Matrices Particionadas Traza de una Matriz

CAPÍTULO Matrices Particionadas Traza de una Matriz Este capítulo consta de tres secciones Las dos primeras versan sobre matrices particionadas La tercera sección trata sobre la traza de una matriz En este capítulo se consignarán los principales resultados sobre la traza de una matriz Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La partición puede simplificar la escritura de A (ii) La partición puede exhibir detalles particulares e interesantes de A (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que involucran la matriz A 1 Submatrices Operaciones con matrices particionadas A veces es necesario considerar matrices que resultan de eliminar algunas filas y/o columnas de alguna matriz dada, como se hizo por ejemplo, al definir el menor correspondiente al elemento a ij de una matriz A [a ij] m n (véase el apartado 11 del capítulo 1) 1 Definición Sea A una matriz Una submatriz de A es una matriz que se puede obtener al suprimir algunas filas y/o columnas de la matriz A Ejemplo Las matrices S 1 S y S dadas a continuación, son submatrices de la matriz 1 A 6 8 9 0 1 1 S 1 (suprimiendo en A la fila y la columna ) 9 0 1 S 9 0 8 (suprimiendo en A la fila ) S 6 (suprimiendo en A la fila y las columnas 1 y ) Dada una matriz A [a ij] m n ; mediante un sistema de rectas horizontales o verticales se puede particionarla en submatrices de A (Matriz particionada), como se ilustra en el siguiente ejemplo: 6 a 11 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a

1 Submatrices Matrices particionadas Hecho esto, se puede escribir, usando una notación obvia: A11 A 1 A 1 A A 1 A A donde A 11 a 11 a 1 a 1 A 1 a 1 a 1 a a a a A 1 a 1 a a a1 A 1 a 1 a a A a a a A a Debe ser claro para el lector, que una matriz puede ser particionada de diferentes maneras, por ejemplo: A 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Tal vez, la principal conveniencia de particionar matrices, es que se puede operar con matrices particionadas como si las submatrices fuesen elementos ordinarios, tal como se establece en el teorema siguiente Teorema 1 Si las matrices A y B están particionadas así: A 11 A 1 A 1n B 11 B 1 B 1n A 1 A A n A 6 B B 1 B B n 6 A m1 A m A mn B m1 B m B mn y si las sumas A ij + B ij están definidas para i 1 m j 1 n entonces A 11 + B 11 A 1 + B 1 A 1n + B 1n A 1 + B 1 A + B A n + B n A + B 6 A m1 + B m1 A m + B m A mn + B mn Si las matrices A y B están particionadas así: A 11 A 1 A 1n B 11 B 1 B 1s A 1 A A n A 6 y B B 1 B B s 6 A m1 A m A mn B n1 B n B ns 18

Matrices particionadas 1 Submatrices y si el número de columnas de cada bloque A ik es igual al número de filas de cada bloque B kj; i 1 m k 1 n j 1 s entonces donde C ij k1 A ikb kj C 11 C 1 C 1s C 1 C C s AB 6 C m1 C m C ms Si la matriz A está particionada como en (1) y si α es un escalar, entonces αa αa 11 αa 1 αa 1n αa 1 αa αa n 6 αa m1 αa m αa mn Si la matriz A está particionada como en (1), entonces A T A T 11 A T 1 A T m1 A T 1 A T A T m 6 A T 1n A T n A T mn Los incisos (1), () y () del teorema anterior son fáciles de verificar La demostración del inciso () es laboriosa y no se haran Sin embargo, el lector interesado puede consultar una indicación de dicha demostración en [1] página 19 A continuación se ilustrará el inciso () de dicho teorema Si y entonces A AB 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 B 6 1 0 0 1 0 1 1 A 11 A 1 A 1 A 1 A A 6 B 11 B 1 B 1 A 11B 11 + A 1B 1 + A 1B 1 A 1B 11 + A B 1 + A B 1 19 8

1 Submatrices Matrices particionadas pues A 11B 11 A 1B 1 A 1B 1 1 0 0 0 0 0 ˆ 1 1 0 0 1 0 1 1 A 1B 11 [1] ˆ 1 ˆ 1 0 0 0 0 6 1 A B 1 ˆ 1 0 0 1 A B 1 ˆ 0 0 0 1 1 ˆ 1 ˆ 0 0 1 Ejercicios 1 Dadas A m n y B n k, muestre que: a) La fila i de AB es igual a la fila i de A por la matriz B; en símbolos AB) i A ib (Sug: Particione la matriz A por filas) b) La columna j de AB es igual a la matriz A por la columna j de B; en símbolos AB) j AB j (Sugerencia: Particione la matriz B por columnas) c) Si A tiene una fila nula, entonces AB tiene una fila nula d) Si B tiene una columna nula, entonces AB tiene una columna nula Si A B n n son matrices triangulares superiores (inferiores), muestre que: a) AB es una matriz triangular superior (inferior) b) AB ii A iib ii Considere las matrices triangulares superiores por bloques X Y U V M y N Z W Muestre que si el producto MN está definido, entonces MN es una matriz triangular superior por bloques Sean A B n n R), X Y n 1 R) y α β R Suponga que A B Si M B A X A + B)X αx y A B)Y βy, demuestre X α X Y β Y a) M X Y b) M Y A B Si A B n n R) y A es simétrica, muestre que la matriz M B T es simétrica A 6 Suponga que las matrices que abajo aparecen son de tamaño apropiado, donde I es la matriz identica y que A 11 es una matriz invertible Encuentre matrices X y Y tales que el producto que 0

Matrices particionadas Determinantes sigue tiene la forma indicada Encuentre además B I A 11 A 1 X I A 1 A Y I A A B 11 B 1 B B Determinantes e inversas de algunas matrices especiales En algunas situaciones es conveniente utilizar matrices particionadas para describir determinantes e inversas de ciertas matrices en términos de las submatrices En particular, los teoremas 6 y 11, son usados en la deducción de las distribuciones condicionales de un vector aleatorio con distribución normal multivariante (véase el Teorema 61 de []) Es bien conocido, que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es justamente el producto de los elementos de la diagonal principal La siguiente proposición enuncia un resultado análogo para matrices particionadas Proposición Sean A y C matrices cuadradas, A B 1 Si M entonces M A C C A Si M entonces M A C B C M Demostración Para la demostración del literal (1) usamos inducción sobre el orden n de la matriz Si n se tiene que M ac A C donde A B M C a b 0 c Suponga ahora que (1) es válida para n k y se demostrará que es válida para n k + 1 Sea M una matriz cuadrada de orden n k+1 particionada como en (1) Suponga además que B [b ij] r s y C [c ij] s s Si se denota por ˆB j a la submatriz de B que se obtiene suprimiendo en B la columna j y por Ĉj a la submatriz de C que se obtiene suprimiendo en C la columna j y la fila s, j 1 s Ahora, desarrollando el determinante de C por los cofactores de la fila s (véase el Teorema 1(1)), se obtiene: C c s1 1) s+1 Ĉ1 + c s 1) s+ Ĉ + + c ss 1) s+s Ĉs Así mismo, desarrollando el determinante de M por los cofactores de la fila k + 1 se obtiene: M c s1 1) k+1) s+1 A ˆB 1 0 Ĉ 1 + +c s 1) k+1) s+ A ˆB 0 Ĉ + + c ss 1) k+1) s+s A ˆB s 0 Ĉ s 1

Determinantes Matrices particionadas Utilizando la hipótesis de inducción se obtiene: M 1) k+1) s c s1 1) s+1 A Ĉ1 + c s 1) s+ A Ĉ + + c ss 1) s+s A Ĉs A c s1 1) s+1 Ĉ1 + c s 1) s+ Ĉ + + +c ss 1) s+s Ĉs A C Lo que completa la demostración de (1) La demostración de () se sigue del hecho de que M M T (teorema 1(1)) y del inciso (1) En efecto, se tiene: detm) detm T ) A T det B T C T deta T ) detc T ) deta) detc) Ejemplo Use partición de matrices y los resultados de la proposición anterior para calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes: M 0 0 6 9 y N 6 las cuales se pueden particionar respectivamente como sigue: 1 1 6 0 0 0 0 y Entonces M N 6 0 0 6 9 1 1 6 0 0 0 0 A B M 6 9 1 y N 1 1 A C B C 1

Matrices particionadas Determinantes El siguiente teorema brinda una alternativa para calcular determinantes de matrices más generales particionadas por bloques A B 6 Teorema Sean A y D matrices cuadradas y sea M C D 1 Si D es invertible, entonces M D A BD 1 C Si A es invertible, entonces M A D CA 1 B Demostración Se hará sólo la demostración del literal (1), el segundo resultado se verifica de manera análoga y se deja como ejercicio al lector I A BD 1 C B Sea S D 1 Entonces MS Ahora por el teorema 1(9) y por la C I D proposición anterior, se tiene: M M I I M S MS D A BD 1 C Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de este teorema y sus verificaciones se dejan como ejercicio Corolario Sean A B C y D matrices cuadradas de orden n y sea M la matriz dada por A B M C D 1 Si D es invertible y si DB BD entonces M DA BC Si A es invertible y si AC CA entonces M AD CB Si D y A es invertible, entonces M 1) n B C Si A y D es invertible, entonces M 1) n B C 8 Ejemplo Utilizando los resultados del corolario anterior se encuentran los determinantes para las matrices M y N dadas por: 1 1 1 M 1 y N 6 1 0 0 1 1 1 0 0 Se particiona ahora las matrices M y N de froma adecuada 1 A B Para M tomamos 1 siendo D [1] Puesto que D es una matriz invertible 1 1 1 C D entonces, M D A BD 1 C 1 1 1 Similarmente para N 6 1 A B 0 0 1 siendo A Dado que A es invertible 1 C 0 0 se tiene que M 1) B C 1

Determinantes Matrices particionadas 9 Proposición Sean A y C matrices cuadradas A B 1 La matriz M C invertible entonces A La matriz M B C invertible entonces es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es M 1 A 1 A 1 BC 1 C 1 es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es M 1 A 1 C 1 BA 1 La prueba de este resultado se propone como ejercicio El ejemplo siguiente, ilustra el inciso (1) de la proposición anterior 10 Ejemplo Verifique que la matriz es invertible y calcule su matriz inversa M 6 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 Observando la estructura de la matriz M se puede ver que una buena partición es: M 6 A B C C 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 Puesto que las matrices A y C son invertibles, entonces M también lo es y además, M 1 A 1 A 1 BC 1 C 1 6 1 1 0 0 0 0 1 0 0 El siguiente teorema presenta una fórmula para calcular inversas de matrices más generales 11 Teorema Sea B una matriz invertible particionada así: B11 B 1 B con B B 1 B 11 y B matrices invertibles Si B 1 está particionada así: B 1 A11 A 1 A 1 A donde A ii i 1 ), son matrices cuadradas de igual orden que la matriz B ii respectivamente entonces: 1 Las matrices A 11 y A son invertibles y sus inversas son las matrices B 11 B 11 B 1B 1 B1 y B 1 B B 1B 1 11 B1, respectivamente

Matrices particionadas Determinantes La matriz B 1 se puede expresar en términos de B 1 B 1 B 1 B 1 11 B 1 B1B 1 11 B 1 11 11 y B 1 1 B 1 11 B1B 1 1 B 1 1 B 1 11 B1B 1 B 1 1 B1B 1 11 B 1 1 La matriz B 1 también se puede expresar así: I k B 1 + donde k es el tamaño de B 11 B 1 B 1 B1 B 1 11 ˆ Ik como sigue ó B 1B 1 Demostración Partiendo de la definición de matrices inversas BB 1 B11 B 1 A11 A 1 I B 1 B A 1 A I se obtienen las igualdades (1) (a) B 11A 11 + B 1A 1 I (b) B 1A 11 + B A 1 (c) B 11A 1 + B 1A (d) B 1A 1 + B A I Premultiplicando ambos miembros de (1(b)) por B 1, se sigue: I B 1 B 1A 11 + A 1, o sea, A 1 B 1 B 1A 11 Sustituyendo A 1 en (1(a)) y factorizando A 11 por la derecha, se obtiene `B11 B 1B 1 B 1 A11 I Es decir, las matrices B 11 B 11 B 1B 1 B1 y A11 son inversas entre si Por otro lado, si se premultiplica ambos miembros de (1(c)) por B 1 11, se sigue: A 1 + B 1 11 B 1A, o sea, A 1 B 1 11 B 1A Sustituyendo A 1 en (1(d)) y factorizando A por la derecha, se obtiene: `B B 1B 1 11 B 1 A I Es decir, las matrices B 1 B B 1B 1 11 B1 y A son inversas una de la otra Por lo anterior, A 11 B 1 11 A 1 B 1 B1B 1 11 A 1 B 1 11 B1B 1 1 A B 1 1 La segunda expresión para B 1 del literal se obtiene procediendo de forma análoga, pero partiendo de la igualdad B 1 A11 A 1 B11 B 1 I B I A 1 A B 1 B I La demostración del literal se deja como ejercicio

Determinantes Matrices particionadas A continuación enunciamos y demostramos un teorema que involucra matrices particionadas y el rango de una matriz A11 A 1 1 Teorema Sea A, donde A A 1 A 11 es una matriz invertible r r Si ρa) ρa 11) entonces A A 1A 1 11 A1 Demostración Puesto que A 11 es una matriz invertible, entonces ρa 11) r (ver teorema 16) I Ahora, las matrices P y Q I A 1 11 A1 son invertibles, puesto que P A 1A 1 I 11 I Q 1 0 En consecuencia, por el teorema 1, la matriz A y la matriz A11 P AQ A A 1A 1 11 A1 tienen rango r Puesto que el número máximo de filas linealmente independientes de las matrices P AQ y A 11 es r (véase el teorema 1()), entonces necesariamente A A 1A 1 11 A1 o sea A A1A 1 11 A1 Ejercicios 1 Utilice matrices particionadas para calcular el determinante y la matriz inversa (si existe) de cada una de las matrices siguientes: 0 0 1 1 1 M 1 6 0 0 1 M 6 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Demuestre el inciso () del teorema 6 Demuestre el corolario Demuestre la proposición 9 Sean a b c y d escalares no nulos y sea n N Calcule el determinante y la matriz inversa, cuando exista, de la matriz ain bi n M ci n di n 6 Sean A una matriz cuadrada de orden n y B una matriz cuadrada de orden k Demuestre que si A C A M o si M, entonces M 1) nk A B (Sug: Efectúe operaciones B C B elementales por columnas y use la proposición ) Sean A y B matrices cuadradas a) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz A M B C sea invertible Si M es invertible, exprese M 1 en términos de las matrices A B y C b) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz C A M B sea invertible Si M es invertible, exprese M 1 en términos de las matrices A B y C 6

Matrices particionadas Determinantes A In c) Si A n n y M I n In P I n I n dar una expresión para M 1 8 Utilice los resultados que obtuvo en el problema anterior para calcular la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: 0 0 1 1 1 1 1 M 1 6 0 0 M 6 1 1 1 0 0 1 1 0 0 9 Sean A 11 A y A matrices cuadradas Demuestre que si A 11 A 1 A 1 A 11 M A A ó M A 1 A A A 1 A A entonces M A 11 A A 10 Demuestre que si A 11 A y A son matrices invertibles, entonces la matriz M diaga 11 A A ) es invertible y A 1 M 1 11 A 1 A 1 11 Sean a R y A n n una matriz invertible, entonces a x det A a xa 1 y) y A (Sugerencia: Use el teorema 6) 1 Verifique que I A det B C (Sugerencia: Use el corolario ) 1 Muestre que In B det A I m detc BA) Im A det B I n y concluya que I m AB I n BA A B In I n 1 Sean A B n n; M ; P ; Q A B I n I n I n a) Calcule P MQ y muestre que det M deta B) deta + B) b) Use (a) para calcular det M donde 1 x 1 1 M 6 1 6 x 1 1 1 1 1 x ; x R 1 1 1 6 x c) En (b), para qué valores de x se cumple que det M 0? A B 1 Sean A n n; D m m y M matrices invertibles, con B C D n m y C m n a) Muestre que A BD 1 C) y D CA 1 B) son matrices invertibles (Sugerencia: Use el teorema 6) b) Muestre que: A BD 1 C) 1 A 1 + A 1 BD CA 1 B) 1 CA 1 (Sugerencia: Multiplique A BD 1 C por la matriz que aparece a la derecha) I n

Traza de una matriz Matrices particionadas c) Muestre que cuando m n B I n y C I n en (b) se obtiene: A D 1 ) 1 A 1 + A 1 D A 1 ) 1 A 1 d) Muestre que cuando D I m en (b) se obtiene: A BC) 1 A 1 + A 1 BI CA 1 B) 1 CA 1 Traza de una matriz En ciertos contextos, la suma de los elementos de la diagonal de una matriz juega un papel importante Por ejemplo, la traza de una matriz aparece en la evaluación de las integrales requeridas en el estudio de la distribución normal multivariante (véase el teorema 1101 de []) y el valor esperado de formas cuadráticas (véase el teorema 61 de []) 1 Definición Sea A una matriz cuadrada La traza de A se denota por TrA) y se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de A ésto es, TrA) A ss s1 1 Nota Puesto que los elementos de la diagonal principal de A son los mismos que los elementos de la diagonal principal de A T entonces TrA) TrA T ) 1 Teorema Sean A y B son matrices cuadradas del mismo orden Si α y β son escalares, entonces TrαA + βb) α TrA) + β TrB) Demostración Usando la estructura de espacio vectorial de las matrices, así como la definición de traza se tiene: TrαA + βb) αa + βb ss s1 `α Ass + β B ss s1 α A ss + β B ss s1 s1 α TrA) + β TrB) 16 Teorema Si A es una matriz m n y B es una matriz n m, entonces TrAB) TrBA) 8

Matrices particionadas Traza de una matriz Demostración Usando la definición de traza y la definición de producto de matrices obtenemos, TrAB) AB ss s1 s1 k1 mx k1 s1 mx A sk B ks B ks A sk mx BA kk TrBA) k1 1 Corolario Sea A una matriz cuadrada de orden n Si P es una matriz invertible n n entonces TrA) TrP 1 AP ) TrP AP 1 ) Demostración Por el teorema anterior, TrA) TrAI) TrAP P 1 ) TrP 1 AP ) TrP P 1 A) TrP 1 P A) TrP AP 1 ) 18 Corolario Si A es una matriz m n, entonces mx TrAA T ) TrA T A) A sk Además, TrAA T ) 0 sii A s1 k1 Demostración Por definición de traza y por el teorema 16, mx TrAA T T ) AA s1 mx s1 k1 ss A sk AT ks m X s1 k1 A sk ; Esto es, TrAA T ) es la suma de los cuadrados de los elementos de A De esto se sigue entonces que, TrAA T ) TrA T A) y además que TrAA T ) 0 si y sólo si A Ejercicios 1 Demuestre que si A es una matriz invertible, entonces TrA) deta) TrA 1 ) Si Sean A B C son tales que TrA) ; B es invertible y C 1 In ; calcule TrBA T B 1 + B 1 CB CC T ) I n I n 9 ; P

Traza de una matriz Matrices particionadas Sea V n n el espacio vectorial de las matrices n n Demuestre que la función ; : V V R definida por A; B TrAB T ) es un producto interno en V (Vea el apartado 1 del capítulo 1) Sean A y B matrices cuadradas de orden n Demuestre que TrAB T ) TrAA T ) TrBB T )) 1/ (Sugerencia: use el teorema 10) Si A B n n, muestre que AB BA I (Sugerencia: Utilice la función traza) 6 Si T : n n R es una transformación lineal, entonces existe una matriz A tal que T M) Tr(AM) (Escriba T M) en términos de T E ij), siendo E ij los elementos de la base estándar de las matrices) Calcule dim W, donde W {A : TrA) 0} 8 Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden a) Muestre que TrAB) k ) TrBA) k ) b) Muestre con un ejemplo que TrAB) k ) TrA k B k ) 0