COLEGIO NEWLANDS, 3º ES Prof. Claudia Mazzini UNIDAD 1: Números Reales. Revisión de conjuntos numéricos. El número irracional: caracterización. Aproximación y encuadre de números irracionales. Conjunto de los números reales. Operaciones y propiedades en. Ecuaciones en. Lo que ya sabemos, Revisión de conjuntos numéricos: Qué dicen los libros? 1. Qué conjuntos numéricos conocemos? Vimos que al hacer el cociente de dos números enteros podemos obtener un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico. Estos números, si bien tienen infinitas cifras decimales, al repetirse periódicamente hacen que podamos conocer con exactitud cuál es el dígito que aparece en la posición 100 después de la coma, o en cualquier otra posición. Por ejemplo al hacer 1:6 obtenemos 0,16 0,166666666..., es decir que el decimal de orden 100 será 6. También sabemos que podemos expresarlo como fracción y a todos ellos los llamamos números racionales Para dar respuesta a algunas restas aparecieron los negativos, dando lugar al conjunto de números enteros, para dar respuesta a algunas divisiones creamos los racionales. Qué pasará con las raíces cuadradas que no tienen resultado en ninguno de estos conjuntos? Volvamos a los libros. Alumno: 1
Y en otro libro Alumno: 2
Alumno: 3
Como vimos son irracionales las raíces cuadradas que no tienen resultado entero, como así también las raíces cúbicas o de otros índices, sin solución exacta. También podemos inventar números irracionales, siguiendo alguna ley de formación que me asegura que tengan infinitas cifras decimales no periódicas, por ejemplo: 0,123456789101112. O bien: 3,10110111011110111110. Pero sin dudas el primer número irracional que conociste fue, si bien no sabías que tuviera infinita cantidad de cifras decimales, utilizando su expresión aproximada de 3,14 ó 3,1416. Este número indica la cantidad de veces que el diámetro de una circunferencia entra en su longitud. No importa de qué tamaño sea la circunferencia, siempre su diámetro entra misma. veces en la longitud de la Otro irracional famoso es el número (fi) que representa la relación entre los lados de un rectángulo de oro, que es la misma que entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Un tercer irracional famoso es el número e. Alumno: 4
Veamos qué dicen los libros de e: Alumno: 5
La recta real: El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se denomina conjunto de los números reales y se designa con la letra. Los números irracionales completan todos aquellos puntos de la recta que no podían asignarse a un número racional, por eso decimos que el conjunto es completo. Dado un 0 y una unidad sobre una recta, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta, por eso la denominamos la recta real. Para representar los números irracionales provenientes de raíces cuadradas nos podemos valer del Teorema de Pitágoras, como habrás visto al pie de la página 3. Actividades: 5. Decidí en cada caso si se trata de un número racional o irracional: a) 0, 3 b) 25 c) 5 d) 1/7 e) 10 f) 6. 6 g) 2 3 h) 2. 8 i) 5 7 j) 6 6 6. Colocá en cada caso los números enteros consecutivos entre los que se encuentran los siguientes irracionales: a)... 35... b)... 7... c)... 130... d)... 19... e)... 76... f)... 76... 7. Dá las expresiones decimales aproximadas por redondeo, con error menor al centésimo, de todos los números del ejercicio anterior. 8. Mencioná cuatro números irracionales mayores que 1 y menores que 3. 2 9. Ordená de menor a mayor: 3; 5; 1; 0; ; 0, 7 3 10. Decidí si es Verdadero o Falso. Justificá con tus palabras. a) La suma de dos números irracionales es irracional. b) El producto de dos números irracionales es siempre irracional. c) La suma de un número entero y un irracional es irracional siempre. d) La resta de dos números irracionales puede ser un número entero. 11. Decidí si la siguiente afirmación es correcta: 5. 2. 10 1 1 2 3 2 1 2 9 12. Decidí si es Verdadero o Falso. Justificá: a) 5 2. 5 2 1 b) 3 2 3 2. 3 4 c) 2 3 5 10 d) 2. 3. 5 30 e) 5 7 5 7 2. 5 f) 11. 11 11 13. Joaquín está estudiando números irracionales. Dibujó un cuadrado de lado 1 y comprobó que la diagonal mide 2, que es un irracional. Se pregunta ahora: Serán irracionales las diagonales de los cuadrados de lado 2, 3, 4, 5 y 6? Existirá alguna relación especial entre la medida de la diagonal de un cuadrado y la medida de su lado? Calculá las medidas de las diagonales de los cuadrados propuestos e intentá contestarle. 14. Encontrá los valores reales de x para que se verifiquen las siguientes igualdades: a) (2x + 3).(x 5) = 0 b) (x 3 1).(x 2 2) = 0 x : 2 3 5x 4 c) 3 d) 18 3 2 e) (5 - x).(x 2 + 1) = 0 f) (3x 1).(x+2) 2.(x 2 17) = 0 Alumno: 6 1 5
15. Decidí si las soluciones halladas para las ecuaciones del punto 14 son racionales o irracionales. Si son irracionales da su expresión decimal aproximada por redondeo, con 3 decimales. Ejercitación adicional para la evaluación de Números Reales: 1. a) Resolvé las siguientes ecuaciones. b) Decidí si cada una de las soluciones halladas son racionales o irracionales. c) sólo en el caso de soluciones irracionales, da su expresión decimal aproximada por redondeo con 2 decimales. i) (3x + 4).(x 2) 2 = 0 ii) (2 x).(x 2 4) = 0 iii) x 3. (3x 5).(2x 2 2) = 0 iv) (x 2 17). 5x. ((x + 1) = 0 v) (x 2 5).(x + 8) 2 = 0 vi) (x 2 9).((x 2 5) = 0 2. Calculá, usando las expresiones exactas, y decidí si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas: a). b) c) d) e) f) g) h) i) 3. Representá en la recta numérica y decidí a qué conjunto pertenece cada uno de los siguientes números: 4. Decidí entre qué números enteros consecutivos se encuentran los siguientes números: a). < <. b). < <. c). < <. d). < <. 5. Para representar números irracionales obtenidos por raíces cuadradas, sobre la recta numérica se utiliza el Teorema de Pitágoras. Un alumno construye un triángulo, levantando una vertical de dos unidades sobre la unidad 4, qué número irracional indicará la longitud de esa hipotenusa? Alumno: 7
UNIDAD 2: Expresiones algebraicas. Fórmulas para el conteo de colecciones. Expresiones equivalentes. Elaboración de enunciados que se correspondan con expresiones algebraicas. Áreas de figuras. Estrategias de cálculo. Operaciones y propiedades. Cuadrado y cubo de un binomio. Ecuaciones e identidades. Factoreo: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto. Simplificación de expresiones algebraicas. 1. a) Para trabajar en forma individual: Observá la figura, cuántos cuadraditos hay en el borde? b) y en un cuadrado con 37 cuadraditos por lado? c) Para trabajar en grupos: Confrontar las soluciones obtenidas por cada integrante del grupo en los puntos 1. y 2. Redactar una explicación del método utilizado en el punto 2., de manera que pueda servir para otros casos. d) Puesta en común: Cada grupo expone lo elaborado, el resto analiza la propuesta y la aprueba o refuta. e) Para trabajar en grupos: Elaborar una fórmula que refleje los métodos expuestos en la puesta en común f) Puesta en común: Exposición de las fórmulas obtenidas. Discusión serán equivalentes? por qué? 2. Se propone la siguiente sucesión de figuras, construidas con fósforos: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 La secuencia continúa agregando en cada paso un cuadradito más a) Calculá la cantidad necesaria de fósforos para construir la Fig. 6. b) Calculá la cantidad necesaria de fósforos para construir la Fig. 100. c) Hallá una fórmula para la cantidad de fósforos necesarios para la Fig. n. d) Será posible que alguna figura tenga exactamente 154 fósforos? Justificá. e) Si tengo 1550 fósforos cuál será la figura más grande que podré hacer con esos fósforos? sobrará alguno? 3. Se propone la siguiente sucesión de figuras, construidas con fósforos: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 La secuencia continúa agregando en cada paso una fila más de cuadraditos a) Calculá la cantidad necesaria de fósforos para construir la Fig. 5. b) Calculá la cantidad necesaria de fósforos para construir la Fig. 90. c) Hallá una fórmula para la cantidad de fósforos necesarios para la Fig. n. d) Será posible que alguna figura tenga exactamente 253 fósforos? Justificá. e) Si tengo 1527 fósforos cuál será la figura más grande que podré hacer con esos fósforos? sobrará alguno? Alumno: 8
4. Para separar dos sectores de un parque se coloca una línea de canteros cuadrados rodeados de baldosas de la misma forma y tamaño como se indica en el dibujo: a) Cuántas baldosas necesitaré para una línea con 12 canteros? b) Calculá la cantidad de baldosas necesarias para una línea con 63 canteros. c) Elaborá fórmulas que permitan calcular la cantidad de baldosas necesarias para una línea con n canteros, (tantas como se te ocurran) serán todas ellas equivalentes? 5. Escribí, en cada caso, una expresión algebraica sencilla para expresar el área de la figura pintada: 6. Si x es la edad de Sergio, expresá la edad que tendrá Sergio cuando transcurran el doble de los años que hoy tiene. 7. Expresá algebraicamente la suma de un número y su triple. 8. Expresá algebraicamente el conjunto de todos los múltiplos naturales de 7. 9. En una caja ha x monedas. Expresá algebraicamente cuántas quedan si se sacan las dos terceras partes y se añade el triple de las que había al principio. 10. Las páginas de un libro tienen 5 cm más de largo que de ancho. Escribí la expresión del área de cada página en los siguientes casos: a) Se aumenta en 3 cm el ancho de la página. b) Se aumenta en 3 cm el largo de la página. c) Se aumentan en 3 cm el largo y el ancho de la página. 11. Una mesa rectangular tiene dos alas rectangulares suplementarias de 25 cm de ancho cada una. Cuando se abren las alas, la mesa resulta ser cuadrada. Expresá el área de la mesa en los siguientes casos: a) Antes de desplegar las alas. b) Cuando se despliega un ala. c) Cuando se despliegan las dos alas. 12. De un cuadrado se recorta un rectángulo de 3 cm de ancho a lo largo de uno de sus lados. Realizá el dibujo correspondiente y expresá de dos formas el área de la figura resultante. 13. Escribí la expresión algebraica que representa cada una de las siguientes situaciones: a) La suma de cualquier número y su cuadrado. Alumno: 9
b) El producto de cualquier número por su siguiente. c) El 15% de un precio cualquiera. d) El triple del anterior de un número cualquiera. e) El producto de cualquier número par y su consecutivo par. f) Lo que le falta a cualquier número para llegar a 100. 14. Calculá el valor numérico de las siguientes expresiones en los casos indicados: a) ab 2 + 3ª 2b; cuando a = -1 y b = 4 b) 8x 3 2x + 1; cuando x = -2 c) (7z 0,5 m). m; cuando m = 5 y z = -3 d) (5z 8) 4 ; cuando z = 2 15. 16. Alumno: 10
17. 18. Operá todo lo posible: a) 5n + 8n = b) 4a + 3a + 9a 2 2a 2 = c) -12a 3 + 5a. a 2 + 7a 2 = d) 4n 2 c. 3nc 2 + n 3 c 3 = e) 2. (4x 3) 2 = f) -3. (2x + 1) 2 = g) (-4x + 7).(-x -2) = h) -5x. (4 + 2x) = i) (3 5x 2 ) 2 + (3 + 5x 2 ) 2 = j) (7x 2). (7x + 2) = k) -2. (4 5x).(4 + 5x) = l) (-3x + 2) 2 (-3x 2) 2 = m) (-x 2 + 4) 2. (-2) = 19. Indicá si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones: a) x. (2 + x) = 2x + x 2 b) x 2 + 2x = 3 c) 3x + 2 = 2x + 4 d) 9x 2 4 = (3x 2). (3x + 2) 20. Operá todo lo posible y decidí si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones. Si son ecuaciones, resolvelas: a) -2. (3x + 5) + 9 = -7x b) (4-2x). (4 + 2x) = 16 4x 2 c) 5. (x 2 1) + 2x = (x + 1) 2 + 3 d) (x + 3) 2 = (x 3) 2 e) (3x 1).(3x + 1) = (3x 1) 2 f) (5 x) 2 = x. (x 10) + 25 Alumno: 11
21. 23 22. 24. Extraé factor común: a) 17a 3 b 34a 2 b 2 + 51a 3 b 4 = b) 64x 4 y 2 + 72x 3 y 3 80x 5 y 2 8x 2 y 2 = c) 110x 2 y 4 90x 3 y 2 + 10x 2 y 2 130x 4 y 3 = d) 54a 3 b 4 18a 2 b 5 + 30a 4 b 3 = e) 27m 4 c 3 45m 3 c 2 + 9m 2 c 2 = f) 36x 4 y 5 + 12x 3 y 48x 3 y 2 = Alumno: 12
25. 26 Alumno: 13
27. 29. 28. 30. Factoreá los siguientes trinomios cuadrados perfectos: a) 9x 2 + 6x + 1= b) 4x 2 + 12x + 9= c) 25x 2 40xy + 16y 2 = d) 4x 6 20x 3 + 25= 31. Factoreá, cuando sea posible: a) 4x 2-12x + 9= b) x 4 + 4x 2 + 4= c) 5x 2 + 10x + 5= d) 4y 2 20y + 25= e) 3x 2 18x + 27= f) 5x 8 30x 4 + 45= g) 28x 2 28x + 7= Alumno: 14
Y para prepararse para la prueba: 1. Operá todo lo posible: a) (-8).(3 2x) 2 = b) (5 + 3x).(2x 2 1)= c) 3. (2 + 3x).(2 3x)= d) (4 + x) 2 (2x + 3) = e) (2 x) 2 (2 + x) 2 = 2. Operá y decidí si es una identidad o una ecuación. Si es ecuación, resolvela: a) (3x 4) 2 + 12x = 3x.(3x 2) + 16 b) (5 2x).(5 + 2x) + 10 x = (5 + x) 2 12 c) (4 5x).(3x + 2) 12x 7 = (5x 1) 2 + 12 d) 7x.(4 x) + 32x 2 = (5x 2) 2 + 12 e) (3 + 7x) 2 98 = (3 7x).(3 + 7x) + 42x f) (1 + 2x 2 ) 2 x 4 = 3 2 3. Factoreá y simplificá: a) b) c) d) e) f) g) h) i) = j) Alumno: 15
Unidad 5: Sistemas de ecuaciones lineales: Resolución gráfica. Métodos de resolución analíticos: sustitución, igualación y reducción por sumas y restas. Clasificación de los sistemas y su correlación con los gráficos. Resolución de problemas. Actividad disparadora: 1. Al sumar dos números el resultado es 78. Se sabe que su diferencia es 12, Cuáles son los números? 2. A un congreso asistieron 700 personas. La cantidad de mujeres es el doble de la de hombres, más 10. Cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron al congreso? Algo de teoría: Cuando se buscan soluciones de dos o más ecuaciones simultáneamente se dice que se resuelve un sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene dos ecuaciones de dos variables cada una, el conjunto solución estará integrado por todos los pares de números que hacen que las dos igualdades sean ciertas. Las ecuaciones que integran un sistema se reúnen con una llave, que indica que buscamos las simultáneas de todas ellas. Dos sistemas que tienen el mismo conjunto solución se dicen equivalentes. Se llama ecuaciones lineales a aquellas de la forma: ax + by = c, observá que las variables x e y no están elevadas a ningún exponente (es decir que están elevadas a la 1). Ya sabemos que este tipo de ecuaciones representan rectas. Así que si tenemos un sistema integrado por dos ecuaciones lineales, cada una de ellas representará una recta en el plano. Cuáles serán los casos posibles al representar dos rectas en el plano, respecto a sus posiciones relativas? En base a estas distintas posiciones se hace una clasificación de los sistemas de dos ecuaciones lineales de dos variables. Sistemas sin solución Sistemas con solución Las rectas son paralelas Sistema incompatible Las rectas se cortan en un punto (tiene una única solución) Sistema compatible determinado Las rectas están superpuestas (tiene infinita cantidad de soluciones) Sistema compatible indeterminado Actividades: 3.a) Cuál o cuáles de estos sistemas podrían representar al problema que se da a continuación? Justificá tu respuesta. En una confitería se venden pastelitos de frutilla a $2 cada uno, y pastelitos de chocolate a $3 cada uno. Daniela compró 13 pastelitos surtidos en esa confitería y gastó $34, Cuántos pasteles de cada clase llevó? 2x + 3y = 13 2x + 3y = 34 2x + 3y = 34 2x + 3y = 34 2x = 34 3y x + y = 24 x + y = 13 y = 13 x 2x + 2y = 26 2x = 13 - y b) Es cierto que el par (5; 8) es solución de cualquiera de los sistemas que elegiste en el ítem a) 4. a) Cómo harías para saber si el par (-1; 3) es solución del siguiente sistema de ecuaciones? 4x + 5y = 4 2x 3y = -11 b) Proponé un sistema que sea equivalente al anterior. Explicá cómo lo pensaste. 5. Representá gráficamente la recta de ecuación y = 18 2x, En cuál de los puntos de esa recta la segunda coordenada es diez veces la primera? 6. Encontrá el par ordenado que verifica la ecuación 10y 2x = 36, en el que la segunda coordenada sea el doble de la primera. 7. Graficá cada recta a partir de su ordenada al origen y pendiente y hallá las coordenadas del punto que pertenece a ambas simultáneamente: a) y = -2x + 3 b) y = x + 4 y = x 5 y = x 3 Alumno: 16
8. Resolvé y clasificá el sistema: a) 3x + y = 2 b) 2x + y = 5 c) y = 2x 3 d) 2x + y = -6 e) y = 2x - 1 y = x + 6 x y = -9 y = -5x 10 4x + 2y = 6 4x 2y = 2 9. Planteá un sistema, resolvé y contestá: a) En una fiesta hay 132 personas. Si el doble de la cantidad de mujeres supera en 18 a la cantidad de hombres, Cuántos hombres y mujeres hay? b) Pablo es cuatro años mayor que Guillermo. Dentro de tres años, la edad de Guillermo será las tres cuartas partes de la de Pablo, Qué edad tiene cada uno? c) La diferencia de dos números es 3. Si la suma entre la cuarta parte del mayor y la tercera parte del menor es 6, Cuáles son los números? d) Si al doble de un número se le suma otro número el resultado es 10. Sabemos además que, si a 30 se le resta seis veces el primer número, el resultado es el triple del segundo número, De qué número se trata? Alumno: 17