelve las ecuaciones irracionales: a) x + 1 = 5 b) x + 7 x = c) 18 x = x 9 Sol: a) 1 b) x = 6 c) x =, x =, x =, x = 1 1. Resuelve la ecuación irracional: x + 1 + x + = 5 Sol: x = 15. Resuelve las ecuaciones irracionales: x a) + x = 1 x b) = c) x = 6 + 5x x 1 Sol: a) x = 8 b) x = c) x = 9 16. Resuelve la ecuación irracional: x = x Sol: x = 0, x = 1, x = + 1 17. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por reducción y sustitución e interpreta los resultados geométricamente: x + y = x + 6y = 1 x + 6y = a) b) c) x y = 10 6x + 9y = 6x + 9y = Sol: a) x = 1, y = b) No hay solución c) Todos los puntos de la recta x + y = 1 18. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: (x + y) (x y) = x x + y = 1 7 Sol: x =, y = 9 9 19. Resuelve los sistemas no lineales: xy = 8 x = y a) 1 b) y = x y = + x 16 Sol: a) x =, y = ; x =, y = b) c) x + y = xy y = 0 9 5 x =, y = c) x = 1, y = 1 ; x =, y = 0

y sistemas. MateB ºESO 0. Resuelve los sistemas no lineales: 1 1 + = 1 x + y = x y a) b) x + y = 8 7 + = x y Sol: a) x =, y = 0 ; x =, y = 0 1 b) x =, y = 1. Resuelve las inecuaciones polinómicas de primer grado: a) x x 9 ( x 0) b) x(1 x) < ( x + ) Sol: a) x b) x >. Determina para qué valores de k, la ecuación 9x 6x + k = 0 : a) Tiene solución única. b) Tiene dos soluciones. c) No tiene solución. Sol: a) k = 1 b) x < 1 c) x > 1. Resuelve las inecuaciones polinómicas de segundo grado o más: x 9 x 1 x a) x x > 0 b) < c) x + x x + 5 15,, + 7, x, Sol: a) x ( ) ( ) b) x ( ) c) ] ] [ 1,]. Resuelve las inecuaciones racionales: x + 5 x a) 0 b) > 1 x x + 1 5 1 5 1 5 Sol: x, ], + [ b) x, +, + 5. Resuelve los sistemas de inecuaciones: x + 5 < x x x a) x + b) x( x ) > x 7 > x, 8 x,0 5, + Sol: a) x ( ) b) ] ] ] [ Problemas de ecuaciones y sistemas Problemas que pueden resolverse con una sola incógnita 6. Calcula un número cuya mitad es 6 unidades menor que su doble. Sol: 7. Calcula un número sabiendo que sus tres cuartos superan en unidades a su mitad. Sol: 88 8. Busca el número que incrementado en un 1% supera en 6 unidades a su quinta parte. Sol: 50 9. Un número impar, su siguiente y su anterior suman 1. Calcúlalos. Sol: 70, 71 y 7 0. Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195. Sol: 1 y 15 ó 1 y 165

y sistemas. MateB ºESO 1. Si multiplicas la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtienes 05. Cuál es ese número? Sol: 5 y 5. Isabel da la cuarta parte de su caja de bombones a Elena y de los que le quedan, le da la mitad a Carmen. Carmen da un tercio de su parte a Carlos, al que le tocan 8 bombones. Calcula cuántos bombones tenía la caja y cuántos se llevó cada uno. Sol: La caja tenía 6 bombones. Isabel bombones, lena 16, Carmen 16 y Carlos 8 bombones.. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 10 años. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo a los dos gemelos a los 7 años. Cuál es la edad de cada uno? Sol: El padre años, la madre 8 y los gemelos 11 años.. Un depósito está lleno de agua. En una primera extracción se saca un quinto de su contenido, en una segunda extracción se sacan 60 litros y, por último, se sacan cinco sextos del agua restante, quedando aún 50 litros. Calcula la capacidad del depósito. Sol: 50 l. 5. Antonio tiene 15 años y su madre,. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la mitad que la de la madre? Sol: 1 años 6. Qué hora es si la parte que resta del día equivale a los 5/7 de la parte que ya ha transcurrido?. Sol: 1 horas 7. La nota media de tres evaluaciones de José en el área de Matemáticas se obtiene sumando las tres notas obtenidas y dividiendo entre tres. Si ha sacado un 5 y un 7 en las dos primeras evaluaciones, que nota ha de sacar en la tercera para alcanzar una nota media de 6,5?. Sol: 7,5 Problemas que conviene definir dos o más incógnitas 8. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 por días y 00 km, y otro pagó 175 por 5 días y 00 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. Sol: La empresa cobra 0 por día y 0,5 por cada kilómetro recorrido. 9. Comentan dos amigos: - Si me das mil euros, tendré el doble que tú. - Mejor me das mil tú a mí y así tendremos igual. Cuánto tiene cada uno? Sol: 7000 y 5000 0. La construcción de una carretera entre dos pueblos se inicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes, lo construido por un extremo es / de lo construido por el otro, y faltan por construir 00 m, que es el doble de lo que se ha hecho. Qué longitud va a tener la carretera? Sol: 600 m. 1. Un inversor compra dos cuadros por 650. Al cabo de dos años, los vende por 1 ganando en uno de ellos un 0% y en el otro un 15%. Cuánto le costó cada cuadro? Sol: El valor de los cuadros es de 150 y de 110.. En una papelería se han vendido 1 cuadernos de tipo A y 1 de tipo B por 79,10. Calcula el precio de cada tipo si sabemos que el precio del tipo B es el 80% del precio del tipo A. Sol el cuaderno A cuesta,50 y el B,80

y sistemas. MateB ºESO. Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza? Sol: Debe fundir kg del de 80% de pureza con kg del lingote que tiene un 95% de pureza.. Cuánta agua debe añadirse a una garrafa que contiene 5 litros de alcohol del 96% para rebajarlo al 80%? Sol: 1 litro. 5. Un comerciante compra dos motocicletas por 000 y las vende por 0. Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un 5% y en la de la segunda perdió un 10%. Sol: Por una pagó 1 800 y por la otra, 100 C. 6. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería 15. Sol: La pintura verde cuesta 1 el kilogramo, y la blanca, C 7. La edad actual de Rosa es el cuadrado de la de su hija y dentro de 9 años será solamente le triple. Qué edad tiene cada una? Sol: La edad de Rosa es de 6 años y la de su hja 6. 8. Halla las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, m, y su área, 60 m. Sol: Las dimensiones del rectángulo son 5 m y 1 m 9. Un triángulo isósceles mide cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8 cm. Calcula los lados del triángulo. Sol: Los lados iguales miden 10 cm, y el lado desigual, 1 cm 50. El área total de un cilindro es Sol: Vcilindro = 160π cm 11π cm, y entre el radio y la altura suman 1 cm. Halla su volumen. 51. Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por. Cuál era el lado inicial del cuadrado? Sol: La longitud del lado inicial es de 5 cm 5. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la hipotenusa es 1 cm menor que la suma de los dos catetos. Calcula el cateto desconocido. Sol: Los catetos miden 1 cm y 8 cm, y la hipotenusa. 5 cm 5. El perímetro de un triángulo rectángulo es 6 cm y un cateto mide cm menos que el otro. Halla los lados del triángulo. Sol: Los catetos miden 1 cm y 9 cm, y la hipotenusa, 15 cm 5. Una persona tarda horas más que otra en hacer el mismo trabajo. Si lo hacen entre las dos, tardan horas. Cuánto tarda cada una por separado? Ayuda: si una tarda x horas en hacer todo el trabajo, en 1 hora hace 1/x de este. Sol: Una tarda h, y otra, 6 h 55. Tenemos cuatro grifos para llenar una piscina. Si abrimos sólo el grifo A, tardará un cuarto de día en llenarla. Si abrimos sólo el grifo B, tardará medio día en llenarla. Si abrimos sólo el grifo C, tardará tres cuartos de día en llenarla y si abrimos sólo el grifo D, tardará un día en llenarla. Cuando está llena la piscina y los grifos cerrados, el desagüe tarda días en vaciar la piscina. Si tenemos en cuenta que el día tiene horas, cuántas horas tardará en llenarse la piscina si abrimos los cuatro grifos y el desagüe a la vez? Sol: horas minutos 9,79 sg 5

y sistemas. MateB ºESO 56. Un embalse contiene 00 hectolitros de agua y otro embalse similar, 1900 hectolitros. Si el primero recibe dos hectolitros diarios y el segundo ocho, cuánto tiempo tardarán en igualar sus reservas? Sol: 50 días 57. Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 90 para hacer un viaje. A última hora se apuntan dos más y así se devuelven 8 a cada uno de los otros. Cuántos fueron de excursión y cuánto pagó cada uno? Sol: Son 7 amigos y cada uno paga 70. 58. Un comerciante quiere vender por 60000 los ordenadores que tiene en su almacén. Pero se le estropean dos y tiene que vender los otros 50 más caros para recaudar lo mismo. Cuántos ordenadores tenía y a qué precio los vendió? Sol: Vende 8 ordenadores a 150 cada uno. 59. Un transportista va a una ciudad que está a 00 km de distancia. Al volver, su velocidad media ha sido superior en 10 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados a la ida y a la vuelta. Sol: A la ida va a 50 km/h y tarda 6 horas. A la vuelta va a 60 km/h y tarda 5 horas. 60. Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80 m y su altura aumenta en 0 m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60 m su base y su altura aumenta en 0 m, entonces su área disminuye en 00 m. Cuáles son las dimensiones de la parcela? Sol: La parcela tiene 160 m de base y 0 m de altura. 61. Halla las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 1 m, y su área, 60 m. Sol: Las dimensiones del rectángulo son 5 m y 1 m 6. El lado de un rombo mide 5 cm, y su área, cm. Calcula la longitud de sus diagonales. Sol: Las diagonales del rombo miden 6 cm y 8 cm. 6. La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? Sol: El número es el 5. 6. Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,. Cuál es el número? Sol: El número buscado es el 5. 65. Halla el radio y la generatriz de un cono que tiene 15 cm de altura y cuya área lateral es de16π cm. Sol: El radio del cono mide 8 cm, y la generatriz, 17 cm. 66. Subo una colina a una velocidad de km/h y pretendo que la velocidad media entre el ascenso y el descenso sea de 6 km/h. A qué velocidad debo descender? Sol: Debe descender a 1 km/h. 67. Una ambulancia recibe el aviso de un accidente de tráfico y sale del hospital A hacia el punto B a una velocidad de 60 km/h. La vuelta al hospital la hace escoltada por la policía y consigue hacerla a 100 km/h. Cuál fue la velocidad media del recorrido? Sol: La velocidad media del recorrido fue de 75 km/h. 68. Una fábrica de perfumes dispone de 600 L de un producto A y de 00 L de otro producto B. Mezclando los productos A y B se obtienen diferentes perfumes. Este año se quieren preparar dos clases de perfume: el de la primera clase llevará tres partes de A y una de B, y será vendido a 50 euros el L, y el de la segunda clase llevará los productos A y B al 50% y será vendido a 60 euros el L. a) Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar?. b) Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados?. Sol: a) 00 L de la primera clase y 600 L de la segunda. b) 56000 6

y sistemas. MateB ºESO 69. En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. La suma de los precios que marcan los dos productos es de 5 euros, pero el dependiente informa al cliente de que los libros están rebajados el 6%, y las pulseras, el 1%, por lo que en realidad debe pagar 1,0 euros. a) Qué precio marcaban el libro y la pulsera?. b) Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de estos dos productos?. Sol: El libro marcaba 10 y la pulsera 5. Por el libro paga 9,0 y por la pulsera. 70. Si una persona invierte el 0% de sus ahorros en acciones de tipo A y el resto en acciones de tipo B, el interés medio resultante es del,8%, mientras que si invierte el 0% de sus ahorros en acciones de tipo A y el resto en acciones de tipo B, el interés medio resultante es del,%. Calcula el interés que proporcionan las acciones de cada tipo. Sol: Las acciones del tipo A dejan el 6% de interés y las de tipo B, el %. 71. Dos capitales iguales se colocan al % y al %, respectivamente, durante un año. El segundo capital produce 1,50 euros más de intereses que el primero. A cuánto ascendían los capitales iniciales iguales? Sol: 150 7. La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es 1570. Calcula el valor del siguiente impar. Sol: 1 7. Al dividir dos números que suman 17 se obtiene 5 de cociente y 9 de resto. Cuáles son esos números? Sol: 1 y 7. Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija. Dentro de cinco años sólo tendrá tres veces la edad de ella. Cuáles son las edades actuales del padre y la hija? Sol: Padre: 0 años, hija 10 años 75. Hace años, las edades de dos personas estaban en la proporción : 1, y dentro de años estarán en la proporción :. Cuáles son las edades actuales de ambas personas? Sol: 0 y 16 años 76. Se han pagado 00 euros con billetes, unos de 0 euros y otros de 5. Cuántos billetes de cada cantidad se entregaron? Sol: 16 billetes de 0 y 16 billetes de 5 77. Halla una fracción tal que si al numerador y al denominador se les suma una unidad, la fracción 1 1 equivale a, y si se les restan unidades, equivale a 5 7 Sol 78. Un ciclista realiza un trayecto a la velocidad de 1 km/h. En cierto momento se le pincha una rueda, por lo que debe regresar andando a una velocidad de km/h. Calcula a qué distancia del punto de partida se le pinchó la rueda, sabiendo que el tiempo total que invirtió entre la ida y la vuelta fue de dos horas y media. Sol: 7,5 Km 79. Se quiere construir un marco rectangular para adornar una fotografía. Para ello se dispone de un listón de madera de 50 cm de longitud. a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el área encerrada por el marco con la longitud de uno de sus lados. b) Determina las dimensiones del marco si se quiere que el área sea de 156 cm. Sol: a) S = 5a a b) 1 y 1 cm 7

y sistemas. MateB ºESO 80. En un hotel turístico tienen un total de 6 habitaciones con 60 camas. Solo existen habitaciones individuales y dobles. Calcula el número de habitaciones de cada tipo que hay. Sol: 1 habitaciones individuales y habitaciones dobles. 81. Un coche sale de un punto A a una velocidad de 90 Km/h. En el mismo instante, otro coche sale a su encuentro desde un punto B situado a 10 Km detrás de A y a una velocidad de 115 Km/h. Cuánto tiempo tardará en darle alcance? Sol: minutos. 8. Un coche sale de A en dirección a B a una velocidad de 80 km/h. Tres minutos después, otro coche sale de B en dirección a A a una velocidad de 100 km/h. Calcula el punto de encuentro de los dos coches si A y B distan km. Sol: Se encuentran a 1 Km de A Problemas de inecuaciones 8. En un examen de 0 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada fallo. Cuántas preguntas hay que contestar bien para obtener como mínimo 0 puntos, si es obligatorio responder a todas? Sol: Hay que responder bien, como mínimo, a preguntas. 8. El producto de un número entero por otro, dos unidades mayor, es menor que 8. Cuál puede ser ese número? Sol: El número puede ser,,,0 ó 1 85. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos más de. Qué podemos decir de ese número? Sol: El número puede ser menor que 1 o mayor que. 86. Un grupo de amigos han reunido 50 para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6, les sobra dinero, pero si cuesta 7, les falta. Cuántos amigos son? Sol: el precio de la entrada está entre 7,1 y 8,. Puede ser 7,5 u 8 87. Cuántos kilos de pintura de,5 /kg debemos mezclar con 6 kg de otra de 5 /kg para que el precio de la mezcla sea inferior a /kg?15016 Sol: Hay que mezclar más de 1 kg de la pintura de,5 /kg. 88. Dos ciudades A y B distan 160 km. De cada una de ellas sale un coche a la misma hora. Si el que sale de A lleva una velocidad de 75 km/h, qué velocidad puede llevar el otro para que tarden en encontrarse menos de una hora, respetando la limitación de 10 km/h que marca la ley? Sol: La velocidad debe ser mayor que 85 km/h y no superar los 10 km/h. 8