PROPUESTA A. a) Despeja la matri X en la siguiente ecuación matricial: 7 I X + A X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matri identidad). (.75 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 7 orden. (.75 puntos). Los alumnos de º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos para el viaje fin de curso: Roma, Londres París. El número total de votos es. El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París los que quieren ir a Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma a Londres. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres París. (.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (.5 puntos). Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función R(t) = t 9t + 4t + 8, representa el ruido medido en decibelios (db) t el tiempo medido en horas, < t < 4.5. a) En la primera hora (t = ), cuántos decibelios se registraron? (.5 puntos) b) En qué momento se produce maor ruido?, cuál fue el valor máimo del ruido registrado? (.5 puntos) si 4. Se considera la función f ( ). Se pide: ( ) si a) Continuidad en =. (.5 puntos) b) Etremos relativos en el intervalo (, 4). (.5 puntos) c) Intervalos de crecimiento decrecimiento en (, + ). (.5 puntos) 5. En un instituto el % de los alumnos juegan al baloncesto, el 5 % juegan al fútbol, el 5 % juegan al fútbol o al baloncesto o ambos deportes. a) Se elige un alumno al aar, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol juegue al baloncesto? (.75 puntos) b) Si elegimos un alumno al aar juega al baloncesto, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol? (.75 puntos) 6. Se sabe que el peso de los paquetes de harina, que se producen en una fábrica, sigue una distribución normal de media desconocida desviación típica gramos. Se seleccionan al aar 5 paquetes de harina se observa que tienen u peso medio de 745 gramos. a) Halla el intervalo de confiana para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confiana del 97 %. ( punto) b) Eplica raonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confiana. ( punto).....4.5.6.7.8.9..977.9778.978.9788.979.9798.98.988.98.987..98.986.98.984.988.984.9846.985.9854.9857
PROPUESTA B. Una empresa tiene. bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras. botellas de aceite de oliva de Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes del tipo A formados por tres bolsas de ajos una de botella de aceite de oliva, que venderá a 5 ; lotes de tipo B formados por una bolsa de ajos dos botellas de aceite de oliva que venderá a 8. a) Dibuja la región factible. ( punto) b) Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la maor cantidad de dinero?( 5 puntos). Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B C. Para fabricar el modelo A se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo C se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Sabiendo que se han empleado 4 horas en la unidad de montaje, 4 horas en la unidad de acabado 5 horas en la unidad de comprobación, se pide: a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. (.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado. (.5 puntos). Dada la función f() = + a + b + c, calcula los valores de las constantes a, b, c para que la gráfica de la función pase por el punto (,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa = un punto de infleión en =. (.5 puntos) t si 4. Se considera la función f ( ). Se pide: ( ) si a) Hallar el valor de t para que f sea continua en =. (.5 puntos) b) Para t =, representa gráficamente la función. ( punto) 5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A B, en una proporción de es a, respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es.5 de que un mueble tipo B sea defectuoso es.. a) Elegido un mueble al aar, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (.75 puntos) b) Se escoge al aar un mueble resulta ser no defectuoso, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.75 puntos) 6. Se estudio el cociente intelectual de estudiantes de º de Bachillerato, elegidos aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores 8, 96, 87, 4, 5, 99,, 89, 9,. Sabiendo que el cociente intelectual se distribue según una normal con desviación típica 5, se pide: a) Halla el intervalo de confiana al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los estudiantes de º de Bachillerato de dicho centro escolar. (.5 puntos) b) Raona eplica qué se podría hacer para que el intervalo de confiana tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confiana. (.75 puntos).....4.5.6.7.8.9.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.969.9799.976.9.97.979.976.97.978.9744.975.9756.976.9767
SOLUCIONES PROPUESTA A. a) Despeja la matri X en la siguiente ecuación matricial: 7 I X + A X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matri identidad). (.75 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 7 orden. (.75 puntos) Solución. a) Despeja la matri X en la siguiente ecuación matricial: 7 I X + A X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matri identidad). (.75 puntos) Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución, 7 I X A X B X A X B 7 I ( I A) X B 7 I Siendo I la matri identidad del mismo orden que X. En tal caso, eclusivamente cuando la matri ( I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada tenga determinante no nulo), podremos despejar la matri X del modo: X ( I A) ( B 7 I) Además, para que ( I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I además tengan el mismo orden. Por lo tanto, X ( I A) ( B 7 I), si ( I +A) posee matri inversa, A e I a son del mismo orden su número de columnas es igual que el de filas de (B 7 I). b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 7 orden. (.75 puntos) La ecuación tendrá solución, siempre cuando la matri A tenga matri inversa, esto es, cuando su determinante sea. Calculamos el determinante de A, A 7 Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según, A X I X A I A
Calculamos la matri inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula, A Adj A A t Siendo A t la matri transpuesta de A adj[a t ] la matri adjunta de la transpuesta. Realiamos las operaciones correspondientes: A t t 7 adj[ A) ] 7 A 7 En ese caso, la solución X será: X / A 7 /. Los alumnos de º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos para el viaje fin de curso: Roma, Londres París. El número total de votos es. El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París los que quieren ir a Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma a Londres. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres París. (.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (.5 puntos) Solución. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres París. (.5 puntos) Llamamos al número de votos que obtiene Roma; al número de votos que obtiene Londres; al número de votos que obtiene París. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: El número total de votos es El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre lo que quieren ir a París los que quieren ir a Londres ( ) El número de alumnos que quieren ir a Paris es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma a Londres 4
5 Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: ) ( que ordenando convenientemente quedará de la forma: b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (.5 puntos) Resolvemos el sistema por el método de Gauss: La matri de Gauss queda determinada por: Aplicamos el método de Gauss: 4 F F F F F F Si reescribimos la matri como sistema, podemos resolver de modo sencillo, 4 4 4 4 / 4 4 4 4) /( 4 4 4 8 4 4 8 4 4
5 8 5 4 5 4 Por lo tanto, ha votos para ir a Roma, 5 votos para ir a Londres 4 votos para ir a París.. Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función R(t) = t 9t + 4t + 8, representa el ruido medido en decibelios (db) t el tiempo medido en horas, < t < 4.5. a) En la primera hora (t = ), cuántos decibelios se registraron? (.5 puntos) b) En qué momento se produce maor ruido?, cuál fue el valor máimo del ruido registrado? (.5 puntos) Solución a) En la primera hora (t = ), cuántos decibelios se registraron? (.5 puntos) Sustituimos la función por t = obteniendo los decibelios que se registraron en la primera hora: R() = 9 + 4 + 8 = 9 + 4 + 8 = 44 db Por lo tanto, se registraron 44 db en la primera hora. b) En qué momento se produce maor ruido?, cuál fue el valor máimo del ruido registrado? (.5 puntos) Calculamos los máimos mínimos relativos a partir de la primera derivada. La primera derivada de la función es: R (t) = t 8t + 4 Igualamos a cero resolvemos la ecuación de segundo grado: t 8t 4 8 t 8 4 4 8 4 88 6 8 6 6 8 6 4 8 6 6 6 8 6 6 Luego los posibles máimos o mínimos relativos de la función R(t) están situados en las abcisas t = t = 4. 6
Como el dominio de la función es < t < 4, estudiamos el signo de la derivada de la función en esta región para determinar si son máimos o mínimos: Intervalo Valor representante R(t) = t 8t + 4 Creciente/Decreciente (, ) 8 + 4 = > Creciente (, 4) 8 + 4 = < Decreciente Por lo tanto, la función presenta un máimo relativo absoluto en t = sobre el dominio establecido (,4). Se observa que es absoluto puesto que la función antes de t = crece después decrece. No ha ningún otro valor que pueda ser superior en coordenada a t =. Por lo tanto, concluimos que para t = horas se obtiene el maor ruido que dicho valor, medido en decibelios es de: R() = 9 + 4 + 8 = 8 6 + 48 + 8 = 48 db. El máimo nivel de decibelios en las 4 horas es de 48 db se alcana a las horas. 4. Se considera la función f ) ( ) ( si si. Se pide: a) Continuidad en =. (.5 puntos) b) Etremos relativos en el intervalo (, 4). (.5 puntos) c) Intervalos de crecimiento decrecimiento en (, + ). (.5 puntos) Solución. a) Continuidad en =. (.5 puntos) Para que una función sea continua en un valor de abcisa = a se debe cumplir que los límites laterales en el punto = a coincidan con a imagen de la abcisa = a. Dicho de otro modo, lim a f ( ) lim a f ( ) f ( a) En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en =. Por lo tanto, estudiaremos los límites laterales el valor de la función en el punto =. lim f ( ) lim lim f ( ) lim ( ) f () Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f NO es continua en =. 7
b) Etremos relativos en el intervalo (, 4). (.5 puntos) Para el estudio de los etremos relativos, realiamos la derivada por cuanto aun siendo una función a troos, el estudio se debe realiar eclusivamente sobre la epresión algebraica f() = ( ) + a que es ahí donde señalan el domino a estudiar. Procedemos a derivar: En tal caso, la primera epresión algebraica ( ) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la epresión, e igualando a cero, obtenemos, [ ( ) + ] = ( ) ( ) = = Luego el posible máimo o mínimo relativo de la función f() en (,4) está situado en la abcisa = debemos sondear también = = 4. Estudiamos el signo de la derivada de la función en esta región para determinar si son máimos o mínimos: Intervalo Valor representante f () = ( ) Creciente/Decreciente (, ) 5 ( 5 ) = < Decreciente (, 4) ( ) = > Creciente Por lo tanto, la función presenta un mínimo relativo absoluto en = a que se trata de una parábola, sobre el dominio establecido (,4). Para el estudio de los máimos valoramos = = 4 a que, la función es decreciente antes de = creciente a partir de =. Por lo tanto, el máimo absoluto de la función en el intervalo (,4) estará en = o = 4. f() = ( ) + = f(4) = (4 ) + = 5 Concluimos que f() tiene un mínimo relativo absoluto de (, 4) en = mientras que, restringiéndonos a (,4) presenta un máimo absoluto en = 4. c) Intervalos de crecimiento decrecimiento en (, + ). (.5 puntos) Analiando los resultados del apartado b) podemos concluir que el mínimo absoluto del intervalo (,4) sigue siendo un mínimo absoluto para f() en el intervalo (, + ). Al mismo tiempo, la función no presenta máimo absoluto en la región puesto que: lim f ( ) lim ( ) Pudiéndose considerar que en = ha un máimo relativo. 8
5. En un instituto el % de los alumnos juegan al baloncesto, el 5 % juegan al fútbol, el 5 % juegan al fútbol o al baloncesto o ambos deportes. a) Se elige un alumno al aar, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol juegue al baloncesto? (.75 puntos) b) Si elegimos un alumno al aar juega al baloncesto, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol? (.75 puntos) Solución. Consideramos los sucesos A = El alumno juega al fútbol el suceso B = El alumno juega al baloncesto. Mediante el enunciado se nos está señalando que P(A) =, P(B) = 5 P(AB) = 5 a) Se elige un alumno al aar, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol juegue al baloncesto? (.75 puntos) Se nos está preguntando la probabilidad de la intersección de los sucesos A B. Su probabilidad viene dada por: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) En tal caso, P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = + 5 5 = 5 Luego ha una probabilidad del 5 de que juegue a ambos dos deportes, es decir, un porcentaje del 5 % de que juegue a fútbol a baloncesto. b) Si elegimos un alumno al aar juega al baloncesto, cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol? (.75 puntos) Se nos está preguntando la probabilidad del suceso condicionado A/B. Su probabilidad viene dada por: En tal caso, P( A/ B) P( A B) P( B) P( A B) 5 P ( A/ B) P( B) 5 Luego ha una probabilidad del de que juegue al fútbol si sabemos que juega al baloncesto, es decir, un porcentaje del % de que juegue a fútbol si sabemos que juega al baloncesto. 9
6. Se sabe que el peso de los paquetes de harina, que se producen en una fábrica, sigue una distribución normal de media desconocida desviación típica gramos. Se seleccionan al aar 5 paquetes de harina se observa que tienen u peso medio de 745 gramos. a) Halla el intervalo de confiana para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confiana del 97 %. ( punto) b) Eplica raonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confiana. ( punto) Solución. a) Halla el intervalo de confiana para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confiana del 97 %. ( punto) La media muestral es X 745 gramos. El valor /. 7 n = 5. Por lo tanto, el intervalo de confiana será: b) Eplica raonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confiana. ( punto) Podemos hacerlo de dos modos: ) Disminuendo el nivel de confiana del intervalo. Esto hará que la semiamplitud del intervalo disminua tendremos un intervalo más pequeño pero con mucha menos fiabilidad. ) Podríamos aumentar el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semiamplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la semi-amplitud la amplitud del intervalo de confiana. Además, el teorema central del límite lo confirma. A maor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional mediante la media muestral.
SOLUCIONES PROPUESTA B. Una empresa tiene. bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras. botellas de aceite de oliva de Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes del tipo A formados por tres bolsas de ajos una de botella de aceite de oliva, que venderá a 5 ; lotes de tipo B formados por una bolsa de ajos dos botellas de aceite de oliva que venderá a 8. a) Dibuja la región factible. ( punto) b) Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la maor cantidad de dinero? ( 5 puntos) Solución. a) Dibuja la región factible. ( punto) Si llamamos al número de lotes tipo A e al número de lotes del tipo B, tendremos que los datos anteriores nos llevan a una epresión algebraica de la región factible del tipo:, Las dos primeras epresiones nos determinan una recta vertical, =, una horiontal = junt con dos oblicuas + =, + = que restringen la ona de soluciones a un cuadrilátero. En cuanto a la tercera epresión, +., representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta =. =... En cuanto a la cuarta epresión, +., representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta = (. )/ = (. )/.. Representamos las rectas los rectángulos en un mismo plano cartesiano determinando la pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (,), (que la verifican todos). La región coloreada en amarillo es la región factible.
Calculamos los vértices de la región factible: Punto A de intersección de las rectas + =. e =, da como solución A(,.). Punto B de intersección de las rectas + =. con + =., da como solución B(8, 6). Punto C de intersección de las rectas + = con =, da como solución C(, ). Punto O es el origen de coordenadas. b) Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la maor cantidad de dinero? ( 5 puntos) La función objetivo que ha que maimiar viene determinada por la epresión algebraica: Sustituendo los vértices en la función objetivo: F(O) = F(,) = 5 + 8 = F(,) = 5 + 8 F(A) = F(,) = 5 + 8 = 8. F(B) = F(8,6) = 5 8 + 8 6 = 88. F(C) = F(,) = 5 + 8 = 5. Obtenemos que hace máima la función objetivo es B con un valor total de 88.. Por lo tanto, ha que vender 8 lotes del tipo A 6 lotes del tipo B para obtener una ganancia máima de 88..
. Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B C. Para fabricar el modelo A se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo C se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje, horas en la unidad de acabado hora en la unidad de comprobación. Sabiendo que se han empleado 4 horas en la unidad de montaje, 4 horas en la unidad de acabado 5 horas en la unidad de comprobación, se pide: a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. (.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado. (.5 puntos) Solución. a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. (.5 puntos) Llamamos al número de lavadoras modelo A; al número de lavadoras modelo B; al número de lavadoras del tipo C. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: modelo A se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje modelo C se necesitan horas de trabajo en la unidad de montaje se han empleado 4 horas en la unidad de montaje modelo A se necesitan horas de trabajo en la unidad de acabado modelo B se necesitan horas de trabajo en la unidad de acabado modelo C se necesitan horas de trabajo en la unidad de acabado se han empleado 4 horas en la unidad de acabado modelo A se necesitan horas de trabajo en la unidad de comprobación modelo B se necesitan horas de trabajo en la unidad de comprobación modelo C se necesitan horas de trabajo en la unidad de comprobación se han empleado 5 horas en la unidad de comprobación 4 4 4 5 Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: 5 4 4 4 Donde hemos colocado convenientemente las ecuaciones para aplicar el método de Gauss:
b) Resuelve el sistema planteado. (.5 puntos) Resolvemos el sistema por el método de Gauss: La matri de Gauss queda determinada por: Aplicamos el método de Gauss: 4 5 4 4 4 4 5 4 4 5 F F F 4 F F F 4 5 6 Si reescribimos la matri como sistema, podemos resolver de modo sencillo, 5 6 9 6 4 6 5 6 6 4 9 6 4 5 6 6 6 9 4 6 4 5 6 4 Por lo tanto, ha 5 lavadoras modelo A, 4 lavadoras modelo B 6 lavadoras modelo C.. Dada la función f() = + a + b + c, calcula los valores de las constantes a, b, c para que la gráfica de la función pase por el punto (,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa = un punto de infleión en =. (.5 puntos) Solución. Puesto que la función pasa por el punto (,4) entonces f() = 4 por lo tanto, f() = + a + b + c = 4 c = 4 Puesto que tiene un mínimo en el valor de abcisa = entonces f ( ) =. Como la derivada de f() es f () = + a + b, entonces si f ( ) = tendremos que: a + b =, 4
Por otra parte, puesto que f() tiene un punto de infleión en = entonces f ( ) =. Como la derivada de f () es f () = 6 + a, entonces si f ( ) = tendremos que: + a =, De donde obtenemos que a = 6, sustituendo en la ecuación a + b =, tendremos que Por lo tanto, a = 6 b = 9 c = 4. + b = b = 9 4. Se considera la función f t ) ( ) ( si si. Se pide: a) Hallar el valor de t para que f sea continua en =. (.5 puntos) b) Para t =, representa gráficamente la función. ( punto) Solución. a) Hallar el valor de t para que f sea continua en =. (.5 puntos) Para que una función sea continua en un valor de abcisa = a se debe cumplir que los límites laterales en el punto = a coincidan con a imagen de la abcisa = a. Dicho de otro modo, lim a f ( ) lim a f ( ) f ( a) En nuestro caso, debemos imponer la continuidad en =. Por lo tanto, estudiaremos los límites laterales el valor de la función en el punto =. lim f ( ) lim t 4 t lim f ( ) lim ( ) f () t Por lo tanto, para que la función f() sea continua en = deberá cumplirse que 4 + t = t = Concluimos que la función f() es continua en = si t =. 5
b) Para t =, representa gráficamente la función. ( punto) Representamos la función f ) ( ) ( si si Se trata de dos parábolas que conforman una función, f(), que sabemos por el apartado a) que es continua. Para la representación de = en tendremos que calcular su vértice: V b a ( ).5 Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, =.5 en el dominio tendremos la representación del primer troo de f(). =.5.5.5 =.5.5 =.5 = = = 4 = = ( ) ( ) = + = Para la representación de = ( ) + en > tendremos que la parábola se puede reepresar mediante la epresión: Su vértice será: = ( ) + = = + 9 6 + = 6 + V b a ( 6) 6 Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, = en el dominio > tendremos la representación del otro troo de f(). = ( ) + ( ) + = + = ( ) + = + =.5 (.5 ) + =.5 + =.5 4 (4 ) + = + = 5 (5 ) + = 4 + = 5 6
En tal caso, la gráfica de la función f() viene descrita por la siguiente representación: 5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A B, en una proporción de es a, respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es.5 de que un mueble tipo B sea defectuoso es.. a) Elegido un mueble al aar, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (.75 puntos) b) Se escoge al aar un mueble resulta ser no defectuoso, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.75 puntos) Solución. a) Elegido un mueble al aar, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (.75 puntos) El problema se puede epresar mediante el siguiente diagrama de árbol: En ese caso, la probabilidad de que sea defectuoso se puede calcular mediante el teorema de la probabilidad total según: P( defectuoso) P( defectuoso / A) P( A) P( defectuoso / B) P( B)) 5 4 5 8 5 5 5 5 5 Por lo tanto, la probabilidad de que un mueble al aar sea defectuoso es 8. 7
b) Se escoge al aar un mueble resulta ser no defectuoso, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.75 puntos) En ese caso, la probabilidad de que el mueble sea del tipo B, sabiendo que no es defectuoso, se puede calcular mediante el teorema de Baes según: P ( B / no defectuoso ) P( No P( No defectuoso / B) P( B) defectuoso / A) P( A) P( No defectuoso / B) P( B) 9 5 95 9 5 5 587 Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 587 aproimadamente. 6. Se estudio el cociente intelectual de estudiantes de º de Bachillerato, elegidos aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores 8, 96, 87, 4, 5, 99,, 89, 9,. Sabiendo que el cociente intelectual se distribue según una normal con desviación típica 5, se pide: a) Halla el intervalo de confiana al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los estudiantes de º de Bachillerato de dicho centro escolar. (.5 puntos) b) Raona eplica qué se podría hacer para que el intervalo de confiana tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confiana. (.75 puntos) Solución. a) Halla el intervalo de confiana al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los estudiantes de º de Bachillerato de dicho centro escolar. (.5 puntos) Sea la variable aleatoria X que mide el coeficiente intelectual. Según los datos del problema esta variable se distribue mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 5. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = estudiantes nos dicen que su media muestral es X 97 según: X 8 96 87 4 5 99 89 9 97 97 En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confiana con α = 95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X /, n X / n Puesto que α = 95, entonces α = 5 α/ = 5 por lo que α/ = 96. 8
Por tanto, sustituendo en la fórmula del intervalo: 5 5 97 96, 97 96 (87 9, 6 497) Concluimos que el intervalo de confiana al 95 % para el coeficiente intelectual medio de los alumnos de º de Bachillerato de ese centro escolar es (87 9, 6 497). a) b) Raona eplica qué se podría hacer para que el intervalo de confiana tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confiana. (.75 puntos) Podemos aumentando el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semiamplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la semiamplitud la amplitud del intervalo de confiana. Además, el teorema central del límite lo confirma. A maor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional mediante la media muestral. 9