CONOCIMIENTOS TEÓRICOS APLICACIONES PRÁCTICAS. 2 Secciones planas e intersecciones 2.1 Secciones planas de sólidos 2.2 Intersección recta-cuerpo

8 UNIDAD Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 1 Superficies radiales de vértice propio 1.1 Concepto y clasificación 1.2 La pirámide: clasificación y elementos 1.3 El cono: clasificación y elementos 2 Superficies radiales de vértice impropio 2.1 Concepto y clasificación 2.2 El prisma: clasificación y elementos 2.3 El cilindro: clasificación y elementos 3 Secciones planas. Intersecciones con rectas 3.1 Sección plana. Métodos de determinación 3.2 Secciones planas particulares 3.3 Intersección recta-cuerpo 4 Desarrollos 4.1 Concepto 4.2 Desarrollo de un prisma oblicuo 4.3 Desarrollo del cono de revolución. Rectificación APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Representaciones más usuales de las diferentes superficies 1.1 La pirámide 1.2 El cono 1.3 El prisma 1.4 El cilindro 2 Secciones planas e intersecciones 2.1 Secciones planas de sólidos 2.2 Intersección recta-cuerpo 3 Desarrollos y transformadas CUESTIONES Y EJERCICIOS

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales Dentro de las superficies regladas, generadas por una recta, y desarrollables, extensibles sobre un plano, se encuentran las superficies radiales; éstas son superficies generadas por el movimiento de una recta que se apoya en un punto llamado vértice y en una directriz. Distinguimos cuatro tipos de superficies radiales que, al ampliar su estudio en los próximos apartados, agruparemos por el tipo de vértice: Vértice Propio Impropio Directriz Polígono Curva Polígono Curva Superficie Pirámide Cono Prisma Cilindro 1 SUPERFICIES RADIALES DE VÉRTICE PROPIO 1.1 Concepto y clasificación Fig. 1 Estas superficies son generadas por el movimiento de una recta, la generatriz, obligada a pasar por un punto propio, el vértice V, apoyándose en una línea, poligonal o curva, llamada directriz (Fig. 1). Al considerar a la generatriz ilimitada en ambos sentidos a partir del vértice, se generan dos superficies radiales opuestas e ilimitadas. Aunque la directriz puede ser cualquier tipo de línea (plana o alabeada, poligonal o curva, abierta o cerrada), en este estudio nos centraremos en las superficies con directriz plana y cerrada. Los restantes tipos de directrices diferencian a las superficies radiales de vértice propio: si la directriz es una línea poligonal, la superficie generada se denomina superficie piramidal; por el contrario, si es curva, se denomina superficie cónica. El volumen comprendido en cada una de las dos superficies anteriores, limitado entre el plano de la directriz y el vértice, da lugar a dos cuerpos que reciben los nombres de pirámide y cono, respectivamente, los cuales describiremos en los próximos subapartados. 1.2 La pirámide: clasificación y elementos Fig. 2 Podemos definir la pirámide como el cuerpo contenido en una superficie radial cerrada, de directriz poligonal, seccionada por un plano secante que corta todas sus caras sin pasar por el vértice (Fig. 2). La cara ABCDE, situada en el plano secante, se llama base de la pirámide; las restantes caras 164

Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 8 se denominan laterales, y siempre serán triángulos. La intersección entre dos caras cualesquiera define la posición de una de las aristas de la pirámide: aristas laterales, VA, VB, son la que pasan por el vértice, y aristas de la base, AB, BC, las que forman cada uno de los lados del polígono de ésta. Altura de la pirámide es el segmento de perpendicular trazado desde el vértice al plano de la base. Cuando la perpendicular trazada desde el vértice incide en el centro de la base, la pirámide se denomina recta; en caso contrario, se trataría de una pirámide oblicua. Cuando además de recta, el polígono de su base es un polígono regular, la pirámide será regular; en caso contrario, será irregular. En las regulares, todas las aristas laterales son iguales y también lo son todas sus caras laterales, éstas con forma de triángulos isósceles. La altura de cada uno de estos triángulos se llama apotema de la pirámide. A las pirámides las clasificamos también por el número de lados del polígono de la base: así, hablaremos de pirámides triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. En la figura 3 apreciamos cómo, a través de triángulos rectángulos, podemos relacionar las magnitudes anteriores y podemos determinar, gráficamente, unas en función de otras. El triángulo VOM relaciona la altura de una pirámide regular con las apotemas de la base y de la pirámide; el segundo de los triángulos rectángulos representados, el VOA, relaciona la altura con la arista lateral y el radio del polígono de la base; un tercer triángulo, no representado, relacionaría arista lateral, apotema de la cara y la mitad de la arista básica. Fig. 3 Como ocurre en el resto de sólidos radiales, llamamos tronco de pirámide a la parte de la misma comprendida entre su base y un plano secante que corta todas sus aristas laterales; en el caso de cilindro y prisma, el plano secante no ha de ser paralelo a las bases. 1.3 El cono: clasificación y elementos Definimos el cono como el cuerpo contenido en una superficie radial cerrada, de directriz curva, seccionada por un plano secante que corte todas sus generatrices sin pasar por el vértice (Fig. 4). La cara situada en el plano secante se llama base del cono; lateralmente presenta un contorno continuo, sin caras, denominado superficie lateral. El segmento de perpendicular trazado desde el vértice al plano de la base es la altura del cono. Cuando la unión del vértice con el centro de la base incide perpendicularmente en el plano de ésta, el cono es recto; en caso contrario, es oblicuo. En el cono recto de directriz circular, a la altura se la denomina eje del cono, siendo éste de revolución por formar, en cualquiera de las posiciones de la generatriz, un ángulo invariable con el eje del mismo. El cono Fig. 4 165

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales oblicuo de revolución tiene una directriz elíptica, directriz esta que también podemos encontrar en un cono recto (que, lógicamente, no será de revolución) (Fig. 5). Fig. 5 En el cono de revolución, un triángulo rectángulo relaciona métricamente las longitudes del radio de la base, de la altura y de la generatriz, tal como se aprecia en el cono recto de revolución de la figura 5. Conocidas dos de estas magnitudes, gráficamente, podemos determinar la tercera. 2 SUPERFICIES RADIALES DE VÉRTICE IMPROPIO 2.1 Concepto y clasificación Fig. 6 Estas superficies radiales pueden considerarse como un caso particular de las anteriores, las de vértice propio. Ahora, al ser el vértice impropio, las generatrices se mantienen, en todo su recorrido, paralelas a sí mismas (Fig. 6). Con la generatriz ilimitada, la superficie generada es también ilimitada en sus dos extremos. Como en las anteriores superficies radiales, nos centraremos únicamente en las superficies de directriz poligonal y curva, por lo que las dos superficies radiales objeto de estudio serán la superficie prismática y la cilíndrica, según sea poligonal o curva la directriz. El volumen limitado por cada una de las dos superficies, entre el plano de su directriz y un segundo plano paralelo a él, da lugar a dos cuerpos que reciben los nombres de prisma y cilindro, respectivamente, y que describimos a continuación. 2.2 El prisma: clasificación y elementos Fig. 7 Definimos el prisma como el cuerpo limitado por una superficie prismática cerrada y dos planos secantes paralelos entre sí (Fig. 7). Las caras situadas en los planos secantes son polígonos y se llaman bases del prisma, polígonos ABCD y EFGH; las restantes caras se denominan laterales, y son siempre cuadriláteros paralelogramos. La intersección entre dos caras laterales cualesquiera define la posición de cada una de las aristas laterales 166

8 Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD del prisma, BF, DH, etc.; por el contrario, las aristas de las bases, AB, FG, etc., son los lados de los polígonos de las mismas. Altura del prisma es la distancia entre sus bases, medida perpendicularmente a ambas. Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases, el prisma se denomina recto, en caso contrario, oblicuo. Si, además de recto, las bases son polígonos regulares, el prisma es regular; en caso contrario, será irregular. En los prismas regulares todas las caras laterales son rectángulos iguales. A los prismas los clasificamos también por el número de lados de los polígonos de sus bases: así, hablaremos de prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. El que tiene por bases polígonos paralelogramos recibe un nombre especial: paralelepípedo. 2.3 El cilindro: clasificación y elementos El cilindro es el cuerpo comprendido entre una superficie cilíndrica cerrada y dos planos secantes, paralelos entre sí, que cortan a todas las generatrices. Las superficies comprendidas en los planos secantes son las bases del cilindro y la distancia entre ellas, su altura. Lateralmente muestra un contorno continuo, sin caras, llamado superficie lateral. Cuando las generatrices son perpendiculares a las bases, el cilindro se denomina recto; en caso contrario, oblicuo. La paralela a las generatrices que pasa por el centro de la directriz se denomina eje del cilindro; cuando éste es recto y de directriz circular, su eje es de revolución. En la figura 8, además del cilindro recto de revolución, representamos otros tipos de cilindros según el tipo de directriz y la inclinación de las generatrices. En el cilindro oblicuo de revolución, las generatrices se mantienen equidistantes del eje del mismo, por lo que la sección por un plano perpendicular al eje es una circunferencia; la sección por dos planos paralelos, oblicuos al eje, son sendas elipses que son sus bases. Fig. 8 167

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales 3 SECCIONES PLANAS. INTERSECCIONES CON RECTAS 3.1 Sección plana. Métodos de determinación Como estudiamos en los poliedros regulares, llamamos sección plana a la intersección que un plano cualquiera produce en un sólido; de ella puede interesarnos conocer dos cosas: sus proyecciones y su verdadera magnitud; para esto último deberemos colocar el plano que la contiene paralelo o coincidente con uno de los planos de proyección, cosa que realizamos, habitualmente, mediante un abatimiento. En cuanto a determinar las proyecciones de la sección, podemos hacerlo de varias maneras: Cuando el plano es proyectante, los puntos de intersección entre su traza proyectante y las aristas o generatrices del sólido son, directamente, puntos de la sección buscada, que únicamente habremos de referir a la otra proyección del cuerpo. Así lo hicimos en la figura 45 de la unidad 7. Si el plano es uno oblicuo cualquiera, podemos ir determinando, uno a uno, los vértices del polígono sección, vértices que serán los puntos de intersección de cada una de las aristas o generatrices del cuerpo con el plano. Sin embargo, suele ser preferible realizar un cambio de plano para que el plano secante sea proyectante en relación a alguno de los de proyección; de esta manera podemos realizar la resolución inmediata descrita en el párrafo anterior. No debemos olvidar aplicar al cuerpo el mismo cambio de plano que hemos realizado con el plano. Así se realizó en la figura 46 de la unidad 7. El tercer procedimiento es una aplicación de la homología. La directriz de una superficie radiada o de un poliedro y la sección plana producida por un plano cualquiera, son dos formas planas perspectivas (teorema de Desargues) y, por tanto, homológicas. Enric Miralles y Benedetta Tagliabue. Cubierta del mercado de Santa Caterina, Barcelona. 168

Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 8 En la figura 9 hemos representado una pirámide de base pentagonal, apoyada ésta en el PH, y un plano α del que queremos determinar la sección que produce en la pirámide. Mediante el plano auxiliar proyectante vertical, que pasa por la arista VC, determinamos la intersección, 1 1, de esta arista con el plano. Fig. 9 Prolongamos C D hasta cortar en el punto R a la traza horizontal h α del plano (eje de la homología); unimos R con 1 y lo prolongamos hasta cortar a la arista V D en el punto 2 de la sección. Los segmentos C D y 1 2 son homológicos y, por tanto, se cortan en un mismo punto del eje de la homología. Procedemos de la misma manera para encontrar el resto de vértices de la sección; por ejemplo, la prolongación de D E se corta con h α en el punto Q que, unido con 2, determina la posición del vértice 3 en la arista lateral que parte de E. Encontradas las proyecciones horizontales de los vértices de la sección, las referimos a las correspondientes aristas de la proyección vertical. En las Aplicaciones prácticas, aplicaremos los métodos descritos para determinar secciones planas en otros cuerpos radiales estudiados en esta unidad. 169

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales 3.2 Secciones planas particulares Dependiendo de la orientación del plano secante y del tipo de cuerpo, la sección plana puede presentar alguna de las particularidades que describimos a continuación: Plano que pasa por el vértice de la superficie radial Por los puntos M y N de intersección del plano con la directriz, trazaremos sendas aristas o generatrices que pasarán también, lógicamente, por el vértice propio del cuerpo (Fig. 10). En las figuras de vértice impropio, la condición de pasar por él implica que el plano secante sea paralelo a las aristas o generatrices del sólido, a las que también serán paralelas las rectas de intersección, determinadas a partir de los puntos M y N en que la traza del plano corta a la directriz (Fig. 11). Fig. 10 Fig. 11 Plano paralelo a la directriz En los sólidos de vértice impropio, la sección plana será idéntica a la directriz y paralela a la misma. Cuando el vértice es propio, la sección plana es una forma semejante a la directriz y dispuesta con ésta según una relación de homología cuyo centro es el vértice del cuerpo. Secciones rectas Son las producidas en los cuerpos de vértice impropio, prisma y cilindro, por un plano perpendicular a las respectivas generatrices. Independientemente de la posición del plano secante, siempre obtendremos la misma sección recta, ya que al ser producida por planos perpendiculares a las generatrices, serán paralelas entre sí. Volveremos a hablar de las secciones rectas al realizar los desarrollos de prismas y cilindros. 170

Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 8 Secciones planas de un cono de revolución Tal como estudiamos en la unidad 1, dependiendo de la inclinación del plano secante, la sección que éste produce sobre un cono recto de revolución es diferente. Un plano perpendicular al eje produce como sección una circunferencia; si el plano es paralelo al eje, la sección es una hipérbola; cuando el plano es paralelo a las generatrices, la sección es una parábola, y con planos oblicuos al eje y no paralelos a las generatrices, la sección es una elipse. A partir de las definiciones que hemos dado en apartados anteriores de los cuerpos de directriz curva, podemos deducir, por ejemplo, que la sección elíptica también puede obtenerse como sección plana de otros cuerpos: del cilindro oblicuo de directriz circular, del cono oblicuo de revolución, etc.; en el primer caso la sección sería recta y en el segundo se obtendría mediante un plano paralelo a la directriz (Fig. 12). Fig. 12 3.3 Intersección recta-cuerpo Tal como explicamos en el apartado 2.2 de las Aplicaciones prácticas de la unidad 7, determinar la intersección de una recta con un sólido consiste en encontrar los puntos de entrada y salida de la recta en el sólido. El procedimiento general para resolver este problema pasa por definir un plano auxiliar que contenga a la recta, para determinar la sección plana que produce en el sólido. Los puntos de intersección entre la sección producida por el plano auxiliar y la recta son los puntos buscados. El plano auxiliar puede ser un plano proyectante, como resolvimos en la figura 48 de la unidad 7, o un plano que, conteniendo a la recta, pase por el vértice del sólido o sea paralelo a sus aristas o generatrices, en el caso de sólidos de vértice impropio. Estos últimos planos producirán como sección alguna de las secciones particulares que vimos en el apartado 3.2. Ejemplo de intersección entre una recta y una esfera en un globo terráqueo. 171

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales En la figura 13 resolvemos la intersección de una recta con un prisma oblicuo dado por sus proyecciones diédricas. Por un punto P cualquiera de la recta, trazamos una recta auxiliar t paralela a las aristas laterales del prisma; las trazas horizontales, H t y H r, de las dos rectas definen la traza horizontal h α del plano auxiliar. Por los puntos 1 y 2 en que esta traza corta a la directriz A B C D del prisma, trazamos las aristas auxiliares que, al cortarse con r, definen las proyecciones horizontales, M y N, de los puntos buscados. Los referimos a la proyección vertical r de la recta y diferenciamos, en ambas proyecciones, la representación del segmento comprendido entre ambos puntos. Fig. 13 4 DESARROLLOS 4.1 Concepto Las superficies radiales, al incluirse dentro de las desarrollables, permiten que los cuerpos que las tienen por contorno puedan extenderse sobre un plano, sin experimentar deformación ni rotura. A esta acción la conocemos como determinación del desarrollo de un cuerpo. El desarrollo de un cuerpo incluye su desarrollo lateral más el de la base o bases, según el tipo de cuerpo. Todas las magnitudes en él representadas deben estar en verdadera magnitud; para obtenerlas en esta dimensión, es habitual recurrir a alguno de los movimientos estudiados en unidades anteriores. En los próximos apartados, veremos dos de los desarrollos cuya determinación implica realizar alguna operación diferente respecto al proceso descrito. 172

Superficies radiales CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD 8 4.2 Desarrollo del prisma oblicuo Partimos del prisma oblicuo, de directriz triangular, de la figura 14. Para obtener su desarrollo lateral determinamos una de sus secciones rectas. Al estar las aristas laterales del prisma en posición de rectas frontales, el plano perpendicular a las mismas será un plano de canto. Fig. 14 La traza proyectante del plano determina, directamente, la proyección vertical, 1 2 3, de la sección recta; la referimos a la proyección horizontal del prisma y abatimos el plano de canto, para disponer de la verdadera magnitud de esta sección. Para dibujar el desarrollo (Fig. 15), sobre una recta cualquiera, llevamos el perímetro 1 2 3 1 de la sección recta abatida y por cada uno de los puntos 1, 2, 3, le trazamos perpendiculares; sobre éstas llevamos las longitudes de las dos partes en que la sección recta divide a cada una de las aristas, que medimos en verdadera magnitud en su proyección vertical; así, trazaremos el segmento 1A igual a 1 A, 2B igual a 2 B y 3C igual a 3 C. De forma similar procederemos en la otra mitad. Añadiendo al desarrollo anterior las verdaderas magnitudes de ambas bases, completaríamos el desarrollo total del prisma; la verdadera magnitud de éstas coincide con su proyección horizontal. Volumetría compleja en un edificio de los arquitectos Herzog y De Meuron. Fig. 15 173

UNIDAD 8 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Superficies radiales 4.3 Desarrollo del cono de revolución. Rectificación El desarrollo lateral de un cono de revolución (Fig. 16) es un sector circular, de radio igual a la generatriz del cono, y cuyo arco tendrá la misma longitud que la circunferencia de su base. Podemos llegar a representar este sector circular de dos maneras: Determinando el ángulo α del sector circular, en función del radio r de la base del cono y de la longitud g de su generatriz: Fig. 16 360º α = 2πg r de donde deducimos que α = 360r g Gráficamente, rectificando la circunferencia de la base del cono y pasando, a continuación, su longitud rectificada sobre una nueva circunferencia de radio igual a la generatriz del cono. Trazamos dos circunferencias tangentes (Fig. 17), una de radio r igual al de la base del cono y la otra de radio g igual a su generatriz. Con un radio de ¾ del radio de la base del cono, determinamos el punto P que, unido con A, extremo de un arco de un cuarto de circunferencia, determina sobre la tangente común a las dos circunferencias la longitud rectificada de ¼ de circunferencia, punto A. Doblamos esta longitud a partir de A, determinando B correspondiente a la longitud rectificada de la mitad de la circunferencia de la base del cono. Fig. 17 Ahora pasamos esta longitud rectificada sobre la circunferencia de radio g; para ello, con un radio igual a ¾ de g, trazamos un arco que determina el punto Q, que unimos con B para determinar el punto B sobre la circunferencia. El punto simétrico de B respecto a la recta OO, y la unión de ambos con O, determina el sector circular correspondiente al desarrollo lateral del cono. 174

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 1 REPRESENTACIONES MÁS USUALES DE DE LAS DIFERENTES SUPERFICIES Aunque en los apartados anteriores ya hemos introducido alguna representación en proyecciones diédricas, planta y alzado del sólido correspondiente, éstas han sido en la posición más habitual: con la base del cuerpo apoyada sobre el PH. En este apartado resolveremos otras representaciones de los cuerpos estudiados, con la finalidad de ejemplarizar una casuística muy diversa. 1.1 La pirámide En la figura 9 representamos una primera pirámide con su base contenida en el plano horizontal de proyección; ésta es la representación más sencilla de la pirámide en proyecciones diédricas. En ella la proyección horizontal de la base está en verdadera magnitud, así como la altura del poliedro en su proyección vertical; las aristas laterales no suelen estar en verdadera magnitud a excepción de las que sean segmentos frontales. Veamos dos nuevas representaciones: Con la base situada en un plano oblicuo Conocemos las trazas de un plano α, en el que se halla la base de una pirámide cuadrangular regular, cuya altura y lado de la base son también conocidos; debemos representar sus proyecciones diédricas. Pirámides invertidas y prismas en el Tokyo Big Sight, barrio de Odaiba, Tokyo. Empezamos por abatir el plano α sobre el horizontal de proyección (Fig. 18); sobre la representación del plano abatido, dibujamos la verdadera magnitud (A) (B) (C) (D) de la base de la pirámide. Aprovechando la afinidad existente entre la proyección horizontal y la abatida, desabatimos el cuadrado y completamos sus dos proyecciones. Por el centro del cuadrado, O O, trazamos la recta s, con sus proyecciones perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Sobre esta recta medimos la altura de la pirámide, para fijar la posición del vértice V de la misma. Al ser s una recta oblicua, la ponemos previamente en posición favorable para medir sobre una de sus proyecciones la verdadera magnitud de la altura; en la figura, mediante el giro realizado respecto a un eje de punta que pasa por O, la transformamos en horizontal; sobre esta proyección auxiliar medimos el segmento O V 1 igual a la altura y, deshaciendo el giro, obtenemos las proyecciones V V. La unión de las proyecciones del vértice V con las correspondientes proyecciones de los vértices de la base, completa la representación solicitada de la pirámide; en ella diferenciamos las aristas interiores de cada contorno aparente según la visibilidad de las mismas. 175

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales Fig. 18 Con una de las caras laterales apoyada en el PH Partimos de una proyección previa (Fig. 19), en la que representamos la pirámide de acuerdo con los datos facilitados de arista, altura, etc., apoyada por su base en el plano horizontal. La disposición de la arista AB, en posición de recta de punta, no es casual; coincidente con sus proyecciones definimos un eje de punta, en relación al cual giraremos la pirámide hasta la posición solicitada. Fig. 19 Haciendo centro en e, coincidente con A y B, giramos V hasta la nueva posición V 1 situada sobre la LT; de esta forma, la cara ABV de la pirámide queda apoyada en el plano horizontal. En relación al eje anterior, aplicamos a D, C y E el mismo giro, quedando definida la nueva proyección vertical de la pirámide. 176

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Los vértices de la nueva proyección horizontal se hallarán en la intersección de las perpendiculares al eje de giro, trazadas por C, D, E y V, con las perpendiculares a LT, trazadas desde las nuevas proyecciones verticales de los mismos. Las aristas laterales que parten de los vértices A y B quedan en la parte inferior de la pirámide y, por tanto, son ocultas, representándose con línea discontinua. Partiendo de la misma proyección previa de la pirámide, otra forma de resolver las proyecciones pedidas sería efectuando un cambio de plano horizontal, en el que situaríamos la nueva LT paralela a la proyección vertical de la cara ABV. 1.2 El cono En la figura 16 ya representamos las proyecciones de un cono de revolución apoyado por su base en el PH; en esta posición tanto el radio de la base, la altura del cono y la proyección vertical de las generatrices frontales, están en verdadera magnitud. Veamos cómo determinar estas proyecciones en otras posiciones particulares del cono. Con la base en un plano oblicuo cualquiera Suponemos conocidas las trazas del plano, el radio de la base y la altura del cono. Abatimos el plano (Fig. 20), para poder representar la verdadera magnitud de la base, en la que trazamos los diámetros perpendicula- Sucesión de conos. Chimeneas de la fábrica de loza de la Cartuja. Sevilla. Fig. 20 177

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales res (A) (B) y (C) (D). Los desabatimos, utilizando horizontales auxiliares del plano. Así, determinamos A B -C D, ejes de la elipse correspondiente a la proyección horizontal de la circunferencia de la base del cono, y A B -C D, diámetros conjugados de la proyección vertical de la misma circunferencia. A partir de los mismos, trazamos las elipses correspondientes. Por las proyecciones O O del centro de la base, trazamos sendas perpendiculares a las trazas respectivas del plano. Sobre esta recta, t t, medimos la altura del cono, para fijar la posición del vértice V del mismo; previamente, la giramos a posición favorable para poder medir sobre una de sus proyecciones la verdadera magnitud de la altura. Conocidas las proyecciones V V del vértice del cono, trazamos desde ellas las generatrices correspondientes a ambos contornos, tangentes a las elipses representadas como proyecciones de las bases. Con una generatriz apoyada en el plano horizontal Fig. 21 Conocemos el radio de la base y las proyecciones horizontal y vertical de una de las generatrices. En la figura 21 hemos realizado una representación en perspectiva de análisis, con el cono en la posición buscada; la generatriz AV es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos el radio de la base y la altura del cono; con la generatriz sobre el plano horizontal, el anterior triángulo se proyecta horizontalmente sobre su hipotenusa. En relación a A V, abatimos el anterior triángulo rectángulo (Fig. 22), trazando el arco capaz de 90º respecto a A V, y marcando sobre dicho arco, a la distancia r de A, la posición abatida (O) del centro de la base del cono. La perpendicular a A V trazada desde (O) define O. Sobre la misma perpendicular y a la distancia r de O, marcamos las posiciones C y D, extremos de un diámetro conjugado de la base del cono. Tal como deducimos de la figura 21, la altura del triángulo rectángulo AV (O) representa la cota z del centro de la base del cono; con esta cota y sobre la perpendicular a LT trazada desde O, determinamos O. Por él y por V pasa la proyección vertical e del eje del cono. Por O trazamos las proyecciones verticales de dos diámetros conjugados de la base del cono: uno paralelo a LT, sobre el que referimos las proyecciones verticales de C y D ; el otro, F E, tiene el extremo F coincidente con la proyección vertical A y el otro extremo, E, se halla en la prolongación del segmento F O, siendo O el punto medio de E F. Para completar la proyección horizontal del diámetro EF, situamos el extremo F coincidente con A ; el otro extremo, E, queda determinado en la intersección de la perpendicular a LT, trazada desde E, con la prolongación del segmento F O. 178

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Fig. 22 Las proyecciones de los diámetros conjugados CD y EF permiten trazar las elipses correspondientes a las dos proyecciones de la base del cono; trazadas éstas, desde V V dibujamos las líneas de contorno aparente tangentes a dichas elipses. 1.3 El prisma Para ejemplificar la intersección de una recta con un sólido, explicada en el apartado 3.3, utilizamos como modelo de este último un prisma oblicuo, cuya base situamos apoyada en el PH. Esta es la posición más fácil de representar este sólido, y en ella aparecen en verdadera magnitud los elementos paralelos al plano sobre el que se proyectan. Veamos dos nuevas representaciones del prisma: Con una de las bases en un plano oblicuo cualquiera Conocemos el plano oblicuo α que contiene a la base del prisma, el lado L del triángulo de ésta y su altura H. La resolución implica: Dibujar la base en verdadera magnitud sobre el plano abatido. Desabatir para encontrar las dos proyecciones de la base. Por uno de los vértices de la base, trazar la perpendicular a las trazas del plano. Girar la perpendicular anterior para poder medir la altura del prisma y deshacer el giro a las proyecciones originales. Por paralelismo entre aristas, completar las dos proyecciones. Geometrías atrevidas a partir de secciones planas en superficies radiales. 179

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales El proceso de resolución que acabamos de describir es el aplicado anteriormente a la pirámide y al cono en una posición similar. Si, mediante un cambio de plano, el plano de la base lo ponemos en posición proyectante respecto a uno de los de proyección, las rectas perpendiculares al mismo serán paralelas al plano de proyección en relación al cual es proyectante. De ese modo nos evitaremos el doble proceso del giro. Veamos la resolución, basada en esta posición favorable del plano, en la figura 23. Fig. 23 Pasamos el plano a posición de plano de canto, definiendo la nueva LT perpendicular a h α. Al abatir sobre el PH, la traza vertical abatida coincide con la nueva LT 1. Dibujamos el triángulo equilátero (1) (2) (3) correspondiente a la base en verdadera magnitud y lo desabatimos; su proyección vertical coincidirá con la traza v α1 del plano de canto. Desde las proyecciones 1, 2, 3 y 1 1, 2 1, 3 1, trazamos las perpendiculares a las trazas respectivas del plano de canto midiendo, directamente sobre la proyección vertical, la altura H del prisma. Completamos la proyección vertical auxiliar y la referimos a la proyección horizontal; desde 180

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD ésta pasaremos a la proyección vertical inicial, manteniendo las cotas observadas en los vértices de ambas bases sobre la proyección auxiliar. Para obtener la posición de 1 a partir de 1, y perteneciendo ambos al plano α, también podemos utilizar una recta frontal auxiliar; lo mismo para los vértices 2 y 3. El paralelismo, por ser invariante proyectivo, nos ayuda a completar las proyecciones. Con una cara lateral coincidente con un plano de proyección Queremos representar un prisma regular hexagonal, del que conocemos las longitudes de las aristas de la base y lateral del mismo, con una de sus caras laterales situada en el PH. Un prisma regular (recto, por tanto) con una cara lateral situada sobre el plano horizontal de proyección tiene los planos de las bases perpendiculares a dicho plano de proyección. Empezamos por representar (Fig. 24), la cara ABHG contenida en el PH, con los valores de arista y altura dados. En relación a la proyección de la arista AB, abatimos la base ABCDEF sobre el plano horizontal. Este abatimiento nos permite: Fig. 24 1. Las perpendiculares a la charnela A B, trazadas desde las posiciones abatidas de los otros vértices, nos permiten completar la proyección horizontal del prisma. 2. Las cotas z 1 y z 2 permiten, conocida la proyección horizontal, representar la proyección vertical del prisma. 181

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales 1.4 El cilindro Como hemos realizado con los otros tres cuerpos de superficie radial, nos centraremos en las mismas posiciones respecto a los planos de proyección: Con la base situada o paralela a un plano de proyección También ahora ésta es la posición más sencilla para representar un cilindro recto (Fig. 25). La base paralela o contenida en el PH estará en verdadera magnitud, igual que la proyección vertical de las generatrices de su contorno aparente. Con una de las bases en una plano oblicuo cualquiera Fig. 25 Conocemos las dos proyecciones, e e, del eje de un cilindro recto de revolución y, sobre ellas, las posiciones de dos puntos, O y Q, centros de sus bases; debemos representar las dos proyecciones del cilindro para un radio dado del mismo. Con ayuda de una horizontal y una frontal auxiliar, perpendiculares al eje del cilindro, y que hacemos pasar por uno de los centros, el Q en la figura 26, determinamos las trazas del plano que contiene a esa base. Torre de Pisa. Italia. Fig. 26 182

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Abatimos este plano respecto al horizontal de proyección para poder representar, a partir de la posición abatida del centro (Q), la verdadera magnitud de la circunferencia de la base correspondiente. Circunscribimos el cuadrado (A) (B) (C) (D) a dicha circunferencia, con lados paralelos (rectas horizontales del plano) y perpendiculares a la charnela h α, que nos permiten realizar el desabatimiento de la circunferencia. Con los cuadriláteros A B C D y A B C D en proyecciones, trazamos las elipses inscritas correspondientes. Mediante una traslación en la dirección de la proyección correspondiente del eje, trasladamos los cuadriláteros anteriores a la posición del centro O O, lo que nos permite el trazado, en ambas proyecciones, de la segunda base del cilindro. Con la representación de las aristas del contorno aparente, tangentes a ambas bases, completamos la representación. Con una generatriz situada en el PH Debemos representar, con una generatriz en el plano horizontal, un cilindro de revolución conocidas la longitud de su radio y su generatriz. Su proyección horizontal será un rectángulo, cuyos lados son el diámetro de la base y la generatriz del cilindro (Fig. 27). La cara C D corresponde a la proyección de una de sus bases y su punto medio, A B, es la proyección de un diámetro vertical de la misma. Este diámetro, en proyección vertical, se proyecta en verdadera magnitud, A B, y sobre la perpendicular trazada por su punto medio, referimos las proyecciones verticales de C y D. Las proyecciones verticales, A B y C D, de los dos diámetros anteriores son los ejes de la elipse correspondiente a la proyección vertical de la circunferencia de esta base; conocidos éstos, la podemos representar, siguiendo el mismo proceso con la segunda de las bases del cilindro. Fig. 27 Las tangentes comunes del contorno aparente completan la representación, junto con el estudio de la visibilidad del conjunto. 2 SECCIONES PLANAS E INTERSECCIONES 2.1 Secciones planas de sólidos En el apartado 3.1 de los Conocimientos teóricos, vimos tres métodos diferentes de determinar la intersección entre un plano y un cuerpo. En las figuras 9 y 14 resolvimos dos intersecciones como aplicación de dos métodos diferentes: la primera de ellas, como aplicación de homología, entre un plano y una pirámide; la segunda, la sección recta de un prisma oblicuo. Veremos ahora otros ejemplos de resolución de secciones planas. 183

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales Cono de revolución con un plano proyectante La sección que el plano α produce en el cono de revolución de la figura 28, dada la inclinación del primero respecto al eje y generatrices del cono, es una elipse. Al ser el plano de canto, la proyección vertical de la elipse coincide con la traza vertical del plano. Fig. 28 Para trazar su proyección horizontal, debemos conocer las proyecciones correspondientes de los ejes. M y N se hallan en correspondencia diédrica con los puntos en que la proyección vertical del cono se corta con la traza proyectante del plano. Por el punto medio entre M y N, trazamos las generatrices coincidentes, V H y V J, que referimos a proyección horizontal; la intersección con la perpendicular trazada a M N por su punto medio determina las posiciones de C y D. Conocidos los ejes M N y C D, podemos trazar la sección elíptica en proyección horizontal. Su verdadera magnitud la hemos determinado por dos procedimientos distintos: mediante el abatimiento del plano α sobre el horizontal de proyección y con un cambio de plano directo, sin representar LT. Por el segundo procedimiento situamos O 1, perpendicularmente a M N, en cualquier posición; en relación a él, y con los alejamientos relativos tomados respecto a O en la proyección horizontal inicial, determinamos la nueva proyección horizontal, ésta en verdadera magnitud, por estar el plano que la contiene en posición de plano horizontal respecto a la nueva proyección. 184

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Prisma oblicuo con un plano cualquiera Para determinar los vértices del polígono de intersección entre el plano α y el prisma oblicuo de la figura 29, podríamos efectuar un cambio de plano que nos transformara al primero en proyectante vertical u horizontal; así, la traza proyectante determinaría, en su intersección con la nueva proyección del prisma, la sección entre ambos. En la resolución efectuada en la figura 29, se han combinado dos procedimientos: utilizando planos proyectantes auxiliares, coincidentes con las proyecciones verticales de las aristas que parten de los vértices básicos C y D, determinamos las proyecciones 1 y 3. Aplicando la homología existente entre la proyección horizontal y la sección, determinamos las proyecciones 2 y 4 ; prolongamos B C hasta cortar la traza horizontal del plano en el punto R que, unido con 1, determinará en su prolongación la posición 2 sobre la arista que parte de B. Fig. 29 Referimos los vértices de la sección a la proyección vertical del prisma. Por último, completamos la representación con el estudio de la visibilidad del conjunto. 185

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales 2.2 Intersección recta-cuerpo Además de la intersección recta-cuerpo ya determinada entre la recta y el prisma oblicuo de la figura 13, determinamos ahora otras dos intersecciones del mismo tipo. Recta con un cilindro recto de revolución Con la proyección horizontal de la recta r, hacemos coincidir la traza horizontal de un plano auxiliar, proyectante vertical (Fig. 30); su intersección con el cilindro son las dos generatrices m y n que, en proyección horizontal, coinciden en la intersección de r con la proyección horizontal del cilindro. Fig. 30 Referimos las generatrices m y n a la proyección vertical, y sus intersecciones con r son los puntos, M y N, en que la recta y el cilindro se encuentran. Considerando los puntos anteriores como de entrada y salida de la recta en el cilindro, el segmento entre ambos es oculto, representándose con línea discontinua. Recta con un cilindro oblicuo Como en el caso anterior buscamos un plano auxiliar que contenga a la recta r, determinando después la intersección de éste con el cilindro. Para que esta intersección sea fácil de determinar, hacemos que el plano auxiliar sea paralelo a las generatrices del cilindro; para ello, por un punto P cualquiera de la recta r, trazamos una segunda recta, la t, paralela a éstas (Fig. 31). El plano que definen r y t cumple con la doble condición de contener a r y ser paralelo a las generatrices del cilindro; con la determinación de su traza horizontal h α, unión de las trazas horizontales de ambas rectas, es suficiente para resolver el problema. Fig. 31 Por los puntos 1 y 2 de intersección entre h α y la proyección horizontal de la base del cilindro, trazamos las generatrices correspondientes que, al cortarse con r, definen la posición de los puntos M y N. Los referimos a proyección vertical y diferenciamos como oculto el segmento entre ambos en las dos proyecciones. 186

8 Superficies radiales APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 3 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS En el apartado 4 de los Conocimientos teóricos, además de introducir el concepto de desarrollo, realizamos el correspondiente a un prisma oblicuo (mediante la preceptiva sección recta) y el de un cono de revolución, para lo que hubimos de realizar la rectificación de la circunferencia de su base. De una pirámide oblicua Retomamos nuevamente la pirámide oblicua de la figura 9. En la figura 32 representamos dicha pirámide y la sección que el plano α produce en la misma. En esta representación la proyección horizontal de la base de la pirámide está en verdadera magnitud, pero no así sus aristas laterales, todas ellas rectas oblicuas. Para disponer de la verdadera magnitud de éstas últimas, las giramos respecto a un eje vertical que hacemos pasar por el vértice de la pirámide hasta la posición de rectas frontales. A la nueva proyección vertical de las aristas, trasladamos también los vértices del polígono sección. Con todos los segmentos que intervienen en el desarrollo de la pirámide en verdadera magnitud, sólo nos falta disponerlos en conjunto formando los dos desarrollos de la figura: el lateral y el de su base. Situamos en una Fig. 32 187

UNIDAD 8 APLICACIONES PRÁCTICAS Superficies radiales posición arbitraria del papel la arista VA de la pirámide (Fig. 33); haciendo centro en sus extremos y con radios iguales a las distancias VB y AB, determinamos el vértice B, y con él la primera cara del desarrollo. Mediante el mismo proceso de triangulación encontramos las otras caras laterales y la base, que disponemos en relación a cualquiera de las aristas de la base ya representadas. Si en el desarrollo anterior, sobre las aristas VB, VC, llevamos la verdadera magnitud de los segmentos V5, V1 correspondientes, la línea quebrada que obtenemos se denomina transformada de la sección plana. De un cilindro de revolución En la representación de la figura 34, mostramos el cilindro y la sección que en él produce un plano de canto; mediante su abatimiento, dispondremos de la sección plana en verdadera magnitud. El desarrollo lateral será un rectángulo, cuyos lados serán la generatriz del cilindro y la longitud rectificada de su base. Realizamos ésta en la figura 35, rectificando ¼ de la circunferencia de la base y multiplicando por cuatro la longitud obtenida. Fig. 33 Sobre el desarrollo lateral hemos trazado la transformada de la sección plana anterior; para facilitar su trazado, dividimos el desarrollo en las mismas ocho partes iguales en que, previamente, hemos dividido la proyección horizontal del cilindro. Fig. 34 Fig. 35 188

8 Superficies radiales CUESTIONES Y EJERCICIOS UNIDAD 1. Elaborar un cuadro que clasifique las pirámides. 2. Definir pirámide regular y pirámide oblicua de base regular. 3. La pirámide regular, es un poliedro regular? Por qué? 4. Definir las características de una superficie cónica de revolución. Cuál puede ser el tipo de directriz? Justificar la respuesta. 5. Qué aspectos definen un prisma como regular? Qué tipo de figura es un paralelepípedo rectángulo? D (6, 6, 0) y E (4, 6, 0); su vértice se halla en el punto V (4, 5 5, 7). Determinar las proyecciones y la verdadera magnitud de la sección producida por un plano que pasa por los puntos O (-1 5, 0, 0), P (3 5, 8 5, 0) y Q (3 5, 0, 8 5). 11. Trazar las dos proyecciones de una pirámide cuadrangular regular, con la base contenida en el plano α de la figura 36. Los valores del lado de la base y altura de la pirámide son los segmentos indicamos en la misma figura. Diferenciar la representación de las aristas según su visibilidad. 6. Cuál es la sección recta de un cono oblicuo de revolución? 7. Qué sección produce un plano vertical en un cono de revolución? Pirámide 8. El segmento V (-6, 1 5, 1) O (0, 5, 8) es la altura de una pirámide cuadrangular regular, con vértice en V y centro de la base en el punto O anterior. El cuadrado de la base tiene por lado 4,5 unidades y una de sus diagonales es frontal. Representar las dos proyecciones de la pirámide, con estudio de la visibilidad de las aristas. 9. Los puntos A (0, 1, 2), B (1, 3, 1) y C (3, 1, 4) son los vértices de la base de una pirámide triangular regular cuya altura mide 10 unidades. Representar las proyecciones diédricas de la pirámide y determinar su intersección con una recta que pasa por los puntos M (0, 2, 3) y N (3, 2, 2). 10. Representar la pirámide pentagonal irregular, con vértices de la base en los puntos A (2, 4, 0), B (3, 2, 0), C (7, 4, 0), Fig. 36 Cono 12. Dibujar las proyecciones y el desarrollo total de un cono de radio 2 5, cuya base tiene el centro en O (4, 3, 0), correspondiendo el punto V (4, 3, 6) a la posición de su vértice. Representar la transformada de la sección producida por el plano α (1, 90º, 45º). 13. Dado un cono, cuya directriz es una circunferencia apoyada en el PH y su eje es oblicuo respecto a los dos planos de proyección, hallar la sección recta y la verdadera magnitud de la misma. 14. Dibujar las proyecciones de un cono de revolución, cuya altura es de 80 mm y su base tiene un diámetro de 50 mm. La recta r [V (4, 0, 6), P (15, 6, 6)] es el eje del cono cuyo vértice está situado en el plano vertical de proyección. 189

UNIDAD 8 CUESTIONES Y EJERCICIOS Superficies radiales 15. Determinar la intersección entre la recta r de la figura 37 con el cono oblicuo representado en la misma figura. Estudia la visibilidad del conjunto. Prisma 16. Dibujar las proyecciones de un prisma recto, de base pentagonal regular contenida en el plano α de la figura 38. Los valores de las aristas, básicas y laterales, son los segmentos indicados en la misma figura. Diferenciar la representación de las aristas según su visibilidad. Fig. 38 Fig. 37 17. Tenemos dos planos paralelos cuyas trazas verticales forman 30º con LT y las horizontales 60º, con 6 unidades de separación entre las mismas. Dibujar un prisma recto de base triangular regular con sus bases situadas en los dos planos anteriores, sabiendo que uno de los vértices de la base inferior tiene una unidad de cota y sus otros dos vértices están situados, respectivamente, en el plano vertical de proyección y en el horizontal, equidistando de la intersección del plano de la base con LT. 18. Dibujar las proyecciones diédricas y el desarrollo total de un tronco de prisma recto, cuyos vértices de la base son los puntos A (2, 3, 0), B (6, 1, 0) y C (3, 5, 0) y de altura 6 unidades, al ser seccionado por el plano α (1, 90º, 45º). Cilindro 19. Dibujar las proyecciones y el desarrollo de un tronco de cilindro recto de radio 2,5 y altura 6 unidades, cuya base inferior tiene el centro en el punto O (4, 3, 0), al ser cortado por el plano α (1, 90º, 45º). 20. Dibujar el desarrollo lateral de la porción de cilindro comprendida entre dos planos de canto, α (1, 90º, 45º) y β (9, 90º, 165º) que lo seccionan. El punto O (5, 3, 0) es el centro de la base inferior del cilindro, 2 unidades su radio y 6,5 el valor de su altura. 21. Determinar los puntos de intersección entre la recta r de la figura 39 y el cilindro oblicuo representado en la misma figura. Estudia la visibilidad del conjunto. Fig. 39 Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD. Más actividades en el CD Fotografío lo que no deseo pintar, las cosas que tienen ya una existencia. MAN RAY 190