Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Entera Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 36

Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole. Tema 3. Técnicas de contar. Tema 4. Recursión. Tema 5. Aritmética entera. Tema 6. Aritmética modular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 36

Tema 5. Aritmética Entera El conjunto de los números enteros, Z. División en Z. Divisibilidad y propiedades. Principio de Inducción. Máximo Común Divisor. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout. Algoritmo de Euclides extendido. Números coprimos. Ecuaciones diofánticas. Resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas. Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética. Distribución de primos. Teorema de Euclides. La función π(x). Número primos de Fermat y de Mersenne. La criba de Eratóstenes. El problema de la factorización. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 36

Aritmética Entera. Introducción. Qué es la Teoría de Números? El estudio de los números enteros. Ejemplos de Números Números pares Números impares Números naturales Números triangulares Números primos Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 36

Aritmética Entera. Introducción. Para qué usamos los números primos? Criptografía: RSA Ciframos y desciframos mensajes de manera relativamente fácil. La seguridad del sistema radica en la elección adecuada de la clave pública. Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467576751 primo? NO (es divisible por 3). Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467576903 primo? SÍ. Es 25478512753524632765756437563656529853685639856349856475467577041 primo? SÍ. Es 64915461213151736423520935185384753946442377358854872449165109 4469224065674417028369864303126429603800928587351648815624744684023 primo? NO. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 5 / 36

Aritmética entera. El conjunto Z. A1 La suma y el producto son leyes de composición internas. a, b Z a + b Z, ab Z A2 Ambas leyes son asociativas. a, b, c Z a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, a(bc) = (ab)c = abc A3 Existen elementos neutro 0 y unidad 1 tales que: a Z a + 0 = 0 + a = a a 1 = 1 a = a A4 Existen elementos opuestos. Es decir: a Z a Z : a + ( a) = a + a = 0 A5 Ambas leyes son conmutativas. a, b Z a + b = b + a ab = ba A6 El producto es distributivo respecto de la suma. a, b, c Z a(b + c) = ab + ac A7 Propiedad cancelativa. Si a 0 y ab = ac, entonces b = c Camacho Introd. a la Matemática Discreta 6 / 36

Aritmética Entera. El conjunto Z. En el conjunto Z de los números enteros se define la relación de orden, la cual cumple los siguientes propiedades: A8 Propiedad reflexiva: a Z = a a } a b A9 Propiedad antisimétrica: = a = b b a A10 Propiedad transitiva: A11 a b = a + c b + c a b b c A12 a b y 0 c = ac bc } = a c Camacho Introd. a la Matemática Discreta 7 / 36

Aritmética Entera. El conjunto Z. Definición Dado S Z un subconjunto, se dice que c Z es una cota inferior del conjunto S si c a cualquiera que sea el elemento a S. Si además, c S recibe el nombre de primer elemento. Análogamente, se dice que d Z es una cota superior del conjunto S si a d cualquiera que sea el elemento a S. Si además, d S recibe el nombre de último elemento. A13 [Buena ordenación] Todo subconjunto de Z no vacío y acotado inferiormente (superiormente) posee un primer (último) elemento. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 36

Aritmética Entera. División en Z. Teorema de la División. Sean a, b Z con b > 0 existe un único par de enteros q, r Z tal que a = b q + r con 0 r < b. Al entero q se le llama cociente y a r resto. Teorema de la División. Si a y b son dos enteros con b 0 existe un único par de enteros q y r tales que a = qb + r 0 r < b Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 36

Aritmética Entera. Divisibilidad. Definición Diremos que a divide a b si el resto de la división de a entre b es 0. Diremos también que b es divisible por a o b es múltiplo de a. Es decir, lo denotaremos por a b o b = ȧ. a divide a b q Z tal que b = q a Dado un entero n, se denominan divisores propios a sus divisores distintos de 1 y del propio n, a los cuales se les denomina divisores impropios. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 36

Aritmética Entera. Divisibilidad. Si a b y c Z a b c Si a b b c a c Si a b a c a (αb + βc) Si a b 1, a b 2,..., a b k a (α 1b 1 + + α k b k ) Si m 0 y a b m a m b Si b 0 y a b a b Si a b y b a a = ±b Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción Tenemos unas filas de fichas de dominó. Supongamos que tenemos las siguientes afirmaciones: Enunciado 1: Alguien ha derribado la primera ficha. Enunciado 2: Si una ficha es derribada, entonces ésta tira la siguiente. De 1 y 2 podemos concluir que todas las fichas acabarán cayendo. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción. Sea P (n) una propiedad relativa al número n y k un entero fijo. Supongamos que P (k) es cierta. Si P (n) es cierta, entonces P (n + 1) es cierta también. Entonces P (n) es cierta para cualquier valor n k. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción. Cómo demostrar algo usando el principio de inducción simple? Comenzamos enunciando la propiedad que queremos probar. Es decir, decimos cuál es la propiedad P (n) y cuál es el entero k. Probamos que P (k) es cierta (este paso es llamado la etapa base). Probamos que para cualquier n k tal que P (n) sea verdad, entonces P (n + 1) es también verdad (este paso es llamado la etapa de inducción). Finalmente concluimos que, usando el principio de inducción simple, P (n) es cierta para cualquier n k. Nota: En la etapa de inducción, a la suposición de que P (n) es cierta se le llama hipótesis de inducción. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción. A veces la inducción simple no basta... Cuáles son los enteros que podemos obtener como sumas de 3 y de 5 (con repeticiones)? 3 = 3 5 = 5 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 9 = 3 + 3 + 3 10 = 5 + 5 11 = 5 + 3 + 3 12 = 3 + 3 + 3 + 3... Sea P (n) la propiedad: el número n es una suma de 3 y de 5, y queremos demostrar que P (n) es cierto para todo n 8. Para demostrar la etapa base P (8) basta comprobar que: 8 = 5 + 3 Si P (n) es cierta entonces P (n + 1) es cierta también. n + 1 = (n 2) + 3 No podemos seguir, sólo sabemos que P (n) es cierto... Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción. Sea P (n) una propiedad matemática. Queremos probar que P (n) es cierta para cualquier n n 0. Si se verifica que: P (n 0), P (n 0 + 1),..., P (n 1) son ciertas. Si P (k) es cierta para cualquier k n 1, entonces P (k + 1) es cierta. Entonces P (n) es cierta para cualquier n n 0. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 16 / 36

Aritmética Entera. Principio de Inducción. Cómo demostrar algo usando inducción completa? Comenzamos por enunciar la propiedad que queremos probar. Es decir, cuál es la propiedad y cuáles son los enteros n 0 y n 1. Probamos que P (n 0), P (n 0 + 1), P (n 0 + 2),... P (n 1) son ciertas. Probamos que si para cualquier k n 1 se tiene que P (n 1), P (n 1 + 1),..., P (k) son ciertas, entonces P (k + 1) es también cierta. Finalmente, concluimos que usando el principio de inducción completa, P (n) es cierta para cualquier n n 0. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 17 / 36

Aritmética Entera. Máximo Común Divisor. Máximo Común Divisor. El máximo común divisor de dos números a y b es el mayor entero d > 0 tal que d a y d b. Máximo Común Divisor. El máximo común divisor es el único entero d que cumple d a y d b. si c a y c b c d Escribimos mcd(a, b) = d. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 18 / 36

Aritmética Entera. Máximo Común Divisor. Lema Las dos definiciones son equivalentes. Mínimo Común Múltiplo. El mínimo común múltiplo de a y b es el múltiplo común más pequeño de a y b. Lema mcm(a, b) = a b mcd(a, b) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 19 / 36

Aritmética Entera. Algoritmo de Euclides. Lema. Dados dos enteros a y b se verifica que mcd(a, b) = mcd(b, r) siendo a = b q + r con 0 r < b. Algoritmo de Euclides Sean a y b dos enteros queremos calcular d = mcd(a, b) (a > b > 0) a = q 1 b + r 1 con 0 r 1 < b b = q 2 r 1 + r 2 con 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3 con 0 r 3 < r 2. r n 2 = q nr n 1 + r n con 0 r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n + 0 Se trata de una sucesión de números naturales decreciente b > r 1 > r 2 > > r k > 0 mcd(a, b) = mcd(b, r 1 ) = = mcd(r n 2, r n 1 ) = mcd(r n 1, 0) = r n 1 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 20 / 36

Aritmética Entera. Algoritmo de Euclides. Ejemplo Sean a = 250 y b = 111. Hallar el mcd(a, b) Por tanto, el mcd(a, b) = 1. 250 = 111 2 + 28, 0 < 28 < 111 111 = 28 3 + 27, 0 < 27 < 28 28 = 27 1 + 1, 0 < 1 < 27 27 = 1 27 Algorimo de Euclides. P 1 Leer a y b. P 2 n = 1, q = a, r = a b q. b P 3 Mientras r > 0. n = n + 1 a = b b = r q = a b r = a b q P 4 Retorna n y b. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 21 / 36

Aritmética Entera. Identidad de Bezout. Teorema Si d = mcd(a, b) entonces existen enteros α y β tal que d = αa + βb. Identidad de Bezout Demostración a = q 1b + r 1 con 0 r 1 < b b = q 2r 1 + r 2 con 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3r 2 + r 3 con 0 r 3 < r 2. r n 2 = q nr n 1 + r n con 0 r n < r n 1 r n 1 = q n+1r n + 0 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 22 / 36

Aritmética Entera. Identidad de Bezout. Propiedades. Si a, b son enteros, no nulos, tal que mcd(a, b) = d, y sea c un entero cualquiera, entonces x, y Z tal que c = a x + b y c es múltiplo de d Si d = mcd(a, b) entonces d es el menor entero de la forma a x + b y con x, y Z Si d = mcd(a, b) entonces mcd(ma, mb) = md para todo m > 0 Si d = mcd(a, b) entonces mcd( a d, b d ) = 1 Si mcd(a, b) = 1 y a c b c entonces a b c Si mcd(a, b) = 1 y a b c entonces a c Dos enteros a y b son primos entre sí (coprimos) x, y Z tales que a x + b y = 1 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 23 / 36

Aritmética Entera. Algoritmo de Euclides extendido. El algoritmo extendido de euclides nos permite calcular el mcd de dos números así como la identidad de Bezout. Pseudocódigo. P 1. Leer a y b. P 2. Hacer u = 1, v = 1, u = 0, v = 0, q = a, r = a q b. b P 3. Mientras r > 0 hacer n = n + 1 % Actualizamos los valores de u y de u % t = u u = u u = t q u % Actualizamos los valores de v y de v % t = v v = v v = t q v % Actualizamos los valores de a, b, q, y r % a = b b = r q = a b r = a q b Fin mientras P 4. Retorna b, u, v. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 24 / 36

Aritmética Entera. Ecuaciones diofánticas. Problema. Se trata de realizar la tarea x en 6 minutos y la tarea y en 10 minutos trabajando durante 104 minutos. Cuántas tareas x e y se pueden terminar? Solución. 6x + 10y = 104 = Encontrar soluciones enteras y positivas. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 25 / 36

Aritmética Entera. Ecuaciones Diofánticas. Definición Una Ecuación Diofántica es una ecuación con coeficientes enteros en una o varias variables que requiere soluciones enteras. Nos centraremos en las lineales y de dos incógnitas. Problema Dados a, b, c Z no nulos a la vez, hallar las soluciones enteras de la ecuación ax + by = c. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 26 / 36

Aritmética Entera. Ecuaciones Diofánticas Teorema Si a, b y c son enteros con a y b no nulos, la ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c. En este caso, si x 0 e y 0 es una solución particular, entonces todas las soluciones vienen dadas por: x = x 0 + b mcd(a, b) k; y = y0 a mcd(a, b) k, k Z Demostración La demostración del teorema anterior da un procedimiento para resolverlas. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 27 / 36

Aritmética Entera. Resolución de la ecuación diofántica. Ecuación diofántica lineal ax + by = c con a, b, c enteros. Método Calculamos mcd(a, b) = d, y la identidad de Bezout (Algoritmo de Euclides extendido). αa + βb = d a. Si d divide a c entonces existe solución. b. Si d no divide a c entonces no existe solución. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 28 / 36

Aritmética Entera. Resolución de la ecuación diofántica. Método Dividimos toda la ecuación por d. Dividimos la identidad de Bezout también por d. a d x + b d y = c d, (1) a d α + b β = 1, (2) d Multiplicamos la ecuación (2) por c d. a d (α c d ) + b d (β c d ) = c d. Una solución particular de la ecuación (1) : x 0 = α c d, y 0 = β c d Hallamos la solución general. x = x 0 k b d, y = y 0 + k a d, k Z Camacho Introd. a la Matemática Discreta 29 / 36

Aritmética Entera. Números primos Dado un número natural n, Es n primo? En caso de no ser, factorizar n. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 30 / 36

Aritmética Entera. Números primos. Número primo. Un número p > 1 es primo si sus únicos divisores son 1 y p. Un número n se dice compuesto si admite divisores propios. Propiedades de los números primos. Sean a y b enteros y p primo. p a o p y a son primos entre sí Si p a b = p a o p b Si p a 1 a 2 a k = p a i para algún i (Si p no primo, esta propiedad no es cierta.) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 31 / 36

Aritmética Entera. Teorema Fundamental de la Aritmética. Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número n entero puede escribirse de la forma única (excepto en el orden de los factores) como producto de primos: n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k donde p 1,..., p k son primos y e 1,..., e k son enteros positivos. Demostración n compuesto natural existe p 1 primo tal que n = p 1 a. a primo F IN a no primo existe p 2 tal que a = p 2 b { b primo b no primo como ninguno es nulo y n > a > b > c llegaremos a uno que sea primo. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 32 / 36

Aritmética Entera. Distribución de primos. Con qué frecuencia aparecen los números primos? Sea p n el n-ésimo número primo, es decir, p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, etc. Se cumple que p n 2 2n 1 para todo n 1. Es buena aproximación? NO p 4 = 7 2 23 = 2 8 = 256 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 33 / 36

Aritmética Entera. Teorema de Euclides. Teorema de Euclides. Existen infinitos números primos. Propiedades. Si p primo, p 5 entonces p es de la forma 4q + 1 o 4q + 3. Existen infinitos primos de la forma 4q + 3. Si a y b son enteros primos entre sí, existen infinitos primos de la forma a q + b. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 34 / 36

Aritmética Entera. Función π(x). Función π(x) El número de números primos menores o iguales a x, se denota por π(x) y a la función π se conoce como función de números primos. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 35 / 36

Aritmética Entera. Bibliografía. 1 N. L. Biggs, Matemática discreta. Editorial Vicens Vives, 1994. 2 E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Martínez, Elementos de matemática discreta. Editorial Sanz y Torres, 3 a Edición. 2005. 3 F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2 a Edición, 2005. 4 R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 5 G.A. Jones y M. Jones, Elementary number theory. Editorial Springer, 1998. 6 R. Kumanduri y C. Romero, Number Theory with Computers Applications. Prenticell Hall, 1998. 7 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. Editorial McGraw-Hill, 2003. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 36 / 36