INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS NOTA DOCENTE: HUGO BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL PERIODO: GRADO FECHA N DURACION 2 7 ABRIL 10 /2015 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Identifica y grafica los números racionales en la recta numérica y en el plano cartesiano. 2. Transforma números racionales a números decimales y realiza las operaciones básicas entre ellos. 3. Resuelve problemas que involucran operaciones básicas, con los números racionales y decimales.. Realiza las tareas, trabajos y actividades propuestas en el aula de clase y en la casa. 5. Muestra buena disposición para el trabajo en clase NUMEROS RACIONALES Q Son todos aquellos números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto de cero. simplificados. Es de notar, todo número racional es fracción, pero toda fracción no es Numero Racional. 3 5,, 2 1, 7 1 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMERICA: Estos números están situados en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, 1, 2, 3, o -1, -2, -3; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números. FRACCIÓN PROPIA: Una fracción propia tiene su numerador (número de arriba) menor que su denominador (número de abajo), como 3/8 o /5. FRACCION IMPROPIA: una fracción impropia tiene su numerador (número de arriba) mayor o igual que su denominador (número de abajo), como 7/ o /3 Para ubicar una fracción en la recta numérica, dividimos cada unidad en tantas partes como indica el denominador y toma el total de partes que indica el numerador. Por ejemplo, en la siguiente gráfica, la fracción 3/5 se ubica en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul. Si prestas atención verás que el número 3/5 es más pequeño que el número 1. Ejemplo 2: Ubicar en la recta numérica, el numero racional 7/2, en este caso si dividimos la primera unidad en 2, es obvio que no podemos tomar 7, lo que implica dividir algunas unidades de más. 1
Ejemplo 3: ubicar los números -7/3 y -2/3 REPRESENTACION DE UN RACIONAL COMO PARTE DE UN TODO /, se ha divido la gráfica en partes iguales y se han pintado. /10, se ha divido el entero en 10 partes iguales y se han pintado. /, se ha divido el entero en partes iguales y se han pintado. FRACCION REDUCIBLE E IRREDUCIBLE. Una fracción es reducible cuando es posible simplificarla, o sea convertirla en una fracción equivalente más simple, es decir el Numerador y el denominador tienen divisores comunes diferentes del uno. En cambio si la fracción no se puede simplificar diremos que es una fracción irreducible. Es decir el numerador y el denominador son primos entre si, o sea que su máximo divisor común es 1. FRACCIONES EQUIVALENTES Son aquellas que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. SI QUEREMOS HALLAR UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE A OTRA, PODEMOS: Multiplicar denominador y numerador por el mismo número. Hallamos una fracción equivalente con números más grandes. Este proceso se llama Amplificación. Dividir denominador y numerador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número). Así, estamos hallando una fracción equivalente con números más pequeños. Este proceso se llama Simplificación. LLEVAR FRACCIONES A EQUIVALENTES CON EL MISMO DENOMINADOR: Para llevar o convertir dos fracciones a equivalente con el mismo denominador, consideramos dos casos: 1. Si una de las fracciones tiene como denominador un divisor del otro denominador, ambas se llevaran al mayor denominador, entonces basta con multiplicar arriba y abajo la fracción del divisor, por un valor que genere el denominador buscado. llevar los siguientes pares de fracciones a equivalentes con el mismo denominador 2
a. 5 y 3, en este caso como el es divisor de, llevamos ambas fracciones a denominador. Para ello amplificamos que b. 5. 1 y 3 3 multiplicándola por 3 arriba y abajo obteniendo 9 que tiene el mismo denominador, en este caso como el 3 es divisor de 27, llevamos ambas fracciones a denominador 27. 27 Para ello amplificamos que. 27 1 multiplicándola por 9 arriba y abajo obteniendo 3 9 que tiene el mismo denominador 27 2. Si ninguna de las fracciones tiene como denominador un divisor del otro denominador, ambas se llevaran al denominador, mínimo común múltiplo (m.c.m), entonces para encontrar la fracción equivalente, basta con dividir el m.cm por cada denominador y multiplicar el resultado por el denominador. llevar los siguientes pares de fracciones a equivalentes con el mismo denominador a. 7 y 5, como un denominador no es divisor del otro, aplicamos lo indicado obteniendo 28 y 3 b. 9 y 11, obteniendo 27 y 55. 10 30 30 PARA CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN DECIMAL 15. Simplemente hacemos la división indicada por la fracción. a. Pasar b. Pasar 3 a número decimal 17 a número decimal 5 c. Pasar 13 a número decimal. En este último ejemplo, es de notar que si tenemos el número 10 10, o cualquiera de las potencias del mismo (100, 1000, 10000, ) en el denominador, basta con recordar la forma abreviada de multiplicar o dividir por dichas potencias: Para dividir: Movemos o corremos el punto decimal hacia la izquierda tantas veces como indique la potencia ( o como ceros halla en el denominador). Para multiplicar: Movemos o corremos el punto decimal hacia la derecha. PASAR DE MIXTO A FRACCIÓN Y DE FRACCION A MIXTO Un número mixto está formado por un número natural y una fracción. Todas las fracciones mayores que la unidad (impropias) se pueden expresar en forma de número mixto. Pasar de fracción a número mixto. a. 8/5. Se hace la división. Por tanto: 1 (el cociente) es el número natural y 3 (residuo) es el numerador de la fracción y el denominador no cambia, es decir es 5. 8 3 1 5 5 3
b. 9/2. Se hace la división. Por tanto: (el cociente) es el número natural y 1 (residuo) es el numerador de la fracción y el denominador no cambia, es decir es 2. 9 1 2 2 Pasar de número mixto a fracción. El número natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador. OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES. ADICION Y SUSTRACCION: Para adicionar o sustraer racionales que se encuentren expresados en forma de fracción, podemos proceder de varias maneras, una de ellas es: 1. En el caso de ser homogéneos, (tener el mismo denominador), basta poner el mismo denominador y sumar o restar los numeradores según sea el caso. a. 3 7 10 5 simplificando b. 11 9 2 c. 1 9 8 1 2 3 3 3 8 8 8 2. En el caso de que las fracciones no sean homogéneas, transformamos las fracciones dadas en otras equivalentes con el mismo denominador y procedemos como en el caso anterior. a. d. 9 8 3 7 2 3 1 17 5 +( )= 27+( 20) 2 = 7 2 e. -2 1 + -5 1 = 7 + 11 3 2 3 2 = 1 + 33 = 19 b. 8 9 5 7 5 5 101 35 35 35 primero pasamos cada número mixto a fracción c. 5 7 9 3 2 20 2 27 89 En el caso anterior también podemos realizar estas operaciones de suma y resta o combinadas, hallando el mcm de los denominadores y precediendo así: 1. Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone como un único denominador. El m.c.m. (2,3,) = 2. Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número () por el denominador de cada fracción y se multiplica por el numerador correspondiente. Ya hemos calculado las fracciones equivalentes con igual denominador. 3. Finalmente se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador. MULTIPLICACIÓN: El producto de dos racionales expresados en forma de fracción, es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. (si es posible el resultado se simplifica). a. ( 3 )( 1 8 ) = 3 32 b. ( 3 )( 7 ) = 21 = 7 2 8
DIVISION: Para dividir dos racionales expresados en forma de fracción multiplicamos en cruz, es decir: el numerador de una fracción por el denominador de la otra, de la siguiente manera: Otra forma de realizar dicha operación es, invertir la fracción divisor y proceder como en una multiplicación (multiplica derecho) NUMEROS DECIMALES Número decimal representa un número que no es entero, es decir, los números decimales se utilizan para representar a los números que se encuentran entre un número entero y otro. Todo número decimal está compuesto por una parte entera y una parte decimal, separadas por una coma, Los números decimales son posicionales, es decir que el valor de cada número depende de la posición que cada uno ocupe. Veamos, con el siguiente ejemplo, como se leen los números decimales: Tipos o clases de decimales: Decimal exacto: La parte decimal de un número decimal exacto está compuesta por una cantidad finita de términos. Periódico puro: La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente. Periódico mixto: Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período. No exactos y no periódicos Ordenar números decimales: Dados dos números decimales es menor: El que tenga menor la parte entera. Si tienen la misma parte entera, el que tenga la menor parte decimal PASAR UN DECIMAL A FRACCION Para expresar un número decimal exacto a fracción decimal, se pone como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número. 5
Transformación de un decimal infinito periódico en fracción: Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Se anota el número decimal con su periodo y se le resta la parte entera. 2. Ahora se coloca como denominador de dicha resta, un 9 por cada número que está en el período (si hay un número ponemos un 9, si hay dos números un 99 y así sucesivamente). Otro ejemplo: Expresar como fracción 57,18181818... Suma y resta de decimales: Si los racionales están expresados en forma decimal, igualamos con ceros la cantidad de cifras después de la coma y los adicionamos a los sustraemos como si fuesen enteros, teniendo en cuenta que en el resultado la coma decimal quede en el mismo lugar. a. 2,3 + 7,28 = 9,58 b. -9 + 5,3 = -3, c. 3,2 = 2,538 Multiplicación de decimales: Al multiplicar dos números decimales debemos seguir el mismo procedimiento que utilizamos al multiplicar dos números Enteros. (aplica la ley de los signos para el signo del resultado) Luego contaremos cuantos dígitos hay después de la coma en ambos factores. Ojo que no deben contabilizarse ceros que estén después del último dígito de la parte decimal. Luego debemos poner la coma esa cantidad de espacios partiendo desde el último dígito del producto, es decir, de derecha a izquierda. Como tenemos 3 dígitos después de la coma entre los dos factores, debemos poner la coma en el producto como se muestra a continuación: División de decimales: Para dividir racionales expresados en forma decimal (finita): Para dividir números decimales tenemos que preocuparnos de tener la misma cantidad de decimales tanto en el dividendo como en el divisor. Por ejemplo, si tenemos que dividir,2: 0,08, y debido a que ambos números tienen la misma cantidad de decimales, lo que hacemos es realizar la división entre 2 y 8, es decir, 2:8 = 153. Cuando tenemos números que no tienen la misma cantidad de decimales, tenemos que amplificarlos hasta que ambas coincidan. En el caso de que queramos dividir 10,8 y 0, lo que hacemos es agregar tantos ceros como decimales tenga el número con mayor cantidad de decimales. En este ejemplo, haríamos 10,80 y 0,, para luego dividir 1080: = 90, y así con todos los decimales. Cuando uno de los números es un numero entero, procedemos de manera muy similar a lo que hacemos en los casos anteriores, debemos amplificar al número entero tantas veces como decimales tenga el decimal con el cual estamos operando. Así por ejemplo, si queremos dividir 7,1 en 2, lo que hacemos es dividir 7,1:2,00 y luego operar con dichos números como si fueran enteros 71:200 = 3,57 El silencio es el elemento en el que se forman todas las cosas grandes Thomas Carlyle