INSTITUCIÓN EDUCATIVA INMACULADA DE LA MERCED SESIÓN DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE ESPERADO Determina la regla de orrespondenia de una funión Representa e Identifia funiones Resuelve operaiones on funiones INDICADORES DE EVALUACIÓN Determina la regla de orrespondenia de una funión Representa e Identifia gráfiamente funiones utilizando tabulaión o ténias de grafiaión Resuelve operaiones on funiones en las situaiones presentadas A. INICI O El término matemátio FUNCIÓN se remonta a finales del siglo XVII uando el álulo se enontraba en sus primeras etapas de desarrollo, éste onepto es ahora fundamental en los ursos avanzados de matemátia es indispensable en todos los ampos de la ienia. En el desarrollo de la teoría de funiones se utiliza on muha freuenia la palabra dependenia, ejemplos de dependenias lo podemos peribir otidianamente: REGLA DE CORRESPONDENCIA Es la relaión que eiste entre los elementos del dominio el rango = f() Por ejemplo en el siguiente gráfio la regla de orrespondenia es fáil de deduir Ejemplo. A F f () = B 9 6 Enontrar la regla de orrespondenia de la siguiente funión A 5 F B 5 Ejemplo. Determine F( ) en la siguiente funión F = {( 6),( ),( ),( 7)} 7 9 El área del írulo depende de la longitud de su radio, si se onoe la longitud de su radio podemos determinar el área Las uotas mensuales del agua la eletriidad dependen de la antidad de agua o de eletriidad que se utilien El poder adquisitivo de la moneda depende del índie del osto de vida La antidad de ierto artíulo que el fabriante ofreerá depende del preio que pueda lograr Ejemplo. Un fabriante de arpetas tiene ostos fijos mensuales de S/ el osto unitario de produión es de S/ Cuál es la funión del osto total() por produir unidades mensuales? Cuál será el osto total si produe arpetas mensuales? Estos ejemplos de funión presuponen la eistenia de una relaión ausa efeto entre las antidades, este es el sentido que se le da a una funión en un lenguaje otidiano.en general una funión matemátia no es más que una le o regla que se regula la dependenia entre antidades de objeto variables Ejemplo. Determine el valor de a+b en la siguiente funión F = {( 6),( 7),( ),( 57),,( 8 a),,(b 57)} PROFESOR: QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
F U N C I O N E S E S P E C I A L E S M A T E M Á T I C A FUNCIONES ESPECIALES Son aquellas funiones que presentan iertas araterístias para su representaión grafia A. FUNCIÓN CONSTANTE Regla de orrespondenia f() =, R Ejemplo 5. Grafiar: a)f() = 7 b) = ) = Ran (f) = {} Gráfio: Reta paralela al eje desplazada en unidades. F() :. - - < ] [ 7] B. FUNCIÓN IDENTIDAD = C. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Regla de orrespondenia: f () = se define omo: = = < Ran (f) = [ + Gráfio: Se muestra a ontinuaión (tiene forma de V) on el vértie en el origen. Ejemplo 7. Grafiar: a)f() = b) = )f() = d)f() = F() - - - - + + 6 e)f() = f) = + + 7 = Regla de orrespondenia f () = Ran (f) = IR Gráfio: Reta que pasa por el origen forma un ángulo de 5 on el semieje positivo de las. Rang (f) = [ + INMACULADA F() DE LA MERCED :. = - CHIMBOTE F() Ejemplo 6. - - - 5 D. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Regla de orrespondenia : f () = Dom (f) = [ + Gráfio: Curva semejante a una semiparábola. 9 :. = Grafiar: a)f() = < 7] b) = < ] )f() = d)i() = [ 9 5] e) = [ ] [ 5 9 > Ejemplo 8. Grafiar: a)f() = + 5 b) = ) = + d)f() = + 5 TEMA Nº : FUNCIONES ESPECIALES
INSTITUCIÓN EDUCATIVA INMACULADA DE LA MERCED FUNCIÓN AFIN LINEAL Regla de orrespondenia: f() = a + b a Ran (f) = IR Donde a es la pendiente de la reta Importante: Si: a > La parábola se abre haia arriba. = a + b + Gráfio: Reta inlinada que no pasa por el origen, ua ordenada en el origen es b. =a+b Vértie b Si: a < La parábola se abre haia abajo. Ejemplo 9 Grafiar: a)f() = + 6 b) = + ) = + d)f() = + 8 E. FUNCIÓN CUADRÁTICA < 6 ] [ > Regla de Correspondenia : f() = a + b + a b F + a > a Ran (f) = - b F a < a Gráfio: Parábola on vértie en b b V f a a Vértie = a + b + El gráfio de la POTENCIA ELEMENTAL: f () = es el que se muestra a ontinuaión: - - F() Observaiones: Cómo hallar el vértie de una Parábola? = Cualquiera de los siguientes métodos: Grafiando la parábola a través del proedimiento básio tabulaiones. b Apliando la fórmula: V = a a donde = b = a o la mostrada al iniio: b - b V = f a a PROFESOR: QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
F U N C I O N E S E S P E C I A L E S M A T E M Á T I C A Cómo hallar el máimo o mínimo valor de una funión Cuadrátia? Elige ualquiera de las siguientes formas: f () = 6 f () = Hallando el vértie grafiando aproimando por ualquiera de las dos formas antes enumeradas. f () = Completando uadrados en la funión analizar luego su valor máimo o mínimo. Apliando la DERIVADA a la funión, luego igualamos a ero despejamos. El valor obtenido se reemplaza en la funión iniial obteniéndose así el máimo o mínimo valor dependiendo del aso. Ejemplo Grafiar: a)f() = + b) = ) = ( ) d) = ( + ) + e)f() = ( 5) + f) = 6 + Ejemplo 6 Segundo aso : Cuando n es impar Regla de orrespondenia: n f () = f () = Calular el vértie de la siguiente funión: F() = + Ejemplo Calular el mínimo valor de la funión f() = + INMACULADA DE LA f 5 () MERCED = f() = CHIMBOTE + 5 + Ejemplo Calular el mínimo valor de la funión F. FUNCIÓN POTENCIAL. TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN Primer aso : Cuando n es par Regla de orrespondenia: n f () = n > n Z R Conoiendo la gráfia artesiana de una funión, es posible elaborara la gráfia de otra funión on araterístias similares a la primera. Por lo general, a partir de la gráfia de una funión elemental, puede obtenerse la de otra funión, mediante propiedades de DESPLAZAMIENTOS, SIMETRIZACIÓN, ESTIRAMIENTO (DILATACIÓN), ENCOGIMIENTO (CONTRACCIÓN), et. TEMA Nº : FUNCIONES ESPECIALES
INSTITUCIÓN EDUCATIVA. DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Sea F() F INMACULADA DE LA MERCED Ejemplos 5. Sea: =, grafiar = + = = = + = - Luego: - g() = f (+h). DESPLAZAMIENTOS VERTICALES g() Sea f() h f La gráfia original de f se desplaza h unidades haia la izquierda H() = f( h) h() g()= f() h h h La gráfia original de f se desplaza h unidades haia la dereha. Ejemplos. Sea: = ( + ) =, grafiar = ( 5) = ( + ) = = ( 5) g() La gráfia original de f se enuentra desplazada h unidades haia abajo. h() =f () +h h() h - h=- h=5 5 La gráfia original de f se enuentra desplazada h unidades haia arriba. PROFESOR: 5 QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
F U N C I O N E S E S P E C I A L E S M A T E M Á T I C A Ejemplos 6. Sea = =, grafiar = + = + k= Ejemplo 9. Sea =, grafiar = = = = + + Ejemplos 7. Sea = - = k=- =, grafiar = + = 6 = + = = - + = - - = - - =+ k= = =-6 k=-6-6. SIMETRIZACIÓN CON RESPECTO AL EJE () (GIROS) En estos asos se puede apreiar la gráfia de F (), luego del giro, aparee invertida on respeto al eje. f() Realizando una ombinaión de ambos desplazamientos (horizontal vertial) es posible obtener la gráfia de: = f( h ) + h =, grafiar INMACULADA = DE LA MERCED = = CHIMBOTE Ejemplos 8. Sea = = = + + + + + g()=-f() Podemos observar que el eje se omporta omo un espejo al anteponer el signo (-) a la regla de orrespondenia de la funión. Esto signifia que dada una funión f(), la funión: f() resulta ser le giro de f() on relaión al eje. Apliaiones = = + = = = - = - = TEMA Nº : FUNCIONES ESPECIALES 6
INSTITUCIÓN EDUCATIVA. SIMETRIZACIÓN CON RESPECTO AL EJE Y (GIROS) En estos asos se puede apreiar que la gráfia de f() luego del giro, aparee invertida on relaión al eje. f () f() = g( ) Æ INMACULADA DE LA MERCED APLICACIÓN DEL APRENDIZAJEE A RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN. Sea f() una funión onstante on dominio en los números reales, tal que: f( ) + f( ) f( 5) = 8 Podemos observar que el eje se omporta omo un espejo al anteponer el signo menos ( ) a la variable de la funión. Esto signifia que dada una funión f(), la funión: f( ) resulta ser el giro de f() on relaión al eje. Calular: E = f (7) + f(8) + A) 5 B) C) 7 D) E) F.D. Sea la funión: Apliaiones = = =- = f : R R, definida por: f() = a + b, donde a b son onstantes. Si f = f () =, Hallar a + b A) B) C) 6 D) E) 5. La siguiente tabla, muestra los valores hallados para la funión: f() = a + b 5. GIROS ORIGINADOS POR VALOR ABSOLUTO Reonoemos que el efeto prinipal que tiene el valor absoluto es el de haer positiva toda epresión: lo que provoa un gráfio siempre ubiado sobre el eje. Veamos: =F() Zonas positivas f() 8 5 Entones al produto de las onstantes a b es: A) B) 6 C) D) 5 E). Siendo: f = { ( ), ( ), ( 8), ( 5), (5 ) } Una funión definida en Z +. Halle su regla de orrespondenia o le de formaión: Zonas negativas A) f() = [ 5 ] B) f() = [ 5 ] C) f() = < 6 > D) f() = ( ) [ 6 > E) f() = [ 5 ] 5. Determina el vértie de la parábola que resulta después de grafiar: f() = + A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( ) E) N.A PROFESOR: 7 QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
F U N C I O N E S E S P E C I A L E S M A T E M Á T I C A B COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 8. La gráfia de la siguiente funión: F() = es : 5. Sea la funión: f: R R, f() = Indique su gráfia aproimada: (A) a) ( ) (B) b) ( ) a ) = F ( ) b ) = F ( ) (C) ) ( ) ( ) (D) d) ( ) ( ) ) - = F ( ) d ) = F ( ) - ( ) ( ) (E) N.A. C RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (E) N.A. 6. Indiar la gráfia de: f() = a) b) ) d) 9. Sea la funión f () = ( + m) + n m > que verifia f() = f() =, hallar m + n A) B) C) D) E). Sea la funión f () = a b +, además se umple que f () =, f( ) = 6 f() =, Calule f () (A) 7 (B) (C) 8 (D) (E) 9 - - e) INMACULADA DE LA MERCED - CHIMBOTE 7. Grafiar : f() = 7 - - a ) b ) - ) d ) e)n.a. TEMA Nº : FUNCIONES ESPECIALES 8