) Ha 5 abetos el resto de árboles son 3 + 4 + 5 + 3 65. La razón de abetos con el resto de árboles será: 5/65 o mejor simplificando: 3/3. ) Bastará multiplicar o dividir el numerador el denominador por el mismo número, por ej.: a) 4/4; 3 6/; 0.5 /3,5. b),5 4 3/8; 4 6/6; 0 5/40. 3) Calcula el término desconocido en las siguientes proporciones: a) 5 5 0 5,43 b) 4 5 4 5 4 5 5 5 5 c) d),5,5,,5 5 ),5,5 3, 3,5,5 4 6, 6,, 6 4,8 4 4 4) Selecciona las razones que forman proporción entre sí: a) b),5 c) 3,5 0 d),5 3,5 e),5 4,9 Forman proporción la b), la d) la e). Su división resulta la misma constante: 0.3548548... También el producto de medios es igual al producto de etremos. 5) Calcula el cuarto proporcional a, 5. Habrá que calcular: f) 0,5 0,5,5 5, 5,5 6) Traen sus esquís, 500 50 350, así la razón entre los que traen esquís alquilan será: 350/50, simplificando /3. ) Javier : 5.500 m / 40 min. 3,5 m / min. Pablo :.000 m / 90 min. 33,3 m / min. Así, Javier se ha desplazado más por minuto. 8) Indica si los siguientes pares de magnitudes son directas, inversas o no proporcionales. a) Los intereses que nos dan en un Banco por depositar un capital el tiempo que se los prestamos. Directa a doble tiempo corresponderá doble cantidad de intereses, ESPAD º Matemáticas-Tecnología
b) El ovejas que ha en un rebaño la cantidad de comida que tenemos que suministrarles. Directa a doble ovejas habrá que poner doble cantidad de comida, c) La altura de un niño o niña su edad. A maor edad le corresponderá maor altura, pero no de forma proporcional, a los 6 años no tendrá el doble de altura que a los 3, d) La velocidad constante con la que cruzamos un semáforo el tiempo que tardamos en llegar a la otra acera. Inversa, observamos que maor velocidad será menor el tiempo su producto permanecerá constante. 9) Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes e son directamente proporcionales. 4 0,8 8,5 6,5 8 5 Al ser directas, /constante. Observando la cuarta columna de datos: 8/5,6cte. Así, 4/ 8/5,6,6. 4 4/,6,5 Igualmente para el resto de los números que faltaban. 0) Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes z k son inversamente proporcionales. z 4 0 5 8 k 0 4 8 5 Al ser inversas, constante. Observando la cuarta columna de datos 8 5 40 cte. Así, 4 8 5 40 40/4 0. Igualmente para el resto de los números que faltaban. ) Observa las relaciones entre las siguientes parejas de magnitudes comprueba si son directa o inversamente proporcionales, o no son proporcionales. En caso de que sean proporcionales pon su constante de proporcionalidad u v m n h k 4 8,5,5,6 4,8 56,5,5 5,6 5 Vemos que u v, cumplen: u v cte 4 8 56, es INVERSA. Su constante de proporcionalidad inversa es. Vemos que m n, cumplen: m/n cte;,5/,5,5/,5 3 3, es DIRECTA. Su constante de proporcionalidad directa es 3. Vemos que h k, no cumplen: h/k cte;,6/5,6 4,8/5 0,9 0,3; no directas. Tampoco que: h k cte;,6 4,8 5,6 5,68 84; ni inversas. Luego son NO PROPORCIONALES. ESPAD º Matemáticas-Tecnología
) Es inversa, a más velocidad menos tiempo. Su producto se mantiene constante. Pasamos el tiempo a minutos: h 0 min 40 min. v Velocidad en km/h Resolviendo la igualdad: t Tiempo en minutos ES INVERSA: v t constante producto constante 99 40 99 40 0 0 99 40 0 99 40/0 6 minutos dos horas 6 minutos. 3) Las magnitudes son directamente proporcionales al ir a la misma velocidad, a doble distancia doble gasto de combustible. Así, la división permanece constante. d Distancia en km c consumo combustible en litros 30 4 93 d/c constante 30 93 4 Resolviendo la proporción 30 93 4 93 30 4 93 55, 5 litros. 4 30 Luego no le llegará con el depósito de 50 litros. 4) Es no proporcional, no tiene nada que ver poner una valla con hacer una zanja. 5) Lo que ha pagado menos los 0 euros de recargo es la factura que debía antes del recargo. La factura inicial la que tiene que pagar con el recargo no son proporcionales, pero se puede solucionar con el I.V. (índice de variación) Así, 00 I.V. 0 I.V. 0/00, Como el I.V. + %, % 0, 0/00 0% de recargo. 6) El partidas el dinero a pagar es directamente proporcional, así su división permanecerá constante. n partidas e euros a pagar 4 5 n / e constante 4 5 4 5 4 5 6, 5 en total. 5 4 Como son 8 personas, les tocará a 6,5/8 3,8 por persona, les faltarán céntimo de euro por la aproimación hecha a los decimales. ESPAD º Matemáticas-Tecnología 3
) En el caso a) tenemos: 3 5% (3 6) 444 5/00 444, 43,9. En el caso b) tenemos: Calculamos el descuento del 8% de IVA. Por no ser las magnitudes proporcionales deberemos hacerlo mediante el I.V. +8% +8/00,8 Así, el precio antes del IVA: I.V. 4,8 504 504/,8 4, antes del IVA. Qué es menor que la cantidad obtenida, 43,9 euros, en la oferta del apartado a). 8) Es una relación directamente proporcional el número con que se relaciona es 00. personas con coche personas 3 0 00 / constante 3 0 00 3 0 3 00 3 00 0 00 0 5 ; Así, 5/00 5 %. Como nos piden el porcentaje sin coche, será 00 5 85% no tienen coche. Recuerda que se podía hacer directamente, la división de las cantidades es el tanto por uno multiplicando por 00 el %. 3/0 0,5. 00 5%, 9) a) Cuántos kilos de manzanas tendremos que comprar? Son directamente proporcionales,. Manzanas en kg. Número de raciones / constante 4, 86 kg de manzanas. b) Y si tenemos 3 kg de manzanas, cuántas raciones de tarta nos saldrán? Igualmente, son directamente proporcionales. Manzanas en kg Número de raciones 3 / constante 3 3 3 80, 5 raciones de tarta. 3 ESPAD º Matemáticas-Tecnología 4
0) Observamos que cuanto más dinero ponen más premio les corresponderá debemos repartirlo entre tres personas. Es un reparto proporcional directo. Conocemos que si una sola persona hubiera puesto la suma de las tres cantidades que se aportan : 4, 6 0 0, le hubiera correspondido todo el premio 5.000. Así, si llamamos,, z a las tres cantidades que se reparten en razón a la cantidad aportada de 4, 6 0 euros obtenemos las proporciones siguientes. z 5.000 50 4 6 0 0 Separando las tres razones igualadas a la constante de proporcionalidad: 4 50 50.4 3.000euros para Pedro. 6 50 z 0 50 50.6 4.500 50.0.500 Igualmente lo podemos hacer mediante la tabla: euros para Juan. euros para María. Cantidad que les correspondería del total del premio 5.000 euros Valores a los que deben ser proporcionales: dinero aportado por cada uno Pedro 4 Juan 6 María z 0 DIRECTA, la división es constante /4 50 50 4 3.000 /6 50 50 6 4.500 z/0 50 z 50 0.500 + + z 5.000 4 + 6 + 0 0 5.000/0 50 constante ) Observamos que cuantas más líneas escriba menos páginas ocupará. Están relacionadas las dos magnitudes de forma inversa. Su producto será constante. Número de líneas Número de páginas 4 9 ES INVERSA: constante producto constante 4 9 Resolviendo la igualdad: 4 9 4 / 9 3 líneas por página tendré que escribir. ) Puedo encontrar una relación de proporcionalidad directa mediante el I.V. I.V. 0% 0/00 0, 0,8. Como I.V. 00 0,8 00 00/0,8 5 euros valía. Así, me he ahorrado 5 00 5 euros. ESPAD º Matemáticas-Tecnología 5
3) Dentro de,34 días son días tengo que pasar 0,34 días a una unidad inferior: las horas. Sé que las horas los días son directamente proporcionales, de forma que día tiene 4 horas, así: d Días h Horas 4 0,34 d / h constante 4 0,34 0,34 0,34 4 0,34 4 8, 6 horas 4 Pero 8,6 horas son 8 horas tengo que pasar 0,6 horas a una unidad inferior: los minutos. Sé que las horas los minutos son directamente proporcionales, de forma que hora tiene 60 minutos, así: h Horas m Minutos 60 0,6 h / m constante 60 0,6 0,6 0,6 60 0,6 60 9, 6 minutos 60 Pero 9, 6 minutos son 9 minutos tengo que pasar 0,6 minutos a una unidad inferior: los segundos. Sé que los minutos los segundos son directamente proporcionales, de forma que minuto tiene 60 segundos, así: m Minutos s Segundos 60 0,6 m / s constante 60 0,6 0,6 0,6 60 0,6 60 36 segundos 60 Luego me espera el día de octubre a las 0 h 9 m 36 sg. 4) Vemos que cuantos más grifos le costará menos tiempo. Así, su producto será constante. Pasando a minutos, 5 horas 30 min 5 60 + 30 330 minutos. Número de grifos Tiempo en min. para llenarse 3 330 5 Resolviendo las igualdades: ES INVERSA: constante producto constante 3 330 5 3 330 3 330 3 330/ 495 minutos. (8 h 5 min.) 3 330 5 330/5 3 minutos. ( h min.) ESPAD º Matemáticas-Tecnología 6
5) Sabemos que un plano debe mantener la proporción directa con la realidad. Así la división entre ellos debe permanecer constante. Pasamos, dm cm. Realidad en metros Plano en centímetros,5 / constante,5,5,5,5 6, 5 m. tiene de largo la piscina. 6) Sabemos que el % es una proporción donde el denominador es 00. Así: p personas e personas con esquís 30 00 90 p / e constante 30 00 90 30 00 30 90 00 30 90 90 00 0 Sarllerenc@s con esquís. O como vimos en la teoría, el % de una cantidad es: 90% de 30 90/00 30 0 ) Vemos que es un reparto proporcional directo. Ieia ha trabajado 8 horas Alba 9. Así al total de horas:, le corresponderían los 40 euros. Resultará que: 8 9 40 4, Separando las dos razones igualadas a la constante de proporcionalidad: 8 4, 4, 8,96 3 euros para Ieia. 9 4, 4, 9.08 euros para Alba. Igualmente lo podemos hacer mediante la tabla Cantidad que les correspondería del total que les pagan: 40 euros Valores a los que deben ser proporcionales: horas que han trabajado Ieia 8 Alba 9 Directa, la división es constante / 8 4, 4, 8 3 / 9 4, 4, 9 + 40 8 + 9 40 / 4, constante ESPAD º Matemáticas-Tecnología
8) Los dólares los euros están en proporción directa. Así, euros dólares,39 00 / constante,39 00,39 00 00,39, 00,39 5 euros. 9) Recordando que el % es una razón de denominador 00 viendo que es directamente proporcional, tenemos la siguiente proporción: s Euros salario v Euros en ventas 5 00.500 s / v constante 5.500 00 5.500.500 00 5.500 00 0. 000 tendrá que vender. 00 5 30) El días que tendrán comida dependerá de forma inversa al vacas, permaneciendo su producto constante. Si venden 0 vacas les quedarán 80. En los tres meses de invierno 30 390 días. v Número de vacas d Número de días con comida 00 90 80 ES INVERSA: v d constante producto constante 00 90 80 00 90 80 00 90 / 80,5 días tendrán comida las 80 vacas. Como el invierno tiene 90 días:,5 90,5 días de primavera tendrán comida. 3) El dinero que me dará el banco será proporcional al tiempo que se lo presto, siempre que saque los intereses cada vez que me los entregue en la cuenta (si no el capital iría aumentando ). Dinero que me dan Dinero que presto, 00.00 / constante, 00.00, 00,.00,.00 00 4,.00 00 4 al año. ESPAD º Matemáticas-Tecnología 8
Como nos dan los intereses trimestralmente, será la cuarta parte del año cada trimestre. Así, nos darán 4,4/4 3,6 euros al trimestre, que se supone vo retirando de la cuenta corriente. 3) a) cuánto me costará realmente el coche? Será: 8000 0/00 8000 8000 800 600 euros con el descuento. Ahora añadimos el IVA: 600 + 8/00 600 96 con descuento e IVA. b) obtengo el mismo precio si me hacen el descuento antes o después de aplicar el IVA? Lo hacemos para comprobar que es indiferente el orden que usemos. Aplicando º el IVA: 8000 + 8/00 8000 40 ahora le restamos el 0% de descuento: 40 0/00 40 96, igual que en el caso anterior. Se ve mejor si usamos el I.V., a que se puede observar que la epresión que resuelve el problema cumple la propiedad conmutativa: I.V. descuento 0% 0,9 I.V. aplicación IVA + 8%,8 Así, aplicando primero el descuento luego el IVA: 8000 0,9,8 96 Aplicando primero el IVA luego el descuento: 8000,8 0,9 96 Obtenemos el mismo resultado en ambos casos. 33) Vemos que: Pilar en una hora realiza / del trabajo. Pedro en una hora realiza /4 del trabajo. Guaente en una hora realiza /6 del trabajo. Entre los tres, en una hora realizarán: / + /4 + /6 6/ + 3/ + / / del trabajo. El trabajo que realizan será proporcional al tiempo empleado. Si en hora hacen / de trabajo, en horas harán los / de trabajo, o sea, el trabajo completo: p Parte del trabajo que hacen t Tiempo empleado en horas. p / t constante :,09 horas. Así, para saber eactamente el tiempo que les cuesta, procederemos como en el problema 3: Tenemos que,09 horas son hora pasamos 0,09 horas a minutos: 0,09 60 5,4 min; 5 min pasamos 0,4 minutos a segundos 0,4 60 4 seg Luego eactamente les cuesta hora 5 minutos 4 segundos ESPAD º Matemáticas-Tecnología 9