MÁSTER EN FORMACIÓN DEL PROFESORADO. DISTANCIAS INACCESIBLES. TRABAJO PRÁCTICO. AUTORAS: IONELA FLOAREA JULA. MARÍA ANTONIA MAQUEDA MARÍN. MARÍA VELÁZQUEZ MUÑOZ. ASIGNATURA: MATEMÁTICAS, SOCIEDAD Y CULTURA. PROFESOR: PEDRO JOSÉ HERRERO PIÑEYRO. FECHA DE ENTREGA: 12/01/2011.
ÍNDICE ACTIVIDAD 1: ALTURA DE UN OBJETO CON BASE ACCESIBLE 2 ACTIVIDAD 2: ALTURA DE UN OBJETO CON BASE INACCESIBLE...4 ACTIVIDAD 3: TRAZADO DE UN TÚNEL..7 ACTIVIDAD 4: ANCHURA DE LA BALSA..9 1
ACTIVIDAD 1: ALTURA DE UN OBJETO CON BASE ACCESIBLE. Nuestro objetivo es hallar la altura de una farola situada cerca de las escaleras de la entrada a la Facultad de Matemáticas. Lo vamos a hacer por el método de tangencia. Hicimos la medición usando una especie de Teodolito casero que nos facilitó el profesor. D OJO DEL OBSERVADOR α = 66º β = 24º X 1.60 m DISTANCIA ENTRE NOSOTRAS Y LA FAROLA = 6 m Elegimos como punto de referencia uno cualquiera, ya que esto no influye para nada. Medimos la distancia desde la persona hasta la farola con la cinta métrica, y también la altura desde el ojo de la persona hasta el suelo. A partir de ahí, ya podíamos hacer los cálculos. Para averiguar la altura de la farola mediante tangencia, necesitamos conocer la distancia que hay desde la posición en la que estábamos hasta la farola, la altura de quien realiza la medición y el ángulo que hay al mirar desde el punto de vista hasta el punto más alto de la farola. Nos salió un ángulo de 66º, puesto que cuando miramos al frente marca 90º, es decir, cuando nuestra inclinación es 0º, éste marca 90º. Entonces restamos 90º menos el ángulo que tenemos; así obtenemos nuestra inclinación real. 2
Con los datos, sustituimos en la fórmula para hallar la tangente. Despejamos X, es decir, la distancia desde nuestra posición a la farola: Para terminar hay que sumarle a esa medida obtenida la altura del observador. De este modo tenemos: Altura farola = 1,60m + 2,671m = 4,271 metros. 3
ACTIVIDAD 2: ALTURA DE UN OBJETO CON BASE INACCESIBLE. Nuestro siguiente objetivo es medir la altura a la que está situada la antena del edificio de la Facultad de Matemáticas desde el pie de la escalinata que da acceso a la misma, desconociendo la distancia desde donde la medimos al edificio. Para ello, utilizamos el sistema de doble tangencia, que relaciona dos ángulos mediante un sistema de dos incógnitas. Seguimos los siguientes pasos: 1. Observamos la antena desde un punto cercano, y después desde otro más lejano, intentando que la distancia entre ambos sea considerable. 2. Medimos los ángulos con el teodolito y la distancia entre ambas posiciones con la cinta métrica, puesto que la altura del suelo a nuestro ojo ya la conocíamos. A X α = 30º β = 25º B C F Y 10,20m 1,60m Y + 10,20 m 4
Ángulo desde un punto C hasta la altura de la antena: 90º - 60º = 30º. Distancia del punto C al punto F: 10,20 metros. Ángulo desde un punto F hasta la altura de la antena: 90º - 65º = 25º. Altura del observador: 1,60 metros. Ahora operamos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Utilizamos el Método de Igualación y nos queda: Entonces: Entonces, la distancia entre los puntos B y C es de aproximadamente 42,847 metros. Ahora sustituimos el valor Y en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores y obtenemos lo siguiente: 5
La altura desde el ojo hasta la altura donde se sitúa la antena es de aproximadamente 24,738 metros. Ahora hemos de sumarle la altura del observador para calcular a la altura que se encuentra la antena respecto al suelo. Altura = 24,738m + 1,60m = 26,338 metros. 6
ACTIVIDAD 3: TRAZADO DE UN TÚNEL. Nuestro siguiente objetivo es realizar las mediciones necesarias para el trazado de un túnel con entrada al pie de la escalinata de entrada a la Facultad de Matemáticas y salida tras el aparcamiento de bicicletas que hay en la explanada anterior a la Facultad de Documentación. Determinando la dirección en la que hay que excavar por ambos lados, con el fin de que los túneles se encuentren. Así pues, como Eupalinos hizo en el siglo VI a. C. por orden del tirano Polícrates con el fin de construir un túnel para llevar agua atravesando el monte Castro, seguimos los siguientes pasos para realizar las mediciones necesarias para determinar la dirección en la que tendríamos que excavar por ambos lados: 1. Medimos un pie, cuya medida era de 0,25 m. 2. Bordeamos el edificio desde el punto de entrada (E) hasta el punto de salida (S) del túnel a construir y el esquema del recorrido contando pies es el siguiente: 6,25m E 5m 10m S 17m 14m 50m 2m 8m 12m 2m 9m 3m 3m 15m 4m 4m 8m 3m 9m 4m A Una vez teniendo las medidas de los segmentos dibujados en trazo continuo, a partir de éstas podemos obtener fácilmente las del triángulo imaginario SAE. Por un lado, sumamos los tramos verticales, los de color rojo por una parte y los de color verde por otra y los restamos: Tramos de color rojo - Tramos de color verde = 26m - 17m = 9m. Así pues, tendremos que la altura del triángulo será de 9m. Es decir, EA = 9m. 7
Por otro lado, sumamos los tramos horizontales, los tramos negros, y tenemos un total de 145,25m. Así pues, tendremos que la base del triángulo será de 145, 25m. Es decir, SA= 145,25m. Por tanto, conocidas estas longitudes, podemos construir fácilmente el triángulo SOR, de manera que sea homotético a nuestro triángulo SAE: Dibujamos los lados SO y RO paralelos y proporcionales a SA y a EA respectivamente. Sólo habrá que prolongar la línea RS para salir por el lugar señalado con una E. E O S A R Si deseamos conocer previamente las dimensiones del túnel, bastará con aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo SAE. Así pues, vamos a calcular cuál será la longitud del túnel y los ángulos que dan la dirección con la que se tiene que excavar tanto por el punto S como por el E. Longitud del túnel: Ángulos: 8
ACTIVIDAD 4: ANCHURA DE LA BALSA. Nuestro último objetivo es determinar la anchura de la balsa de la depuradora que se encuentra delante de la Facultad de Matemáticas. Para ello, seguimos el siguiente procedimiento: 1. Elegimos un punto determinado al otro lado de la balsa de la depuradora, por ejemplo un palo de la balsa (Punto A). 2. Del punto A trazamos una línea imaginaria sobre la longitud que queríamos medir, que tenía que ser perpendicular a la balsa para que la medida que obtuviéramos fuera la adecuada (Punto B). 3. Nos desplazamos a uno de los lados del punto de observación, también de manera perpendicular, a una distancia considerable (Punto C), CB = 6m. 4. Desde el punto C caminamos de manera perpendicular al cauce, alejándonos de la balsa para establecer un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 2m. 5. Desde el punto D miramos hacia el punto de referencia al otro lado de la balsa y marcamos una línea imaginaria AD, que corta la recta CD en el punto E. 6. Desde el punto E medimos el ángulo que formaban AB y EA, que medía 10º. 9
En el triángulo EAB, m ( EAB) = 10º. El ángulo EDC mide también 10º (porque los dos triángulos son semejantes y los ángulos EAB y EDC son iguales como ángulos alternos internos). El ángulo DEC mide 80º (porque la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, el triángulo es rectángulo y el ángulo EDC mide 10º). En el triángulo ECD: 10
Los triángulos ABE y DCE son semejantes. Tenemos: Luego, la anchura de la balsa es de 32,3 metros. 11