Campo magnético en el vacío.

Campo magnético en el vacío.

El campo magnético. Intoducción históica (I). Desde la Gecia Clásica (Tales de Mileto 640 610 ac a 548 545 ac) se sabe que algunas muestas de mineal de magnetita tienen la popiedad de atae el hieo. El nombe de Magnetismo pocede de Magnesia, la egión de Gecia donde podía encontase magnetita natual. aa el siglo XI dc, los chinos habían descubieto que el aceo se puede magnetiza si se lo expone o se lo golpea con un imán lo suficientemente potente y que una aguja de aceo magnetizada, si se dejaba gia libemente, apuntaba hacia el note.

El campo magnético. Intoducción históica (II). El estudio del magnetismo no se hizo de foma científica hasta el siglo XVI. El pime libo científico de magnetismo es De Magnete (1600), de Gilbet (1540 1603). Gilbet, usando agujas y limaduas de hieo encontó que: 1) La atacción que un imán ejecía sobe el hieo se localizaba sobe dos egiones del imán, a las que llamó polos. ) Los polos de un imán no se podían sepaa dividiendo el imán en dos o limando el imán. 3) Los polos son de dos tipos, a los que llamó Note y Su. olos de distinto tipo se ataen y polos del mismo tipo se epelen.

El campo magnético. Fuentes del campo magnético. En 180, el físco danes Hans Oested encontó que el paso de una coiente eléctica hacía cambia la oientación de la aguja de una bújula en sus inmediaciones. Como en el siglo XIX se popuso el concepto de campo paa explica las acciones a distancia, su conclusión fue que una coiente eléctica poduce un campo magnético. Este descubimiento fue muy impotante paa su época, poque: 1) Significa que las fuentes de campo magnético son las cagas elécticas en movimiento (a nivel cuántico existen otas). ) Como el movimiento de las cagas elécticas se da po la acción de un campo eléctico, significa que existe una conexión ente electicidad y magnetismo.

Ley de iot y Savat. Enunciado paa un elemento de coiente. Continuando los tabajos de Oested, iot y Savat encontaon que el campo magnético ceado po una coiente eléctica I que cicula po un conducto ectilíneo muy coto, de longitud l, está dado po: Oz l Oy α Ox l µ o I l = 3 4 π vecto con la diección del hilo que pota la coiente y cuyo módulo es igual a la longitud del hilo. vecto que une un punto del hilo con el punto en el que estamos calculando el campo. A la constante µ o se la llama pemeabilidad magnética del vacío. Su valo es µ o = 4πx10 7 Tesla.m /Ampeio.

Ley de iot y Savat. Relaciones geométicas (I). El signo x que apaece en la expesión: significa poducto vectoial µ o I l = 3 4 π Oz l Oy α Ox De las popiedades del poducto vectoial se deduce que: 1) El vecto es pependicula tanto a l como a. µ o I l 4 π ) Su módulo vale: = seno α donde α es el ángulo que va del vecto l al vecto. 3) Su sentido viene dado po la egla de la mano deecha.

Ley de iot y Savat. Relaciones geométicas (II). Regla de la mano deecha. Oz Oy µ o I l = 3 4 π l α Ox

Ley de iot y Savat. Enunciado paa un conducto cualquiea (I). aa calcula el campo magnético ceado po un conducto con una foma cualquiea, se supone que cada pequeño tamo del conducto dl hace una contibución al campo d dada po la Ley de iot y Savat. Oz Oy l α Ox d = µ o Id l 4 π ( ) vecto de posición del punto donde se calcula el campo. vecto de posición del elemento de coiente que cea el campo. 3

Ley de iot y Savat. Enunciado paa un conducto cualquiea (II). El campo magnético total se obtiene de suma las contibuciones de todos los elementos de longitud del conducto: Oz Oy µ o d l I 4 π ( ) = 3 l α Ox La unidad del campo magnético en el SI es el Tesla (T). Un submúltiplo muy usado es el Gauss (g): 1 gauss = 10 4 T.

Ley de iot y Savat. Enunciado paa una densidad de coiente. Si el conducto no puede considease un hilo, sino que tenemos que tene en cuenta su espeso o bien que la coiente no está distibuida unifomemente es su inteio, la expesión paa calcula el campo es: j ( ) µ o j dv j 4 π = 3 l Vecto densidad de coiente. dv Elemento de volumen del conducto. I = j n S l = n l I l = j n S n l ( )( ) S Como los vectoes n y j son paalelos: I l = j ( S l ) = j V

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una caga en movimiento (I). Hemos visto que paa una densidad de coiente: µ o j dv 4 π j dv eo vimos que el vecto densidad de coiente vale: j = nq v Luego: ( ) = 3 v q n Vecto densidad de coiente. Elemento de volumen del conducto. velocidad de los potadoes de caga. caga de los potadoes. Númeo de potadoes po unidad de volumen. µ o nq v dv 4 π = 3 ( )

En: Ley de iot y Savat. Campo ceado po una caga en movimiento (II). µ o nq v dv 4 π = 3 ( ) ndv Es el númeo de potadoes de caga en el elemento de volumen dv. Oz Oy Luego el campo magnético ceado po un único potado de caga es: q v α = µ o q v 4 π ( ) 3 Ox

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (I). Ox Geometía del poblema Oz d l z ϕ I α a e ϕ e d = Vectoes que apaecen en la Ley de iot y Savat. Oy µ o Id l 4 π ( ) d l = dz e z = a e = z e Otas elaciones que se deducen del esquema: p = a + z z tan α = a 3 z

Ox Geometía del poblema Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (II). Oz d l z ϕ I α a e ϕ La diección del vecto d es pependicula a p y dl, luego d es paalelo al vecto e ϕ. e d = Oy d µ o Id l 4 π ( ) 3 d = d e ϕ Y el módulo del vecto d vale: d = µ I d l o 4 π ( ) 3

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (III). Oz d l z I Vista lateal φ α α a e d = d e ϕ o las popiedades del poducto vectoial: Luego: eo: d = d l d = µ o I cos α dz 4 π ( ) = dz seno φ p µ I d l o 4 π π seno φ = seno + α = d = p µ ( ) 3 cos α I cos α dz o 4 π a + z

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (IV). Ox Geometía del poblema Oz d l z ϕ I α d = d e a e ϕ ϕ Usando que: e d = d tan α = Oy d µ o I cos α 4 π a = z a Como: cos α = dz = a 1 dz + z a d α cos α a + z µ o cos α ad α I cos α 4 π a cos α

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (V). Geometía del poblema Oz d l z d = d e ϕ µ o d = I cos α d α 4 π a Tenemos ahoa que intega paa halla el campo total ceado po el hilo. Si el hilo es infinito, ecoemos el hilo cuando α vaía desde π/ hasta π/. Ox ϕ I α a e ϕ e Oy d = µ o I 4 π a π α = cos α d α π α = µ π α o [ seno α ] = π π a α = = I 4

Ley de iot y Savat. Campo ceado po una coiente ectilínea (IV). µ o I v = e π a ϕ Oz Conclusiones: 1) El módulo del campo disminuye con la invesa de la distancia al hilo. Ox ϕ α ) Las líneas de campo son cicunfeencias centadas en el hilo cuyo sentido viene dado po la egla de la mano deecha. Oy e ϕ e I

Ley de iot y Savat Líneas de campo ceado po una espia. Las líneas de campo magnético son líneas ceadas que ataviesan el plano de la espia. El sentido de gio de las líneas de campo viene dado po la egla de la mano deecha.

Ley de iot y Savat Líneas de campo ceado po un imán con magnetización unifome. Las líneas de campo magnético son líneas ceadas que entan en el imán po el polo note y lo abandonan po el polo su. Si dividimos el imán en dos mitades, en el plano de sepaación ente las dos mitades apaece un polo note y un polo su, de modo que no podemos obtene un polo aislado.

Ley de consevación del flujo magnético. Enunciado. Al igual que hicimos paa el campo eléctico, podemos defini el flujo del campo magnético a tavés de una supeficie S como: φ = m S d S Como hemos visto en los ejemplos anteioes las líneas de campo magnético son cuvas ceadas. Esto significa que el flujo del campo magnético a tavés de una supeficie ceada es siempe ceo. φ m = d S = 0 S

Ley de consevación del flujo magnético. Ejemplo. aa las tes cuvas pintadas en la figua, el númeo de líneas de campo que entan en ellas es igual al númeo de líneas de campo que las abandonan.

Ley de consevación del flujo magnético. Consecuencias (I). De la condición: φ m d S = 0 = ueden sacase las siguientes conclusiones: 1) El campo magnético no tiene fuentes puntuales. S En el caso del campo eléctico, el flujo a tavés de una supeficie ceada es popocional a la caga eléctica en su inteio. Como paa el campo magnético el flujo a tavés de una supeficie ceada es ceo, eso significa que no existen cagas magnéticas. 1) El flujo magnético se conseva. El flujo magnético es el mismo a tavés de cualquie supeficie abieta que se apoye en el mismo contono. (Este es el mismo compotamiento que tiene el campo de velocidades de un fluido incompesible).

Ley de consevación del flujo magnético. Consecuencias (II). Que el flujo del campo magnético se conseve implica que el flujo magnético que pasa po el inteio de una cuva ceada puede calculase usando cualquie supeficie que se apoye en dicha cuva ceada. Demostación: S 1 n C S 1 S S n Las supeficies S 1 (amaillo) y S (vede) se apoyan en la cuva C y foman una supeficie ceada. Entonces: φ m = S S 1 d S = 0 o convenio, el vecto nomal a una supeficie ceada siempe apunta hacia el exteio del volumen que enciea la supeficie.

Ley de consevación del flujo magnético. Consecuencias (III). φ m Si hacemos la integal en cada supeficie po sepaado: = d S = n ds + S S S S 1 1 n ds = o convenio, el vecto nomal a una supeficie abieta siempe apunta hacia la diección dada po la egla de la mano deecha. S 1 n S 1 S n 1 S n 0 Eso significa que hemos de escoge un sentido de gio paa la cuva C. Escogemos el sentido dado po las flechas azules. Eso implica: n v n = v n = n 1

Ley de consevación del flujo magnético. Consecuencias (IV). φ m Sustituyendo los vectoes nomales a las supeficies S 1 y S : = n ds S 1 S 1 + n ds = S 1 n S 1 S n 1 S n 0 S n ds = 1 1 n ds S Y paa calcula el flujo magnético que ataviesa una supeficie ceada podemos usa cualquie supeficie que se apoye en esa cuva ceada.

Ley de Ampee. Ciculación del campo magnético. Como el flujo del campo magnético a tavés de una supeficie ceada es nulo, no podemos usa el Teoema de Gauss paa calcula campos magnéticos. Tenemos que busca un pocedimiento altenativo. Se llama ciculación del campo magnético a la integal: Donde C es una cuva ceada. d l C m es un segmento muy pequeño de la cuva C. es el valo del campo magnético en el segmento que estamos consideando. = l = l cos θ C = m C d l d l θ

e Ley de Ampee. Justificación (I). Calculemos la ciculación del campo ceado po un hilo de coiente ecto e infinito que tanspota una coiente I. e ϕ C d l Como cuva C, escogemos una cicunfeencia en un plano pependicula al hilo y con su cento en el hilo. Definición de ciculación. C = m C d l I a Campo ceado po el hilo. µ o I v π a Elemento de longitud del hilo. d l = ad ϕe = e ϕ ϕ

Ley de Ampee. Justificación (II). C m ϕ = π = ϕ = π Campo ceado po el hilo. µ o I e ϕ e ϕ ad ϕ π a Hemos obtenido: Elemento de longitud del hilo. µ o C m = I d ϕ = µ o I π ϕ = π ϕ = π d l = µ o I 1. Fíjate que este esultado no depende del adio de la cicunfeencia que escojamos.. uede demostase que el mismo esultado se obtiene usando cualquie cuva ceada que odee el conducto.

I 1 Ley de Ampee. Enunciado. En geneal, C C d l = µ o I total I S es deci, la ciculación del campo a lo lago de una cuva ceada C es igual al poducto de la pemeabilidad del vacío µ o po la coiente total I total que ataviesa una supeficie S que se apoye en dicha cuva ceada: A este esultado se le conoce como Ley de Ampee. I 3

Fueza de Loentz. opiedades. Expeimentalmente se compueba que*: El campo magnético no ejece ninguna fueza sobe cagas elécticas estacionaias. La fueza F que ejece un campo sobe una caga q que se mueve con velocidad v es popocional al poducto de q po los módulos de y v y el seno del ángulo θ que foman ambos vectoes. F = q v seno θ La fueza F es pependicula tanto al campo magnético como a la velocidad de la caga v. Nota: suponemos que las fuentes que cean el campo magnético están quietas y que medimos las velocidades de las cagas elécticas con especto a las fuentes del campo magnético.

Fueza de Loentz. Enunciado. Todas esas popiedades pueden esumise en la expesión: F = q v Oz v conocida como fueza de Loentz. La fueza de Loentz sobe una caga positiva viene dada po la egla de la mano deecha. q θ Oy Como [F]=N, [v] = m/s, [q]=c entonces, []=N/(C.m/s)=N/(A.m). Ox Es deci: 1 Tesla = 1 Newton/(Ampeio.meto)

Fueza de Loentz. Consecuencias (I). Como la fueza F que el campo ejece sobe la caga es pependicula a v, el campo magnético no ejece ningún tabajo sobe las cagas elécticas. δ W = F d s = F v dt = 0 Oz v Esto significa que: Como el campo no hace tabajo sobe la caga, no puede cambia su enegía cinética, y tampoco el módulo de su velocidad. q θ F Oy Al move una caga dento de un campo magnético, no cambia su enegía potencial. o tanto, no se puede defini un potencial magnético. Ox

Fueza de Loentz. Consecuencias (II). Consideemos una caga q que se mueve con velocidad v en el seno de un campo magnético unifome. Si descomponemos la velocidad de la patícula en la foma: Componente de la velocidad paalela al campo magnético. v = v + v Sólo la componente de la velocidad pependicula al campo magnético contibuye a la fueza de Loentz. 0 F Componente de la velocidad pependicula al campo magnético. v q v = q v + q v = v q Oz v v F Oy Ox

Fueza de Loentz. Consecuencias (III). Como la fueza es pependicula a, la aceleación a de la patícula siempe es pependicula a las líneas de campo. Como el módulo de la velocidad no puede cambia, la componente pependicula de la velocidad gia alededo de la línea de campo magnético. v q Oz a = v F m v F Oy Ox CONCLUSIÓN: La caga sigue una tayectoia en espial alededo de las líneas de campo.

Fueza de Loentz. Consecuencias. Ejemplos.

Fueza de Loentz Consecuencias.

Fueza sobe una coiente estacionaia. Deivación (I). Consideemos un pequeño segmento de un conducto que pota una coiente I, con: L Longitud del segmento. S Áea de la sección del segmento. n Númeo de potadoes de caga po unidad de volumen. La fueza F sobe el segmento de conducto es: q q 4 q 1 q 3 L S F = Fueza sobe un potado de caga ( q v ) ns L Volumen del segmento Númeo de potadoes de caga en el volumen.

Fueza sobe una coiente estacionaia. Deivación (II). atiendo de: Recodando que: q q 4 q 1 q 3 L S F = j = nq v I = j n S ( q v ) ns L s n s Vecto densidad de coiente Definición de intensidad de coiente n Definición de intensidad de coiente s U usando que los vectoes n s, L y v tienen la misma diección, queda: F = ( q v n ) S ( L ) = I L

Fueza sobe una coiente estacionaia. Caso paticula: un hilo ecto en campo unifome. La fueza sobe todo el hilo conducto que pota la coiente se encuenta de intega la expesión: F = I L ( ) A toda la longitud del hilo: F = I d L Oz I L F Oy Ox Si el campo es unifome y el hilo es ecto, el poducto dlx es constante a lo lago de todo el hilo y la fueza total queda: F = I L El vecto L tiene la diección de la coiente I y su módulo es la longitud del hilo.

Fueza ente coientes estacionaias. Caso paticula: hilos ectos paalelos. Consideemos dos hilos ectos paalelos, sepaados una distancia a, que tanspotan dos coientes I 1 e I con el mismo sentido. I Ox Oz I 1 El campo que cea la coiente I 1 en la posición del hilo I es: Oy µ o I = e π a Como esultado, la coiente I expeimenta una fueza: F = I L e = I L e ϕ z z µ o I 1 I F = π a L e µ o 1 I e π a ϕ

Espia conductoa en campo unifome. Fueza. Consideemos, po simplifica, una espia cuadada en un campo unifome, con su cento coincidiendo con el oigen de un sistema de coodenadas. F AC F = I L C Ox a α n A F AD Oz = a D o e z F EA α n La espia no expeimenta ninguna fueza poque las fuezas sobe cada uno se sus lados se cancelan dos a dos. E Oy F DE Este esultado es válido aunque la espia no sea cuadada. vecto nomal a la espia.

Espia conductoa en campo unifome. Momento. Sin embago, la combinación de las fuezas sobe sus lados da luga a un momento que intenta hacela gia. F AC M F El momento total sobe = Oz la espia es la suma de los momentos de las α = o e z fuezas que actúan F EA sobe sus cuato lados. C Ox a A n F AD a M T D M T α E Oy F DE Los momentos de la fueza sobe los lados EA y CD son nulos poque y F son paalelos. Momento total sobe la espia.

Momento sobe una espia conductoa. Deivación (III). M T Si obsevamos la espia a lo lago del lado CD. = 1 ( F ) + ( F ) = e a F seno α e a F seno α AC n DE α x Oz AC I F AC F DE x = 1 F DE DE = ai F AC I M T α Oy M T = ( a I seno α ) e x

Momento sobe una espia conductoa. Definición de momento magnético. M El esultado anteio puede expesase como: T = Al vecto: ( ) ( a I senoα e a I n ) x = m = a I n Se le llama momento magnético de la espia. M T = m En geneal, aunque la espia no sea cuadada: momento magnético = áea de la espia x intensidad x vecto nomal a la espia. La oientación del vecto nomal hay que escogela aplicando la egla de la mano deecha a la coiente que cicula po la espia. Las unidades del momento magnético son Ampeios x meto.

El dipolo magnético. Semejanza con el dipolo eléctico (I). Lejos de una espia de coiente, las líneas de campo magnético son similaes a las líneas de campo eléctico de un dipolo eléctico. Espia de coiente q q 1 dipolo eléctico

El dipolo magnético. Semejanza con el dipolo eléctico (II). Además de la semejanza de los campos, tenemos: Magnetismo. Momento sobe una espia en un campo unifome. M T = m Magnetismo. Enegía potencial de una espia en un campo unifome. U = m Electicidad. Momento sobe un dipolo eléctico en un campo unifome. M = p E Electicidad. Enegía potencial de un dipolo en un campo unifome. U = p E

= El dipolo magnético. Definición y campo. uede demostase, que lejos de una espia de coiente, el campo magnético ceado po la espia de coiente viene dado po: µ o O 3 5 π m C C O C 3 4 O O C Esta expesión: m No depende de la foma de la espia. Es fomalmente idéntica a la que da el campo de un dipolo eléctico.. o este motivo, cuando una espia de coiente es mucho más pequeña que la distancia a la que medimos su campo, decimos que actúa como un dipolo magnético. m O C momento magnético de la espia. vecto que une el cento de la espia con el punto C en el que se calcula el campo.