B A C a TRIGONOMETRÍA Radian Grados sen a cos a tag a 0 2π 0 0 1 0 π/6 30º 1 / 2 3 / 2 3 / 3 π/4 45º 2 / 2 2 / 2 1 π/3 60º 3 / 2 1 / 2 3 π/2 90º 1 0 π 180º 0-1 0 3π/2 270º -1 0 sen a = B / C cos a = A /C tag a = sen a /cos a = B / A cosec a = sen -1 a sec a = cos -1 a cotag a = tag -1 a sen 2 x + cos 2 x = 1 Fundamental sen x = 1 - cos 2 x 1 + tag 2 x = sec 2 x sen ( a ± b ) = sena cosb ± cosa senb Angulo suma / resta cos ( a ± b ) = cosa cosb -/+ sena senb tag a ± tag b tag ( a ± b ) = --------------------- 1 /+ tag a tag b sen 2a = 2 sen a cos a Angulo doble cos 2ª = cos 2 a - sen 2 a 2 tag a tag 2a = --------------------- 1 tag 2 a Pag. 1 de 9
sen a/2 = (1- cos a) / 2 Angulo mitad cos a/2 = (1 + cos a) / 2 tag a/2 = (1 cos a) / (1 + cos a) 1 cos a = 2 sen 2 a/2 1 + cos a = 2 cos 2 a/2 Útiles para integrales 1 sen a = 1 + cos(π/2 a) sen 2 a = ½(1- cos 2a) cos 2 a = ½(1 + cos 2a) sen a + sen b = 2 sen ((a+b)/2) cos((a-b)/2) Convertir sumas en productos sen a - sen b = 2 cos ((a+b)/2) sen((a-b)/2) cos a + cos b = 2 cos ((a+b)/2) cos((a-b)/2) cos a - cos b = -2 sen ((a+b)/2) sen((a-b)/2) sen a sen b = - ½ [cos(a+b) - cos(a-b)] Convertir productos en sumas cos a cos b = ½ [cos(a+b) + cos(a-b)] cos a sen b = ½ [sen(a+b) - sen(a-b)] sen a cos b = ½ [sen(a+b) + sen(a-b)] Pag. 2 de 9
ECUACIONES DE LA RECTA Punto (x 0,y 0 ) pendiente m y- y 0 = m (x - x 0 ) Pasa por los puntos (x 0,y 0 ) y (x 1,y 1 ) y- y 0 x - x 0 --------------- = --------------- y 1 - y 0 x 1 - x 0 Distancia entre los punto (x 0,y 0 ) y (x 1,y 1 ) D = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 Distancia de un punto (x 0,y 0 ) a la recta A x + B y + C = 0 Ax 0 + By 0 + C D = ------------------------- A 2 + B 2 Ecuación de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x 0 y- f(x 0 ) = f (x 0 ) (x - x 0 ) Pag. 3 de 9
Función Derivadas Ejemplo X 1 2x 2 A 0 5 0 u n n.u n-1.u (sen x) 5 5(sen x) 4 cos x u ± v u ± v 4x +3x 2 4 + 6x u. v u.v + u.v x.sen x sen x +x cos x u / v u v u v / v 2 3x / sen x 3sen x - 3x cos x / sen 2 x u u / 2 u sen x cos x / 2 sen x e u u e u e 3x 3 e 3x a u u a u ln a 5 3x 3 5 3x ln 5 ln u u / u ln sen x cos x / sen x sen u u cos u sen x 2 2x cos x 2 cos u - u sen u cos x 2-2x sen x 2 tag u u / cos 2 u tag x 2 2x / cos 2 x 2 arc sen u u / 1 u 2 arc sen x 2 2x / 1 x 4 arc cos u - u / 1 u 2 arc cos x 2-2x / 1 x 4 arc tag u u / 1 u 2 arc sen x 2 2x / 1 x 4 u v v u v-1 u + u v v ln u x, u, v Son funciones a es un número real. (3x) sen x sen x.(3x) (sen x)-1 3 + (3x) sen x cos x ln (3x) e es el numero e, un numero irracional que vale 2,718281828 El logaritmo en una base de un numero, es el numero al que hay que elevar la base para obtener dicho numero. Propiedades de los logaritmos. : log a*b = log a + log b, log a/b = log a log b, log a b = b log a log a b = c a c = b Pag. 4 de 9
Dominio de la función : Formulas Matemáticas Representación Grafica Valores de x para los que existe f(x). Hay que prestar atención a : o Ceros en el denominador o Raices pares de numeros negativos o Logaritmos de cero o numeros negativos. o Arc sen y Arc cos [-1,1] Técnica : Si hay cocientes buscar los ceros de cada uno, pintar las dos rayas y multiplicar los signos. Simetrias : Asintotas Cortes ejes Crecimiento Concavidad y Convexidad Maximos, minimos y puntos de inflexion Eje Ordenadas (Y) f(-x) = f(x) Eje Absisas (X) Raices con + y Origen : f(-x) = - f(x) Verticales : x = a tal lim f(x) = x->a Horizontales : y = a tales lim f(x) = a x->+ o - Oblicuas : y = m x + n m = lim [f(x) / x] y n = lim [f(x) m x] x-> x-> Para x = 0 hallar y Para y= 0 hallar x Primera derivada = 0, y luego se ve cuando es positiva y negativa. Hay que mirar tambien los puntos de discontinuidad y estudiar el signo a su alrededor. Segunda derivada = 0, y luego se ve cuando es positiva y negativa. + Cóncava - Convexa Máximo : f (x) = 0 y f (x) negativa Mínimo : f (x) = 0 y f (x) + P. Inflexión : f (x) = 0 y f (x) # 0 Pag. 5 de 9
Integrales Integral por partes u dv = u v - v du P(x) / a x + b D / d = C + R / d (esta por ln) P(x) / (a x + b) n Cambio a x + b = t y despejar x Si hay soluciones reales α y β : A / ax 2 + bx +c = A/ a(x-α)(x-β)= A/a [ M/(x-α) dx + N/(x-β) dx ] A / a x 2 + b x + c Si son imaginarias hay que buscar un cuadrado perfecto c- b 2 /4a + ( a x ± b/2 a ) 2 luego se busca un arc tag. Si grado de P(x) es mayor o igual que 2 se divide, se aplica : P(x) / a x 2 D / d = C + R / d esta última + b x + c se descompone y se hace por un ln la que se queda con la x y la otra como el punto anterior. Pag. 6 de 9
Integrales Definidas Valor medio 1/(b-a) b a f(x) dx Longitud del arco b a 1 + y 2 dx Area de la superficie revoluc. 2π y 1 + y 2 dx Volumen revolución π y 2 dx Matrices Matriz Inversa Producto escalar Producto vectorial Se halla A y si es distinto de 0 Se halla la traspuesta A t Se halla la adjunta de la traspuesta Adj(A t ). Cada menor con su signo pero sin multiplicar por el. Y se divide por el determinante Ultimos temas Es u v = u v cos(u,v) O u v = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 Sirve para hallar el angulo que forman dos vectores despejando el cos, o para ver si son ortogonales (perpendiculares) : Producto escalar = 0 Un vector con modulo : u * v = u v sen(u,v) Y perpendicular a los dos. Se halla con el determinante i j k x1 y1 z1 x2 y2 z2 Da el area del paralelepipedo Pag. 7 de 9
Ultimos temas Producto mixto Da el volumen del ortoedro Ecuaciones de la recta Vectorial : (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(v1,v2,v3) Parametrica x = xo + t v1 y = yo + t v2 z = zo + t v3 Continua x-xo y yo z zo ------ = ------- = -------- v1 v2 v3 General o implícita (dos planos) Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Para hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (xo,yo,zo) y es perpendicular al plano Ax+By+Cz+D= 0, usamos el vector normal del plano (A,B,C) como director de la recta. Ecuaciones del plano Vectorial : (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(v1,v2,v3)+ s(w1,w2,w3) Parametrica x = xo + t v1 +s w1 y = yo + t v2 + s w2 z = zo + t v3 + sw3 Para pasar a la general hacemos el determinante : x-xo y yo z zo v1 v2 v3 w1 w2 w3 General o implícita Pag. 8 de 9
Ax + By + Cz + D = 0 Distancia de un punto a un recta Distancia de un punto a un plano Para hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto (xo,yo,zo) y es perpendicular a la recta dada por dos planos. Hacemos el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos y lo usamos comol vector normal del plano (A,B,C) y aplicamos la formula A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 Hayamos la ecuación del plano que contiene al punto y es perpendicular a la recta. Hayamos la intercesión de la recta y el plano (3 ecuaciones y 3 incognitas) Hayamos la distancia de dos puntos: Raiz((x1-xo) 2 +(y1-yo) 2 +(z1-zo) 2 Axo+Byo+Czo+D D=------------------------------- Raiz(A 2 +B 2 +C 2 ) Pag. 9 de 9