The Graphical Method for Solving LP s

The Graphical Method for Solving LP s M. En C. Eduardo Bustos Farías 1

AVISO Traer para la siguiente clase laptop para desarrollar ejercicios con winqsb, tora, qsb, y otros. M. En C. Eduardo Bustos Farías 2

The Graphical Method for Solving LP s If LP models have only two variables, they can be solved graphically: Plot all constraints by first plotting the equality relationship between resource usage and availability (the boundary), then determine the direction of the inequality if necessary Plot the objective function and move it parallel to itself, in the direction of optimization, until it last touches the feasible solution space. M. En C. Eduardo Bustos Farías 3

An Example LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produces two types of hot tubs: Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Aqua-Spa Hydro-Lux Pumps 1 1 Labor 9 hours 6 hours Tubing 12 feet 16 feet Unit Profit $350 $300 There are 200 pumps, 1566 hours of labor, and 2880 feet of tubing available. M. En C. Eduardo Bustos Farías 4

LP Model for Blue Ridge Hot Tubs MAX: 350X 1 + 300X 2 S.T.: 1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= 1566 12X 1 + 16X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 5

Solving LP Problems: An Intuitive Approach Idea: Each Aqua-Spa (X 1 ) generates the highest unit profit ($350), so let s make as many of them as possible! How many would that be? Let X 2 = 0 1st constraint: 1X 1 <= 200 2nd constraint: 9X 1 <=1566 or X 1 <=174 3rd constraint: 12X 1 <= 2880 or X 1 <= 240 If X 2 =0, the maximum value of X 1 is 174 and the total profit is $350*174 + $300*0 = $60,900 This solution is feasible, but is it optimal? No! M. En C. Eduardo Bustos Farías 6

Solving LP Problems: A Graphical Approach The constraints of an LP problem defines its feasible region. The best point in the feasible region is the optimal solution to the problem. For LP problems with 2 variables, it is easy to plot the feasible region and find the optimal solution. M. En C. Eduardo Bustos Farías 7

X 2 Plotting the First Constraint 250 200 150 (0, 200) boundary line of pump constraint X 1 + X 2 = 200 100 50 0 (200, 0) 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 8

X 2 250 200 Plotting the Second Constraint (0, 261) boundary line of labor constraint 9X 1 + 6X 2 = 1566 150 100 50 0 (174, 0) 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 9

X 2 250 Plotting the Third Constraint (0, 180) 200 150 100 boundary line of tubing constraint 12X 1 + 16X 2 = 2880 50 Feasible Region 0 0 50 100 150 200 250 (240, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 10

X 2 Plotting A Level Curve of the Objective Function 250 200 150 (0, 116.67) objective function 350X 1 + 300X 2 = 35000 100 50 (100, 0) 0 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 11

X 2 A Second Level Curve of the Objective Function 250 200 150 (0, 175) objective function 350X 1 + 300X 2 = 35000 objective function 350X 1 + 300X 2 = 52500 100 50 (150, 0) 0 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 12

X 2 Using A Level Curve to Locate the Optimal Solution 250 200 objective function 350X 1 + 300X 2 = 35000 150 100 50 optimal solution objective function 350X 1 + 300X 2 = 52500 0 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 13

Calculating the Optimal Solution The optimal solution occurs where the pumps and labor constraints intersect. This occurs where: X 1 + X 2 = 200 (1) and 9X 1 + 6X 2 = 1566 (2) From (1) we have, X 2 = 200 -X 1 (3) Substituting (3) for X 2 in (2) we have, 9X 1 + 6 (200 -X 1 ) = 1566 which reduces to X 1 = 122 So the optimal solution is, X 1 =122, X 2 =200-X 1 =78 Total Profit = $350*122 + $300*78 = $66,100 M. En C. Eduardo Bustos Farías 14

Enumerating The Corner Points X 2 250 200 obj. value = $54,000 (0, 180) Note: This technique will not work if the solution is unbounded. 150 100 obj. value = $64,000 (80, 120) obj. value = $66,100 (122, 78) 50 0 0 50 100 150 200 250 obj. value = $0 (0, 0) obj. value = $60,900 (174, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 15

Summary of Graphical Solution to LP Problems 1. Plot the boundary line of each constraint 2. Identify the feasible region 3. Locate the optimal solution by either: a. Plotting level curves b. Enumerating the extreme points (corner points) M. En C. Eduardo Bustos Farías 16

Graphing 2-Dimensional LPs Example 1: y Optimal Solution 4 Maximize x + y Subject to: x + 2 y 2 x 3 3 2 Feasible Region y 4 x 0 y 0 1 0 0 1 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 17 3 x

Graphing 2-Dimensional LPs Example 2: 4 y Multiple Optimal Solutions! Minimize ** x - y Subject to: 1/3 x + y 4 3-2 x + 2 y 4 x 3 x 0 y 0 2 1 Feasible Region 0 0 1 2 3 M. En C. Eduardo Bustos Farías 18 x

Graphing 2-Dimensional LPs Example 3: y Minimize x + 1/3 y Subject to: x + y 20-2 x + 5 y 150 40 30 20 Feasible Region x 5 x 0 y 0 Optimal Solution 10 0 0 10 20 30 M. En C. Eduardo Bustos Farías 19 40 x

Do We Notice Anything From These 3 Examples? 4 y 4 y 40 y 3 3 30 2 2 20 1 1 10 0 0 1 2 3 x 0 0 1 2 3 x 0 0 10 20 30 40 x M. En C. Eduardo Bustos Farías 20

A Fundamental Point 4 y 4 y 40 y 3 3 30 2 2 20 1 1 10 0 0 1 2 3 x 0 0 1 2 3 x 0 0 10 20 30 40 x If an optimal solution exists, there is always a corner point optimal solution! M. En C. Eduardo Bustos Farías 21

Graphing 2-Dimensional LPs Example 1: Second Corner pt. y Optimal Solution 4 Maximize x + y Subject to: x + 2 y 2 x 3 3 2 Feasible Region y 4 x 0 y 0 1 Initial Corner pt. 0 0 1 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 22 3 x

And We Can Extend this to Higher Dimensions M. En C. Eduardo Bustos Farías 23

Then How Might We Solve an LP? The constraints of an LP give rise to a geometrical shape - we call it a polyhedron. If we can determine all the corner points of the polyhedron, then we can calculate the objective value at these points and take the best one as our optimal solution. The Simplex Method intelligently moves from corner to corner until it can prove that it has found the optimal solution. M. En C. Eduardo Bustos Farías 24

Solving Linear Programming Problems Graphical Technique First graph the constraints: the solution set of the system is that region (or set of ordered pairs), which satisfies ALL the constraints. This region is called the feasible set M. En C. Eduardo Bustos Farías 25

Solving Linear Programming Problems: Graphical Technique continued Locate all the corner points of the graph: the coordinates of the corners will be determined algebraically It is important to note that the optima is obtained at the boundary of the solution set and furthermore at the corner points. For linear programs, it can be shown that the optima will always be obtained at corner points. M. En C. Eduardo Bustos Farías 26

Solving Linear Programming Problems: Graphical Technique continued Determine the optimal value: test all the corner points to see which yields the optimum value for the objective function Objective function Feasible set Optimum M. En C. Eduardo Bustos Farías 27

Example Suppose a company produces two types of widgets, manual and electric. Each requires in its manufacture the use of three machines; A, B, and C. A manual widget requires the use of the machine A for 2 hours, machine B for 1 hour, and machine C for 1 hour. An electric widget requires 1 hour on A, 2 hours on B, and 1 hour on C. Furthermore, suppose the maximum numbers of hours available per month for the use of machines A, B, and C are 180, 160, and 100, respectively. The profit on a manual widget is $4 and on electric widget it is $6. See the table below for a summary of data. If the company can sell all the widgets it can produce, how many of each type should it make in order to maximize the monthly profit? M. En C. Eduardo Bustos Farías 28

Example Suppose a company produces two types of widgets, manual and electric. Each requires in its manufacture the use of three machines; A, B, and C. A manual widget requires the use of the machine A for 2 hours, machine B for 1 hour, and machine C for 1 hour. An electric widget requires 1 hour on A, 2 hours on B, and 1 hour on C. Furthermore, suppose the maximum numbers of hours available per month for the use of machines A, B, and C are 180, 160, and 100, respectively. The profit on a manual widget is $4 and on electric widget it is $6. See the table below for a summary of data. If the company can sell all the widgets it can produce, how many of each type should it make in order to maximize the monthly profit? Manual Electric Hours available A 2 1 180 B 1 2 160 C 1 1 100 profit $4 $6 M. En C. Eduardo Bustos Farías 29

Solution M. En C. Eduardo Bustos Farías 30

Step I Identify decision variables: x = number of manual widgets y = number of electric widgets Step II Identify constraints: 2x + y 180 x + 2y 160 x + y 100 x 0 y 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 31

Step III Define objective function: Solving P for y gives max P = 4x + 6y y = -2/3 + P/3. This defines a so-called family of parallel lines, isoprofit lines. Each line gives all possible combinations of x and y that yield the same profit. M. En C. Eduardo Bustos Farías 32

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Special Conditions in LP Models A number of special conditions may occur in LP problems: Alternate Optimal Solutions Redundant Constraints Unbounded Solutions Infeasibility M. En C. Eduardo Bustos Farías 35

Example of Alternate Optimal Solutions X 2 250 200 What if the price of Aqua-Spas generates a profit of $450 instead of $350? objective function level curve 450X 1 + 300X 2 = 78300 150 100 50 alternate optimal solutions 0 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 36

Example of a Redundant Constraint X 2 250 200 What if 225 pumps are avaivale instead of 200? 1X1 + 1X2 <= 225 Pumps boundary line of tubing constraint boundary line of pump constraint 150 100 boundary line of labor constraint 50 Feasible Region 0 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 37

Example of an Unbounded Solution Consider the following problem: MAX: Z= X1 + X2 S.T.:1X1 + 1X2 >= 400-1X1 + 2X2 <= 400 X1 >= 0 X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 38

Example of an Unbounded Solution X 2 1000 800 600 objective function X 1 + X 2 = 600 objective function X 1 + X 2 = 800 -X 1 + 2X 2 = 400 400 200 0 X 1 + X 2 = 400 0 200 400 600 800 1000 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 39

Example of Infeasibility Consider the following problem: MAX: Z= X1 + X2 S.T.:1X1 + 1X2 <= 150 1X1 + 1X2 >= 200 X1 >= 0 X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 40

Example of Infeasibility X 2 250 200 150 X 1 + X 2 = 200 feasible region for second constraint 100 50 0 feasible region for first constraint X 1 + X 2 = 150 0 50 100 150 200 250 X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 41

Ejemplo. El problema de la industria de juguetes Galaxia. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 42

El problema de la industria de juguetes Galaxia. Galaxia produce dos tipos de juguetes: * Space Ray * Zapper Los recursos están limitados a: * 1200 libras de plástico especial. * 40 horas de producción semanalmente. M. En C. Eduardo Bustos Farías 43

Requerimientos de Marketing. * La producción total no puede exceder de 800 docenas. * El número de docenas de Space Rays no puede exceder al número de docenas de Zappers por más de 450. Requerimientos Tecnológicos. * Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de producción por docena. * Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción por docena. M. En C. Eduardo Bustos Farías 44

Plan común de producción para: * Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad por docena). * Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por docena). El plan común de producción consiste en: Space Rays = 550 docenas Zappers = 100 docenas Utilidad = $4900 por semana M. En C. Eduardo Bustos Farías 45

El gerente siempre buscará un esquema de producción que incrementre las ganancias de su compañía M. En C. Eduardo Bustos Farías 46

EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA M. En C. Eduardo Bustos Farías 47

Variables de decisión Solución * X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana). * X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana). Función objetivo * Maximizar la ganancia semanal. M. En C. Eduardo Bustos Farías 48

Modelo de Programación Lineal Max Z = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) Sujeto a: 2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico) 3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) X j >= 0, j= 1, 2. (Resultados positivos) M. En C. Eduardo Bustos Farías 49

Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal. El conjunto de puntos que satisface todas las restricciones del modelo es llamado: REGION FACTIBLE M. En C. Eduardo Bustos Farías 50

USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD. M. En C. Eduardo Bustos Farías 51

X2 1200 600 Restricción del plástico: The 2X1+X2<=1200 Plastic constraint Restricción del total de producción: X1+X2<=800 No Factible Horas de Producción 3X1+4X2<=2400 Factible Punto Inferior 600 800 Tipos de puntos Punto de Medio factibilidad Restricción del exceso de producción: X1-X2<=450 M. En C. Eduardo Bustos Farías 52 Punto Extremo X1

Resolución gráfica para encontrar la solución óptima. M. En C. Eduardo Bustos Farías 53

comenzar con una ganancia dada de = $2,000... X2 1200 800 600 Entonces aumente la ganancia......y continúe hasta que salga de la región factible Ganancia Utilid. = $ 3, 4, 2, 000 =$5040 Recalcular la región factible X1 400 600 800 M. En C. Eduardo Bustos Farías 54

1200 X2 Se toma un valor cercano al punto óptimo 800 600 Región no factible Feasible Región region Factible X1 400 600 800 M. En C. Eduardo Bustos Farías 55

Resumen de la solución óptima Space Rays = 480 docenas Zappers = 240 docenas Ganancia = $5040 * Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y todas las horas de producción. * La producción total son 720 docenas (no 800). * La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo 240 docenas y no por 450. M. En C. Eduardo Bustos Farías 56

Soluciones óptimas y puntos extremos. * Si un problema de programación lineal tiene una solución óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo. Múltiples soluciones óptimas. * Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la función objetivo es una recta paralela a uno de los lados de la región factible. * Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es también una solución óptima. M. En C. Eduardo Bustos Farías 57

Ejemplo. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 58

Resolver por el método gráfico M. En C. Eduardo Bustos Farías 59

Igualamos las restricciones y calculamos las rectas correspondientes M. En C. Eduardo Bustos Farías 60

Graficamos el área de factibilidad M. En C. Eduardo Bustos Farías 61

Evaluamos los vértices del polígono de factibilidad para hallar el mayor valor de Z M. En C. Eduardo Bustos Farías 62

Ejemplo. Fabricación de televisores Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 63

Se producen 2 modelos: Astro y Cosmo Cuál debe ser el plan de producción diaria por aparato? M. En C. Eduardo Bustos Farías 64

Solución Variables de decisión xi = Número de televisores del modelo i que se fabrican por día, donde i=1,2 Función objetivo Max_Z 20x + 10x 1 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 65

x 70 1 Restricciones x 50 2 x + x 120 1 2 x + x 90 1 2 x, x 0 1 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 66

Modelo de PL Max Z=20X1+10X2 Sujeto a: X1+2X2<=120 X1+X2<=90 X1<=70 X2<=50 X1, X2>=0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 67

Ejemplo. Senora General Hospital Minimización M. En C. Eduardo Bustos Farías 69

En el problema de Señora General Hospital se obtuvo el siguiente modelo de programación lineal M. En C. Eduardo Bustos Farías 70

Igualamos las restricciones y graficamos las rectas correspondientes M. En C. Eduardo Bustos Farías 71

Identificamos el área de factibilidad M. En C. Eduardo Bustos Farías 72

Evaluamos los vértices del polígono de factibilidad A y D se obtienen directamente de la gráfica. M. En C. Eduardo Bustos Farías 73

Calculamos los valores de B y C M. En C. Eduardo Bustos Farías 74

Se toma el valor más pequeño en este caso es el de C con z = 3.12 M. En C. Eduardo Bustos Farías 75

Ejemplo. Dieta Marina Minimización M. En C. Eduardo Bustos Farías 76

Dieta Marina Un problema de minimización del costo de la dieta: Mezcle dos porciones de lo productos: Texfoods, Calration. Minimice el costo total de la mezcla. Mantenga los requerimientos mínimos de Vitamina A, Vitamina D, y hierro. M. En C. Eduardo Bustos Farías 77

Variables de decisión: X1 cantidad de Texfoods que se usara en cada porción (cada 2 onzas). (X2) cantidad de Calration que se usara en cada porción (cada 2 onzas). M. En C. Eduardo Bustos Farías 78

El modelo de PL % Vitamina A por 2 oz. Minimizar Z = 0.60X1 + 0.50X2 Costo por 2 oz. sujeto a 20X1 + 50X2 100 25X1 + 25X2 100 Vitamina D 50X1 + 10X2 >= 100 hierro X1, X2 0 % requerido M. En C. Eduardo Bustos Farías 79

La solución gráfica 5 4 Restricción de hierro Región n factible Restricción de vitamina D 2 Restricción de vitamina A 2 4 5 M. En C. Eduardo Bustos Farías 80

Resumen de la solución óptima X1 = Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas) X2 = Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas) Z =$ 2.15 por porción. El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no se encuentren en superávit. La mezcla provee 155% del requerimiento para Vitamina A. M. En C. Eduardo Bustos Farías 82

Ejemplo. Tecnología Agrícola, S.A. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 83

Tecnología Agrícola, S.A. Tecnología Agrícola, S.A. es una compañía fabricante de fertilizantes. El gerente desea planear la combinación de sus dos mezclas a fin de obtener las mayores utilidades. Las mezclas son Fertilizante Nitrato Fosfato Potasio Barro tipo 5-5-10 5 5 10 80 5-10-5 5 10 5 80 El mayorista comprará cualquier cantidad de ambas mezclas de fertilizante que la compañía pueda fabricar. Está dispuesto a pagar a $71.50 la tonelada de 5-5-10 y a $69 la tonelada de 5-10-5. M. En C. Eduardo Bustos Farías 84

En este mes la disponibilidad y costos de materias primas son: Cantidad (Toneladas) Costo por tonelada ($) Nitrato Fosfato Potasio Barro 1100 1800 2000 ilimitado 200 80 160 10 Hay un costo de $15 por tonelada por mezclado de los fertilizantes. M. En C. Eduardo Bustos Farías 85

En resumen el problema se plantea como: Maximizar 18.5 X1 + 20 X2 Sujeto a 0.05 X1 + 0.05 X2 <= 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 <= 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 <= 2000 X1, X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 86

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Después de plantear en términos matemáticos el problema, ahora: 1.Grafiquemos las restricciones. 2.Grafiquemos la función objetivo. 3.Determinemos los valores de las variables en el punto que arroja las máximas utilidades. M. En C. Eduardo Bustos Farías 87

Graficamos las desigualdades convirtiéndolas en igualdades 0.05 X1 +0.05 X2=1100 P1(22000, 0) y P2(0, 22000) 0.05 X1 +0.10 X2=1800 P3(36000, 0) y P4(0, 18000) 0.10 X1 +0.05 X2=2000 P5(20000, 0) y P6(0, 40000) X1=0 X2 =0 Con ello formamos el polígono o región de factibilidad, al intersectar el área que delimita cada desigualdad. M. En C. Eduardo Bustos Farías 88

Polígono de factibilidad El área de factibilidad es la región donde se hacen verdaderas las restricciones. M. En C. Eduardo Bustos Farías 89

Marcamos los puntos Investigación E de M. En C. Eduardo Bustos Farías 90

Evaluamos en la función objetivo cada uno de los puntos de la región factible para buscar el óptimo. A, D y E se obtienen de manera directa de la gráfica. M. En C. Eduardo Bustos Farías 91

Para evaluar B y C calculamos la intersección de las rectas. M. En C. Eduardo Bustos Farías 92

De la tabla se deduce que B es quien tiene el mayor valor para Z El valor que maximiza la utilidad es B = 428000. B, este es el óptimo Región factible C A E D M. En C. Eduardo Bustos Farías 93 Z

Significado del resultado En el contexto del problema: Maximizar Z= 18.5 X1 + 20 X2 Sujeto a 0.05 X1 + 0.05 X2 <= 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 <= 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 <= 2000 X1, X2 >= 0 Para X1= 8000 y X2= 14000 se optimiza la producción de los fertilizantes. M. En C. Eduardo Bustos Farías 94

LA IMAGEN M. En C. Eduardo Bustos Farías 119

Problems M. En C. Eduardo Bustos Farías 120

PROBLEM 1 The Apex Television Company has to decide on the number of 27- and 20-inch sets to be produced at one of its factories. Market research indicates that at most 40 of the 27-inch sets and 10 of the 20-inch sets can be sold per month. The maximum number of work-hours available is 500 per month. A 27-inch set requires 20 work-hours and a 20-inch set requires 10 work-hours. Each 27-inch set sold produces a profit of $120 and each 20-inch set produces a profit of $80. A wholesaler has agreed to purchase all the television sets produced if the numbers do not exceed the maxima indicated by the market research. (a) Formulate a linear programming model for this problem. (b) Use the graphical method to solve this model. M. En C. Eduardo Bustos Farías 121

PROBLEM 2. Dwight is an elementary school teacher who also raises pigs for supplemental income. He is trying to decide what to feed his pigs. He is considering using a combination of pig feeds available from local suppliers. He would like to feed the pigs at minimum cost while also making sure each pig receives an adequate supply of calories and vitamins. The cost, calorie content, and vitamin content of each feed are given in the table below. M. En C. Eduardo Bustos Farías 122

Each pig requires at least 8,000 calories per day and at least 700 units of vitamins. A further constraint is that no more than one-third of the diet (by weight) can consist of Feed Type A, since it contains an ingredient which is toxic if consumed in too large a quantity. (a) Formulate a linear programming model for this problem. (b) Use the graphical method to solve this model. (c) What is the resulting daily cost per pig M. En C. Eduardo Bustos Farías 123