Sistemas de ecuaciones diferenciales y el uso de operadores

Sistemas de ecuaciones diferenciales y el uso de operadores En la clase anterior resolvimos algunos sistemas de ecuaciones diferenciales sacándole provecho a la notación matricial. Sin embrago, algunos sistemas son tan simples que tienen un método casi directo para su resolución, como podemos ver a continuación: Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ẋ = 2e 2t ẏ = x2 y t. t 0. Rápidamente nos damos cuenta que la primera ecuación puede ser integrada de manera directa: dx dt = 2e2t x(t) = e 2t + C 1 al sustituir este resultado en la segunda ecuación: ( dy e 2t ) 2 dt = + C 1 y t dy dt + y t = e4t + 2C 1 e 2t + C1 2 t esta última ecuación es lineal en y, por lo tanto la sabemos resolver: y(t) = 1 4 e4t + C 1 e 2t + C1 2t + C 2, t 0. t Anteriormente vimos algunas ventajas que aparecen por el hecho de utilizar la notación de operadores para encontrar una solución de una ecuación diferencial lineal de orden n. Recordemos que una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes se podía escribir de la siguiente manera: P (D)y = Q(x). (1) donde P (D) = a 0 + a 1 D + a 2 D 2 + + a n D n, a n 0. con: a 2, a 1, a 2,..., a n constantes. En el caso de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales podemos también hacer uso de esta notación: P 11 (D)y 1 + P 12 (D)y 2 + P 13 (D)y 3 + + P 1n (D)y n = Q 1 (x) P 21 (D)y 1 + P 22 (D)y 2 + P 23 (D)y 3 + + P 2n (D)y n = Q 2 (x). P n1 (D)y 1 + P n2 (D)y 2 + P n3 (D)y 3 + + P nn (D)y n = Q n (x). (2). Héctor Hernández / Luis Núñez 1 Universidad de Los Andes, Mérida

La solución del sistema (2) es el conjunto de funciones: {y n (x)}, cada una de ellas definidas en un intervalo común I. Por ejemplo, para el siguiente sistema se tiene 2y 1 (x) + 3y 1(x) + 5y 2 (x) y 2(x) y 1 (x) y 1(x) + 3y 2 (x) + y 2(x) = e x = sen(x) (2D + 3)y 1 + (5D 1)y 2 = e x (D 3)y 1 + (3D + 1)y 2 = sen(x) Notemos también que el sistema (2) es un caso más general a los estudiados anteriormente, que eran de la forma: y (x) = P (x) y(x) + g (x). Por cuestiones netamente didácticas nos detendremos en el caso n = 2, entendiendo que los resultados aquí obtenidos pueden extrapolarse para cualquier valor de n. Cuando n = 2, tenemos entonces: P 11 (D)y 1 + P 12 (D)y 2 = Q 1 (x) P 21 (D)y 1 + P 22 (D)y 2 = Q 2 (x) (3) Estos sistemas al resolverse para las funciones incógnitas deben contener un número apropiado de constantes y para tal fin existe un teorema que garantiza el número correcto de constantes que deben aparecer. Teorema: El número de constantes arbitrarias que deben aparecer en la solución del sistema (3) debe ser igual al orden de la siguiente expresión: P 11 (D)P 22 (D) P 12 (D)P 21 (D) (4) con: 0. Si se da el caso que = 0, se dice que el sistema es degenerado. Notemos además que (4) tiene la forma de un determinante. Caso no degenerado: 0 El sistema (3) puede ser tratado como un sistema de ecuaciones algebraico. Esto significa que podemos manipular las filas a nuestra conveniencia para obtener su solución o utilizar cualquier técnica para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas desarrollado en cursos anteriores. Ejemplo Resolver el sistema 2ẋ x + ẏ + 4y = 1 ẋ ẏ = t 1. Tal vez sea conveniente adaptar el problema a nuestra notación, es decir, hacemos los siguientes cambios: x(t) = y 1 (x) y y(t) = y 2 (x). Por lo tanto: 2y 1(x) y 1 (x) + y 2(x) + 4y 1 (x) = 1 y 1(x) y 2(x) = x 1. Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes, Mérida

En la notación del operador diferencial sería: (2D 1)y 1 + (D + 4)y 2 = 1 Dy 1 Dy 2 = x 1. Multipliquemos la primera ecuación por D y la segunda por D + 4: luego las sumamos para obtener: (2D 2 D)y 1 + (D 2 + 4D)y 2 = D1] (D 2 + 4D)y 1 (D 2 + 4D)y 2 = (D + 4)x 1]. (3D 2 + 3D)y 1 = 0 + Dx 1] + 4(x 1) = 1 + 4x 4 = 4x 3 esto significa que debemos resolver la siguiente ecuación 3y 1 + 3y 1 = 4x 3 con la ayuda de algunos de los métodos anteriormente vistos se obtiene la respectiva solución: y 1 (x) = C 1 + C 2 e x + 2 3 x2 7 3 x. Al sustituir y 1 (x) en la segunda ecuación del sistema resulta: D C 1 + C 2 e x + 23 x2 73 ] x Dy 2 = x 1 por lo tanto: C 2 e x + 4 3 x 7 3 Dy 2 = x 1 C 2 e x + 1 3 x 4 3 Dy 2 = 0, y 2 = C 2 e x + 1 3 x 4 3 y 2 (x) = C 2 e x + 1 6 x2 4 3 x + C 3. Ahora podemos estudiar el tema del número de constantes que deben aparecer. Del teorema anterior vemos que el determinate = (2D 1)( D) (D)(D + 4) = 3D 2 3D es de orden 2. Por lo tanto, según el teorema antes mencionado deben existir únicamente dos constantes. Esto significa que tenemos una constante demás. Podemos hallar una relación entre las constantes sustituyendo las dos soluciones encontradas en la primera ecuación del sistema, recordemos la la segunda ecuación ya fue utilizada para encontrar y 2 (x). Esto es (2D 1) C 1 + C 2 e x + 23 x2 73 x ] + (D + 4) C 2 e x + 1 6 x2 4 3 x + C 3 ] = 1 6 C 1 + 4C 3 = 1 C 3 = C 1 + 7 4 Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

Por lo tanto, la solución al sistema será: y 1 (x) = C 1 + C 2 e x + 2 3 x2 7 3 x y 2 (x) = C 2 e x + 1 6 x2 4 3 x + C 1 + 7 4. Ejercicio Resuelva (D + 3)y 1 + (D + 1)y 2 = e x (D + 1)y 1 + (D 1)y 2 = x. En este caso es de orden cero y no deben aparecer constantes arbitrarias. Caso degenerado: = 0 Como puede suceder para los sistemas algebraicos el sistema de ecuaciones puede ser degenerado, es decir, podrá tener infinitas soluciones o no tener solución, por ejemplo, el sistema: no tiene solución. Y el sistema 2x + 3y = 5 2x + 3y = 7, 2x + 3y = 0 4x + 6y = 0, tiene infinitas soluciones. En ambos casos, el determinante conformado por los coeficientes de x y de y es cero. Notemos también que para el primer sistema, si despejamos y de la segunda ecuación y = 7 2x 3 y la sustituimos en la primera resulta: ] 7 2x 2x + 3 = 5 7 = 5 3 No existe solución cuando el sistema no se reduce a una igualdad. Si hacemos lo mismo con el segundo sistema, despejamos y en una y = 2x 3 y la sustituimos en la otra 2x + 3 2x ] = 0 0 = 0. 3 Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida

Existen infinitas soluciones si el sistema se reduce a una igualdad del tipo 0 = 0. Con los sistemas de ecuaciones diferenciales pasa lo mismo. Veamos un par de ejemplos. El sistema Dy 1 Dy 2 = x Dy 1 Dy 2 = x 2. es degenerado porque D 2 ( D 2 ) = 0. Si despejamos Dy 1 de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: este sistema no tiene solución. Dy 1 = Dy 2 + x 2 Dy 2 + x 2 Dy 2 = x x 2 = x. Ejercicio Demuestre que el siguiente sistema es degenerado y tiene infinitas soluciones Dy 1 Dy 2 = x 4Dy 1 4Dy 2 = 4x. Volvamos al caso no degenerado. Como hemos mencionado el hecho de usar los operadores hace que el sistema puede ser tratado de manera similar al de un sistema algebraico, y por lo tanto, podemos utilizar cualquiera de los métodos para la resolución de sistemas algebraicos. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: P 11 (D)y 1 + P 12 (D)y 2 + P 13 (D)y 3 = Q 1 (x) P 21 (D)y 1 + P 22 (D)y 2 + P 23 (D)y 3 = Q 2 (x) P 31 (D)y 1 + P 32 (D)y 2 + P 33 (D)y 3 = Q 3 (x). (5) El determinante que podemos asociar a este sistema es: = P 11 (D)P 22 (D)P 33 (D) + P 21 (D)P 32 (D)P 13 (D) + P 12 (D)P 23 (D)P 13 (D) P 31 (D)P 22 (D)P 13 (D) P 32 (D)P 23 (D)P 11 (D) P 21 (D)P 12 (D)P 33 (D) La manera usual de resolver este sistema es eliminar algunas de las variables, digamos y 3, de manera que nos queda un sistema reducido a dos ecuaciones, digamos: P 11 (D)y 1 + P 12 (D)y 2 = Q 1 (x) P 21 (D)y 1 + P 22 (D)y 2 = Q 2 (x) (6) Si de este sistema eliminamos y 2, entonces lo que queda es una solo ecuación ˆP 11 (D)y 1 = ˆQ 1 (x) (7) Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes, Mérida

la cual podemos resolver para y 1. Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones (6) se obtiene y 2. Finalmente, la sustitución de y 1 y y 2 en cualquiera de las ecuaciones de (5) permite obtener y 3. El número de constantes quedará determinado por el oden de. Otra manera de proceder es manipular el sistema (5) de manera tal que se obtenga un sistema equivalente triangular, es decir, de la forma: P 11 (D)y 1 = Q 1 (x) P 21 (D)y 1 + P 22 (D)y 2 = Q 2 (x) P 31 (D)y 1 + P 32 (D)y 2 + P 33 (D)y 3 = Q 3 (x). (8) Aquí, las soluciones se van obteniendo desde la primera ecuación hasta la última. Es bueno resaltar el hecho de que las soluciones obtenidas utilizando un sistema equivalente triangular contienen el número correcto de constantes requerido por el sistema. Entonces, para obtener un sistema equivalente triangular procedemos de la siguiente manera: decidimos dejar una de las ecuaciones sin intervenir y manipulamos las otras dos, repetimos este procedimiento las veces que sean convenientes hasta obtener el sistema deseado. Ejemplo Resolver el sistema ẋ 2x + y z = t (D 2)y 1 + y 2 y 3 = x x + 2ẏ + y + 2z = 1 y 1 + (2D + 1)y 2 + 2y 3 = 1 2x + 6y + ż = 0 2y 1 + 6y 2 + Dy 3 = 0 Retenemos la primer ecuación del sistema Creamos un nuevo sistema multiplicando la primera ecuación por 2 y sumándola con la segunda, para de esta manera eliminar y 3. Con el mismo fin, multiplicamos la primera por D y la sumamos con la tercera. Con esto obtenemos: (D 2)y 1 + y 2 y 3 = x (D 5)y 1 + (2D + 3)y 2 = 2x + 1 (D 2 2D + 2)y 1 + (D + 6)y 2 = 1 Podemos retener la primera y tercera ecuación y cambiamos la segunda. Entonces multiplicamos la tercera por 2 y la sumamos con la segunda: (D 2)y 1 + y 2 y 3 = x ( 2D 2 + 6D 9)y 1 9y 2 = 2x 1 (D 2 2D + 2)y 1 + (D + 6)y 2 = 1 Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes, Mérida

Retenemos la primera y segunda ecuación y cambiamos la tercera. Lo podemos hacer multiplicando la segunda por (D + 6)/9 y luego se suma con la tercera: (D 2)y 1 + y 2 y 3 = x ( 2D 2 + 6D 9)y 1 9y 2 = 2x 1 ( D 3 + 3D 2 + 9D 36)y 1 = 12x + 5 Por lo tanto, ya se puede integrar la última ecuación: y 1 (x) = C 1 3 e3 x 2C 2 3 e 3 2 x + 2 3 x2 + 37 9 x + C 3, al sustituir y 1 (x) en la segunda ecuación resulta que simplemente queda despejar y 2 (x) ( 2D 2 C1 + 6D 9) 3 e3 x 2C 2 3 e 3 2 x + 2 3 x2 + 37 ] 9 x + C 3 9y 2 = 2x 1 3C 1 e 3 x + 15C 2 e 3 2 x 6 x 2 29x + 22 9C 3 9y 2 = 2x 1 es decir: y 2 (x) = C 1 3 e3x + 5C 2 3 e 3 2 x 2 3 x2 31 9 x + 23 9 C 3, queda por último sustituir y 1 (x) y y 2 (x) en la primera ecuación y despejar y 3 (x): (D 2) por lo tanto: C1 3 e3 x 2C 2 3 e 3 2 x + 2 3 x2 + 37 ] 9 x + C 3 + C 1 3 e3x + 5C 2 3 e 3 2 x 2 3 x2 31 9 x + 23 ] 9 C 3 y 3 = x 4C 2 e 3 2 x 2 x 2 31 3 x + 20 3 3C 3 y 3 = x y 3 (x) = 4C 2 e 3 2 x 2 x 2 34 3 x + 20 3 3C 3 y 3. No es necesario investigar sobre el número de constantes, en todo caso, y solo por curiosidad se puede ver que el determinante del sistema, al igual que para el sistema triangular, es de orden 3: = D 2 1 1 1 2 D + 1 2 2 6 D = 2 D3 3 D 2 9D + 36. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace A diferencia del método anterior, el método de transformadas de Laplace solo se puede aplicar si además del sistema se suministran el conjunto completo de condiciones iniciales. Esto significa Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes, Mérida

que la solución particular obtenida ya satisface las condiciones iniciales y no necesitamos evaluar las constantes arbitrarias que puedan resultar. Como en capítulos anteriores resolvimos algunas ecuaciones diferenciales utilizando transformadas de Laplace, podemos pasar directamente a un ejemplo para ver como se aplica el método cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales ( No necesariamente de primer orden!). Ejemplo Resolver el sistema ẍ 4x + ẏ = 0 4ẋ + ÿ + 2y = 0 con: x(0) = 0, ẋ(0) = 1, y(0) = 1, ẏ(0) = 2. En este caso el sistema consiste de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero debe quedar claro que el método se puede extender para sistemas con un número mayor de ecuaciones. Como vimos anteriormente, utilizando la notación de las transformadas de Laplace el sistema se puede escribir de la siguiente manera. L y 1] 4L y1 ] + L y 2 ] = 0 4L y 1 ] + L y 2] + 2L y2 ] = 0 Donde también, hemos rebautizado las funciones de la siguiente manera: y 1 (x) = x(t) y y 2 (x) = y(t). Revisando las notas de las clases correspondientes a las transformadas de Laplace, podemos ver que el sistema anterior queda de la siguiente forma: s 2 L y 1 ] y 1(0) sy 1 (0) 4L y 1 ] + sl y 2 ] y 2 (0) = 0 4sL y 1 ] + 4y 1 (0) + s 2 L y 2 ] y 2(0) sy 2 (0) + 2L y 2 ] = 0 al sustituir los respectivos valores para las condiciones iniciales y factorizando, resulta: (s 2 4)L y 1 ] + sl y 2 ] = 0 (9) 4sL y 1 ] + (s 2 + 2)L y 2 ] 2 + s = 0 (10) Este último sistema puede ser tratado como un sistema algebraico para L y 1 ] y L y 2 ]. Si multiplicamos la primera por 4s, la segunda por s 2 4 y luego las sumamos eliminamos L y 1 ], resulta: (s 4 + 2s 2 8)L y 2 ] = s 3 + 2s 2 + 4s 8 despejando L y 2 ]: L y 2 ] = s3 + 2s 2 + 4s 8 s 4 + 2s 2 8 = s3 + 2s 2 + 4s 8 (s 2 + 4)(s 2 2) = 1 6 1 + 2 s + 2 + 1 2 s 2 ] 8(s 2) s 2 + 4 Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad de Los Andes, Mérida

Ahora debemos buscar en nuestra tablita de transformadas de Laplace, para hallar las transformadas inversas: L (1 + ] 2)e 2x = 1 + 2 s + 2 L (1 ] 2)e 2x = 1 2 s 2 ] s L 8 cos(2x)] = 8 s 2 + 2 ] 2 2 L 8 sen(2x)] = 8 s 2 + 2 2 por lo tanto: y 2 (x) = 1 6 (1 + 2)e 2x + (1 ] 2x 2)e 8 cos(2x) + 8 sen(2x) Para calcular y 1 (x), podemos sustituir L y 2 ] en cualquiera de las ecuaciones (9) - (10) y resolver para L y 1 ], esto es: esto es: (s 2 4)L y 1 ] + sl y 2 ] = 0 (s 2 4)L y 1 ] + s L y 1 ] = s(s 2) (s 2 + 4)(s 2 2) = 1 2 2 12 s 2 + 2 + s 3 + 2s 2 ] + 4s 8 (s 2 + 4)(s 2 = 0 2) 2 s + 2 4 ( ) ] s + 2 s 2 + 4 Nuevamente, buscando en las tablas de transformadas de Laplace, término por término, se llega finalmente a: y 1 (x) = 1 (2 2x 2)e + (2 + ] 2)e 2x 4 cos(2x) 4 sen(2x). 12 Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad de Los Andes, Mérida

Ejercicios 1. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales a) ẋ = x 2, ẏ = y b) ẋ = 3e t, ẏ = x + y c) ẋ = 2t, ẏ = 3x + 2t, ż = x + 4y + t d) ẋ = 3x + 2e 3t, ẋ + ẏ 3y = sen(2t) e) ẍ + 4x = 3 sen(t), ẋ ÿ + y = 2 cos(t) f) ẍ 4x 2ẏ + y = t, 2ẋ + x + ÿ + y = 0 2. Verifique que los siguientes sistemas son degenerados. Encuentre las soluciones si existen a) Dx + 2Dy = e t, Dx + 2Dy = t b) Dx Dy = e t, 3Dx 3Dy = 3e t c) (D 2 1)x + (D 2 1)y = 0, (D 2 + 4)x + (D 2 + 4)y = 0 d) (D 2)x + (D 2)y = t, (D + 3)x + (D + 3)y = t 3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales a) (D 1)x = 0, x + (D 3)y = 0, x + y + (D 2)z = 0 b) (D 1)x = 0, 3x + 2(D + 1)y = 0, 2y + (2D 3)z = 0 c) (D 2)x = 0, 3x + (D + 2)y = 0, 2y + (D 3)z = 0 d) Dx y + z = 0, x + (D 1)y = 0, x + (D 1)z = 0 4. Resuelva los siguientes sistemas utilizando transformadas de Laplace a) ẋ y = t, x ẏ = 1, x(0) = 2, y(0) = 2 b) 3ẋ + 3x + 2y = e t, 4x 3ẏ + 3y = 3t, x(0) = 1, y(0) = 1 c) ẋ + ẏ 4y = 1, x + ẏ 3y = t 2, x(0) = 2, y(0) = 2 d) ẍ ẏ = 1 t, ẋ + 2ẏ = 4e t + x x(0) = 0, y(0) = 0, x (0) = 1 Héctor Hernández / Luis Núñez 10 Universidad de Los Andes, Mérida