MTEMÁTI NIDD N 1: ONJNTOS 1 ÑO onjunto Elemento Pertenencia Eisten conceptos-términos que por ser muy primitivos se aceptan sin definir. En la teoría de conjuntos los términos primitivos son: ONJNTO, ELEMENTO, PERTENEE/PERTENENI. n conjunto está formado por elementos y los elementos pueden o no pertenecer al conjunto. onceptos onjunto ásicos Elemento Pertenencia pertenece no pertenece Ejemplo 1: El conjunto de los alumnos de 1 año 6 división de la E.T. N 28 Del cual podremos decir si: López pertenece o no pertenece a dicho conjunto Lenguajes Los lenguajes utilizados en teoría de conjuntos pueden ser de tres tipos: OLOQIL, SIMÓLIO y GRÁFIO. oloquial Simbólico Gráfico Palabras Símbolos Representaciones oloquial: es el lenguaje que utilizamos naturalmente para comunicarnos en forma oral o escrita. Ejemplo 2: el conjunto del ejemplo uno está epresado en lenguaje coloquial. Simbólico: a los conjuntos se los designa con letra imprenta mayúscula y a los elementos con letra minúscula. Eisten dos formas diferentes para definir a un mismo conjunto, ellas son por EXTENSIÓN y por OMPRENSIÓN. ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 1/10
En la definición por etensión se nombran uno a uno los elementos del conjunto, entre llaves y separados por comas. Ejemplo 3: { rojo,amarillo,azul} { Misiones, orrientes, Entre Ríos} { 2,4,6,8} En la definición de un conjunto por comprensión se menciona una propiedad, que permita decidir sin ambigüedades cuáles son los elementos del conjunto. sí definidos los conjuntos del ejemplo tres son: { es color primario} { es provincia de la Mesopotamia rgentina} Ν 2 < 10 Ν 2 < " talque " " onj.nros. Naturales" " y " " Múltiplos de dos" "menor que" Ejercicio 1: Escribe por comprensión o por etensión según corresponda: D E { a,e,i,o,u } D {...} Ν 3 21 E {.} "menor o igualque" Gráfico: los elementos pertenecientes a un conjunto se encierran con una curva cerrada. (Diagrama de Venn). Ejemplo 4: Representar el conjunto D mediante un Diagrama de Venn. D. a.e. i. o. u onjuntos con nombres especiales ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 2/10
Hay conjuntos llevan su nombre según su número de elementos o cardinal. M { esalumnode1 6 quenacióenmarte} M obien M { } # ( M) 0 M es : onjunto Vacío P { Ν + 5 9} P { 4} 0 # ( P) 1 P es : onjunto nitario H { es provincia argentina que limita con hubut} H { RíoNegro, Santa ruz}, # ( H) 2 H es : onjunto inario S { Ν 13 < 16} S { 14, 15, 16} # ( S) 3 S es : onjunto Terna T Ν 5 15 T { 15, 20, 25, 30,...} # ( T ) T es: onjuntoinfinito Ν 0 "Naturalesconelcero" "Infinito" # "ardinal" "Mayor oigualque" " onjunto Vacío" onjunto niversal o Referencial Se llama conjunto universal o referencial al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Para distinguirlo de cualquier otro conjunto su diagrama es un rectángulo y el nombre se indica generalmente con Ejemplo 5: V { } es provincia de la Región de uyo W { es provincia de la Región Pampeana} { esprovinciadela República rgentina} Ejemplo 6: G F { } es número par { es número impar} Ν ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 3/10
omplemento Se llama complemento de un conjunto, al conjunto formado por los elementos del universal que no pertenecen a. Ejemplo 7: { es vocal} { es vocalcerrada} { i, u} { a, e, o } " omplementode ". a. o. i. u...e Ejercicio 2: Define los conjuntos en blanco: J J { es consonante } {...} {...} Los conjuntos se pueden vincular entre sí mediante relaciones, o pueden originar otros conjuntos mediante operaciones. Relación de Inclusión Vamos a decir que un conjunto está incluido en otro conjunto cuando todo elemento que pertenece a, también pertenece a. Ejemplo 8: : ( ) "Para todo" "Incluido" "Inclusión amplia" "Implica que" "si sólo si" { } Ν + 8 14 { 1, 2, 3, 4, 5} { Ν 4 6} { 4, 5, 6} Verifica la definición y comprueba que. ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 4/10
.3.4.5.6.1.2 Todo conjunto está incluido en sí mismo: El conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos. tención!!! elemento conjunto y conjunto conjunto Relación de igualdad Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. También podemos escribir la definición de la siguiente manera: Operaciones entre conjuntos Intersección: la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos. (La zona sombreada en el diagrama corresponde a la intersección) { } "Intersección" y ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 5/10
entonces y son conjuntosdisjuntos. Ejemplo 9: { 5, 7, 16} y { 4, 8, 7, 5} resulta { 5, 7} bica en el diagrama los elementos. nión: la unión de dos conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los elementos pertenecientes a cada conjunto. (Las zonas sombreadas corresponden a la unión de los conjuntos y. { } "nión" " o" y Ejemplo 10: para los conjuntos del ejemplo 9 resulta: { 4, 5, 7, 8, 16} Diferencia: se llama diferencia entre un conjunto y un conjunto al conjunto formado por los elementos de que no pertenecen a. { } ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 6/10
La zona sombreada corresponde a la diferencia. Ejercicio 3: Dados los conjuntos { 1, 2, 3} y { 0, 2, 5} se pide hallar por etensión y ubicar los elementos en un diagrama de Venn. sando diferencia de conjuntos puede epresarse: Diferencia simétrica: la diferencia simétrica entre y es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ó a, pero no a ambos. Se designa. { } tilizando operaciones entre conjuntos la zona sombreada también la podemos epresar como: ( ) ( ) Ejemplo 11: para los conjuntos del ejercicio 3 resulta: { 1, 3, 0, 5} Los siguientes son algunos ejercicios, complementarios al trabajo práctico uno, para que practiques los conceptos trabajados en la teoría. 1) Dado el conjunto {1, 2, 3 }, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas V o falsas F y justificar. 1.. 2. { 1}. { 1, 2}. { 2, 3} 3. { 2 } { 1, 2}... ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 7/10
ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 8/10 2) Dados los conjuntos: { } { } > < Ν 7, 10 3, par es, 12 a) Escribe por etensión los conjuntos b) bica los elementos en un diagrama de Venn c) Escribe por etensión los siguientes conjuntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) ompleta con el conjunto que corresponda: ( ) ( )...... 4) Realiza un diagrama como el siguiente para cada opción y sombrea las operaciones indicadas: ( ) ( ) d) c) b) ) a 5) Sombrea en cada diagrama la operación indicada: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] D D
6) Indica en cada caso el conjunto sombreado como una operación entre conjuntos: ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 9/10
7) De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información: 391 ven programas deportivos. 230 ven programas cómicos. 545 ven programas sobre el mundo animal. 98 ven programas cómicos y deportivos. 152 ven programas cómicos y del mundo animal. 88 ven programas deportivos y del mundo animal. 90 no ven ninguna de esos tres programas. Responder: a) uántos entrevistados ven los tres tipos de programas?. b) uántos entrevistados ven sólo uno de los tres tipos de programas? 8) Diagramas de arroll Lewis arroll es el seudónimo de harles Dogson (1832-1898), escritor, fotógrafo aficionado y matemático inglés. n diagrama de arroll, llamado así en honor a Lewis arroll, autor de licia en el País de las Maravillas, es un diagrama utilizado para agrupar objetos o elementos que no presentan intersección entre ellos. (Por ejemplo: agrupación de personas por el color de los ojos, por género, etc.) Problema 01 Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas se tiene que: - 110 son mayores de 20 años - 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años Determine el número de votantes que: a) Son hombres. b) Son hombres mayores de 20 años c) Son mujeres con 20 o menos años. d) Son hombres con 20 o menos años e) Tienen 20 o menos años. Problema 02 En una encuesta a 150 estudiantes de los cuales 60 son mujeres 80 estudian iología 20 son mujeres que no estudian iología, cuántos hombres no estudian iología? Problema 03 En una fiesta donde habían 120 personas, a 30 hombres no les gustaba la música de la orquesta y 50 mujeres gustaban de la orquesta. Si el número de hombres que gustaban de la música de la orquesta es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esa música. cuántos le gustaba la música de la orquesta? Problema 04 En un grupo de 120 damas, 48 son rubias, 44 son morenas y el resto son pelirrojas, 62 tienen ojos azules, las otras ojos cafés. Eisten 15 rubias de ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules. uántas morenas de ojos cafés hay en el grupo? Problema 05 La facultad de Ingeniería de una universidad ofrece dos carreras: Ingeniería civil e Ingeniería de sistemas. ctualmente, la facultad tiene 400 estudiantes, de los cuales 250 son hombres, 120 siguen Ingeniería civil y 110 mujeres siguen Ingeniería de sistemas. uántos hombres en la facultad estudian la carrera de Ingeniería civil? ÁRE IENIS EXTS Y NTRLES 10/10