ELEMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL

ELEMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL SUMARIO: 1.1.- Mgnitudes vectoiles 1.2.- Vectoes: definiciones 1.3.- Clses de vectoes 1.4.- Adición de vectoes 1.5.- Multiplicción po un númeo el 1.6.- Popieddes 1.7.- Consecuencis 1.8.- Vectoes en el espcio tidimensionl: componentes 1.9.- Poducto escl de dos vectoes 1.10.- Poducto vectoil de dos vectoes 1.11.- Deivd de un vecto especto de un escl 1.12.- Integción de un vecto Actividdes desollds Actividdes popuests

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 12 1.- MAGNITUDES VECTORIALES En genel, ls mgnitudes físics se pueden clsificn en escles y vectoiles, según los os que se pecisen p definils y p medils. Mgnitudes escles: Muchs cntiddes físics quedn completmente definids cundo p su medid se les sign un númeo el que epes su intensidd especto de lgun unidd conveniente, de su mism ntulez, con l que se ls comp. Se denominn mgnitudes escles. Ej.: longitud de un vill, d = 2 35 metos; dución de un cnción, t = 3 28 minutos. Mgnitudes vectoiles: Ots cntiddes físics equieen p su deteminción d: + un númeo el que epese su compción con un unidd doptd (como en ls mgnitudes escles). Se le denomin módulo o intensidd de l mgnitud vectoil. Ej.: l velocidd de un moto es 108 km/h + os que especifiquen su diección y sentido. Ej.: l velocidd de l moto nteio está diigid de note su (diección), hci el su (sentido). En el estudio de ls mgnitudes escles, el físico hce uso del fomlismo mtemático que le popocion el Álge de los númeos eles. En cmio, p el estudio de ls mgnitudes vectoiles cude l Álge vectoil, cienci que tom como elemento ásico el vecto, ente mtemático que const de módulo o intensidd, diección y sentido (como veemos). L Físic povech est Álge p epesent y ope con ls divess mgnitudes vectoiles: fuezs, velociddes, celeciones,... 2.- VECTORES: DEFINICIONES Vecto: es un segmento oientdo. Po tnto, const l menos de un módulo o intensidd (longitud del segmento), de un diección y de un sentido. Se epes medinte un o vis lets, supeponiéndoles un flechit, o esciiéndols en negit: Su módulo se epes sí: OB OB Mod( ) Vectoes igules: y son igules sii tienen igul módulo, diección y sentido. Se epes sí: = (sii quiee deci si y sólo si ). Vectoes opuestos: y c son opuestos sii tienen igul módulo y diección, peo son de sentido contio. Veso o vecto unitio, o vecto unidd: es quél cuyo módulo es 1. Se epes de difeentes foms; po ejemplo, el vecto unitio en l diección y sentido del vecto puede esciise: u, o ien â.

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 13 Po definición pues se tendá: u = â = 1 Vecto nulo, 0. El vecto 0 es nulo sii 0 = 0 3.- CLASES DE VECTORES Los vectoes pueden se: - lies: P definilos stn los tes elementos nteiomente citdos: módulo, diección y sentido. Su punto de plicción se sitú en culquie punto del espcio. Po tnto, un vecto lie no ví cundo se tsld en el espcio plelmente sí mismo. - deslizntes o cusoes: el vecto equiee p su definición, demás de detemin su módulo, diección y sentido, su ect de posición. Po tnto, un cuso puede deslizse po su ect de posición; peo no puede sli de ell, pues esultí oto vecto difeente. - fijos o ligdos un punto: tienen su punto de plicción definido. Po consiguiente, no pueden se desplzdos de su posición en el espcio. Dos vectoes culesquie (lies, cusoes o fijos) que tienen igul módulo, diección y sentido se denominn equipolentes. 4.- ADICIÓN DE VECTORES Def.: Ddos y, se define su sum s, y se epes s = +, como un vecto estlecido sí: + se llevn y coincidi sus oígenes. + se constuye el plelogmo que deteminn. + el vecto digonl, de oigen común, es el vecto sum s. 5.- MULTIPLICACIÓN POR UN Nº REAL Def.: Ddo el vecto y el nº el m, se define el poducto de po m, y lo epesmos p = m, como un vecto estlecido sí: + su módulo es p = m + su diección es l del vecto + su sentido es el de si m > 0, u opuesto l de si m < 0 Ejemplo: vése l figu djunt

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 14 6.- PROPIEDADES Ddos los vectoes, y c, y los númeos eles m y n, se veificn ls popieddes: ) + = + ) ( + ) + c = + ( + c ) c) m = m d) m (n ) = (m n) e) (m + n) = m + n f) m ( + ) = m + m 7.- CONSECUENCIAS: i) Vecto opuesto: Ddo, el vecto - es el nteiomente definido como vecto opuesto l. En efecto, - = (-1) ii) Rest de dos vectoes: l difeenci d de dos vectoes, y, es el vecto sum de más el opuesto l : d = - = + (- ) iii) Todo vecto puede epesse como poducto de su módulo po el veso â que indic su diección y sentido: = â iv) Descomposición de un vecto en dos diecciones coplnis con él. Ddos el vecto y ls dos diecciones, 1 y 2, que fomn un plno con él (coplnis), se tt de encont dos vectoes 1 y 2, situdos espectivmente en ls diecciones dds, tles que = 1 + 2 A estos vectoes se les denomin componentes de según dichs diecciones. 8.- VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL: COMPONENTES CARTESIANAS A) Componentes ctesins: Se el efeencil ctesino OXYZ, en el espcio tidimensionl. Elijmos tes vesoes según los sentidos positivos de los tes ejes coodendos: î, ĵ y kˆ. Todo vecto lie se puede descompone sí: = + y + z

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 15 Puesto que = î, y = y ĵ, z = z kˆ l nteio epesión puede esciise: = î + y ĵ + z kˆ o fomlmente tmién sí: = (, y, z ), y y z se denominn componentes ctesins del vecto ; son númeos eles, positivos o negtivos. Po plicción del teoem de Pitágos se puede ve fácilmente que el módulo del vecto y sus tes componentes veificn: 2 = 2 + y 2 + z 2 o ien = Ej.: El módulo del vecto = - 2 i + 3 j = ( -2, 3, 0 ) es = 4 + 9 = 13 B) Sum y poducto po un nº el: + = ( + ) î + ( y + y ) ĵ + ( z + z )kˆ m = m î + m y ĵ + m z kˆ 2 + 2 + 2 (1) y z - Cd componente del vecto sum es l sum de ls componentes coespondientes de dichos vectoes. - Cd componente del vecto poducto po un nº el es el poducto del nº el po l coespondiente componente del vecto. Ej.: = ( 0, -2, 1 ) = ( 3, -3, -1 ) m = -2 + = ( 3, -5, 0 ) m = ( 0, 4, -2 ) 9.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Def.: Ddos dos vectoes, y, su poducto escl se define po el nº el que se otiene multiplicndo sus módulos po el coseno del ángulo que fomn. Se epes sí:. =.. cos ϕ (2) El poducto escl veific ls siguientes popieddes: i). =. pues cos (-ϕ) = cos ϕ ii).( + c ) =. +. c iii). =. poy =. poy y que poy =.cosϕ y poy =.cosϕ

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 16 Así pues, el poducto escl de dos vectoes es igul l poducto del módulo de uno de ellos po l poyección del oto soe él. iv) En coodends ctesins:. = ( î + y ĵ + z kˆ ). ( î + y ĵ + z kˆ ) = î. î + y î. ĵ + z î. kˆ + y ĵ. î + y y ĵ. ĵ + y z ĵ. kˆ + z kˆ. î + z y kˆ. ĵ + z z kˆ. kˆ Puesto que î. î = ĵ. ĵ = kˆ. kˆ = 1 y î. ĵ = î. kˆ = ĵ. kˆ = 0, esult:. = + y y + z z (3) v) Ángulo detemindo po dos vectoes. De l definición de poducto escl se deduce que:. + y y + zz cos ϕ = =. 2 2 2 2 2 2 + +. + + y z y z (4) vi) Condición de pependiculidd de dos vectoes: Dos vectoes, y, son pependicules sii su poducto escl es nulo. sii. = 0 En función de ls componentes de los vectoes: sii + y y + z z = 0 (5) Ej. 1º: Ddos los vectoes = 2 i k y = 2 i + 3 j, su poducto escl es:. = + y y + z z = (-2)2 + 03 + (-1)0 = 4 Como = 5 y = 13, el coseno del ángulo que fomn mos vectoes es:. 4 cos ϕ = = = 0. 49619 y el ángulo ϕ = 119 7449º = 119º 44 42. 5 13 Ej. 2º: Ddos los vectoes = 2 i k y c = i + 3 j 2m k, cuál dee se el vlo de m p que mos vectoes sen pependicules? + y y + z z = 0 es deci (-2)1 + 03+(-1)(-2m) = 0 o se -2 + 2m = 0 m = 1

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 17 10.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Def.: Ddos dos vectoes, y, se define su poducto vectoil como un vecto v - cuyo módulo es v =..sen ϕ siendo ϕ el ángulo fomdo po mos vectoes, - cuy diección es noml l plno detemindo po mos vectoes, - cuyo sentido es el de vnce de un tonillo que gi del pime vecto l segundo po el cmino más coto. Se epes sí: v = y su módulo sí: v =.. sen ϕ (6) Se puede compo que: i) El módulo del poducto vectoil es igul l áe del plelogmo detemindo po los vectoes. En efecto (ve figu), llmndo S l áe del plelogmo: S =.h =..sen ϕ ii) El poducto vectoil es nticonmuttivo: = iii) Condición de plelismo de dos vectoes: = 0 iv) Ley distiutiv: ( + c ) = + c v) Ley socitiv especto de los escles: m ( ) = (m ) = (m ) vi) El poducto vectoil no es socitivo: ( c ) ( ) c vii) En téminos de sus componentes ctesins, l epesión del poducto vectoil es: = ( î + y ĵ + z kˆ ) ( î + y ĵ + z kˆ ) = ( î î ) + y ( î ĵ ) + z ( îkˆ ) + y ( ĵî) + y y ( ĵĵ) + y z ( ĵkˆ ) + z ( kˆî ) + z y ( kˆĵ ) + z z ( kˆkˆ ) Puesto que î î = ĵ ĵ = kˆ kˆ = 0 y î ĵ = kˆ ĵ kˆ = î kˆ î = ĵ esult:

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 18 = ( y z - z y )î + ( z - z )ĵ + ( y - y ) kˆ = î ĵ y kˆ z (7) y z viii) Condición de plelismo de dos vectoes, en función de sus componentes ctesins: = 0 O se, î ĵ y y kˆ z z = 0 es deci, y z z y z z y y = 0 = 0 = 0 Po lo tnto, = y = z y z (8) Así pues, dos vectoes son plelos ente sí cundo sus componentes ctesins espectivs son popocionles. Ej. 1º: Hll el poducto vectoil de los vectoes = 2 j k y = 2 i 2 k. = î ĵ y y kˆ z z = î 0 2 ĵ 2 0 kˆ 1 2 = 4 î - 2 ĵ + 4kˆ Ej. 2º: Ddos = ( 3, -2, -1 ) y c = ( 2m, 6, 3 ), po que p que mos vectoes sen plelos dee veificse que m = - 4 5. Y p que sen pependicules, m = 2 5. En efecto: + Plelos: 3/2m = -2/6 = -1/3 m = - 4,5 + Pependicules: 32m + (-2)6 + (-1)3 = 0 m = 2,5 11.- DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO DE UN ESCALAR Se un vecto cuys componentes son funciones continus de un pámeto escl t. Dicho vecto se epes como (t) y epesent un función vectoil de vile escl. (t) = (t) î + y (t) ĵ + z (t)kˆ donde en genel ls tes componentes son función de l vile: (t), y (t), z (t) L deivd del vecto especto de dicho pámeto escl t es: d d d y dz = î + ĵ + kˆ

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 19 Ls pinciples egls de deivción, suponiendo que (t), (t) y f(t) son funciones del pámeto escl t, son: d ( + d (. ) = ) = d + d. d + d. d df (f ) =. d ( ) = d d + f. + d

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectoil 20 ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Clcul ls componentes ctesins del vecto que tiene po oigen el oigen de coodends, de módulo 5 uniddes, y que fom un ángulo de 53º 7' 48'' con el eje de sciss. Ls componentes del vecto pedido son: =.cos α = 5.cos 53º7 48 = 3 y =.sen α = 5.sen 53º7 48 = 4 L epesión del vecto en componentes es : = i + y j = 3 i + 4 j 2.- Ddos los vectoes = 2 i + j - 2k y = - 5 i + 3 j - 6k, clcul su sum s = +, su difeenci d =, y el vecto unitio u en l diección y sentido de. L sum es: s = + = (2 5) i + (1 + 3) j + (- 2 6)k = - 3 i + 4 j - 8k L difeenci es: d = = (2 + 5) i + (1-3) j + (- 2 + 6)k = 7 i - 2 j + 4k El módulo del vecto es: = 4 + 1+ 4 = 3 El vecto unitio u es: u 2 1 2 = = i + j k 3 3 3 3.- Ddos los vectoes = 2 i - j - 2k y = 6 i - 2 j + 3k, clcul el ángulo que fomn ente ellos. Los módulos de los vectoes son: = 4 + 1+ 4 = 3 y = 36 + 4 + 9 = 7 El poducto escl de los vectoes es:. = 26 + (-1)(-2) + (-2)3 = 12 + 2 6 = 8. 8 Como cos α = = = 0. 381, el ángulo α vle: α = 67.6073º = 67º 36 26. 37 4.- ) Qué fuez mgnétic F m se ejece soe un cg eléctic de 6 µ C que se mueve 4 con un velocidd v = ( 2i 3 j k)10 m/ s en el seno de un cmpo mgnético 3 B = ( 3 j 2k)10 tesls? Se veific que = q(v B). F m ) Cuánto dee vle el cmpo eléctico E p que l fuez eléctic F e ejecid soe dich cg nule l fuez mgnétic F m? ) L fuez mgnétic se hll veificndo el poducto vectoil que l define: î ĵ kˆ 6 4 3 = q(vb) = 610 10 10 2 3 1 = (9 i + 4 j + 6k 5 ) 6 10 newtons F m 0 3 2 ) L fuez eléctic y el cmpo eléctico veificn: F e = q. E Según el enuncido ), se dee cumpli que: F e = Fm 5 Fe Fm (9î + 4ĵ + 6kˆ).610 Po tnto: E = = = = ( 90î 40ĵ 60kˆ ) newtons/culomio 6 q q 610