Pendientes º Bachillerato de Ciencias EJERCICIOS PARA PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD ÍNDICE BLOQUE I :ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA... SOLUCIONES DEL BLOQUE I... 5 BLOQUE II: GEOMETRÍA... 6 SOLUCIONES DEL BLOQUE II... BLOQUE III :FUNCIONES... TEMA : FUNCIONES... TEMA : LIMITE DE UNA FUNCIÓN... 5 TEMA : CONTINUIDAD... 7 TEMA : CÁLCULO DE DERIVADAS... 8 TABLA DE DERIVADAS... 8 TEMA 5 : REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES... 0 SOLUCIONES DEL BLOQUE III... SOLUCIONES AL TEMA... SOLUCIONES AL TEMA... SOLUCIONES AL TEMA... SOLUCIONES AL TEMA... SOLUCIONES AL TEMA 5... TEMA 6: INTEGRALES... 0 Cálculo de áreas: Método de Barrow... 0
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque I º BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD BLOQUE I :ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA NÚMEROS REALES ) Qué errores absoluto y relativo se cometen al elegir como valor de / la epresión decimal 0,09?. ) Si tomas como valor de la aproimación,6, qué errores absoluto y relativo has cometido?. ) Encuentra aproimaciones sucesivas de 7, de forma que en la primera el error absoluto cometido sea menor que una décima y en la última sea menor que una centésima. ) Calcula el valor de "" en las siguientes epresiones: a) log 6 ; b) log 5 ; c) log 5) Sabiendo que log a y log b 5. Calcula: a) log a b b) log a/b c) log a b d) log a e) log b f) log 6) Define mediante conjuntos y representa : a) E * 5, b), c) E *, d) E (, ) a a b 00 7) Representa mediante un intervalo los puntos tales que: a) 0 < + 8 < b) 0 < + c) < d) < < 8) Indica si los conjuntos del ejercicio anterior están acotados y halla cuando eistan, el ínfimo, el supremo, sus máimos y mínimos. ECUACIONES - SISTEMAS - INECUACIONES 9) Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas: + y z + y z a) + y + z b) + y z 5 c) + y + z 5 + y + z 6 y z y z 7 y 5z 8 0) Se dispone de un recipiente de l. de capacidad y de tres medidas a,b y c. Se sabe que el volumen de a es el doble que el de b, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. Qué capacidad tiene cada medida?.
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque I ) Hallar un número de tres cifras, sabiendo que suman 9, que si al número buscado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 98; y que además la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos. ) Una madre y sus dos hijos tienen en total 60 años; el hijo mayor tiene tres veces la edad del menor, y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de cada uno de ellos. ) Los perímetros de las caras de un ortoedro son 5, 80 y 98 cm. respectivamente, calcula el área total y el volumen. ) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: a) + + + + + + 80 b) - + - + - + - 960 c) 5-0 5 + 5 0 d) 5-6 5 + 5 0 e) + - 8 + 0 f) - 5 + 0 5) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log + log 50 log 00 b) log + log (-) c) log -log(-6) d) log log 6 + log e) log - log 0 log ( /5 ) f) log 5 + log log ( /) 6) Resuelve los siguientes sistemas: y y + 7 a) b) c) log + log y + log + y+ log + log y y log + log y log + log y 5 log( y) 5 d) e) f) log log y log log y y 7) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) + 5 + < b) + + + < 0 7 + c) ( ) ( + ) + 7+ d) + + 8+ e) 0 0 + 5 ( ) f) 0 + + ( )( )
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque I NÚMEROS COMPLEJOS 8) Calcula las siguientes operaciones con números complejos: a) ( + i ) : ( + i) b)( i 5 + i - ) c) i 5 9) Halla el valor de para que el cociente ( +i ) : ( + i ) sea un número imaginario puro. 0) Determina un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. ) Encuentra un complejo tal que sumándolo con / de otro complejo de módulo y argumento 60º. ) La suma de dos números complejos es 6, el móduilo del primero es y el del segundo 5. Halla estos complejos su producto y su cociente. ) El complejo de argumento 80º y módulo es el producto de dos complejos; uno de ellos tiene de módulo y argumento 50º; escribe en forma binómica el otro complejo. ) Halla los complejos cuyo cubo coincida conincida con su conjugado. 5) Calcula con el Fórmula de Moivre cos y sen. 6) Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos: a) + i b) i c) 6 5º 7) Calcula las siguientes raices : a) b) + i c) 6 d) 7 e) 6 79i f) 6(cos80º + i sen80º ) Si representas las n raices de un número complejo y unes los afijos de cada una de las raíces qué figura obtienes?. 8) Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las ecuaciones siguientes: a) z - z + 0 b) z + 0 c) z - z + z - 8 0 9) Encuentra las ecuacioens de segundo grado cuyas raices son: a) i y -i b) +i y -i c) +i y - i d) 5º y 5º 0) Qué significación geométrica tiene la multiplicación de un número complejo por i?. Razona la respuesta multiplicando el número complejo + i, por i y representándolos después
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque I SOLUCIONES DEL BLOQUE I ) Error absoluto/00 ; Error relativo/000. ) Error absoluto<0,00; Error relativo< /6. ),6< 7 <,7 //,6< 7 <,65 //,65< 7 <,66 //,657< 7 <,658 //,6575< 7 <,6576. ) a) - b) 5 c) 8 5) a) 8 b) - c) d) / e) 5/ f) /. R / < < R / < 6) a) { } b) { 5/ } c) { R / 0 / < < 8/ } { / } d) { R / < < } 7) a) (-8,-) b) (0.6] c) [ /, ) d) 8) a) Está acotado superior e inferiormente. Ínfimo: -8, supremo: -.No tiene máimo ni mínimo. b) Está acotado superior e inferiormente. Ínfimo: 0, supremo: 6. No tiene mínimo, máimo: 6. c) Esta acotado inferiormente. Ínfimo y mínimo: /. No tiene supremo ni máimo. d) No está acotado ni inferior ni superiormente. 9) a) (,y,z) (,0,-) b) (,y,z) (,,) c) (,y,z) (,,-) 0), 8 y litros. ) El número. ) 0, 5 y 5 años. ) Lados: 9, 8 y cm. Área 998 cm. Volumen 50 cm. ) a) 5 b) 0 c) ; d) ; 0 e) ; - f) ; 0. 5) a) 0 b) 0 c) 0 ; 80 d) 6 e) 6 f) 0. 6) a) 5, y b), y c) 5, y 6 d) 0 5/, y 0 7/ e) 00, y 0 f) 0, y 0. (, ) 7) a) (,7 /8) b) ( 6, ) c) [ /, ] d) (, ] e) (, 6] U [, ) f) (, ) U (,0] U [, ) 8) a) z /7 + 8/7 i b) z - + i c) z 9) - 0) z / ± / i ) z + i ) z +i, z -i ; z z 7+6i ; z /z -/5 + 8 /5i ) z + i ) +0i; -+0i; 0+0i; 0-i. 5) coscos - sen ; sensencos i cos90º + i sen 90º 6) a) + i 8[ cos60º + i sen 60º ] 8 60 º b) [ ] º c) 6[ cos5º + i sen 5º ] i 6 5º 7) a) z 60º, z 80º, z 0º b) z 8 5/º, z 8 05/º, z 8 765/º z 8 5/º c) z 6i z -6i d) z 60º, z 0º, z 0º e) z 5º, z 75º, z 5º z 95º, z 5 55º, z 6 5º f) z 5º, z 5º, z 5º z 5º. Se obtiene un polígono regular de n lados. 8) a) z +i, z -i b) z / + / i, z -, z / / i c) z, z -i, z i 9) a) +0 b) -+0 c) -6+0 d) -+0 0) Un giro de 90º. 90 5
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II BLOQUE II: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA ) Epresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados seagesimales: a) 5º b) 75º c) 05º d) 0º ) Epresa en grados los siguientes ángulos epresados en radianes: a) π / b) 5π / c) π / d) 9π /0 e) π / ) Halla, sin utilizar calculadora, las siguientes razones trigonométricas: a) sen 500º b) sen 50º c) cosec 0º d) tg(-5º) e) tg(-95º) f) cosec 70º ) Razona cuáles de las siguientes igualdades son ciertas y cuáles son falsas: π π a) sen (80º -α ) cos α b) cos α senα c) tg α c tgα d) ctg(90º + α ) -tg α e) sen(π - α ) cos α f) tg (π -α ) -tgα 5) Verificar que se cumplen las siguientes igualdades: a) tg α + cotα secα cosecα b) c tg α cos α c tg α cos c) tgα + tg β tgα tg β c tgα + c tg β c tg α d) cot g α tgα c tgα sen α + senα cosα + cos α e) + tgα + tg α cos α secα cosα senα cosα f) tg α g) cosecα senα cosα + senα 6) Simplificar las siguientes epresiones: a) sen α + senα cos α b) cos α + cos α senα + cosα cos α + sen α cos α sen α c) d) sen α cosα tgα + cos α sen α tgα 7) Calcular las razones trigonométricas restantes conocidas: a) cosα 0 α 90º b) senα 90º α 80º 5 5 c) tgα 0 α 90º c) cot g α 90º α 80º π π d) secα α π e) cos ecα π α 8) Si sen º 0, y sen 5º 0,8. Calula sen 66º, cos 66º y tg 66º. 9) Determina las razones trigonométricas del ángulo a en los siguientes casos: a) sen a / b) cos a 0,7 c) tg a /8 d) sec a 5/ α 6
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II 0) Epresa sen a en función de sen a. ) Sabiendo que tg, calcula el valor de sen. π ) Si tg α, sabiendo que α <, halla senα y cos α. ) Demuestra que se verifican las siguientes igualdades: a) tg(5º + a) - tg(5º - a) tga sen a sen a b) cos a tg a cos a sec a secb cosec a cosecb c) sec( a + b) cosec a cosecb sec a secb ) Resuelve las siguientes e cuaciones: tg a) sen b) cos - c) + 0 sen 5) Resuelve las siguientes ecuacion es: a) sen cos / b) cos tg / c) sen cos d) sen + cos e) cos π + 5cos + 0 f) sen π + g) cos - sen 0 h) (-)sen + cos i) cos + sen 0 6) Resuelve los siguientes sistemas dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen + cos y ( a) cos + y) b) cos cos y c) cos sen y sen( y) tg + tg y d) cos + cos y cos cos y + e) sen sen y cos cos y sen + cos y f) π y 7) Encuentra las soluciones de los siguientes sistemas en el intervalo [ 0, π ]. sen + sen y sen + sen y a) b) + y 80º sen sen y + c) sen sen + cos cos y y 7
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II VECTORES EN EL PLANO. 8) Halla e y para que se cumplan las siguientes igualdades: a) (,y) (-,5) b) - (-,y) 6 (,-y) 9) Dí cuáles de las siguientes cuestiones son verdaderas o falsas, razonando la respuesta: a) Dos vectores fijos que tienen el mismo módulo y la misma dirección pertenecen al mismo vector libre. b) Sí tenemos dos vectores fijos y al unir sus origenes y etremos formamos un paralelogramo entonces pertenecen al mismo vector libre. c) Eiste alguan base de V formada por tres vectores?. d) Dos vectores cualesquiera forman siempre una base de V. e) Sí el producto escalar de dos vectores es cero se cumple que dichos vectores forman una base de V f) Sí el producto escalar de dos vectores es distinto de cero se cumple que dichos vectores forman una base de V. r 0) Sí v es un vector de coordenadas (,) respecto de la base canónica, halla las r coordenadas de v respecto de las bases: a) B {, ),(,)} b) B (,0),(, ) ( { } ) Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores, e indica si forman base: a),,,,,0 b),, /,,,, {( ) ( ) ( )} {( ) ( )} c) {( ) ( )} ) Dados los vectores u r de coordenadas (,) y producto escalar y el ángulo quer forman. v r de coordenadas (-,) halla el u r r y v (,) : a) Sean ortogonales. b) Formen un ángulo de 60º. c) Sean paralelos. ) Calcula el valor del número real para que los vectores (,) ) Calcula el valor de m y n para que los vectores u ( /,m) a) Sean unitarios. b) Sean ortogonales. r r y v ( /,n) r 5) Dado el vector u (, ) encontrar dos vectores que tengan laa misma dirección r que u y sean unitarios. r r r r 6) Dados los vectores OA (,), OB (5,5), OC (, ) y OD ( 6, 5). Demuestra que la figura ABCD es un paralelogramo y calcula su perímetro. 7) Halla la proyección del vector u r (,5) sobre el vector v r ( 7, ). r 8) Dados los vectores u ( /, ) y v r (/,) halla los valores de para que: a) Los vectores sean ortogonales b) Sean linealmente dependientes. c) Sean unitarios. : 8
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II 9) Sea B { u r, v} r una base de V r r r r que cumple que u, v y u v, y sean r r a y b dos vectores de coordenadas respectivas (,) y (,-) respecto de la base B. Calcula el producto escalar de a r por b r. 0) Sea B { u r, v} r una base ortogonal de V r r que cumple que u, v, y sean r r a y b dos vectores de coordenadas respectivas (,-)y (-,) respecto de la base B. Calcula el producto escalar de a r por b r. LA RECTA EN EL PLANO. ) Hallar la ecuación de la recta r, en todas las formas posibles, que pasa por el punto A(,5) y lleva la dirección del vector v r (, ). ) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(,) y B(-,) de todas las formas posibles. ) Calcula las pendientes de las siguientes rectas: y + 5 + t a) b) 5 + y 0 c) y 5 t ) Determinar si los puntos A(,), B(5,) y C(,0) están alineados. 5) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-,/) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P(,) y Q(,). 6) Dado el triángulo de vértices A(,-), B(0,) y C(,) hallar: a) Baricentro. (Punto donde se cortan las medianas). b) Circuncentro. (Punto donde se cortan las mediatrices). c) Incentro. (Punto donde se cortan las bisectrices). d) Ortocentro. (Punto donde se cortan las alturas). 7) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(,) y forma un ángulo de 0º con la parte positiva del eje X. 8) Halla el área limitada por la recta 5 + y - 5 0, el eje de abscisas y el eje de ordenadas. 9) Comprobar si los siguientes pares de rectas son secantes, paralelas o coincidentes: r : + y 5 0 r : + y 0 r : + y 0 a) b) c) s : + y + 7 0 s : + y 5 0 s : + y 6 0 r 0) Dadas las rectas: r determinada por el punto A(,) y el vector u (a,) y s determinada por el punto B(-,) y el vector v r (5,) hallar a para que r y s sean paralelas. Para qué valores de a las rectas r y s son secantes?. 9
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punmto (,) y es : a) Paralela al eje X b) Paralela al eje Y c) Paralela a la bisectriz del er cuadrante d) Paralela a la bisectriz del º cuadrante d) Paralela a la recta 5 + y 0 ) Dado el segmento de etremos A(,5) y B(6,5) calcular las coordenadas de los puntos C, D y E que dividen al segmento AB en cuatro partes iguales. ) Un paralelogramo tiene de vértices A (-,-), B(6,0) y C(8,). Determinar el cuarto vértice sabiendo que hay soluciones. LA RECTA EN EL PLANO.(Problemas métricos) ) Calcula el ángulo que forman las rectas: a) - y + 0 y - y - 0 y λ b) y y λ 5) Calcula le ecuación de la recta que tiene la misma ordenada en el origen que la recta -y + 6 0 y cuyo vector normal es n r (, ) 6) Determina el valor de a para que las rectas: a + (a-)y - (a+) 0 y a - (a+)y - (5a+) 0 Sean a) Paralelas b) Perpendiculares 7) Averigua el valor de m para que las rectas m + y y -y m+ sean paralelas, y halla su distancia. 8) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(,-) y B(,0), la pendiente y el ángulo que forma con la dirección positiva del eje X. 9) Halla la distancia del punto (-,) a la recta que corta a los ejes OX y OY en los puntos (,0) y (0,) respectivamente. 50) Calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas: - y + 0 Y 5 +y - 7 0 5) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas (las bisectrices): 5 +y - 60 0 y el eje de ordenadas. 5) Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por los puntos: A(-,) y B(,-) 5) Dada la recta de ecuación a +by, determina a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la recta de ecuación + y y que pasa por el punto P (, /) 5) Las rectas de ecuaciones a - y ; + b y, son perpendiculares y cortan al eje de abscisas en dos puntos distantes 5 unidades. Halla a y b. 0
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II 55) Halla las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de la recta: + y 50 56) La recta - y es la mediatriz del segmento AB. Sabiendo que las coordenadas de A son (,0), halla las de B. 57) Determina las ecuaciones de los lados AB y BC y el área del paralelogramo OABC sabiendo que OA es la recta de ecuación - y 0 y OC tiene de ecuación + y 0 y las coordenadas de B son (,5). 58) Dados los puntos A(,), B(-,5) y C(,m), calcula m para que el triángulo ABC tenga de área 6. 59) Halla un punto de la recta -y +5 que equidiste de A(,5) y B(,). 60) Los puntos B(-,) y C8,-) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta + y - 5 0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcula las coordenadas de A y las tres alturas del triángulo.
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II SOLUCIONES DEL BLOQUE II ) π / rad; 5π / rad; 7π / rad; π /8 rad. ) 5º; 00º; 70º; 6º; 0; ) a) sen60º / b) sen0º/ c) cosec 60º / d) - tg 5º - e) tg 5º f) no eiste ) a) F b) V c) V d) V e) F f) V 6) a) sen α b) cos α + sen α c) + d) + 7) a) senα /5 cosα /5 tgα / cosecα 5/ secα 5/ cotgα / b) senα -/5 cosα -/5 tgα / cosecα -5/ secα -5/ cotgα / c) senα / cosα / tgα / cosecα secα / cotgα d) senα 5/5 cosα - 5/5 tgα -/ cosecα 5 secα - 5/ cotgα - e) senα 0 cosα tgα 0 cosecα no eiste secα cotgα no eiste f) senα -/ cosα - / tgα / cosecα - secα -/ cotgα 8) sen 66º 0,90 / cos 66º 0,8 / tg 66º, 9) a) sen a 7 b) cos a -0,09 c) tg a 6/6 d) sec a 5/7 0) sen a sena - sen a ) sen - 0,96 ) senα / / cosα / ) a) 0º +0ºK b) 5º + 90ºK c) 60º + 80ºk 5) a) π / + Kπ // 7π / + Kπ b) π /6 + Kπ // 5π /6 + Kπ c) π / + Kπ // π /6 + Kπ // π /6 + Kπ d) 0º + Kπ e) º 7' 8'' +60º k // 6º 5' '' +60ºk f) π / + Kπ // 5π / + Kπ g) 5º +80ºK // 75º +80ºK // 5º +80ºK h) 70º + 60ºK i) 90º // 0º // 0º 6) a) y0 60º b) 5º y 5º c) y5º d) 5º y 60º e) y0º f) y5º 7) a) 0º y90º // 90º y0º b) 60º y0º // 60º y50º // 0º y0º // 0 y0º c) 5º, 5º, 5º o 5º y 60º,0º, 0º o 00º. 8) a) -/ y5/6 b) / y/ 9) a) F, tienen que tener también el mismo sentido. b) V, sí porque tendrán el mismo módulo dirección y sentido. c) No, porque tres vectores en el plano son linealmente dependientes. d) No, tienen que ser linealmentte independientes. e) Si, porque los vectores son ortogonales y portanto linealmente independientes. f) No, por ejemplo (,) y (,0) forman base y su producto escalar es istinto de cero. 0) a) (-5/, /) b) (-5/,-) ) a) Tres vectores en el plano siempre son linealmente dependientes, luego no forman base b) Son L.D, luego no forman base. c) Son L.I. Dos vectores L.I. en V forman base. ) u r v r 0, α 5º ) a) - b) 8 + 5 8-5 c) / ) a) m ± / n ± / b) m n / 5) u r (/5, -/5) y u r (-/5, /5) 6) AB DC y BCAD luego el plígono ABCD es un paralelogramo, ya que los lados son paralelos dos a dos. Perímetro 5 u.l.
Pendientes º Bachillerato de Ciencias. Bloque II r r 7) Proyección de u sobre v 8/. 8) a) - / b) 6 c) ± / 9) a r r r r b 0 0) a b - 58 La recta en el plano y 5 ) (continua) ; +y-0 (general o implícita) ; y-+ (eplícita); + y / (segmentaria) ; + t t R ( paramétricas) ; y 5 t (,y)(,5) + (,-)t (vectorial) y ) (continua) ; -y-70 (general o implícita) ; y--7 (eplícita); 6 + y 7 / 7 (segmentaria) ; t t R ( paramétricas) ; y 6t (,y)(,) + (-,-6)t (vectorial) ) a) m -/; b) m -5/ c) m - ) Los opuntos A,B y C están alineados, si las coordenadas de los vectores AB y AC son proporcionales, como AB - AC entonces A,B y C están alineados. 5) y + 9/ 6) Baricentro (,/), Circuncentro (,), Incentro (',') y Ortocentro (,). 7) + y 0 8) área5/ u.cuadradas. 5 9) a) paralelas b) secantes c) coincidentes 7 6 0) secantes a 0/ // paralelas a 0/ ) a) y b) c) y+ d) y - +5 e) 5+y-60 ) C (5/, 5/) D(9/,0) E (/, 5/) ) D(,-) // D(-,-5) // D(5,5) ) a) 5º b) 5º 7' 8,'' 5) y - / + 6) a) a0 o a/ b) a -/ 7) m -/ d 07/5 8) +y-0 ; 5º 9) d(p,r) /5 50) Ecuaciones de las bisecrices: 7-56y+0 y +y -0 5) +y-00 y -+y-50 5) d(o,r) / 5) a b- 5) a- y b9 ó b - 55) O' (6,) 56) B ( 8/5, -8/5) 57) AB: +y- 0 BC: -y+70 S u. Cuadradas. 58) m 9/5 o m - 59) P(-/8,/9) 60) A(7,) h h h 5 / 65
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES BLOQUE III :FUNCIONES TEMA : FUNCIONES Idea intuitiva de función. Dominios. RECUERDA: Dominio de una función, f, es el conjunto de los valores reales que puede tomar la variable independiente,, para que eista la función. (Para que la variable dependiente, y, tome un valor real). Para calcular el dominio de una función, debes saber que operaciones no estan definidas: - la división por cero - las raíces cuadradas de números negativos - el logaritmo de cero y los logaritmos de números negativos.- Indica si las siguientes funciones son polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas o eponenciales y determina su Dominio: 5 a) f( ) b) f( ) c) f( ) + d) f( ) + 5 e) f( ) f) f( ) g) f( ) h) f( ) 5 5 6 + + 7 i) f( ) + 7 j) f( ) 5 k) f( ) l) f( ) ll) f ( ) log m) f ( ) n) f ( ) e o) f ( ) + 6.-Dadas las siguientes funciones, efectúa las siguientes operaciones: f+g, f/g, f o g y g o f e indica su dominio: a)f()ln y g() b) f() y g() -8 c) f() + y g() + - -
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES TEMA LIMITE DE UNA FUNCIÓN Idea intuitiva. Definición de límite de una función, f, en un punto, o. Propiedades de los límites. Cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales e irracionales. asíntotas horizontales y verticales. Recuerda: Definición: Una función, f(), tiene por límite L en el punto o, cuando para toda sucesión de valores de que tenga por límite o, la sucesión de los valores correspondientes de f() tiene por límite L. NOTACIÖN: lim f ( ) L lim o f ( ) l lim f ( ) lim + o o f ( ) L.- Basándote en la definición de límite, construye una sucesión de valores de, que verifique los siguientes límites: a) lim ( ) b) lim ( ) c) lim( + ) + + + 0 d) lim e) lim f) lim + + + g) lim + 5 + 7 h) lim 0.- Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas: a) lim( + 7) d) lim( + 0+ ) e) lim( + ) f ) lim( 5 ) g) lim ( + 7+ ) b) lim( + ) h) lim ( 5 ).- Calcula los siguientes límites de funciones racionales: o c) lim( ) i) lim 7 + 5 + 6+ 9 7 + a) lim b) lim c) lim d) lim + 5 6 7 + e) lim f) lim g) lim h) lim + 6 + + 8 ( + ) 9 + + + i) lim j) lim 6 k) lim l) lim 6 + 8 7 ( + 5) + 6+ 9 7 + + m) lim n) lim ñ) lim o) lim ( 5 ) -5-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES.-Calcula los siguientes límites de funciones irracionales: a lim + + ) b) lim c) lim + + d lim + 5 ) e) lim + f ) lim + 5 5.- Calcula los siguientes límites: a) lim ( + ) b) lim + d) lim( 9 + 7 ) e) lim 5 g) lim ( + ) h) lim + j) lim + 6 k) lim + 8 5 + m) lim n) lim + 7 + 8+ 5 c) lim + + f) lim 0 + 9 i) lim ( + ) ( + 5) l) lim( + 7 ) o) lim + + + + 6.- Determina las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones y estudia el acercamiento de la función a las mismas: 6 a) f ( ) b) f ( ) + c) f ( ) + + + 5 d) f ( ) 9 6+ 9 e) f ( ) 7 f) f ( ) 8 + 6 7) Calcular los siguientes límites: a) lim + n n f) n n b) n + lim n n+ n lim n n n 5 + g) lim 5 c) lim + h) 5 + d) lim 5 n 5n+ 0n 7 + n lim i) n 5n n e) n lim n n n + lim n n n -6-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES TEMA : CONTINUIDAD Idea intuitiva de continuidad. Definición de continuidad de una función en un punto. Estudio de la continuidad en funciones elementales y en funciones definidas a trozos. Tipos de discontinuidad. RECUERDA: Definición: Una función, f, es continua en un punto, o, perteneciente al dominio de la función, si el límite de la función en el punto, o, eiste y es igual al valor de la función en dicho punto. Es decir: f es continua en un punto o D lim f ( ) f ( ) Tipos de Discontinuidad en un punto: o Discontinuidad evitable : si lim f( ) lim f( ) L f( + o ) ; L R L : verdadero valor de la función en el punto o. Discontinuidad inevitable: si lim f ( ) lim f ( ) + o o inevitable de salto finito: si la diferencia entre los límites laterales es un. número real. inevitable de salto infinito: si la diferencia entre los límites laterales es infinito.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones, indicando los tipos de discontinuidad, si los hay: o o o a) + si < 0 f ( ) + 5 si 0 si > 0 b) + si < f ( ) si c) si < f ( ) si d) 7 5 si < f ( ) si si > e) + si < f ( ) 5 si f ) + si f ( ) si >.- Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos indicados: a + si < a) f ( ) 5 si b si > + a si < b) f ( ) b + 5 si si > -7-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES TABLA DE DERIVADAS TEMA : CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN SUMA y u + v w y u + v w PRODUCTO y u v y u v + u v y k u y k u COCIENTE y u u v u v y v v FUNCIONES DERIVADAS CASOS PARTICULARES y k y 0 y y y n u y nu u y n y n n y n u u u y y u y n u n u u y loga u y log a e y log y log u u y ln u y u y ln y y u a y u a u ln a y a y a ln a y e y e y u v y v v u ln u + n vu u ----------------------------------------------------------------------------------------- y sen u y u cos u y cos u y u sen u y tg u y u cos u u sec u u ( + tg u) e Obsevaciones : u u() v v() w w() n Ν, n 0 a R, a > 0 y a k R -8-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES CALCULA LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: ) y ( + ) ( ) ) y e ) y ln ) y e sen 5) y sen cos 6) y 7) y 8) y 9) y + + ln 0) y ) y ln ) y ln( + ) + ) y ln ) y e 5) y cos 6) y 7) y sen 8) y cos + 9) y 5sen ( + ) 0) y 7e ) y + ) y ( +) ) y ln ) y ln + 5 5) y sen 6) y e sen 7) y sen 8) y ln(cos) 9) y cos 0) cos y sen ) y 7+ ) y + e ) y + ( ) ( ) ) y 7 + 5 L 5) y 6+ e + 6) y 7) y L 8) y 0) y ) y ) y 9) y ) y ) y 5) y 6) y π 7) y L+ e 8) y L 5 9) y 50) y arcsen tg 5) y sen 5) y sen cos tg 5) y 5) y 8 + + tg 55) y 5 FUNCIONES COMPUESTAS 56) y sen 57) y cos 5 58) y sen 59) y tg 60) y tg 6) y L 6) y 6sen ( + ) 6) y sen ( 5 ) 6) y + 7 65) y L( + ) 66) y cos 5 67) ( ) y cos L + ( ) 68) y Le 69) y cos sen( ) 70) y sen+ ( + ) 7) ( 5 ) y + -9-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 7) y 5+ 7) y sen L( + 5 ) 7) y L ( + ) tg ( ) ( ) + ( + ) y 78) y L [ ] 76) y L + 77) ( ) y sen sen 80) y costg L sen 75) y tg ( sen e ) 79) TEMA 5 : REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DEFINICIÓN DE DERIVADA RECUERDA: la derivada de f() en un punto o es: lim f ( h f o + ) ( o ) h o h.-calcula utilizando, la definición de derivada, la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) f ( ) + 6 en o b) f ( ) + en 0 MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN RECUERDA: ( ) (, f ( )) es un MÁXIMO f 0 0 o o f ( 0) < 0 ( ) (, f ( ) es un MÍNIMO f 0 0 o o f ( 0) > 0 f ( o ) 0 ( 0, f ( 0)) es un punto de INFLEXIÓN f ( 0) 0 En la práctica, para hallar los máimos y los mínimos, se hallan los valores de que anulan la primera derivada, y se sustituyen en la segunda. Para hallar los puntos de infleión, se hallan los valores de que anulan la derivada segunda, y se sustituyen en la derivada tercera.- Calcula los máimos, mínimos y puntos de infleión de las funciones siguientes utilizando las condiciones anteriores : a) f ( ) b) f ( ) + APLICACIONES DE LAS DERIVADAS RECUERDA: Para hallar los intervalos de CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, se hallan los valores de que anulan f (), es decir se resuelve la ecuación: f ()0. Se sitúan dichos valores en el dominio de la función, y en los intervalos formados, se estudia el signo de f (), aplicando lo siguiente: f() es CRECIENTE en un intervalo (a,b) si f '()>0 en dicho intervalo. f() es DECRECIENTE en un intervalo (a,b) si f ' () <0 en dicho intervalo. -0-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES Para hallar los intervalos de CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD, se procede como en el caso anterior, pero con la derivada segunda, f (), aplicando lo siguiente: f() es CÓNCAVA HACIA ARRIBA en un intervalo (a,b) si f ()>0 f() es CÓNCAVA HACIA ABAJO en un intervalo (a,b) si f () <0 Si previamente se han estudiado éstos intervalos, se pueden determinar los MÁXIMOS, MÍNIMOS y PUNTOS DE INFLEXIÓN, aplicando la definición de los mismos Representa gráficamente las siguientes funciones estudiando previamente el dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento (máimos y mínimos), intervalos de concavidad y conveidad ( puntos de infleión): ) f ( ) + ) f ( ) 5) f ( ) + 6) f ( ) 7) f ( ) 8)f ( ) 6 + 9 9) f ( ) 0) f ( ) + 0+ 5 + ) f ( ) + 5+ + ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 6+ 5 + + 5) f ( ) 6) f ( ) 7) f ( ) ( ) + 8) f ( ) 9) f ( ) 0) f ( ) 6 + SOLUCIONES DEL BLOQUE III SOLUCIONES AL TEMA.- a), b), c) y d) D R e) D { } g) D R 0 5 h) D R 0 R 0 f) D R { 5, 5} {, / } {, /, / } i) D [ 7 ) [, ) D ( 0, ] D ( ) D ( 0, ) D ( ) R { 0} D ( 0, ) k) D 7 l) ll).-a) (f+g)()ln + ; (f/g)() ln/ /, j) D (,5] 0, m) D R n) DR o) D 66, 0, ; (fog)()ln D ; (gof)()(ln) b) (f+g)() + -8 D[ 0, ) ; (f/g)() /(-8) D[ 0, ) -{8} (fog)() 8 D [ 8, ) (gof)() -8 D[ 0, ) c) (f+g)() ++ DR (f/g)()( +)/(+) D R-{} (fog)() (+) ++ DR (gof)() ++ DR SOLUCIONES AL TEMA ) a) 8 b) c) d) e) f) g) h) i) 7. ) a) 7 b) 0 c) d) / e) 7 f) 7 g) h) / i) 6 j) / k) l) /6 m) n) /5 ñ) o) 0. ) a) b) / c) 5/8 d) 0 e) f). 5) a) b)/ c)/ d) e) /7 f) / g) h) / 6 i) /9 j) k)/ --
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES l) 7 m) 5 n) / o). 6) a) AH: y 0; AV: ; b) AH: y 0; AV: No tiene; c) AH: y ; AV: -5 ; d) AH: y ; AV: ; f) AH: y 0; AV:, -; g) ah: y /; AV:. 7) a) e b) e c) e / d) e /5 e) e f) g) e /5 h) / i) SOLUCIONES AL TEMA ) a) f() es discontínua evitable en 0 b) f() es discontínua inevitable de salto finito en c)f() es discontínua inevitable de salto finito en d) f() es contínua en su Dominio,R e)f() es contínua en su dominio,r f) f() es discontínua inevitable de salto infinito. ) a) a b6 b) a7 b SOLUCIONES AL TEMA 5 ) y 6 ) y e ( + ) ) y + ln ) y e (sen + cos ) 5) y cos cos sen sen 6) y 7) y ( ) ( + ) 6 ln 8) y 9) y 0) y ) y ( ) ( + ) ) y ) y y e ) 5) y ln ( ) 6) cos sen y sen ln 7) y sen cos 8) y cos 9) y 90sen ( + ) cos( + ) 0) y ( + ) e + + ln ) y ) y 6 ( + ) ) y ( ln + ) ) y + 5) y 5sen cos 6) y e sen (sen + cos ) cos sen 7) y c tg cosec 8) y tg sen cos sen ( sen + cos ) 9) y tg sec 0) y cos sen sen ) y 8 7 ) y e ) y + 5 ) y 5) y 6 + e 6) y 7) y ( L +) 8) y 9) y 0) y ) y ) y 6 7 9 π ) y ) y 5) y + 6) y 5 7) y + 8) y 9) y ( L ) ( L) --
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 50) y arcsen + 5) y sen cos 5 5) y sen + ( ) cos 5) y 6 6 6 8( 5) ( 8 + ) 6 5) y + + tg + 55) y cos ( 5) 56) y cos( ) 57) y 0sen( 5) cos 59) y cos 60) y 58) y ( ) tg cos 6) y sen + cos + 6) y 0sen 6) y ( ) ( ) ( ) ( 5 ) 65) y + 6cos 67) y + cos( ) + 6( + ) 70) y sen( ) + ( + ) cos[ L( + 5) ] 7) y + 5 76) y + cos L + 66) y 5cos ( 5) sen( 5) [ L( + ) ] sen[ L( + ) ] [ ( ) ] 6 78) y + 7) y ( ) 6) y + 7 68) y 69) y sen( sen( ) ) 5 + 7) y tg sen e cose 6 5 7) y 75) y ( ) ( ) 6 + 77) y ( ) ( + ) cos( ) cos 79) y sen( sen ) e 5 + cos[ tg( L )] 80) y L cos ( L ) --
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES SOLUCIONES AL TEMA 5 ) a) f ( ) 6 b) f ( ) 5 ) a) M(0,0) m(8,-56) P.I (,-8) m(-,-) No tiene máimos ni puntos de infleión. ) f() - + Dominio:R Puntos de corte: (0,) Cóncava f ( ) 6 6 hacia arriba : Cóncava hacia abajo : Puntos de Infleión : (, ) (-,) (,-) ) f() - - Dominio:R Puntos de corte: (0,-), (,0), (-,0) Creciente : Decreciente : f ( ) Máimos : Mínimos : Cóncava hacia arriba : f ( ) Cóncava Puntos de Infleión : (,0 ) (, ) (-, ) ( 0,) ( 0, ) (, ) y(, ) (-,-0 6) ( 0 6, ) hacia abajo : (- 0 6,0 6) (- 0 6,- 6) y( 0 6, 6 ) 5) f() - +- Dominio:R Puntos de corte: (0,-) Creciente : Decreciente : f ( ) + Máimos : Mínimos : Cóncava hacia arriba f ( ) 6 Cóncava hacia abajo : Puntos de Infleión : (,/ ) (, ) ( /, ) ( /, 0 8 ) (, ) : ( /, ) (-,/) ( /,-0 9) --
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 6) f() - Dominio:R Puntos de corte: (0,0) (-,0) (,0) Creciente : (,0 ) (, ) Decreciente : (, ) ( 0, ) f ( ) 8 Máimos : ( 0,0) Mínimos : Cóncava hacia arriba :, f ( ) 8 Cóncava hacia abajo : Puntos de Infleión : 7) f() - Dominio:R Puntos de corte: (0,0) (-,0) (,0) (, ) y(,0),', y (, / ) ( /, ) ( /, / ) ( /,0 ) ( /, 0 ) Creciente : Decreciente : f ( ) Máimos : Mínimos : Cóncava hacia arriba : 0, f ( ) 6 Cóncava hacia abajo : -,0 Puntos de Infleión :( 0,0) ( ) ( ) 8) f() -6 +9 Dominio:R Puntos de corte: (0,0) (,0) Creciente :,, Decreciente : (,) f ( ) + 9 Máimos : (, ) Mínimos : (,0) Cóncava hacia arriba : (, ) f ( ) 6 Cóncava hacia abajo : Puntos de Infleión : ( ) ( ) (-,) (,),,' -5-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 9) f ( ) + 0 + 5 Dominio : R-{-5} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X -5 Creciente : ( 5,5) + 5 Decreciente : (, 5) ( 5, ) f ' ( ) ( + 5) Máimos : ( 5,0 05) Mínimos : no tiene Cóncava hacia arriba : (0, ) 0 00 f ( ) Cóncava hacia abajo : ( 5) ( 5,0) 5 ( + 5) Puntos de inf leión : ( 0,0 0) 0) f ( ) + Dominio : R Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 Creciente : (, ) Decreciente : (, ) (, ) f ' ( ) ( + ) Máimos : (,/ ) Mínimos : (, / ) Cóncava hacia arriba : (0, ) 6 f ( ) Cóncava hacia abajo : ( 5) ( 5,0) ( + ) Puntos de inf leión : (, / ) (, / ) ) f ( ) + 5 + Dominio : R-{-,-} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X - X- Creciente : (, ) (,) + Decreciente : (, ) (, ) (, ) f ' ( ) ( + 5 + ) Máimos : (, /8) Mínimos : (,) Cóncava hacia arriba :,, + f ( ) Cóncava hacia abajo : ( ) (, 5 ( + 5 + ) Puntos de inf leión : (, / 8) ( ) ( ) ) - 6 -
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES + ) f ( ) 6 + 5 Dominio : R-{,5} Puntos de corte: (0,/5) Asíntotas: Y0 X X5 Creciente : ( 6 5, ) (, 5) + 7 Decreciente : (, 6 5 ) ( 5,5 ) (5, ) f ' ( ) ( + 6 + 5) Máimos : ( 5, ) Mínimos : ( 6 5, 0 05) ) f ( ) + Dominio : R-{-} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X - Decreciente : (, ) (, ) f ' ( ) ( + ) Máimos : no tiene Mínimos : no tiene Cóncava hacia abajo : (, ) f ( ) Cóncava hacia arriba : (, ) ( + ) Puntos deinf leión : no tiene ) f ( ) + Dominio : R Puntos de corte: (0,) Asíntotas: Y0 Creciente : (,0) Decreciente : ( 0, ) f ' ( ) ( + ) Máimos : no tiene Mínimos : ( 0,) Cóncava hacia arriba : (, ) (, ) 6 Cóncava hacia abajo : (, ) f ( ) ( + ) Puntos deinf leión : ( ) ( /, /, / ) / -7-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 5) f ( ) Dominio : R-{-,} Puntos de corte: (0,) Asíntotas: Y0 X- X Creciente : ( 0, ) {} Decreciente : (,0) { } f ' ( ) ( ) Máimos : no tiene Mínimos : (0,) Cóncava hacia arriba : (,) 6 + f ( ) Cóncava hacia abajo : ( ) Puntos de inf leión : no tiene 6) f ( ) ( ) Dominio : R-{-} Puntos de corte: (0,/) Asíntotas: Y0 X Creciente : (,) Decreciente : (, ) f ' ( ) ( ) Máimos : no _ tiene Mínimos : no _ tiene Cóncava hacia arriba : (,) 6 f ( ) Cóncava hacia abajo : (, ) ( ) Puntos de inf leión : no _ tiene 7) f ( ) + Dominio : R-{-} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X Creciente : (, ) Decreciente : (, ) f ' ( ) ( + ) Máimos : no _ tiene Mínimos : no tiene Cóncava hacia arriba : (, ) f ( ) Cóncava hacia abajo : (, ) ( + ) Puntos de inf leión : no _ tiene ( ) (, ) -8-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES 8) f ( ) 6 Dominio : R-{,-} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X X- es _ decreciente _ en ( + 6) su _ dominio : R {, } f ' ( ) ( 6) Máimos : no _ tiene Mínimos : no tiene Cóncava hacia arriba : (,0) (, ) + 96 f ( ) Cóncava hacia abajo : (, ) ( 0,) ( 6) Puntos de inf leión : ( 0,0) 9) f ( ) Dominio : R-{-,} Puntos de corte: (0,0) Asíntotas: Y0 X - X Es _ creciente _ en + todo _ su _ dominio : R {,} f ' ( ) ( ) Máimos : no _ tiene Mínimos : no tiene Cóncava hacia arriba : (, ) ( 0, ) ( + ) f ( ) Cóncava hacia abajo : (,0 ) (, ) ( ) Puntos deinf leión : ( 0,0) 0) f ( ) + Dominio : R-{,} Puntos de corte: (0,/) Asíntotas: Y0 X X Creciente : (, / ) { } + Decreciente : ( /, ) { } f ' ( ) ( + ) Máimos : ( /, ) Mínimos : no tiene Cóncava hacia arriba : (,), 6 8 + f ( ) Cóncava hacia abajo : (.) ( + ) Puntos deinf leión : no _ tiene ( ) -9-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES Tema 6: Integrales INTEGRALES INMEDIATAS ) n+ n u u' u d + C n + (Tipo potencial) ) u' d ln + C u (Tipo logarítmico) ) u u u' e d e + C (Tipo eponencial) ) u u a u' a d +C ln a (Tipo eponencial) 5) u' cosu d sen u + C (Tipo seno) 6) u' sen u d cosu + C ( Tipo coseno) 7) u' u ' sec u d u' ( + tg u) d d tgu + C cos u (Tipo tangente) Cálculo de áreas: Método de Barrow Teorema de Barrow Si f() es una función continua y positiva en [a,b] y F() yna primitiva de f() en ese intervalo, entonces el área del recinto limitado por la función f() el eje y las rectas a y b viene dada por A(f,a,b) F(b) F(a) Este valor recibe el nombre de integral de finida y se designa por: b a b [ F( ) ] F( b) F( ) f ( ) d a - Los numeros a y b se llaman límite inferior y superior de integración, respectivamente. - Al área limitada por f(), el eje de abscisas, y las rectas a y b, se le denomina área del recinto limitado por la función f() en el intervalo [a,b] b a f ( ) Si f()<0 en [a,b] A(f,a,b) - d El área del recinto es el valor opuesto de la integral definida a Si f() es positiva y negativa en [a,b] El área del recinto debe calcularse descomponiendo en subintervalos según el signo de la función: A(f,a,b) c f ( ) d - + a d f ( ) d c b f ( ) d d -0-
ºBach.Ciencias Bloque III: FUNCIONES Realiza los siguientes ejercicios del libro: Pg : ) ) ) 5) 6) ecepto: o y v Pg 5 : 7) ecepto b,f, i, j, k, m y n 0) ecepto: h, i, j 5) Pg 6 :,,,,5,6,7,8,9 y 0 --