DISEÑO ECONÓMICO DE CARTAS DE CONTROL X ASUMIENDO DISTRIBUCIÓN GAMMA I.M. González and E. Vile Ecuela Superior de Ingeniero, Univeridad de Navarra, P. Manuel de Lardizábal, 8 San Sebatián, Epaña. E-mail: igonzalez@ceit.e, evile@ceit.e RESUMEN En ete artículo e dearrolla un modelo económico para el dieño de la carta de control para la media, el cual tiene en cuenta lo parámetro económico que intervienen en el control de un proceo. Ete modelo aume que la caracterítica controlada no igue una ditribución normal ino una ditribución gamma, ditribución que e ajuta muy bien a ditinto proceo gracia a la forma que adquiere al variar u parámetro de forma y ecala. El modelo permite encontrar lo parámetro de la carta: tamaño de muetra, límite de control y tiempo de muetreo, de manera que e minimicen la pérdida ocaionada cuando el proceo va fuera de control y, que e obtengan uno errore α y β pequeño. Palabra clave: carta de control, control de proceo, dieño económico, control de calidad INTRODUCCIÓN Obtener calidad en lo proceo e un objetivo importante en toda la emprea, por ello, e neceario diponer de herramienta que faciliten eta tarea. Una de eta herramienta e el Control Etadítico de Calidad a travé de la Carta de control. El Control Etadítico de Calidad e un método científico de análii de dato utilizado para reolver problema práctico y que puede er aplicado en cualquier proceo que ea poible exprear en forma numérica. La carta de control on la herramienta dinámica má efectiva que pueden er uada para poder conocer i un proceo, bien ea de producción bien de ervicio e encuentran trabajando bajo condicione etable o no. E un hecho inevitable que todo proceo preenta cierta variabilidad, pero éta erá contante en el tiempo y, por lo tanto, eguirá un patrón etable y erá predecible cuando la variabilidad ea debida a caua comune. En ete cao, el comportamiento del proceo e decribe a travé de una variable aleatoria. Contrariamente, cuando en el proceo etán preente caua aignable la variacione producida, no tendrán un comportamiento ni etable ni predecible. Una carta de control de la media (carta X ) e una gráfica que hace uo de uno límite de control, que permiten determinar i un proceo tiene un comportamiento etable o por el contrario, i la fluctuacione indican la preencia de caua aignable. Si la variacione en el proceo etán dentro de lo límite e dice que el proceo etá bajo control, en cao contrario e dice que el proceo etá fuera de control. La determinación de eto límite de control e realiza empleando criterio etadítico que conideran, minimizar la probabilidad de aceptar un cambio en la media cuando éte cambio no ha ocurrido (probabilidad de error tipo I,α ) y la probabilidad de concluir que la media del proceo no ha cambiado cuando en realidad i lo ha hecho (probabilidad de error tipo II, β ).
Tradicionalmente, eto errore e calculaban coniderando que el comportamiento del proceo cuando trabaja en condicione etable puede er decrito por una ditribución normal (carta de Shewart), debido a que en mucho cao lo proceo indutriale generan dato que iguen eta ditribución o e acercan a ella. Pero, a pear de que on mucho lo proceo que pueden er etudiado bajo eta hipótei de normalidad, exiten otro mucho proceo indutriale en lo que la caracterítica del producto que decriben u calidad, on variable aleatoria cuya ditribución no cumple con la hipótei aumida en la carta convencionale. En tale cao, eta deviación de la normalidad puede afectar la probabilidade (errore) aociada con lo límite de control y pueden indicar equivocadamente falta de control o que el proceo etá en etado de control cuando no lo etá. Exiten varia ituacione en la que podría penare que la variable que e etudian no iguen una ditribución normal. Podrían encontrare ditribucione del tipo: imétrica pero no normale, ditribucione aimétrica o ditribucione con má de un pico. Ete e el cao, por ejemplo, de caracterítica como la corriente eléctrica de un elemento, la excentricidad, el deequilibrado, etc. Lo que etá claro e que, en general, la ditribución de una caracterítica e deconocida y por ello, e neceario determinar la ditribución que mejor ajuta lo dato cuando el proceo trabaja bajo control, para que a partir de ella, e pueda dieñar la carta de control que mejor controle el proceo. En ete etudio e ha dieñado una carta de control X uponiendo que la caracterítica de calidad igue una ditribución gamma. La elección de eta ditribución e baa en que éta preenta la ventaja de poder adecuare a ditinta forma de ditribución modificando u parámetro de forma y ecala, de manera que puede repreentar una amplia gama de comportamiento reale. Por otro lado, debido a que en el control de calidad de un proceo etán involucrado mucho coto, por ejemplo coto de detectar una caua aignable y eliminarla, coto por tomar muetra, etc, e ha incorporado al modelo convencional de carta de control, como viene iendo habitual en lo último dieño, parámetro económico con el objeto de minimizar lo cote ademá de minimizar lo errore. Siguiendo eto tipo de dieño, lo parámetro de control deben er eleccionado de tal forma que minimicen la pérdida ocaionada por tener un proceo fuera de control. Por tanto, e ha dearrollado un modelo económico de carta de control baado en lo modelo de Duncan (Duncan,956) y de Collani (Collani,997), en el que e conidera la variable gamma como la variable que e ajuta a la caracterítica de calidad. CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE LOS ERRORES TIPO I Y TIPO II BAJO LA DISTRIBUCIÓN GAMMA Se conidera que la caracterítica de calidad e ditribuye como una función gamma con función de denidad igual a: p x f ( x, p, ν ) = x exp para x > p, ν > p p) ν ν () iendo p el parámetro de forma y, ν el parámetro de ecala La ditribución de la media muetral, por tanto, tiene como función de denidad: pn f x pn = u (,,) exp( u) para u, p > donde u = xn / ν () e decir, una función gamma con parámetro de forma pn y con parámetro de ecala. Por tanto, u función de ditribución e:
u pn F( x, pn,) = u exp( u) du () En una carta X lo límite de control e encuentran a ± k vece la deviación de la media muetral del proceo en control. Aí, e tiene que lo límite etán a : p ν ± kν p / n La probabilidad de cometer el error de tipo I,α, definida como la probabilidad de rechazar que el proceo etá bajo control cuando en realidad lo etá, e calcula como: pn+ k pn pn α = u exp( u) du pn k pn ( F( pn + k pn, pn,) F( pn k pn,,) ) α = pn (4) La probabilidad de cometer el error de tipo II e define como la probabilidad de aceptar que el proceo etá bajo control, cuando en realidad ha ocurrido un cambio en la media igual a δν p. Cuando e ha producido ete cambio en la media, la varianza también e modifica debido a que en una ditribución gamma amba caracterítica dependen de lo parámetro de forma y ecala. Aí, la función de denidad para la media muetral de la caracterítica x bajo eta hipótei de cambio erá una ditinta a la ditribución gamma pero a efecto de calcular el error de tipo II puede er ajutada, realizando un cambio de variable, a una gamma con función de denidad igual a: f ( x, pn,) = u pn exp ( u) para u, p > donde xn u = (5) ν ( p + δ ) u pn F( x, pn,) = u exp( u) du Luego, la probabilidad de error tipo II queda definida por la expreión iguiente: (6) pn b pn β = + u exp( u ) du u exp( u ) du Γ ( pn ) a β = F( b, pn,) F( a, pn,) (7) donde: np a = p kp p + δ n np b = p + kp p + δ n MODELO Se conidera un ciclo de producción con lo iguiente coto: coto por bucar una caua aignable cuando e produce una fala alarma, coto por bucar y eliminar una caua aignable cuando e produce una verdadera alarma y coto por tomar muetra. Se tiene en cuenta también lo beneficio que e obtienen mientra el proceo etá bajo control y lo beneficio que e obtienen cuando e etá produciendo con el proceo fuera de control. Con eto coto y eto beneficio e define una función objetivo que repreenta el total de pérdida producida cuando el proceo paa a un etado fuera de control.
Tiempo eperado en etado de control De acuerdo al modelo de Duncan (Duncan,956), e conidera que el tiempo de aparición de caua aignable en el proceo de producción igue una ditribución exponencial, e decir, la caua aignable ocurren cada cierto intervalo de tiempo, que e contante. Eto e jutifica con el hecho de que, aunque la probabilidad de fallo de lo proceo puede aumentar con el tiempo debido al degate que ufren lo equipo durante la producción, e decir, que la ocurrencia de caua aignable podría er mayor a medida que aumenta la edad del proceo, e upone que lo efecto del degate on compenado con política adecuada de mantenimiento. De ahí que, e aume que la caua aignable tienen una ditribución exponencial y no una ditribución en la que aumenta u razón de aparición. De lo dicho anteriormente, e deduce que la probabilidad de que el proceo eté bajo control durante un tiempo t e: F ( t) = exp( λt) para λ > Y el tiempo eperado durante el cual el proceo etá bajo control: E ( T ) = λ Muetra tomada durante el ciclo de producción Para definir el tiempo total del ciclo de producción e ua el número de muetra tomada durante el ciclo de producción, iguiendo el modelo de Collani (Collani,997). Número eperado de muetra tomada mientra el proceo etá bajo control E Pr(ocurra una caua entre la i -éima y la ( i +) = i = ( A ) i -éima muetra) E( A ( i+ ) ) = iλ exp( λt) i= i dt exp( λ) E( A ) = = exp( λ) exp( λ) (8) Número eperado de muetra tomada mientra el proceo etá fuera de control Depué de que ocurre una caua aignable, la probabilidad de que éta ea detectada en la i -éima muetra e: i P ( P) donde P = β Entonce, el número eperado de muetra tomada dede que ocurre la caua aignable hata que e detecta e: E ( A i = ) P i( P) i= E ( A ) = = (9) P β Número eperado de fala alarma E A f ) = αe( A ) ( exp( λ) E( A f ) = α = α () exp( λ) exp( λ ) 4
Tiempo total eperado del ciclo El tiempo total eperado del ciclo de producción e igual a la uma de tre término: el primero correponde al número eperado de muetra por el intervalo de muetreo, el egundo al número de muetra que originan fala alarma por el tiempo de búqueda de una caua aignable y, el tercero al tiempo que lleva bucar y eliminar una caua aignable cuando en realidad ha ucedido. E T ) = E( A + A ) + E( ) τ + ( τ + τ ) () ( A f r Función de coto y beneficio eperado del ciclo de producción El valor eperado de ingreo erá: E I ) = g υ + g E ( A + A ) ee ( A ) e r ane ( A f λ λ donde: e Coto medio por bucar una caua aignable. r Coto medio por eliminar una caua aignable. a Coto unitario por muetrear. g Beneficio por unidad cuando e produce en control. o g υ ( + A o ) () Beneficio por unidad cuando e produce fuera de control. Velocidad de producción (número de unidade producida por unidad de tiempo). Y el valor eperado de ingreo por unidad de tiempo e: g ( ) ( ) ( o υ + g E A + A ee A e r ane A f λ λ E ( B) = E ( A + A ) + E( A ) τ + ( τ + τ ) f r + A ) () Función de pérdida eperada en un ciclo de producción Sutrayendo a g υ, que e el beneficio por unidad de tiempo obtenido i e produce bajo control, el valor E (B), e obtiene E (L), que e el valor eperado de pérdida por unidad de tiempo debido a que el proceo etá fuera de control. V ( V + an)( exp( λ) β ) + T (exp( λ) )( β ) + Wα ( β ) λ E( L) = ( exp( λ) β ) + τ α ( β ) + ( τ + τ r )(exp( λ) )( β ) (4) Donde: V = ( g )υ g W = τ g υ + e T = g υ ( τ + ) + r e τ r + MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL DISEÑO DE LA CARTA DE CONTROL Para encontrar lo parámetro de la carta e fija un valor del coeficiente k y e encuentran para diferente valore de n, lo valore de la probabilidade de error de tipo I (α ) y error de tipo II (β ). Se conidera valor óptimo de n aquel para el cual β ea menor de 5%, e decir la potencia de la carta ea mayor de 95%. Una vez definido lo valore de función de pérdida E (L). k, n, el valor de óptimo e aquel que minimice la 5
Dado que lo valore de λ y α on pequeño e implifica la función E (L) ante de obtener el valor de que la hace mínima: V ( V + an )( exp( λ) β ) + T (exp( λ) )( β ) + Wα ( β ) λ (5) min E ( L) = exp( λ) β ( ) La derivada parcial con repecto a erá entonce: E L) = = λt exp( λ)( β ) + Vβ exp( λ) β ( an + V) exp( λ) β ( V T )( exp( λ) β )( exp( λ) )( β ) Wα( exp( λ) β )( β ) + λ Vexp( λ) exp( λ) ( β ) Wαλ exp( λ)( β ( ( ) ) ( )( ) ( ) Y, aproximando exp( λ) con lo tre primero término de u dearrollo en erie, e obtiene el valor de óptimo para el dieño de la carta. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Lo valore coniderado para lo parámetro del modelo dearrollado, iendo lo coto: dólare y el tiempo: hora, on lo iguiente: V =, T = 75, W = 5, τ =., τ =., e =, a =, r =, λ =. r En primer lugar, uando ete modelo, e ha dieñado una carta de control para una ditribución gamma aimétrica de parámetro p = y ν =. 5, iendo lo reultado obtenido lo obervado en la Tabla. Ademá, para conocer lo errore que e cometerían al no coniderar la verdadera ditribución de la caracterítica, e decir al aumir el dieño convencional de la carta, e han encontrado lo parámetro de dieño uando ete modelo pero aumiendo la normalidad de la caracterítica (calculando α y β bajo éta hipótei). Lo reultado e detallan en la Tabla. Si en el cao de la ditribución gamma aimétrica de parámetro p = y ν =. 5 aumiéramo erróneamente normalidad, lo límite de control quedarían etablecido egún lo valore k y n de la Tabla. Lo errore α y β no erían verdaderamente lo de eta tabla ino lo que e calcularían con eto valore de k y n y, iguiendo la ditribución real de la caracterítica, e decir la ditribución gamma. Aí lo valore correcto de α y β erán lo de la Tabla III. Aunque de la Tabla I y II e oberva que el valor eperado de la pérdida E (L) e menor en el cao de aumir incorrectamente la normalidad de la caracterítica, no ería adecuado elegir ee modelo porque el error β real e en realidad uperior al que e calcula bajo la hipótei de normalidad, aumentando en el peor de lo cao de % a 7% (Tabla y ). + (6) Fig.: Ditribución gama con parámetro p =, ν =. 5 6
δ k n α β E(L).5.5.5 5 65 8.775.578.45.97.45.8.477.489.499.87.949.477.5.5 6 5 5.598 5.775 6.477 7.9.74.446.99.8.46.455.44.47 7.694 7.76 8.45 8.7.5.5.5 9 6 4.7 4.874 4.468 5.84.48.44..5.6.74.49.84 5.758 5.787 6.799 6.575.5.5 6 7 9.595.69.874.84.8.4.4.4..479..44 5.849 4.86 5.8 5.4 Tabla : Valore de lo parámetro k, n,, α, β y E(L) para diferente cambio en la media de una variable con ditribución gama de parámetro p =, ν =. 5. δ k n α β E(L).5 54 8.766.455.47.455.5 8 5.978.4.47 6.96.5 6.84.455.47 4.698 4.5679.455.75 4.45 Tabla : Valore óptimo de lo parámetro k, n,, α, β y E(L) para diferente cambio en la media de una variable normal con media µ y deviación típica σ. δ k n α β.5 54 8.766.95.94.5 8 5.978..4.5 6.84.48.868 4.5679.49.766 Tabla : Valore de α y β calculado bajo una ditribución gama de parámetro p =, ν =. 5 para k, n, de latabla. 7
Por otro lado e ha dieñado una carta de control para una ditribución gamma que e ajuta aproximadamente a una normal con la finalidad de hacer una comparación con otro modelo que uan éta ditribución Lo reultado aparecen en la Tabla 4. Lo dato de la tabla 4 on muy imilare a lo obtenido con lo modelo de Duncan (Duncan, 956) y Collani Collani,997) que utilizan la función normal. Por lo tanto, la metodología preentada permitirá realizar el control de lo proceo, no ólo en aquello en lo que la media pueden er ajutada a una ditribución normal, ino también en lo que preenten problema relacionado con la normalidad aumida en el dieño de la carta de control, debido a que e pueden calcular con exactitud lo errore aociado a la carta, para todo tipo de ditribución. Fig. : Ditribución gama de parámetro p =, ν =.. δ k n α β E(L).5.5.5 45 59 76 9.87.4895.69.5.69.7.475.494.477.7854.949.45.5 7 6 5.87 5.74 6.577.96.67..445.46.47 6.5869 6.8677 8.87.5.5.5 5 7 9 4.4.8658.755 4.84 4.49.54.85.8.94.6.4.9.5.6.4 5.867 5.48 5.69 5.644 6.5.5.5 4 5 7 8.949.865.6889.69.47.4.67.98...49.48.5.74.7 5.4885 4.67 4.66 4.668 4.995 Tabla 4: Valore de lo parámetro k, n,, α, β y E(L) para diferente cambio en la media de una variable con ditribución gama de parámetro p =, ν =.. A la vita de lo reultado e puede concluir que el modelo preentado permite dieñar, en cualquier cao, una carta de control para la media de un proceo: e encuentra un 8
intervalo de muetreo,, fijado uno límite de control, k,y un tamaño de muetra, n, que correpondan a probabilidade de error tipo I y tipo II pequeño y aceptable, de tal forma que ete intervalo minimice la pérdida originada cuando un proceo va fuera de control. BIBLIOGRAFÍA AL SULTAN, K. S. y RAHIM, M.A. (997): Optimization in Quality Control, Kluwer Academic Publiher, Maachuett. Abramowitz, M. y; STEGUN, I. (97): Handbook of Mathematical Function with Formula, Graph and Mathematical Table, Dover Publication Inc., New York. CHIU, W. K. y WETHERILL, G. B. (974): A Simplified Scheme for the Economic Deign of X Chart, Journal of Quality Technology, vol. 6, 6-69. CHUNG, K.J. (99): A Simplified Procedure for the Economic Deign of X Control Chart, International Journal of Production Reearch, vol. 8, 9-46. DUNCAN, A.J. (956): The Economic Deign of X Control Chart ued to maintain Current Control of a Proce, Journal of American Statitical Aociation, vol. 5, 8-4. GOEL, A.L., JAIN, S.C.,y Wu, S. M. (968): An Algorithm for the determination of the Economic Deign of X Chart baed on Duncan model, Journal of the American Statitical Aociation, vol. 6, 4-. MC. WILLIAMS, T. P.(989): Economic Control Chart Deign and the In-Control Time Ditribution: A Senitive Study, Journal of Quality Technology, vol (), -. MONTGOMERY, D.C. (98): The Economic Deign of an X Control Chart, Journal of Quality Technology, vol. 4, 4-4. 9