Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA Pág. 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 10x x 1 0 b) x 0x + 100 0 c) x + 5x + 11 0 d) x 8x + 8 0 a) x ± 9 + 0 0 ± 9 0 ± 7 0 Las soluciones son: x 1 1, x 1 5 10 0 1 0 1 5 b) x c) x d) x 0 ± 00 00 5 ± 5 1 6 ± 6 6 0 10. Solución única: x 10 5 ± 107 6. No tiene solución. 8. Solución única: x Resuelve estas ecuaciones: a) x 50 0 b) x + 5 0 c) 7x + 5x 0 d) x + 10x 0 a) x 50 8 x 5 8 x ± 5 ±5 Soluciones: x 1 5, x 5 b) x 5 8 x 5. No tiene solución. c) x(7x + 5) 0 d) x(x + 5) 0 x 1 0 7x + 5 0 8 x 5 7 x 1 0 x + 5 0 8 x 5
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 5 Pág. 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x )(x 6) 0 b) (x + )(x ) 0 c) x(x + 1)(x 5) 0 d) (x + 1)(x ) 0 e) x (x 6) 0 f ) (x + 1)(x + 5x ) 0 a) (x )(x 6) 0 b) (x + )(x ) 0 c) x(x + 1)(x 5) 0 x 0 8 x 1 x 6 0 8 x 6 x + 0 8 x 1 x 0 8 x x 1 0 x + 1 0 8 x 1 x 5 0 8 x 5 d) (x + 1)(x ) 0 e) x (x 6) 0 x + 1 0 8 x 1 1 x 0 8 x x 1 0 x 6 0 x 8 x 8 f ) (x + 1)(x + 5x ) 0 x + 1 0 8 x 1 1 x + 5x 0 8 8 x + 5x 0 8 x 5 ± 5 + 96 5 ± 11 x x 8 Resuelve. a) x 0 b) x + x c) x + 5 x + d) x + 1 x 8 e) x 1 x f ) x + 5x + 6 a) x 0 8 x 8 x 9 b) x + x 8 x x 8 x (x ) 8 x x x + 8 8 x 5x + 0 8 x 5 ± 5 16 5 ± 9 5 ± Comprobación Si x 8 + + x 1 es válida. Si x 1 8 1 + 1 +? 1 x 1 no es válida. c) x + 5 x + ( x + 5 ) (x + ) 8 x + 5 x + x + 8 x + x + x 5 0 8 8 x 1 0 8 x 1 8 x ±1 1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe Comprobación Si x 1 8 x + 5 9 1 + Si x 1 8 x + 5 1 1 1 + 1 Soluciones: x 1 1, x 1 Coinciden 8 x 1 es solución. Coinciden 8 x 1 es solución. d) x + 1 x 8 + 8 x + 1 x 5 8 ( x + 1 ) (x 5) 8 8 x + 1 x 10x + 5 8 x 11x + 0 x 11 ± 11 96 Comprobación 11 ± 5 11 ± 5 Si x 8 8 8 + 1 9 0 8 8 0 Si x 8 + 1 1 8 5 Solución: x 8 8 Coinciden, x 8 es válida. 1? 5, luego x no es válida. e) ( x ) (1 x) 8 x 1 x + x 8 x + x 0 x ± + 1 Comprobación ± 16 ± Si x 8 9 18 16 1 ( ) 1 + Si x 1 8 1 0 1 1 0 Soluciones: x 1, x 1 1 Coinciden 8 x es solución. Coinciden 8 x 1 es solución. f ) ( x + ) ( 5x + 6 ) 8 x + 5x + 6 8 x 5x 0 x 5 ± 5 + 6 Comprobación 5 ± 9 6 5 ± 7 6 Si x 8 + 1 + 16 5 + 6 10 + 6 16 1/ Coinciden 8 x es solución. Pág. 1 Si x 1 8 1 9 + 1 + 1 5 Soluciones: x 1, x 1 ( 1 ) + 6 5 + 6 1 Coinciden 8 x 1 es solución.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 6 Pág. 1 Entrénate 1 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 10 + 5 x 1 b) 000 + 5 000 x + x x c) 1 x + 1 x a) 10 + 5x + 15 x + 1x x 8 x + 6x 8 0 8 x + x 1 0 x ± 9 + 11 ± 11 x 1 x 7/ Ambas soluciones son válidas. b) 000x 8 000 + 5x(x ) 000x 8 0 + x(x ) 0 8 x x 0 0 x ± 16 + 1 80 ± 6 c) x + x 8 x x 0 x ± 16 + 8 6 ± 8 6 x 1 0 x 16 x 1 x / Las dos soluciones son válidas. Ambas soluciones son válidas. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 5x + 0 b) x + x 0 c) x + 5x + 0 d) x 5x 0 e) x x + 0 a) x 5x + 0 Hacemos el cambio x y: x 5x + 0 8 y 5y + 0 y 5 ± 5 1 5 ± 1 Si y 8 x 8 x ± Si y 1 8 x 1 8 x ± 1 Soluciones: x 1, x, x 1, x 1 b) x + x 0 Hacemos el cambio x y: x + x 0 8 y + y 0 y ± 9 1 ( ) Soluciones: x 1 1, x 1 ± 5 1 8 x ± 1 8 x 8 Imposible.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) x + 5x + 0 Hacemos el cambio x y: x + 5x + 0 8 y + 5y + 0 y 5 ± 5 1 5 ± La ecuación no tiene soluciones. d) x 5x 0 8 x (x 5) 0 Soluciones: x 1 0, x 5, x 5 1 8 x ±1 8 Imposible. 8 x 8 Imposible. x 0 8 x 0 x 5 0 8 x 5 8 x ±5 Pág. e) x x + 0 Hacemos el cambio x y: x x + 0 8 y y + 0 y ± 9 1 ± 7 8 Imposible. La ecuación no tiene soluciones. Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sacar 00. Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5, consigue recaudar la misma cantidad. Cuántos relojes llevaba? Llevaba x relojes que iba a vender a 00 euros cada uno. Hay dos deteriorados 8 x Aumenta el precio en 5 euros 8 00 + 5 euros x Al final, recauda 00 8 (x ) ( 00 + 5 x ) 00 (x ) 00 + 5x 00 8 (x ) (00 + 5x) 00x 8 ( x ) 8 00x+ 5x 00 10x 00x 8 5x 10x 00 0 x 10 ± 100 5 ( 00) 10 ± 90 10 10 Solución: El vendedor llevaba 10 relojes. x 10 8 (No vale.) El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcular el otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 1 cm más que él. Llamamos x a la longitud del cateto desconocido. Por tanto, la hipotenusa mide x + 1. Por el teorema de Pitágoras: x + 1 x + 5 8 (x + 1) x + 5 8 8 x + x + 1 x + 5 8 x 8 x 1 El otro cateto mide 1 cm.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe 5 Un grupo de amigos alquilan un autocar por 000 para una excursión. Fallan de ellos, por lo que los restantes deben pagar 5 más cada uno. Cuántos había al principio? Si en un principio eran x amigos, cada uno debía pagar 000. Siendo amigos menos, deben pagar 5 euros más. x 000 x 000 + 5 x Esta ecuación es la misma que la del apartado b) del ejercicio anterior. Su única solución válida es x 0 amigos. Pág. 6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm. Calcula la longitud del otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide cm más que él. Un cateto 8 8 cm Otro cateto 8 x Hipotenusa 8 x + (x + ) x + 6 8 x + x + x + 6 8 x 60 0 8 x 15 El otro cateto mide 15 cm
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 7 Pág. 1 Entrénate Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los tres métodos que conoces: sustitución, igualación y reducción: a) x + y 5 x y 1 b) x + y 1 x + y 5 c) x y 15 x y 5 d) x + y x y 1/6 e) x + y 0 x y f) x + y 1 x y 0 g) x + y 5 x + y 1 h) x y x 1 y 1 i) x + y 5 x + y 10 j) x y 5 6x + y 15 a) x + y 5 x y 1 Sustitución: x + y 5 x 1 + y Igualación: x 5 y x 1 + y 8 1 + y + y 5 8 y 6 8 y 8 x 8 5 y 1 + y 8 6 y 8 y 8 x Reducción: x + y 5 x y 1 x 8 x 8 y b) x + y 1 x + y 5 Sustitución: x 1 y x + y 5 8 (1 y ) + y 5 8 8 y 8 y 8 x Igualación: x 1 y x 5 y 8 1 y 5 y Reducción: x + y 1 x y 5 x 6 8 x 8 y 8 6y 5 y 8 8 y 8 y 8 x
Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) x y 15 x y 5 Pág. Sustitución: x y 15 x 5 + y 8 ( 5 + y ) y 15 8 0 y 8 y 5 8 x 0 Igualación: x 15 y x 5 + y 8 15 y 5 + y 8 0 y 8 y 5 8 x 0 Reducción: x y 15 x y 5 y 0 8 y 5 8 x 0 d) x + y x y 1 6 Sustitución: x + y x y + 1 6 8 ( y + 1 6 ) + y 8 5y 5 8 y 1 8 x 1 Igualación: x y x y + 1 6 Reducción: x + y x y 1 8 y y + 1 6 8 5y 5 8 y 1 8 x 1 5x 5 8 x 1 8 y 1 e) x + y 0 x y Sustitución: x y x y 8 ( y ) y 8 1y 8 y 1 8 x 1 Igualación: x y x + y 8 y + y 8 1y 8 y 1 8 x 1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe Reducción: x 8y 0 x y 1y 8 y 1 8 x 1 Pág. f) x + y 1 x y 0 Sustitución: x + y 1 x y 8 y + y 1 8 y 1 8 y 1 8 x 1 Igualación: x 1 y x y 8 1 y y 8 y 1 8 y 1 8 x 1 Reducción: x + y 1 x y 0 x 1 8 x 1 8 y 1 g) x + y 5 x + y 1 Sustitución: x 5 y x + y 1 8 (5 y ) + y 1 8 10 1 8 No tiene solución. Igualación: x 1 y x 5 y 8 5 y 1 y 8 10 1 8 No tiene solución. Reducción: x y 10 x + y 1 0 11 8 No tiene solución. h) x y x 1 y 1 Sustitución: y x x 1 y 1 8 x 1 (x ) 1 8 1 8 No tiene solución.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe Igualación: y x x + y 8 x x + 8 + 8 No tiene solución. Pág. Reducción: x y x + y i) x + y 5 x + y 10 Sustitución: x 5 y x + y 10 0 5 8 No tiene solución. 8 (5 y ) + y 15 8 0 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 y, y). Igualación: x 5 y 8 5 y 5 y 8 0 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 y, y). x 5 y Reducción: x y 10 x + y 10 0 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 y, y). j) x y 5 6x + y 15 Sustitución: y x 5 6x + y 15 Igualación: 8 6x + (x 5) 15 8 1x 0 8 x 0 8 y 5 y 15 6x y x 5 8 x 5 15 6x 8 1x 0 8 x 0 8 y 5 Reducción: 6x y 15 6x + y 15 8 ( 1 + 1 6 y ) + y 8 5y 5 8 y 1 8 x 1 1x 0 8 x 0 8 y 5
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 8 1 Resuelve estos sistemas: a) x y 15 xy 100 a) x y 15 xy 100 y b) x + xy + y 1 x + y 1 x 15 + y (15 + y)y 100 8 y + 15y 100 0 15 ± 5 + 00 15 ± 5 Si y 5 8 x 5 15 8 x 0 Si y 0 8 x + 0 15 8 x 5 5 0 Soluciones: x 1 0, y 1 5; x 5, y 0 c) x y x xy 0 d) y x + 1 y 5 x Pág. 1 b)x + xy + y 1 x + y 1 x 1 y (1 y) + (1 y)y + y 1 8 y y + 1 y + y + y 1 0 y y 0 0 8 y Si y 5 8 x Si y 8 x 5 1 ± 1 + 80 1 ± 9 Soluciones: x 1, y 1 5; x 5, y 5 c) x y x + xy 0 y x x + xy 0 8 x + x (x ) 0 8 x + x x 0 8 x 0 x 8 x x 0 8 x(x ) 0 Si x 0 8 y Si x 8 y d) y x + 1 y 5 x 8 x + 1 5 x 8 x + 1 (5 x) 8 8 x + 1 x 10x + 5 8 x 11x + 0 x 11 ± 11 1 Si x 8 8 y Si x 8 y 11 ± 5 Comprobando las dos posibles parejas de soluciones, se ve que solo es válida la segunda; esto es: x, y. 8
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 Pág. 1 1 Traduce a lenguaje algebraico. a) El triple de un número más 8 unidades es menor que 0. b) El doble del número de personas de mi clase no supera a 70. a) x + 8 < 0 b) x Ì 70 Resuelve y representa gráficamente las soluciones. a) 5x < 5 b) x + Ó 7 c) 10 9x Ì (5x ) d) ( x) > 18x + 5 e) x x Ó 5x 1 6 f ) x > (x ) a) 5x < 5 8 x < 1 1 b) x + Ó 7 8 x Ó 7 8 x Ó 8 x Ó c) 10 9x Ì (5x ) 8 10 9x Ì 0x 1 8 8 10 + 1 Ì 0x + 9x 8 116 Ì 9x 8 Ì x d) ( x) > 18x + 5 8 1 x > 18x + 5 8 8 1 5 > 18x + x 8 7 > 1x 8 8 7 1 > x 8 1 1 > x e) Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por el mín.c.m. (,, 6) 1: 1x 1x Ó 1 5x 1 6 8 8 x 1x Ó 0x 8 9x Ó 8 x Ì 9 9 f ) x > x 6 8 x > 6x 18 8 8 > 8x 8 8 > x 8 x < 11 11
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 0 Pág. 1 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a) x Ì 15 x Ó 8 c) 5x 7 > x > x 0 b) x 5 Ì x + 1 x + < 5x 8 d) x 1 Ó 1 8x 5x + 8 > 6x + 5/ a) x Ì 5 x Ó 8 Ì x Ì 5 5 b) x + Ì 17 8 x Ì 17 x > 1 8 x > 8 < x Ì 17 5 6 7 8 17 9 c) x > 0 5 6 x < 6 8 x < 8 No tiene solución. d) 6x Ó 15 8 x Ó 15/6,5 x < 5/ + 8 11/ 5,5 8,5 Ì x < 5,5,5 5 5,5 6 Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 00 en total. Cinco amigos contratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación de 500, y pagan algo más de 000. Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos que es múltiplo de 10? x < 00 5x 500 > 000 8 x < 00 7, 5x > 500 8 x > 500 700 5 8 700 < x < 7, Podría costar 710 o 70 o 70 a cada uno. Como nos dicen que amigos pagan algo menos de 00, podemos suponer que el viaje cuesta 70 por persona.
PÁGINA 1 Pág. 1 Practica Ecuaciones: soluciones por tanteo 1 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x + b) x + 1 9 c) x x + 1 8 d) (x 1) 7 a) x + 8 x + 5 8 x + 5 8 x b) x + 1 9 8 x + 1 81 8 x 80 8 x 0 c) x x + 1 8 8 x porque + 1 8 d) (x 1) 7 8 (x 1) 8 x 1 8 x Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las décimas. a) x + x 0 b) x x 5 c) x 1 000 d) x 0 a) + 8 + 1 + 7 + 9 6, +, 19,58,5 +,5 1,875 Por tanto, la solución está entre y. Probemos con,;,5;,6; Por tanto, la solución es,. b) 7 56,1,1,6,, 1,5 c) 6 79 7 187 6, 908,1 6, 1 01,59 d) 7 6,1 9,791,,768 La solución está entre y. Probemos con,1;,; La solución más próxima es x,1. La solución está entre 6 y 7. Probemos con 6,; 6,; La solución más próxima es x 6,. La solución está entre y. Probemos con,1;,; La solución es x,1.
Ecuaciones de segundo grado Pág. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x 0 b) x 7x 0 c) x 5x 0 d) x + x + 0 a) x ± + 1 ± 16 ± x 1 x 1 b) x 7 ± 9 + 7 ± 81 7 ± 9 x 1 x 1 c) x 5 ± 5 + 5 ± 7 x 1 x 1 d) x 1 ± 1 8 1 ± 7 No tiene solución. Resuelve: a) x 6 0 b) x 9x 0 c) x + 5x 0 d) x 8 0 a) x 6 8 x 6 8 x 16 8 x 1, x b) x(x ) 0 c) x(x + 5) 0 x 1 0 x 0 8 x x 1 0 x + 5 0 8 x 5 d) x 8 8 x 8 x 1, x 5 Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general: a) (x + 1)(x 1) + c) (x 1)(x + 1) (x ) x 6 1 x b) x + + x x + 1 x + 5 1 a) 9x 1 + x x + 1 x 8 18x + x x + x 8 19x 0 8 x 0 b) Multiplicamos toda la ecuación por 1: (x + ) (x + 1) x + 5 8 x + 8 x x + 5 8 8 x x x 0 8 x(x 1) 0 1 0 x 1
c) Multiplicamos la ecuación por 6: (x 1)(x + 1) x + x 8 (x 1) x + x 8 6x x 0 8 x 1 0 8 x(x 1) 0 x 1 0 8 x 1 Pág. 6 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) (x + 1) 1 + (x 1)(x + 1) b) (x + 1)(x ) c) x + x + 1 x x a) x + 1 + x 1 + x 1 8 x + x + 1 0 x ± 16 1 6 b) x x x 1 ± 1 + 8 ± 6 x 1 1/ x 1 + x x + x x 8 x x 6 + x x 8 x x 6 0 1 ± 7 x 1 x / c) 6x + 9x + x + 6x 1 8 6x 1x 19 0 x 1 ± 169 + 56 1 1 ± 5 1 x 1 19/6 x 1 Otros tipos de ecuaciones 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x 5)(x + 7) 0 b) (x )(x + 6) 0 c) (x + )(x + ) 0 d) (x + 1)(x + x ) 0 a) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores: x 5 0 8 x 5 x + 7 0 8 x 7 Soluciones: x 1 7, x 5 b) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores: x 0 8 x x + 6 0 8 x 6 Soluciones: x 1, x c) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores: x + 0 8 x x + 0 8 x Solución: x No tiene solución.
d) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores: Pág. x + 1 0 8 x 1 x + x 0 8 x 1 ± 1 + 8 1 ± 1 8 Resuelve. a) x x b) x 5 x 1 c) x 169 x 17 d) x + 5x + 10 8 e) x + 7 5 x f ) x + + x 1 Soluciones: x 1, x 1, x 1 a) (x ) x 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros: x x + x 8 x 5x + 0 8 x Comprobación: x 1 8 x 1 8 1 1 0? Solución: x 5 ± 5 16 5 ± x 1 x 1 b) (x 1) ( 5 x ) 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros: x x + 1 5 x 8 x x 0 8 x x 1 0 x 1 ± 1 + 8 Comprobación: 1 ± 7 x 1 x x 1 8 5 16 1 x 8 5 9 7? 1 Solución: x c) (x 17) ( 169 x ) 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 89 x 169 x 8 x x + 10 0 8 x 17x + 60 0 x 17 ± 89 0 Comprobación: 17 ± 7 x 1 1 x 5 x 1 1 8 1 169 1 1 5 7? 17 x 5 8 5 169 5 5 1 7? 17 No tiene solución. d) ( 5x + 10) (8 x) 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros: 5x + 10 6 + x 16x 8 x 1x + 5 0 x 1 ± 1 16 1 ± 15 Comprobación: x 1 18 8 18 + 5 18 + 10 8? 8 x 8 + 5 + 10 + 5 8 x 1 18 x Solución: x
e) Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: x + 7 5 x x + x + 0 8 x + x + 1 0 8 x ± ± 0 1 Comprobación: Si x 1 8 ( 1) + 7 5 ( 1) 8 9 9 Cierto. Solución: x 1 f ) Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + (x ) 8 x + x + 8x + 16 8 x 9x + 1 0 x 9 ± 81 56 Comprobación: 9 ± 5 9 ± 5 Si x 7 8 7 + + 6 7 1 Válida. Si x 8 + + 5? 1 No vale. x 1 7 x Solución: x 7 Pág. 5 9 Resuelve estas ecuaciones: a) x 1 x x b) 800 x 50 600 x + a) x 1 x x. Multiplicamos la ecuación por x : 1 x 8 x 8 x 1 8 x ±1 Comprobación: Si x 1 8 Soluciones: x 1 1, x 1 b) 800 x 1 1 ( 1) ( 1) Si x 1 8 1 Válida. 50 600. Multiplicamos la ecuación por x(x + ): x + c) 1 x x x d) x 1 + x x + 8 + 1 Válida. 800(x + ) 50x(x + ) 600x 8 800x + 00 50x 00x 600x 8 8 50x + 00 0 8 x 6 0 8 x 6 8 x ±8 Comprobación: Si x 8 8 800 8 50 600 8 + Si x 8 8 100 50 600 1 Soluciones: x 1 8, x 8 c) 1 x x x. Multiplicamos la ecuación por x : 6x x 8 6x x 0 8 x(6x 1) 0 8 150 600 Válida. 8 50 50 Válida. x 0 6x 1 0 8 x 1 6
Comprobación: Si x 0, 1 no existe, luego no es válida. 0 Si x 1 6, 1 ( 1 6) 8 17 Válida. 1 6 ( 1 6) 8 6 17 6 6 8 Pág. 6 Solución: x 1 6 d) x 1 + x. Multiplicamos la ecuación por (x + ): x + x(x + ) (x + ) (x + ) 8 x + x x + 8 + x 8 8 x x 0 8 x 0 8 x(x ) 0 x 0 8 x Comprobación: Si x 0 8 0 1 + 0 0 + 8 0 1 1 Válida. Si x 8 1 + + 8 1 1 + 0 Válida. Soluciones: x 1 0, x Inecuaciones 10 Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo. a) x 7 < 5 b) x > c) 7 Ó 8x 5 d) 1 5x Ì 8 e) 6 < x f ) Ó 1 10x a) x < 5 + 7 8 x < 1 8 x < 8 ( @, ) b) x > 1 8 x < 1 8 ( @, 1) 1 c) 8x Ó 7 + 5 8 x Ó 1 8 8 x Ó 8 [, +@ ) / d) 5x Ì 9 8 x Ì 9 5 8 [ 9 5, +@ ) 9/5 e) 6 < x 8 6 + < x 8 8 < x 8 x > 8 8 ( 8, +@ ) 8/ f ) 10x Ó 1 + 8 x Ó 5 10 8 x Ó 1 8 ( 1, +@ ) 1/
11 Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones: a) x 1 > 0 b) x > 0 c) x + 1 Ó 0 d) x > 0 x + > 0 + x Ó 0 x Ì 0 x Ì 0 Pág. 7 a) x 1 > 0 x + > 0 8 x > 1 x > Soluciones: (1, +@) b) x > 0 + x Ó 0 8 x < x Ó Soluciones: [, ) c) x + 1 Ó 0 x Ì 0 8 x Ó 1 x Ì Soluciones: [ 1, ] d) x > 0 x Ì 0 8 x > 0 Ì x 8 x Ó Soluciones: [, +@) 1 1 0 Sistemas lineales 1 Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x 1, y : a) x y x + y x y a) x + y Así, x y 7 x + y 0 b) y x y + x b) y x y + x Si x 1, y 8 es el sistema buscado. Si x 1, y 8 c) x + y + y/ 0 1 1 6 7 ( 1) + + 0 ( 1) + 1 1 1 El sistema que tiene como solución x 1, y es: y x y + x d) x y + 1
x + y c) + y 0 El sistema buscado es: Si x 1, y 8 x + y 1 x + y 0 ( 1) + + 1 + 0 8 1 luego es x Pág. 8 d) x y + 1 Si x 1, y 8 ( 1) 8 + 8 y + 1 8 5 luego es 5x El sistema buscado es: y x y + 5x 1
PÁGINA Pág. 1 1 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución: a) x 5y 5 x + y 1 b) 8x 7y 15 x + 6y 5 c) x + 5y 1 x y 7 d) x y 5x + y 7 x 5y 5 a) x + y 1 Despejamos y de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : y 1 x x 5( 1 x) 5 8 x + 5 + 0x 5 8 x 0 8 x 0 y 1 0 1 Solución: x 0, y 1 8x 7y 15 b) x + 6y 5 Despejamos x de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : x 5 6y 8( 5 6y) 7y 15 8 55y 55 8 y 1 x 5 6 ( 1) 5 + 6 1 Solución: x 1, y 1 c) x + 5y 1 x y 7 Despejamos y de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : y x 7 x + 5(x 7) 1 8 x + 15x 5 1 8 17x 8 x y 7 6 7 1 Solución: x, y 1 x y d) 5x + y 7 Despejamos y de la 1. a ecuación y sustituimos en la. a : y x 5x + ( x ) y 1 1 7 8 5x + 6x 7 8 x 1 Solución: x 1, y 1 1 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: y x a) y x b) 5x + y 8 c) x + 6y d) x 5y x y 1 x y 1 x + y 10 y x a) y x Solución: x 1, y 1 x x 8 x 6 x 8 x 8 x 1 y 1 1
b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos: Pág. y 8 5x y x + 1 8 8 5x x + 1 8 7 7x 8 x 1 y 1 + 1 Solución: x 1, y c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x 6y x 1 + y 8 6y 1 + y 8 9y 8 y 1/ x 6 ( 1/) + 0 Solución: x 0, y 1 d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x 5y x 10 y 5y x 5 Solución: x, y 10 y 8 8 (5y ) (10 y) 8 y 6 8 y 15 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a) x + y 5x y b) x + 5y 11 x y c) x + 6y x 5y 11 d) 5x y 10x + y 1 x + y a) 5x y Sumando ambas ecuaciones obtenemos 8x 8 8 x 1 1 + y 8 y 1 8 y 1/ Solución: x 1, y 1 x + 5y 11 b) x y Ò( ) ÄÄ8 x 10y x y 1y 6 8 y x + 5 11 8 x 1 8 x 1 Solución: x 1, y c) x + 6y x 5y 11 Ò( ) ÄÄ8 x 18y 1 x 5y 11 x + 6 ( 1) 8 x y 8 y 1 Solución: x, y 1
5x y d) 10x + y 1 Multiplicamos la primera ecuación por y sumamos: Pág. 10x + y 6 10x + y 1 7y 7 8 y 1 5x ( 1) 8 5x + 8 x 1/5 Solución: x 1 5, y 1 16 Resuelve por el método que consideres más adecuado: a) 7x + 6y y + 5 b) 5x y 1 x + y 1 c) (x + ) y + 7 x + (y + 1) 0 x d) + y (x + y) 16 a) 7x + 6y y + 5 Despejamos y de la. a ecuación y la sustituimos en la 1. a : y 7x + 6 ( ) 8 7x 1 8 7x 1 8 x Solución: x, y 5x y 1 b) x + y 1 Ò ÄÄ8 Ò ÄÄ8 10x 6y 1x + 6y x 8 x 5 y 1 8 9 y 8 y Solución: x, y (x + ) y + 7 c) x + (y + 1) 0 8 x + 6 y + 7 x + y + 0 8 x y 1 x + y Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y x 1 x + (x 1) 8 x + 6x 8 7x 0 8 x 0 y 0 1 1 x d) + y (x + y) 16 8 x + y 18 x + y 8 Solución: x 0, y 1 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x 8 y (8 y) + y 18 8 16 y + y 18 8 y x 8 6 Solución: x 6, y
Sistemas no lineales 17 Halla las soluciones de estos sistemas: a) x + y 1 xy + y b) x + y x + y c) x + y xy y 0 a) x 1 y (1 y)y + y 8 y y + y 8 y + y 0 y ± 9 8 ± 1 y 1 1 8 x 1 0 y 8 x 1 Soluciones: x 1 0, y 1 1; x 1, y b) y x x + ( x) 8 x + 9 + x 1x 8 5x 1x + 7 0 d) x y x + y 9 Pág. x 1 ± 1 10 5 1 ± 10 Soluciones: x 1 7 5, y 1 1 5 ; x 1, y 1 x 1 7 5 8 y 1 7 5 1 5 x 1 8 y 1 1 c) y x x( x) ( x) 0 8 ( x)(x ( x)) 0 x 1 ( x) (x ) 0 8 y 1 0 Soluciones: x 1, y 1 0 x 1 8 y 1 x 1, y 1 d) y x x + (x ) 9 8 x + 9x + 9 18x 9 8 11x 18x 0 8 x 1 0 8 y 1 8 x(11x 18) 0 x 18 11 8 y 1 11 Soluciones: x 1 0, y 1 ; x 18 11, y 1 11 18 Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones: a) x + y 7 x y x a) + y 7 x y x y 18 x y b) x 5y 7 x 11y Multiplicamos por la 1.ª ecuación y sumamos: 5y 15 8 y 15 5 5 y 1 5 y 5
Si y 1 5 8 x 7 5 9 Si y 5 8 x 7 5 9 x 1 7 x 7 x 7 x 7 Soluciones: x 1 7, y 1 5; x 7, y 5; x 7, y 5; x 7, y 5 Pág. 5 b) x 5y 7 x 11y Lo resolvemos por el método de reducción multiplicando la 1.ª ecuación por y la.ª por. 6x 10y 1 6x + y 9 y 8 y 1 x 5 1 7 8 x 7 + 5 8 x 1 8 x 8 x ± Si y 1 8 x ±. Si y 1 8 x ±. Las soluciones son: x 1, y 1 1; x, y 1; x, y 1; x, y 1 Aplica lo aprendido 19 El área de una lámina rectangular de bronce es de 60 cm y su base mide 5/ de su altura. Halla las dimensiones de la lámina. x 60 cm Área del rectángulo: 5 x x 5 x 5 x La ecuación que hay que resolver es: 5 x 60 8 x 6 8 x 6 (la solución negativa x 6 no es válida, por ser x una longitud). 5 x 5 6 10 Las dimensiones de la lámina son: altura 6 cm y base 10 cm. 0 Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 500, y los vende, después de algún tiempo, por 157,5. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. Cuánto le costó cada uno? Llamamos x precio de compra del equipo de música. El ordenador costó, pues, 500 x. Con el equipo de música perdió un 10% 8 el precio de venta fue 90% de x 0,9x. Con el ordenador perdió un 15% 8 el precio de venta fue 0,85( 500 x). La ecuación que hay que resolver es: 0,9x + 0,85( 500 x) 157,5 8 0,9x + 15 0,85x 157,5 8 8 0,05x,5 8 x 650 El equipo de música costó 650, y el ordenador, 500 650 1 850.
1 En una papelería, el precio de una copia en color es 0,75 y el de una en blanco y negro es 0,0. En una semana, el número de copias en color fue la décima parte que en blanco y negro y se recaudaron 110. Calcula cuántas copias se hicieron de cada tipo. Pág. 6 0,75x + 0,0y 110 x 1 10 y 0,75 1 y + 0,0y 110 8 y 00; x 0 10 Se hicieron 00 copias en blanco y negro y 0 en color. Se mezclan 8 l de aceite de /l con otro más barato para obtener 0 l a,5 /l. Cuál es el precio del aceite barato? Se pusieron 0 8 1 litros de aceite barato. 8 + 1 x,5 8 1x 18 8 x 1,5 0 El precio del aceite barato era de 1,5 /l. La suma de dos números consecutivos es menor que 7. Cuáles pueden ser esos números si sabemos que son de dos cifras? x + x + 1 < 7 8 x < 6 8 x < 1 Los números pueden ser 10 y 11, 11 y 1 o 1 y 1. Un grupo de amigos han reunido 50 para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6, les sobra dinero, pero si cuesta 7 no tienen bastante. Cuántos amigos son? Llamamos x al número de amigos. 6x < 50 8 x < 8, ) 7x > 50 8 x > 7,1 El número de amigos es 8. 5 En un rectángulo en el que la base mide cm más que la altura, el perímetro es mayor que 50 pero no llega a 5. Cuál puede ser la media de la base? x + x x + x + 6 > 50 x + x + 6 < 5 x > 8 x > 11 8 x + > 1 x < 8 8 x < 1 8 x + < 15 La base mide entre 1 cm y 15 cm, sin incluir ninguna de estas dos medidas.
6 Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 ; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan,70. Cuánto vale una barra de pan? Cuánto cuesta un litro de leche? x 8 precio de una barra de pan; y 8 precio de un litro de leche x + 6y 6,8 x + y,7 Ò ÄÄ8 Ò ( ) ÄÄ8 1x + 18y 0, 1x 16y 18,8 y 1,6 8 y 0,8 Pág. 7 x + 6 0,8 6,8 8 x +,8 6,8 8 x 8 x 0,5 Una barra de pan cuesta 0,50, y un litro de leche, 0,80.
PÁGINA Pág. 1 7 Una empresa aceitera ha envasado 000 l de aceite en 1 00 botellas de l y de 5 l. Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? x n.º de botellas de aceite de l; y n.º de botellas de aceite de 5 l x + y 100 x + 5y 000 Ò( ) ÄÄ8 x y 00 x + 5y 000 Se han utilizado 1000 botellas de l y 00 de 5 l. y 600 8 y 00 8 x 100 00 1 000 8 Un test consta de 8 preguntas. Por cada acierto se suman 0,75 puntos y por cada error se restan 0,5. Mi puntuación fue de 18 puntos. Cuántos aciertos y errores tuve, si contesté a todas las preguntas? x n.º de aciertos x + y 8 y n.º de errores 0,75x 0,5y 18 0,75(8 y) 0,5y 18 6 0,75y 0,5y 18 Tuve 0 aciertos y 18 errores. 18 y x 8 18 0 x 8 y 9 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado 55 bombillas, obteniendo unos beneficios de 1 750. Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se fabricaron ese día? Llamamos: x n.º de bombillas válidas; y n.º de bombillas defectuosas En un día fabrica 55 bombillas 8 x + y 55 En un día obtiene 1 750 de beneficio 8 0,80x y 1750 8 x 5 8 y 55 5 0 Hay 5 bombillas válidas y 0 defectuosas. 1,80x 005 8 0 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 por días y 00 km, y otro pagó 175 por 5 días y 00 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. x 5 días y 5 kilómetros recorridos x + 00y 160 5x + 00y 175 15x + 000y 800 15x 900y 55 1 100y 75 8 y 0,5 x + 0,5 00 160 8 x 60 8 x 0 La empresa cobra 0 por día y 0,5 por cada kilómetro recorrido.
1 La edad de un padre es hoy el triple que la del hijo y hace 6 años era cinco veces la edad del hijo. Cuántos años tiene cada uno? EDAD ACTUAL EDAD HACE 6 AÑOS PADRE x y 6 HIJO y x 6 Pág. y x y 6 5(x 6) y x y 5x Método de sustitución x 5x 8 x 8 x 1 El hijo tiene 1 años, y el padre, 1 6 años. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 /kg y otra de 8,50 /kg. El encargado quiere preparar 0 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 /kg. Cuánto tiene que poner de cada clase? CANTIDAD PRECIO COSTE CAFÉ A x 6 6x CAFÉ B y 8,50 8,50y MEZCLA 0 7 10 x + y 0 6x + 8,5y 10 8 x 0 y 6 (0 y) + 8,5y 10 8 10 6y + 8,5y 10 8,5y 0 8 y 8 8 x 0 8 1 Necesitan 1 kg de café inferior y 8 kg de café superior.
Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA Dominas la resolución de ecuaciones de segundo grado y de otros tipos de ecuaciones? 1 Resuelve: a) 5(x ) + x 6 (x + 1)(1 x) b) (x + )(x 5) 0 c) x x x + 1 8 a) 5(x ) + x 6 (x + 1)(1 x) 8 5(x + 9 6x) + x 6 6x + x 1 8 8 6x 1 0x 6x + x 1 8 1x 0 8 x 0 Pág. 1 b) (x + )(x 5) 0 c) x x x + 1 8 8 8 x 1 ± 1 + (x + ) 0 8 x 1 (x 5) 0 8 x 5/ 1 6 8x x + x 8x 8 x + x 6 0 8 1 ± 5 x 1 x Comprobadas sobre la ecuación original, las dos soluciones son válidas. Sabes resolver inecuaciones? Resuelve y representa las soluciones. a) a) (x 5) (x 5) Ì x 6 b) 5x > x + 5 x 6 Ì 0 Ì x 6 8 (x 5) Ì (x 6) 8 x 10 Ì 6x 18 8 6x 18 8 8 8 Ì x 8 Ì x 8 [, @) b) 5x > x + 5 x 6 Ì 0 8 x > 8 8 x > x Ì 6 8 < x Ì 6 8 (, 6] Sabes resolver con soltura sistemas de ecuaciones? Resuelve: y + 1 6 x x a) x + y 1 b) + y 5 x + 6y 15 c) x y 8 x y 1 d) x y x y 7 y + 1 6 x 8 y 5 x a) x + y 1 8 x + y 7 x + (5 x) 7 8 x + 15 x 7 8 x 57 8 y 5 ( 57) 6 x b) + y 5 8 x + 6y 15 x + 6y 15 El sistema tiene infinitas soluciones, pues las dos ecuaciones coinciden.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) x y 8 8 y x 8 x y 1 x (x 8) 1 8 x x + 16 1 8 x x 15 0 x 1 ± 1 + 10 1 ± 11 x 1 8 y 1 1 x 10 5 8 y 1 7 d) x y x y 7 Restando ambas expresiones, obtenemos: x 1 8 Sin solución. Pág. Has adquirido destreza en el planteamiento y la resolución de problemas algebraicos? Dos bocadillos y un refresco cuestan 5,5 ; tres bocadillos y dos refrescos cuestan 8,60. Calcula el precio de un bocadillo y el de un refresco. Precio de un bocadillo 8 x ; Precio de un refresco 8 y x + y 5,5 8 y 5,5 x x + y 8,60 x + (5,5 x) 8,60 8 x 10,70 x 8,60 8 x,10 y 5,5,10 1,15 Un bocadillo cuesta,10, y un refresco, 1,15. 5 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo. Qué cantidad es esa? (18 x) (16 x) + (9 x) 8 + x 6x 56 + x x + 81 + x 18x 8 8 x 1x + 1 0 8 x 1 ± 196 5 1 ± 1 x 1 1 x 1 x 1 no puede ser, porque nos quedaría una longitud negativa (9 1 < 0). Solución: x 1 cm es la cantidad restada. 6 En una empresa alquilan bicicletas a la hora y motocicletas por 5 fijos más por hora. A partir de cuántas horas es más económico alquilar una motocicleta que una bicicleta? Por una bicicleta cobran x por x horas. Por una motocicleta cobran 5 + x por x horas. x 5 + x 8 x 5 Las primeras cuatro horas es más cara la motocicleta. Si se alquilan durante cinco horas, las dos tienen el mismo precio. Para 5 horas o más, es más económico alquilar una motocicleta.