Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES DE ORDEN MAYOR A TRES, no es conveniente evaluarlos por medio de la definición. Vamos a analizar un método general, adecuado para evaluar determinantes de matrices de cualquier orden. Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes. 1. Si la matriz tiene una fila (columna) de ceros, su determinante es cero. 2. Si una fila es un múltiplo de otra fila, su determinante es cero. 3. El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas de la diagonal principal. Como afectan las operaciones de filas al valor del determinante?
1) Intercambio de filas. Si dos filas de A se intercambian para producir B, entonces: 2) Multiplicar una fila por una constante diferente de cero Si una fila de A se multiplica por una constante para producir B, entonces: que se puede escribir también 3) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila Si a una fila de A se le suma un múltiplo de otra de sus filas para producir B, entonces: Calculo del determinante por reduccion a la forma triangular. Las operaciones de filas se pueden utilizar para reducir una matriz a la forma escalonada, (que siempre es triangular) y evaluar el determinante de esta última, solo se debe llevar el registro del efecto que tiene cada operación de fila en el valor del determinante. Ejemplo : evaluar el determinante A
La operación de fila de multiplicar una fila por una constante diferente de cero, se utiliza principalmente para simplificar la aritmética al realizar los cálculos manualmente. Considerar los siguiente: Se puede decir que factorizamos un múltiplo común. Ejemplo: evaluar el determinante de A para simplificar la aritmética, es conveniente un 1 en la posición pivote 1,1, esto lo podemos obtener de dos formas: 1), 2). digamos que elegimos la opción 2), entonces escribimos:
Analizar la reducción a la forma escalonada utilizando únicamente las operaciones de reemplazo de filas y de intercambio de filas. Si U es la forma escalonada de A, y si se realizaron r intercambios de filas, entonces: Ya que U es la forma escalonada de A, y es una matriz triangular, el determinante de U es el producto de las entradas de la diagonal principal Si A el determinante de A es diferente de cero, todas las entradas son pivotes. Por otra parte, si el determinante de A es cero, al menos es cero, y el producto. es cero. Esto se resume de la siguiente manera:,.kl EJERCICIOS: Otra forma de evaluación de los determinantes. Como se vio anteriormente, la inversa de una matriz de 2x2 es Tambien se determinó que para que la matriz fuera invertible, la forma escalonada debería tener los pivotes en las entradas de la diagonal principal.
Al evaluar el determinante de la matriz por operaciones de filas, se realiza el mismo procedimiento que para determinar la inversa. Observamos que para que el determinante sea diferente de cero, las entradas de la diagonal principal deben ser diferentes de cero. Por lo anterior, la matriz es invertible si y solo si su determinante es diferente de cero. Este concepto se aplica a las matrices de cualquier orden (consultar el en texto el desarrollo para una matriz de 3x3). Otra perspectiva de los determinantes Considerar una matriz de 3x3 y el hecho de que la matriz es invertible solo si la forma escalonada reducida de la matriz es la identidad. Si a es invertible, la entrada (2,2) o la entrada (3,2) debe ser diferente de cero. Supongamos que la entrada (2,2) es diferente de cero, si realizamos la operación de reemplazo de fila para hacer cero la entrada (3,2) obtenemos Donde: Ya que A es invertible, debe ser diferente de cero. Como ya vimos anteriormente, es el determinante de la matriz!!! Mas aún, este determinante se puede expresar por medio de determinantes de 2x2 Que se puede escribir de manera compacta Las matrices, y se obtienen de A eliminando la fila uno y una de las
tres columnas. Ejemplo. Evaluar el determinante de la matriz Ahora vamos a generalizar este procedimiento, primero vamos a definir menor y cofactor. Para cada posición de una matriz cuadrada se define "su menor", el menor de la posición (ij) es el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j Ejemplo: considerar la matriz y evaluar los menores de las posiciones (1,1), (1,2) y (2,3) Al igual que con los menores, para cada posición de la matriz, se define un cofactor, el cofactor de la posición (ij) se define Ejemplo: evaluar los cofactores de las posiciones (1,1), (1,2), (1,3) y (3,2) de la matriz del ejemplo anterior.
El determinante de una matriz se obtiene de la sumatoria de los productos de las entradas de una fila por los cofactores de cada entrada. Considerar una matriz de orden n Se puede utilizar una columna en lugar de una fila. Ejemplo. Evaluar el determinante de la matriz Usando la segunda fila (desarrollando por la segunda fila) Este método para evaluar un determinante solo es práctico para matrices de orden no muy alto y con muchas entradas de valor cero. Leer la nota numérica al respecto en el libro de texto. Ahora algunas propiedades relacionadas con el determinante de operaciones matriciales: Sean A y B matrices de orden n y c un escalar
Algunas aplicaciones y aspectos relacionados con los determinantes 1. Regla de Cramer 2. Inversa de una matriz por la adjunta 3. Areas y volumenes 4. Ecuaciones de rectas y planos REGLA DE CRAMER Aplicación a la solución de sistemas lineales de solución única, aunque solo es práctica para sistemas de 2x2 y 3x3. Sea un sistema lineal Definimos la matriz o simplemente la matriz que se obtiene al reemplazar la columna i de A por el vector b. La regla de Cramer nos da la solución del sistema lineal, de acuerdo a Si A es una matriz invertible de nxn. Para cualquier b en de Se obtiene de: Ejemplo: usar la regla de Cramer para resolver el sistema, la solución única x
Ejemplo: obtener la solución del sistema, donde s es un parámetro no especificado. El sistema tiene solución única cuando Ejercicio para clase: obtener y INVERSA DE UNA MATRIZ POR LA ADJUNTA Considerar una matriz invertible A de nxn, y los cofactores de A. Si los cofactores se utulizan como valores para las entradas de una matriz de nxn, la matriz de cofactores y su traspuesta, la adjunta de A La inversa de la matriz A está dada por la ecuación Es necesario aclarar que la obtención de la inversa por esta fórmula no es práctico, el uso de esta fórmula es principalmente para aspectos teóricos. Ejemplo: encontrar la inversa de la matriz
Investigación: aspectos teóricos obtenidos a partir de la fórmula Areas y volúmenes Considerar un paralelogramo con vértices (0,0), (a,0), (0,d) y (a,d). Las coordenadas de los vértices opuestos se escriben como columnas de una matriz, entonces el área del paralelogramos es En general, si las columnas de A corresponden a vértices opuestos del paralelogramo, el área del paralelogramo es, analizar la figura recordando el efecto de las operaciones de filas en el valor del determinante y la representación gráfica de los múltiplos escalares de los vectores
El volumen de un paralelepípedo se puede calcular si las coordenadas de tres vértices se colocan como columnas de una matriz por medio de ver las figuras. Rectas y planos La ecuación de una recta que paso por los puntos Se obtiene de la ecuación Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (-1,3) Dibujar la recta y comprobar por otro método. Si tres puntos yacen sobre un plano, la ecuación de este plano está dada por Ejemplo: encontrar una ecuación para el plano que pasa por los puntos (0,1,0), (-1,3,2) y (-2,0,1) Solucion: Ecuación del plano:
Valores y vectores propios Los valores propios, tambien llamados eigenvalores son un tema muy importante del Algebra Lineal, ya que tiene aplicación en muy diferentes áreas. El tema se puede abordar de diferentes maneras, por ejemplo: Para una matriz A de nxn y un vector x en, existe un escalar para el cual x es un múltiplo de Ax?, esto es, existe un escalar tal que se cumple Veamos un ejemplo y su interpretación geométrica. Ejenplo: sea y Para v, Para u, Para v existe un escalar (2), pero para u no, la interpretación gráfica se muestra en la figura Definición: Un vector propio de una matriz A de nxn es un vector x no nulo tal que se cumple para algún valor. Al escalar se le llama valor propio de A. Ejemplo: demostrar que 7 es un valor propio de la matriz De acuerdo a la definición, el escalar 7 es un valor propio si y solo si la ecuación
tiene soluciones no triviales. Ahora resolvamos la ecuación matricial equivalente La solución a la ecuación matricial, corresponde a la de un sistema de ecuaciones homogéneo. 7 es un valor propio de la matriz A, porque cumple con la ecuación para los vectores que son múltiplos escalares del vector Se dice: los vectores que son múltiplos escalares de son vectores propios de A correspondientes al valor propio 7. En el ejemplo anterior se obtuvieron los vectores propios de un cierto valor propio, esto fue para demostrar que el escalar es un valor propio, para determinar los valores propios, se deben obtener los escalares para los cuales la ecuación tiene soluciones no triviales ( recordar que el vector x debe ser diferente de cero). Análisis, el sistema sistema correspondiente a la ecuación es homogéneo de n ecuaciones y n variables. Si la matriz de coeficientes tiene inversa, el sistema tiene solución única, la trivial. Para que el sistema tenga soluciones adicionales a la trivial, la matriz de coeficientes del sistema no debe ser invertible. Para una matriz no invertible su determinante es cero. Conclusión, para que la ecuación tenga soluciones no triviales se debe cumplir que La obtención de los valores propios de una matriz requiere de la evaluación de un determinante.
Ejemplo: determinar los valores propios y los vectores propios correspondiente para la matriz Primero los valores propios con la ecuación Ya que, entonces. Los valores propios son 3 y -7. Los vectores propios se obtienen resolviendo la ecuación matricial para cada valor propio. Para el valor propio 3, resolver La solución es, con como variable libre, La solución en forma vectorial es Los vectores propios correspondientes al valor propio 3, son los múltiplos escalares de Comprobar y obtener los vectores para el valor -7 Ejercicios: Seccion 3.1: 1-4, 9-10, 15-18, 33-34, 41-42. Seccion 3.2: 1-4, 5, 7, 9, 11, 12, 15-18, 39, 40