Tema 2: Variables Aleatorias Unidimensionales

Tema 2: Variables Aleatorias Unidimensionales Teorı a de la Comunicacio n Curso 27-28

Contenido 1 Concepto de Variable Aleatoria 2 Función Distribución 3 Clasificación de Variables Aleatorias 4 Función Densidad de Probabilidad 5 Distribuciones Prácticas 6 Distribuciones Condicionales 7 Media y Varianza de Variables Aleatorias 8 Desigualdad de Chebychev

Concepto de Variable Aleatoria Variable aleatoria Intuición: Una variable aleatoria X es una función que asocia números a cada posible resultado de un experimento aleatorio. X: Ω R S Ω X(S) R Propiedades X ha de cumplir las siguientes condiciones: Un solo valor para cada resultado. El conjunto {X x} es un suceso x. P ({X = }) = P ({X = }) =. Rango de una v.a.: Conjunto de números reales que tienen asociado un resultado del espacio muestral Ω X = {x R S Ω, X(S) = x}

Concepto de Variable Aleatoria Ejemplos ε: Observación de una carta de la baraja española extraída al azar Ω = { as de oros, dos de oros,..., rey de bastos } Ω = 4 1 X( n o de palo ) = n o Ω X = {1, 2,..., 7, 1, 11, 12} 2 X( n o de palo ) = 1 n o Ω X = {1, 2,..., 7, 1, 11, 12} 3 X( n o de palo ) = { si es de oros 1 si no es de oros Ω X = {, 1} Ω S 4 S 3 S 2 S 1 X x 1 x 2 x 4 x 3 R Ω X

Definición Función Distribución Definición: Sea < Ω, F, P > ligado a ε y X una v.a. Se define la Función de Distribución F X : R R x R F X (x) = P ({X x}) La función de distribución F X contiene toda la información probabilística de la variable aleatoria X. Ejemplo Baraja española: Ω X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 11, 12} x = 3 F X ( 3) = P ({X 3}) = P ( ) = x = 1 F X (1) = P ({X 1}) = P ({1}) = 1/1 x = 1.5 F X (1.5) = P ({X 1.5}) = P ({1}) = 1/1 x = 2 F X (2) = P ({X 2}) = P ({1, 2}) = 2/1

Ejemplos Ejemplo Función Distribución. P(X x) 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Función Distribución. Ejemplo 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 x

Ejemplos Otros Ejemplos X( n o de palo ) = 1 n o Ω X = {1, 2,..., 7, 1, 11, 12} Función Distribución. P(X x) 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Función Distribución. Ejemplo 2 2 4 6 8 1 12 14 16 x

Ejemplos Otros Ejemplos X( n o de palo ) = { si es de oros 1 si no es de oros Ω X = {, 1} 1 Función Distribución. Ejemplo 3 Función Distribución. P(X x) 3/4 1/2 1/4 3 2 1 1 2 3 4 5 x

Interpretación frecuencial Interpretación frecuencial n realizaciones n valores x 1, x 2,..., x n n x: n o de resultados x 1 n x def. frec. lím = P (X x) = F n X(x) n Función Distribución. Interpretación Frecuencial P(X x).9.8.7.6.5.4.3.2.1 4 3 2 1 1 2 3 4 x

Propiedades Función Distribución. Propiedades 1 F X ( ) = lím x F X (x) = F X ( ) = lím x F X (x) = 1 2 FD es no decreciente 3 FD es continua por la derecha x 1 < x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ) F X (x + ) = lím F X (x + ɛ) = F X (x) ɛ ɛ> 4 P ({X = x }) = F X (x ) F X (x ) F X(x ) = lím ɛ,ɛ> F X (x ɛ) 5 x 1 < x 2 P (x 1 < X x 2 ) = F X (x 2 ) F X (x 1 ) P (x 1 X x 2 ) = F X (x 2 ) F X (x 1 ) P (x 1 < X < x 2 ) = F X (x 2 ) F X(x 1 ) P (x 1 X < x 2 ) = F X (x 2 ) F X(x 1 ) *Observación: si x 1 < x 2 y F X (x 1 ) = F X (x 2 ) (x 1, x 2 ) Ω X = 6 P (X > x) = 1 F X (x)

Clasificación de Variables Aleatorias Variables Aleatorias Continuas Definición: X v.a. continua F X(x) continua { F X(x) = F X(x + ) = F X(x ) } Si X es continua Ω X es infinito no numerable Propiedad: P (X = x ) = F X (x ) F X (x ) = Ejemplo Un circuito requiere un resistencia de valor (91Ω 19Ω) Se emplea una resistencia estándar de 1KΩ y tolerancia 1 % x < 9 x 9 F X(x) = 9 x 11 2 1 x > 11 Probabilidad: P (91 < X 19) = F X(19) F X(91) =.9

Clasificación de Variables Aleatorias Variables Aleatorias Discretas Definición: X v.a. discreta F X(x) escalonada, Ω X discreto N N F X(x) = P (X = x i) u(x x i) P (X = x i) = F X( ) = 1 }{{} i=1 i=1 función escalón Propiedades: P (X = x i) = F X(x i) F X(x i ) P (x i 1 < X < x i) = F X(x i ) FX(xi 1) = (xi 1, xi) ΩX = Ejemplo: Baraja española Variables Aleatorias Mixtas Mezcla de las dos anteriores Función Distribución no escalonada pero con discontinuidades. Ω X continuo. x, P (X = x ) = F X(x ) F X(x ) Ejemplos?

Definición Función densidad de probabilidad (fdp) Definición: Dada una F X (x) ligada a una v.a. X, se define la fdp como f X (x) = df X(x) dx Casos particulares: Si X v.a. continua No hay problemas con la derivada. a Si X v.a. discreta No existe la derivada en Ω X f X (x) = N i=1 P (X = x i ) du(x x i) dx = N i=1 P (X = x i ) δ(x x i ) }{{} Delta de Dirac a Aunque en ciertos puntos no sea derivable, dichos puntos carecen de interés.

Definición Delta de Dirac δ(x)dx = 1 g(x) δ(x) = g(x) g(x) = δ(t)g(x t)dt u a (x) u(x) 1 1 a/2 a/2 x δ a (x) x δ(x) 1/a a/2 a/2 x x

Ejemplos Función Densidad de Probabilidad (fdp) Ejemplo: Resistencia de 1K ± 1 % F X (x) = x < 9 x 9 2 9 x 11 1 x > 11 f X (x) = x < 9 1 2 9 < x < 11 x > 11 Función Distribución. P(X x) Función Densidad de Probabilidad (fdp) 1 1/2 8 9 1 11 12 x 8 9 1 11 12 x

Ejemplos Función Densidad de Probabilidad (fdp) Ejemplo: Baraja española Ω X = {1, 2,..., 7, 1, 11, 12} F X (x) = x i Ω x 1 1 u(x x i) f X (x) = x i Ω x 1 1 δ(x x i) 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Función Distribución. P(X x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 x 1/1 Función Densidad de Probabilidad (fdp) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 x

Propiedades Función Densidad de Probabilidad (fdp) Propiedades: 1 f X(x) x R 2 fx(x)dx = 1 3 F X(x) = x fx(t)dt 4 P (x 1 < X x 2) = F X(x 2) F X(x 1) = x 2 f X(x)dx 5 Si X es una v.a. continua f X(x) = dfx(x) dx x 1 def. deriv. F X(x + x) F X(x) = lím = x x x> P (x < X x + x) Prob. intervalo = lím = x x long. intervalo x>

Propiedades Función Densidad de Probabilidad (fdp) Interpretación frecuencial: N realizaciones de v.a. X n x: n o de resultados pertenecientes a un intervalo de longitud x P X (x X x + x) f X (x) x n x/n P(x X x+δx)/δx.4.35.3.25.2.15.1.5 N=1, Δx=1 Histograma fdp 4 3 2 1 1 2 3 4 x

Propiedades Función Densidad de Probabilidad (fdp) Interpretación frecuencial: N realizaciones de v.a. X n x: n o de resultados pertenecientes a un intervalo de longitud x P X (x X x + x) f X (x) x n x/n P(x X x+δx)/δx.4.35.3.25.2.15.1.5 N=1, Δx=.5 Histograma fdp 4 2 2 4 x

Propiedades Función Densidad de Probabilidad (fdp) Interpretación frecuencial: N realizaciones de v.a. X n x: n o de resultados pertenecientes a un intervalo de longitud x P X (x X x + x) f X (x) x n x/n P(x X x+δx)/δx.4.35.3.25.2.15.1.5 N=1, Δx=.1 Histograma fdp 4 2 2 4 x

Distribuciones Continuas Distribución Uniforme f X(x) = { 1 x 2 x 1 x 1 x x 2 resto Ω X = [x 1, x 2 ] x < x 1 x x F X(x) = 1 x 2 x 1 x 1 x x 2 1 x > x 2 Distribución uniforme (fdp) Distribución uniforme (FD) K 1 x1 x x2 x1 x x2

Distribuciones Continuas Distribución Exponencial Ω X = [, ) parámetro c { ce cx x f X(x) = x < { 1 e cx x F X(x) = x < Distribución exponencial (fdp) Distribución exponencial (FD) c 1 1/c 2/c 3/c 4/c 5/c x 1/c 2/c 3/c 4/c 5/c x

Distribuciones Continuas Distribución Gaussiana o Normal Ω X = (, ) parámetros η, σ N (η, σ) f X(x) = 1 x e (x η)2 2σ 2 F X(x) = f(u)du 2πσ.6.4 Distribución Gaussiana (fdp) η=, σ 2 =1 η=, σ 2 =.5 η=, σ 2 =2 η=2, σ 2 =.5 1.75 Distribución Gaussiana (FD) η=, σ 2 =1 η=, σ 2 =.5 η=, σ 2 =2 η=2, σ 2 =.5.5.2.25 4 2 2 4 x 4 2 2 4 x

Distribuciones Continuas Distribución Gaussiana o Normal Caso Particular: η =, σ = 1 Caso General: N (η, σ) F X(x) = 1 2πσ x F X(x) = G(x) = 1 2π x e (u η)2 2σ 2 du = t= u η σ e u2 2 du x η 1 σ 2π e t2 2 dt = G( x η σ ) Otras funciones Función error: erf(x) = 1 x e t2 2 dt = G(x) 1 2π 2 Función Q: Q(x) = 1 e t2 2 dt = 1 G(x) = G( x) 2π x

Distribuciones Continuas G(x) Segunda cifra decimal del valor de x x..1.2.3.4.5.6.7.8.9..5.54.58.512.516.5199.5239.5279.5319.5359.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.5753.2.5793.5832.5871.591.5948.5987.626.664.613.6141.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.646.6443.648.6517.4.6554.6591.6628.6664.67.6736.6772.688.6844.6879.5.6915.695.6985.719.754.788.7123.7157.719.7224.6.7257.7291.7324.7357.7389.7422.7454.7486.7517.7549.7.758.7611.7642.7673.774.7734.7764.7794.7823.7852.8.7881.791.7939.7967.7995.823.851.878.816.8133.9.8159.8186.8212.8238.8264.8289.8315.834.8365.8389 1..8413.8438.8461.8485.858.8531.8554.8577.8599.8621 1.1.8643.8665.8686.878.8729.8749.877.879.881.883 1.2.8849.8869.8888.897.8925.8944.8962.898.8997.915 1.3.932.949.966.982.999.9115.9131.9147.9162.9177 1.4.9192.927.9222.9236.9251.9265.9279.9292.936.9319 1.5.9332.9345.9357.937.9382.9394.946.9418.9429.9441 1.6.9452.9463.9474.9484.9495.955.9515.9525.9535.9545 1.7.9554.9564.9573.9582.9591.9599.968.9616.9625.9633 1.8.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.976 1.9.9713.9719.9726.9732.9738.9744.975.9756.9761.9767 2..9772.9778.9783.9788.9793.9798.983.988.9812.9817 2.1.9821.9826.983.9834.9838.9842.9846.985.9854.9857 2.2.9861.9864.9868.9871.9875.9878.9881.9884.9887.989 2.3.9893.9896.9898.991.994.996.999.9911.9913.9916 2.4.9918.992.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936 2.5.9938.994.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952 2.6.9953.9955.9956.9957.9959.996.9961.9962.9963.9964 2.7.9965.9966.9967.9968.9969.997.9971.9972.9973.9974 2.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.998.9981 2.9.9981.9982.9982.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3..9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.999.999 3.1.999.9991.9991.9991.9992.9992.9992.9992.9993.9993 3.2.9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998

Distribuciones Discretas Distribución de Bernoulli Ω X = {, 1} P (X = x) = { p x = 1 q = 1 p x = f X(x) = qδ(x) + pδ(x 1) F X(x) = qu(x) + pu(x 1) Distribución de Bernoulli (fdp) Distribución de Bernoulli (FD) 1 p q q 1 x 1 x

Distribuciones Discretas Distribución Binomial n ensayos de Bernoulli independientes. Suceso A con p cte. en todos los ensayos. (q = 1 p). X v.a. binomial cuenta el n o de veces que se verifica el suceso A. f X (x) = n k= X = n k= Xi B(n, p) ΩX = {, 1, 2,..., n} ( n k) p k q n k δ(x k) F X (x) = n k= ( n k) p k q n k u(x k) Distribución Binomial (fdp). n=1, p=.4 1 Distribución Binomial (FD). n=1, p=.4.25.8.2.6.15.1.4.5.2 2 4 6 8 1 x 2 4 6 8 1 x

Distribuciones Discretas Distribución Binomial Propiedades: F X(n) = 1 (a + b) n T a Binomial = Aproximación: p constante y n : n k= ( n k) a k b n k p + q = 1 Aproximable por N (η = np, σ = npq) p, n, np = a = cte: Aproximable por Poisson de parámetro a

Distribuciones Discretas Distribución de Poisson f X (x) = Ω X = {, 1, 2,...} = N + parámetro a > P(a) k= P (X = k) = e a a k k! a ak e k! δ(x k) F X (x) = a ak e u(x k) k! k= Distribución de Poisson (fdp). a=4 1 Distribución de Poisson (FD). a=4.25.8.2.6.15.1.4.5.2 2 4 6 8 1 x 2 4 6 8 1 x

Distribuciones Discretas Distribución de Poisson Propiedades: F X( ) = 1 k= a ak e k! = e a e a = 1 Aproximación de la distribución Binomial: ( n lím p n k) k q n k n(n 2) (n k + 1) = lím n k! p np=a = ak k! = ak k! lím n lím n n n 1 n n n k + 1 n ( 1 a ) n = e a ak n k! ( a n ) k ( 1 a n ) n k = ( 1 a ) k ( 1 a ) n = n n Regla heurística: n 1, p 1 y a = np < 5

Distribuciones Discretas Ejemplo Distribución Binomial Distribución Binomial B(n = 1, p =.3) B(n = 1, p =.2) Aproximación: P(3) Aproximación: N (2, 4).25.2 Distribución Binomial (fdp) Binomial B(1,.3) Poisson P(3).1.8 Distribución Binomial (fdp) Binomial B(1,.2) N(2,4).15.6 fdp fdp.1.4.5.2 1 2 3 4 x 1 2 3 4 x

Distribuciones Discretas Ejemplo Dispositivo electrónico: n componentes con fallos independientes. Componentes con tiempo de vida exponencial de parámetro c Distribución del n o de componentes que fallan en [, t ] X i v.a. fallo componente i-ésimo { 1 fallo X i = no fallo Ω Xi = {, 1} n repeticiones independientes ensayo Bernoulli (prob. cte.) X v.a. n o fallos: Binomial B(n, p) X = N i=1 Xi T v.a. tiempo de vida de un componente { ce ct t f T (t) = p = P (T t t < ) = F T (t ) = 1 e ct P (X = k) = ( ) n (1 e ct ) k ( e ct ) n k k =, 1,..., n k

Distribuciones Discretas Ejemplo Prob. de fallo de un componente en un año es 1 3, Prob. de que de 1 componentes ninguno falle en 2 años?: P (T 1 año) = 1 3 = F T (1) = 1 e c c 1 3 años 1 P (T 2 años) = F T (2) = 1 e 2 1 3 = 2 1 3 = p X B(n, p) con n = 1, p =.2 P ( fallos en 2 años ) = P (X = ) = ( ) n p q n = e 2.135 Aproximación mediante v.a. Y Poisson (n 1, p 1, a 2 < 5) P (Y = k) = e a a k k! P (Y = ) = e a = e 2

Distribuciones Condicionales Distribución Condicional Definición: Se define la Función Distribución Condicional de una v.a. X dado que se verifica el suceso M como F X(x M) = P ({X x} M) = P ({X x} M) P (M) Función Densidad de Probabilidad (fdp) Condicional Definición: f X(x M) = dfx(x M) dx P ({x < X x + x} M) = lím x x x> Propiedades Ambas funciones cumplen todas las propiedades de las funciones distribución y densidad

Distribuciones Condicionales Ejemplo Variable aleatoria X. Se verifica el suceso M = {b < X a}. F X(x M) = F X(x b < X a) = Función Distribución Condicionada x a: P ({X x} {b < X a}) P ({b < X a}) {X x} {b < X a} = {b < X a} F X (x M) = 1 b x < a: x < b: {X x} {b < X a} = {b < X x} F X (x M) = P ({b < X x}) P ({b < X a}) = F X(x) F X (b) F X (a) F X (b) {X x} {b < X a} = F X (x M) =

Distribuciones Condicionales Ejemplo fdp condicionada: f X(x b < x a) = f X(x) F X(a) F X(b) b x < a.8.7.6.5.4.3.2.1 fdp condicionada f X (x)=n(,1) f X (x b<x a) b= 1 a=.5 x

Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes Recordemos... P (B) A i partición = P (B A i)p (A i) i P (A B) = P (B A)P (A) P (B) Analizemos P (A B) = P (B A)P (A)/P (B) B = {X x} B = {x 1 < X x 2} B = {X = x} P (A X x) = FX(x A) F X(x) P (A) P (A x 1 < X x 2) = FX(x2 A) FX(x1 A) P (A) F X(x 2) F X(x 1) fx(x A) P (A X = x) = lím P (A x < X x + x) = x f P (A) X(x)

Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes Teorema de la Probabilidad Total Teorema: Sea < Ω, F, P > ligado a ε y {A 1, A 2,..., A N } partición de Ω F X(x) = B={X x} i=1 N N F X(x A i)p (A i) f X(x) = f X(x A i)p (A i) i=1 Teorema de la Probabilidad Total (Versión continua) P (A) = P (A X = x)f X(x)dx Teorema de Bayes (Versión continua) f X(x A) = P (A X = x) f X(x) = P (A) P (A X = x)f X(x) P (A X = x)fx(x)dx

Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes Ejemplo T : v.a. exponencial tiempo de vida de un componente { ce ct t f T (t) = t < { 1 e ct t F T (t) = t < P ({ fallo antes de t 1 segundos }) = P (T t 1) = F T (t 1) = 1 e ct 1 En un instante t se comprueba que un componente sigue funcionando. Cual es la probabilidad de que falle antes de t 1 segundos adicionales? P (t < T t + t 1 T > t ) = P ({t < T t + t 1 } {T > t }) P (T > t ) = P (t < T t + t 1 ) 1 P (T t ) = e ct (1 e ct 1) e ct La v.a. exponencial es Sin Memoria = = F T (t + t 1 ) F T (t ) 1 F T (t ) = 1 e ct 1 = F T (t 1 ) =

Media y Varianza de Variables Aleatorias Media de una Variable Aleatoria Definición: Dada una v.a. X se define su media como η = E[X] = xf X(x)dx Interpretación frecuencial η = i p i x i i n xi n x i = 1 n n xi x i i Media Condicional E[X M] = xf X (x M)dx Otras medidas: Moda: Valor x m que maximiza f X(x m). Mediana: x m Ω X es mediana de X sii F X(x m) = 1/2

Media y Varianza de Variables Aleatorias Varianza de una Variable Aleatoria Definición: Dada una v.a. X se define su varianza como σ 2 = Var[X] = E[(X η) 2 ] = (x η) 2 f X(x)dx Se puede ver como una medida de la dispersión en torno a la media. Además: σ 2 = (x η) 2 f X (x)dx = (x 2 + η 2 2xη)f X (x)dx = = x 2 f X (x)dx η 2 Desviación típica: σ = Var[X] (unidades de X)

Ejemplos Variables aleatorias continuas Variable Aleatoria Uniforme: { 1 f X(x) = x 2 x 1 x 1 x x 2 resto Media: η = xf X (x)dx = x2 x 1 1 1 x 2 x 2 x dx = x 2 x 1 x 2 x 1 2 = x 1 + x 2 x 1 2 Varianza: x2 σ 2 = x 2 f X (x)dx η 2 = x 2 1 dx (x 1 + x 2 ) 2 = x 1 x 2 x 1 4 Interpretación: = x3 2 x3 1 3(x 2 x 1 ) (x 1 + x 2 ) 2 = = (x 2 x 1 ) 2 4 12 fdp simétrica media en el centro A menor (x 2 x 1) menor dispersión menor σ 2

Ejemplos Variables aleatorias continuas Variable Aleatoria Exponencial: { ce cx x f X(x) = x < Media: η = xf X (x)dx = c Varianza: σ 2 = x 2 f X (x)dx η 2 = c Interpretación: xe cx Int. partes dx = 1 c x 2 e cx 2 Int. partes 1 dx η = c 2 Al aumentar c f X(x) decrece más rápidamente. Al aumentar c valores más probables en torno a cero. Al aumentar c menor dispersión.

Ejemplos Variables aleatorias continuas Variable Aleatoria Gaussiana: N (a, b) f X(x) = 1 e (x a)2 2b 2 2πb Media: η = 1 2πb = 1 2π = ag( ) = a xe (x a)2 2b 2 dx bte t2 2 dt }{{} por impar t= x a b = + 1 (bt + a)e t2 2 bdt = 2πb ae t2 2 dt = a 1 2π e t2 2 dt =

Ejemplos Variables aleatorias continuas Variable Aleatoria Gaussiana: N (a, b) Varianza: Sabemos que: 1 e (x a)2 2b 2 dx = 1 2πb derivando respecto a b Finalmente: Interpretación: (x a) 2 b 3 e (x a) 2 2b 2 dx = 2π σ 2 = (x a) 2 1 e (x a)2 2b 2 dx = b 2 2πb Gaussiana centrada en η = a σ = b controla la dispersión en torno a a e (x a)2 2b 2 dx = 2πb

Ejemplos Variables aleatorias discretas Variable Aleatoria de Bernoulli: Ω X = {, 1} P (X = 1) = p P (X = ) = q = 1 p f X(x) = qδ(x) + pδ(x 1) Media: Varianza: η = xf X (x)dx = i σ 2 = i p i x i = q + p1 = p p i x 2 i η2 = q 2 + p1 2 p 2 = pq Interpretación: Media en p Máxima varianza para p = 1 2

Ejemplos Variables aleatorias discretas Binomial: B(n, p) Ω X = {, 1,..., n} P (X = k) = Partiremos del Binomio de Newton: derivando respecto a p: y multiplicando por p (p + q) n = n(p + q) n 1 = np(p + q) n 1 = n k= n k= ( n k) p k q n k ( n k) kp k 1 q n k n k= ( n k) kp k q n k ( ) n p k q n k k

Ejemplos Variables aleatorias discretas Binomial: B(n, p) Media: η = n ( n kp k) k q n k n 1 p+q=1 = np(p + q) = np k= Para obtener la varianza volvemos a derivar y multiplicar: n ( n(p + q) n 1 + np(n 1)(p + q) n 2 n = k k) 2 p k 1 q n k Varianza: Observaciones: k= np [ (p + q) n 1 + p(n 1)(p + q) n 2] n ( n = k k) 2 p k q n k σ 2 p+q=1 = n k= k= ( n k) k 2 p k q n k η 2 = np(1 p) = npq Media y varianza como Bernoulli multiplicadas por n Técnica de derivar y multiplicar frecuente en el cálculo de η y σ 2

Ejemplos Variables aleatorias discretas Poisson: P(a) Ω X = N + Partimos del desarrollo en serie derivando y multiplicando por a Media: e a = P (X = k) = e a a k k= η = k ak 1 k! k= e a = k= a k k! k! a ae a = k =, 1,... k= a ak ke k! = e a ae a = a k ak k!

Ejemplos Variables aleatorias discretas Poisson: P(a) Ω X = N + P (X = k) = e a a k k! k =, 1,... Para obtener la varianza volvemos a derivar y multiplicar Varianza: Interpretación e a + ae a = k= σ 2 = i k 2 ak 1 k! p i x 2 i η2 = a ae a (1 + a) = k= = e a ae a (1 + a) a 2 = a k 2 a ak e k! a2 = Al disminuir a f X(x) se concentra en torno a Aproximación de B(n, p), np = a k= k 2 ak k!

Desigualdad de Chebychev Desigualdad de Chebychev Sea X una variable aleatoria con media η y varianza σ 2, se tiene P ( X η ɛ) σ2 ɛ 2 ɛ En función del suceso contrario: P ( X η < ɛ) 1 σ2 ɛ 2 ɛ=kσ P ( X η < Kσ) 1 1 K 2 Aproximación general pero muy conservadora. Demostración: η ɛ P ( X η ɛ) = f X (x)dx + f X (x)dx = f X (x)dx η+ɛ x η ɛ σ 2 = (x η) 2 f X (x)dx (x η) 2 f X (x)dx x η ɛ ɛ 2 f X (x)dx = ɛ 2 P ( X η ɛ) x η ɛ

Desigualdad de Chebychev Ejemplo Calcular P ( X η < Kσ) Desigualdad de Chebychev: Distribución Gaussiana N (η, σ) P ( X η < Kσ) 1 1 K 2 P ( X η < Kσ) = P (η Kσ < X < η + Kσ) = = F X (η + Kσ) F X (η Kσ) = = G(K) G( K) = 2G(K) 1

Desigualdad de Chebychev Ejemplo Calcular P ( X η < Kσ) Distribución Uniforme en [x 1, x 2] x < x 1 x x F X (x) = 1 x 1 + x 2 x x 2 x 1 < x < x 2 1 η = 2 1 x > x 2 Asumimos entonces: P ( X η < Kσ) = F X (η + Kσ) F X (η Kσ) { η + Kσ x2 η Kσ x 1 σ 2 = (x 2 x 1 ) 2 12 P ( X η < Kσ) = η + Kσ x 1 η Kσ x 1 = 2Kσ = K x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3 { K 3 < K < 3 P ( X η < Kσ) = 1 K > 3

Desigualdad de Chebychev Ejemplo Desigualdad de Chebychev 1.86 P( X η <Kσ).68 Chebychev Dist. Uniforme Dist. Gaussiana 1 1.5 2 K 3 4

Resumen Matemáticas Desarrollo en serie Binomio de Newton Límite: e a = (p + q) n = k= n k= a k k! ( ) n p k q n k k ( lím 1 a ) n = e a n n

Resumen Matemáticas Serie Geométrica: a k+1 = a k r con r < 1 a k = an 1 r k=n Progresión Aritmética: a k+1 = a k + d Integración por partes. n a k = k=1 an + a1 n 2 Derivar y multiplicar (media y varianza de v.a. discretas).