SOLUCIONARI Unitat Comencem En un problema de física es demana el temps que triga una pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t s. La resposta que dóna és t,00808 s. Et sembla que és correcta aquesta resposta? No té cap sentit expressar el resultat amb tantes xifres decimals, ja que no hi ha cap aparell de mesura de temps que pugui apreciar fins a la milionèsima de segon. Si a, i b,, calcula a b i ab i indica en cada cas les xifres decimals correctes. a, b,, a,, b,,80 a b,600 a b, Si en lloc de sumar multipliquem ordenadament, s obté:,90 a b,9699 Per tant, a b,9. Exercicis. Calcula la longitud dels segments indicats a continuació. Expressa n el resultat de manera exacta i utilitza la calculadora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centèsimes: a) La diagonal d un rectangle de costats i cm. Diagonal: d d 9 cm,8 cm b) El diàmetre d una circumferència la longitud de la qual és 0 cm. Diàmetre: d L 0 d cm,8 cm c) L altura d un triangle equilàter de cm de costat. Altura: h h cm cm,6 cm d) L altura d un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de generatriu. Altura: h h 9 6 cm cm 6, cm. El costat més petit d un rectangle auri mesura cm. Quant mesura l altre costat? Expressa n el resultat de manera exacta i amb una aproximació arrodonida a les dècimes. Mesura, és a dir, cm, cm. Sabent que PQ PS dm, demostra que el segment QR mesura dm fig..). R QO dm QR QO OR dm. Classifica els nombres següents en racionals i irracionals: a),0 b),88080080008... S P O Matemàtiques. Batxillerat Q
c),9 d) e),... f ) 0,8. Indica quins d aquests nombres són irracionals: a) b) c) d) e e) 9 f ) g) 6 9 h) 6 i) 6 9), 0, 6. Per què el número no pot ser 0,6 irracional? No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir nombres que són racionals.. Calcula l àrea d un cercle de cm de radi prenent els següents valors de : a) L aproximació per defecte,. A r, 0,6 cm b) L aproximació per excés,6. A r,6 0,66 cm En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació a la mesura real de la superfície d aquest cercle? Per què? La segona aproximació és més bona que la primera, ja que l aproximació per excès del nombre és millor que l aproximació per defecte. 8. Expressa de manera exacta: a) La longitud d una circumferència de 6 cm de diàmetre. L 6 cm b) L àrea lateral d un cilindre de cm de radi i cm de generatriu. A lat rg 0 cm c) El volum d un con de cm de radi i cm de generatriu. L altura del con mesura: h g r cm r h V 00 cm 9. S ha aconseguit determinar que el radi d una circumferència mesura cm. Es pot conèixer amb exactitud la seva longitud? I l àrea del cercle que limita? Justifica la resposta fent els càlculs corresponents. La longitud de la circumferència es pot conèixer amb exactitud, perquè: L r 8 cm En canvi, només podem saber un valor aproximat de l àrea del cercle corresponent, ja que 6 A r cm 6 i és un nombre irracional. 6 A cm,09 cm Matemàtiques. Batxillerat
0. Quant mesura la diagonal d un cub de cm d aresta? Expressa n el resultat de manera exacta i aproxima l a les centèsimes. Diagonal: D D cm,6 cm. La longitud d una circumferència mesura 0 cm. a) Expressa n el resultat aproximat a les centèsimes. L,6 cm b) Quant mesura el radi d aquesta circumferència? L r cm c) Calcula l àrea del cercle que limita i expressa-la de manera exacta. A r cm. Troba cinc nombres racionals compresos entre i, i ordena ls del més petit al més gran. Resposta oberta. Per exemple: 0, 0, 0,6 0,6 0,6. Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun d aquests nombres irracionals? a) i g) 6 h) i) e i 6 i 8 i 9. Representa a la recta numèrica els nombres irracionals següents: a) b) c) 9 d) 8 e) f ) g) h) i) 0 j) k) 8 l) c. Compara aquests parells de nombres reals: a) i g i k l j h e d b a f 6 0 6 b) i 0, 0, b) c) d) e) f ) 8 i i i 8 i i c) i 0 0 d),9 i e) 6 i,9 6 f ),9 i,9 0 0 g) i 8 9 0 0 8 9 Matemàtiques. Batxillerat
h),9 i,,9, 9. Aproxima per defecte i per excés fins a les mil. lèsimes cadascun dels nombres irracionals següents: 6. Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents i col. loca el signe de desigualtat que correspongui:,;,99;,9; ;,; 0;, 0,,99,9. Escriu dos nombres racionals compresos entre: Resposta oberta. Per exemple: a) i 6 b) i, i,, i,6 c) i,0 i, d) e i,9 i 8. Expressa de manera exacta: a) L àrea d un triangle equilàter de cm de costat. c 6 A cm b) La longitud de la diagonal d un rectangle els costats del qual mesuren i 6 cm. d a b 6 6 cm cm c) El volum d un cilindre de cm de radi i cm d altura. V r g cm d) L àrea d un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 8 cm de diàmetre. d Costat de l hexàgon: c cm c A cm a) Resposta oberta. Per exemple, prenent xifres decimals per a cada nombre: 0. Extreu factor comú de: a) b) Per defecte c) a a a ) ) ) a d) a b c a b c). Les operacions amb nombres irracionals que s indiquen a continuació donen com a resultat un nombre racional. Calcula l en cada cas. a) 0 ) 0 ) 0 b) ) ) ) ) c) ) ) 9 6 d) ) : b) e c) Per excés,0, e,8,8,,6 ) : : e) 6) 6 6) 6 Matemàtiques. Batxillerat
f ) ) ) ) ) 9 6 6. Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascuna d aquestes expressions com un producte de dos factors: a) x y xy x y xy xyx y) b) x y z) t y z) x y z) t y z) y z)x t) c) z z z z z z z z z ) d) x xy y t x y) x xy y t x y) x y) t x y) x y)x y t) e) z x t) x xt t z x t) x xt t z x t) x t) x t)z x t). Calcula sense utilitzar la calculadora: a) 000 0 b) 96 6 c) 8 9 d) e) 0,00 0, f ). Tot i que a primer cop d ull no ho sembli, els resultats de les arrels següents són tots racionals. Calcula ls. 8 a) 8 8 8 9 b) 6 6 8 0 c) 98 0 98 9 d) 8 8. Expressa en forma de potència: a) b) a c) 0 d) a ) e) 6 a 0 a ) 6 6 f ) 6 6. Expressa en forma d arrel: a) b) c) a a Matemàtiques. Batxillerat
d) e) b b 9. Per simplificar una arrel del tipus n a m, cal aconseguir que m i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica: a) b) a 0 6 a a a. Les potències d exponent fraccionari verifiquen totes i cadascuna de les propietats de les potències d exponent enter. Aplica aquestes propietats per expressar en funció d una sola potència: a) b) : c) : 6 d) 8 8 6 8. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes aquests nombres irracionals: a) b) c) 0,,6 d) 0 e) f ),,,68,9,9 c) 0 d) 6 6 0. Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta: a) a b) a b b) a b a b c) a ab b a b La de l apartat b), ja que a b) a b.. Expressa en forma d una sola arrel: a) b) c) 0 6 d) 6 8 8 6 e) ) f ) 6 6 6 6 6 6 6 g) a b) a b h) a a b) a b b) 0 Matemàtiques. Batxillerat
i) j) a a a 6 a. Expressa de la manera més senzilla possible: a) 0 0 0 0 0 b) 6 0 6 0 ) c) 000 d) 0 6 6 0 0. Racionalitza les expressions fraccionàries següents: a) b) c) 6 d) ) 6 ) ). Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament cada expressió fraccionària: a) ; ) 6 b) ) 6 6 ) ) 6. Representa a la recta real els conjunts de nombres següents. Després, defineix-los mitjançant desigualtats: a) [, ) b), ) 0 x x Matemàtiques. Batxillerat 0
c) [, ] d), ) e) [, 0) f ) 0, ] g), ) h) [, ) i), 0) 0 x 0 x 0 x 0 0 0 x 0 x 0 x d) x e) x 6 f ) x, ) x 6 x. Les inequacions x i x tenen solucions comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressa-les de dues maneres diferents. x 6 x x x x x x, o també, x [, ). 8. Efectua aquestes operacions amb l ajut de la calculadora. Expressa n els resultats utilitzant la notació científica: a), 0 0 6, 0,8 0 b) 0 6 : 0 ) : 0, 0 0 c) 0 0 0 9,6 0 0 x 0 0 d) 0 0 ) 9,98 0 j), ] 6. Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres reals que verifiquen: a) x b) x 0 x [, ), ) 9. Una estrella es troba a anys llum de la Terra. Quina es la distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 00 000 km/s. 6 dies h 600 s any any dia h 6 000 s 00 000 km any llum 6 000 s s 9,608 0 km c) x [, ] anys llum 9,608 0,8 0 km Matemàtiques. Batxillerat
0. Sabent que un mol d àtoms de ferro conté 6,0 0 àtoms d aquest metall i que té una massa de,8 g, esbrina: a) La massa en grams d un àtom de ferro. mol àtom Fe àtom Fe 6,0 0 átom Fe,8 g Fe 9,0 g Fe mol àtom Fe b) El nombre d àtoms continguts en g de ferro. mol àtom Fe g Fe,8 g Fe Acabem 6,0 0 àtom Fe mol àtom Fe,08 0 àtom Fe. Calcula el costat, el perímetre i l àrea d un quadrat inscrit en una circumferència de cm de radi. Quina de les tres mesures s expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a les centèsimes. El diàmetre de la circumferència coincideix amb la diagonal del quadrat i mesura cm. Si representen per c el costat del quadrat, es verifica: c c c 6 c 8 c cm,8 cm El perímetre p del quadrat mesura:. Representa a la recta numèrica els nombres reals següents: a) b),6 c) d) 8 Representació aproximada: d a b c 0. Calcula: a) ) ) 9 b) 0) 0) 0 00 c) ) ) ) ) d) ) ) ) ). Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número 6 és racional. Realitza prèviament la descomposició en factors primers de 6. 6 6 6. Dibuixa un quadrat de cm de costat. Determina els punts mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina figura n obtens? Per què? Calcula n l àrea i el perímetre. 6 8 p c 8 cm, cm i l àrea A del quadrat és: A c 8 cm L única mesura que s expressa mitjançant un nombre racional és la superficie del quadrat.. Troba quatre nombres racionals compresos entre i 6. Resposta oberta. Per exemple:,;,;,;,. S obtè un altre quadrat: els seus costats són iguals i els quatre angles són rectes. Àrea: A ) cm Perímetre: P cm Matemàtiques. Batxillerat
. Considera un nombre positiu, eleva l al quadrat, multiplica l per i, finalment, extreu-ne l arrel quadrada. Demostra que el quocient de la divisió entre l últim nombre i el primer és igual a. x x x x L últim pas és possible perquè x 0. 8. Calcula: a) ) ) b) ) ) 9 6 6 c) ) ) 0 d) ) ) 6 6 6 6 9. En quins casos el resultat d una potència de base és més petit que? Justifica n la resposta amb exemples. Sempre que l exponent és més petit que. Per exemple:,; 0 ;. 0. Expressa com una sola potència: a) b) c) : : : a d) b ) a a b ) b 6 b. Escriu com una única arrel: a) 0 0 0 0 6 b 0 6 6 0 b) : 0, c) d) : 0, : 6. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents: a) 8 6 8 6 ) 0 b) 69 69 9 c) a a a a a a a 6 6 a a 6 a d) b : b b : b b : b Matemàtiques. Batxillerat b b. L arrel quadrada de l arrel cúbica d un nombre positiu x té dos possibles resultats. Per què? Si un d aquests és, quin és l altre? Calcula x. Perquè es tracta d una arrel d índex parell índex 6) x 6 x L altre resultat és, l oposat de.. Racionalitza: 0 6 x x ) 6 6 a) 0 0 0 0 0 0 0 0 b) 0
6 6 c) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0. Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de l equació de segon grau ax bx c 0, per tal que les seves solucions siguin nombres reals? Les solucions de l equació ax bx c 0 són de la forma: b b ac x a Per tant, perquè aquestes solucions siguin nombres reals s ha de verificar que: b ac 0 6. El perímetre d un rectangle mesura 6 cm i una de les seves diagonals, 0 cm. Calcula n l àrea. Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades en centímetres. Es verifica: x y 6 x y 8 x y 0) x y 0 x 8 y 8 y) y 0 6 6 y y y 0 y 6 y 0 y 8 y 0 8 6 8 8 y 6 y y Si y 6 x, i si y, x 6. En qualsevol cas, l àrea del rectangle és A cm. Justifica aquestes igualtats: a) b) 0 0 c) d) a n a n a n a n a n a n n a a n 8. Les solucions d una inequació es troben a l interval [, ], i les d una altra inequació, a l interval [0, ). Expressa mitjançant un interval les solucions comunes a totes dues inequacions. Ajuda t d un gràfic. Les solucions comunes són les que es troben a l interval: [0, ]. 9. Calcula: 00 a) 0 00 00 0 0 b) 9 c) 8 8 69 0. Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què? a) 9 b) 6 6 c) a b a b d) a) Perquè 8 c) Perquè a b a b) 0 Matemàtiques. Batxillerat