FUNCIONES Y SUPERFICIES

FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Abril de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Funciones de dos variables 1 La temperatura T en un punto de la superficie de la Tierra en cualquier instante determinado depende en todo momento de la longitud x y latitud y del punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables x y y. Indicamos esta dependencia funcional escribienfo T (x, y). 2 El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r y de su altura h. Sabemos que V = πr 2 h. Decimos que V es una función de r y h, y escribimos esto como V (r, h) = πr 2 h. Definición 1.1 Una función de dos variables es una regla que le asigna a cada par de números reales (x, y) en el conjunto D un número real único denotado con f(x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que f toma; es decir, {f(x, y) (x, y) D}.

Funciones de dos variables Ejemplo 1.1 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones y evalúe f(3, 2). 1 f(x, y) = x+y+1 x 1 2 f(x, y) = x ln(y 2 x) Solución. 1 La expresión para f tiene sentido si el denominador es distinto de 0 y la cantidad que está bajo el radical no es negativa. Así que el dominio de f es D = {(x, y) x + y + 1 0, x 1}. 2 Puesto que ln(y 2 x) está definida sólo cuando y 2 x > 0, es decir, x < y 2, el dominio de f es D = {(x, y) x < y 2 }.

Gráficas Definición 1.2 Funciones de dos variables Si f es una función f de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R 3, tal que z = f(x, y) y (x, y) D. La gráfica de una función f de dos variables es una superficie S con ecuación z = f(x, y). Podemos visualizar la gráfica de S como si estuviera abajo o arriba de su dominio en el plano xy. Ejemplo 1.2 Trace la gráfica de la función. 1 f(x, y, z) = 6 3x 2y (plano) 2 f(x, y) = x 2 (cilindro parabólico) 3 f(x, y) = 4x 2 + y 2 (paraboloide elíptico) 4 f(x, y) = y 2 x 2 (paraboloide hiperbólico)

Gráficas Funciones de dos variables Para representar una función de dos variables, a menudo resulya útil determinar la forma de las secciones transversales (rebanadas) de la gráfica. Por ejemplo, si mantenemos a x fija al hacer x = k (una constante) y dejar que y varíe, el resultado es una función de una variable z = f(k, y), cuya grafica es la curva que resulta de intersectar la superficie z = f(x, y) con el plano vertical x = k. De una forma similar, podemos cortar la superficie con el plano vertical y = k y observar las curvas z = f(x, k). También podemos cortarlas con los planos horizontales z = k. Estos tres tipos de curvas se llaman trazas (o secciones transversales) de la superficie z = f(x, y).

Gráficas Funciones de dos variables Ejemplo 1.3 Dibuja la superficie cuadrática cuya ecuación es x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 Solución. La traza en el plano xy(z = 0) es x 2 + y2 9 = 1, la cual reconocemos como una ecuación de una elipse. En general, la traza horizontal en el plano z = k es x 2 + y2 9 = 1 k2 4 (z = k) que es una elipse, dado que k 2 < 4, es decir, 2 < k < 2. De manera análoga, las trazas verticales también son elipses: y 2 9 + z2 4 = 1 k2 x = k (si 1 < k < 1) x 2 + z2 4 = 1 k2 9 y = k (si 3 < k < 3)

Gráficas Funciones de dos variables En la siguiente figura se muestra cómo al dibujar algunas de esas trazas se esboza la forma de la superficie. Se llama elipsoide debido a que todas sus trazas son elipses.

Definición 2.1 La gráfica de una ecuación de segundo grado de tres variables x, y y z se llama superficie cuadrática. A continuación se muestran gráficas de los seis tipos básicos de superficies cuadráticas en su forma convencional.

Ejemplo 2.1 Clasifica la superficie cuadrática x 2 + 2z 2 6x y + 10 = 0. Solución. Al completar el cuadrado, la ecuación se escribe como y 1 = (x 3) 2 + 2z 2 Al comparar esta ecuación con la tabla anterior, la ecuación representa un paraboloide elíptico. El eje de la parábola es paralelo ala eje y y se le desplazo de tal manera que su vértice es el punto (3, 1, 0). Las trazas en el plano y = k (k > 1) son las elipses (x 3) 2 + 2z 2 = k 1, y = k > 1 Las trazas en el plano xy es la parábola con ecuación y = 1 + (x 3) 2, z = 0.

En la siguiente figura se muestra el paraboloide

Definición 3.1 La curvas de nivel de una función f de dos variables son la curvas con ecuación f(x, y) = k, donde k es una constante (en el recorrido de f). Ejemplo 3.1 Dibuje las curvas de nivel de la función g(x, y) = 9 x 2 y 2. Solución. Las curvas de nivel son 9 x 2 y 2 = k o bien x 2 y 2 = 9 k 2 Ésta es una familia de círculos concéntricos con centro (0, 0) y radio 9 k 2.

Un ejemplo usual de las curvas de nivel ocurren en los mapas topográficos de las regiones montañosas:

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