Probabilidad y Estadística Tema 10 Estadísticos muestrales y sus aplicaciones Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Describir las propiedades de los estadísticos muestrales. Describir las aplicaciones de los estadísticos muestrales.
Introducción al tema En un sistema para la administración de almacenes de productos perecederos, se desarrollo un módulo de calidad cuyo objetivo era garantizar que el producto que entraba a las tiendas cumpliera con los requisitos mínimos de calidad. Introducción al tema Un punto importante dentro de la definición de los parámetros de calidad era la definición del tamaño de la muestra. Es decir, cuántos kilos de fruta de un camión de 2 toneladas deberían tomarse para evaluar la calidad?, cuántas piezas de carne serían suficientes para determinar si todo el embarque recibido cumplía con los requisitos mínimos de calidad esperados? En este tema, conoceremos los conceptos de muestreo y conoceremos los estimadores muestrales y sus aplicaciones, así como también revisaremos las principales aplicaciones que tiene un estimador.
Conceptos básicos La imposibilidad física de revisar todos los integrantes de una población. El costo de estudiar a toda la población a menudo pudiera ser prohibitivo. La naturaleza de ciertas pruebas destructivas. Por qué obtener una muestra de la población? El tiempo que se requiere para completar al estudio es limitado. Conceptos básicos Cada integrante de la población tiene probabilidad ser incluido en la muestra. Muestra probabilística Garantiza que un estudio de una población basado en una muestra es válido.
Métodos de muestreo probabilístico Muestra aleatoria simple Muestra aleatoria sistemática Muestra aleatoria estratificada Muestra conglomerada Se formula de manera que cada integrante de la población tenga la misma probabilidad de quedar incluido. Se determina ordenando los integrantes de la población por algún método, se selecciona al azar un punto de inicio y después se elige cada k-ésimo elemento de la población. Se separa la población en subgrupos denominados estratos, y se selecciona una muestra de cada estrato. Se subdivide una región en áreas y se seleccionan ciertas áreas al azar pare realizar una selección de la muestra. Métodos de muestreo probabilístico Es poco probable que la media muestral sea idéntica a la media poblacional. De igual forma, la desviación estándar calculada a partir de la muestra, probablemente no será la exactamente igual al valor correspondiente de la población. A la diferencia entre una estadística de muestra y su parámetro poblacional correspondiente se le denomina error de muestreo, atribuible simplemente al azar.
Estadísticos muestrales Media muestral Varianza muestral Desviación estándar muestral Un estadístico muestral es una medida cuantitativa de una muestra aleatoria, usado para estimar una medida cuantitativa poblacional. Media muestral La media aritmética es la medida de tendencia central de uso más amplio. La media de una muestra se obtiene con la siguiente fórmula. Donde: = Media muestral X = Valor específico de la muestra n = Número total de observaciones
Media muestral Los pesos netos en gramos de cinco envases de un perfume, seleccionados en forma aleatoria de la línea de producción son: 84.4, 85.3, 84.9, 85.4 y 85.0. Cuál es la media de las observaciones muestrales de los pesos de los envases? Aplicando la fórmula de media muestral: La media aritmética muestral de los pesos de los envases es de 85.2 gramos. Varianza muestral La conversión de la fórmula poblacional a la muestral, no es tan directa; se debe hacer una ligera modificación en el denominador. Donde: = Varianza muestral = Media muestral X = Valor específico de la muestra n = Número total de observaciones
Varianza muestral Los sueldos por hora en una muestra de trabajadores de medio tiempo son: $2, $10, $6, $8 y $9. Cuál es la varianza poblacional? Calculando la media muestral: El sueldo por hora promedio de la muestra es de $ 7 Varianza muestral Para obtener la varianza muestral, tenemos: Utilizando la fórmula, tenemos: La varianza muestral es de $ 10
Desviación estándar muestral La desviación estándar muestral se utiliza como un estimador de la desviación estándar poblacional. Donde: s = Desviación estándar muestral = Media muestral X = Valor específico de la muestra n = Número total de observaciones Desviación estándar muestral La varianza muestral del ejemplo anterior para los sueldos por hora se calculó como 10. Cuál es la desviación estándar de la muestra? La desviación estándar muestral es de $3.16, obtenida de la raíz cuadrada de 10.
Propiedades de un estadístico muestral Se dice que un estadístico muestral es insesgado cuando el valor esperado del estadístico muestral, es igual al estadístico poblacional. Estadístico muestral insesgado. Un estadístico muestral es eficiente cuando el error estándar del estadístico sea igual a 0. Eficiencia de un estadístico muestral. Se dice que un estadístico muestral es consistente si su valor tiende a estar más cerca del parámetro poblacional, a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Consistencia de un estadístico muestral. Propiedades de un estadístico muestral Suficiencia de un estadístico muestral. Un concepto de reciente introducción es el de la suficiencia de un estadístico, fue introducido en 1922 por el científico inglés Ronald Fisher. Se dice que un estadístico es suficiente para la inferencia estadística, si contiene toda la información acerca de la función de distribución poblacional.
Aplicaciones de los estadísticos muestrales Estimación puntual. Utiliza los estadísticos muestrales para determinar el valor de un parámetro desconocido de una población. Pruebas de hipótesis. Procedimientos basados en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad empleada para determinar. Si la teoría es razonable no debe rechazarse, de lo contario, debe ser rechazada. Cierre Con el fin de solventar los diferentes problemas a los que se enfrentan las compañías y los investigadores a la hora de estudiar un problema, se establecieron métodos de muestreo estadístico que permitan inferir información acerca de toda una población. Los métodos de selección de muestras con el mismo objetivo en común: garantizar que cada elemento de la población tiene probabilidad de ser elegido como parte de la muestra. Lo métodos puede aplicarse en diferentes situaciones o combinados.
Cierre Para garantizar que un estadístico muestral se considere como un buen estimador de una población, dicho estadístico muestral debe ser insesgado, eficiente y consistente, pues de ello depende de que el estudio realizado en la muestra tenga alguna utilidad en el análisis de toda la población. En el siguiente tema profundizaremos en el estudio de los estimadores puntuales, así como su aplicación en la estadística descriptiva. Te invito a que juntos sigamos aprendiendo los conceptos de inferencia estadística. Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulos: 1 y 5. Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill.
Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI