Funciones elementales

Tema Funciones elementales.1. Función real de variable real Una función real de variable real es cualquier aplicación f : D R! R. Se dice que el conjunto D es el dominio de f. El rango de f es el conjunto R = {f(x): x D}. Ejercicio.1.1. Sean f(x) = 1 1+x,g(x) =. Decidir si es cierto que f = g. 1 x 1 x Ejercicio.1.. Sea f(x) = 1 x + 1. Hallar el dominio de f y el rango de f. 1 x La gráfica de una función f : D R! R es el conjunto G = {(x, f(x)): x D} R. Si f,g: D! R entonces se define su suma f + g, su producto fg ysucocientef/g mediante (f + g)(x): = f(x)+g(x), (fg)(x): = f(x)g(x), (f/g)(x): = f(x)/g(x). Es fácil comprobar que el conjunto de todas las funciones f : D R con la suma y el producto satisface los axiomas (P1) hasta (P9) exceptuando (P7). Una clase importante de funciones es la clase de las funciones polinómicas f(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n, donde a 0,a 1...,a n R con a n 6= 0 son los coeficientes de f. Se dice que n es el grado de f. Una clase de funciones algo más amplia es la clase de las funciones racionales; éstas son funciones de la forma f = p/q, donde p y q son funciones polinomicas y q 6= 0. La composición f g de dos funciones f,g se define mediante la expresión (f g)(x) =f(g(x)). El dominio de la función compuesta es el conjunto D(f g) ={x D(g): g(x) D(f)}. Es fácil comprobar que la composición de funciones es asociativa, es decir, (f g) h = f (g h). Sea f : D R! R. Se dice que f es inyectiva si f(x) 6= f(y) siemprequex 6= y. Se dice que f es sobreyectiva si para todo y R existe x D tal que y = f(x). Seaf : D! R. Se dice que f es creciente si f(x) apple f(y) para todo x, y D con x<y.se dice que f es decreciente si f(x) apple f(y) para todo x, y D con x<y.se dice que f es monótona si f es creciente o decreciente. Está claro que toda función monótona es inyectiva. 19

0 TEMA. FUNCIONES ELEMENTALES Si f es inyectiva y R es el rango de f entonces se define la función inversa f 1 : R! R del siguiente modo: para cada y R consideramos el único x D tal que y = f(x) y definimos f 1 (y) =x. Es fácil comprobar que f 1 f =id D yquef f 1 =id R. La gráfica de la función inversa f 1 es simétrica de la gráfica de la función directa f respecto a la bisectriz y = x de los ejes de coordenadas. En efecto, (x, y) G(f 1 ), y = f 1 (x), x = f(y), (y, x) G(f)... La función logarítmica Teorema..1. Sea a>1. Existe una única función f :(0, 1)! R tal que 1. f(xy) =f(x)+f(y) para todo x, y > 0.. f(a) =1, 3. f es estrictamente creciente. Demostración. Supongamos en primer lugar que tal función existe y busquemos su expresión. Tenemos f(1) = f(1 1) = f(1), luego f(1) = 0. Además, f(a n ) = nf(a) = n para todo n N. Sea n N. Se sigue de la propiedad arquimediana del producto que existe k N tal que a k >x n. Sea m =mín{k N: a k >x n }. Tenemos a m 1 apple x n <a m, y como f es creciente resulta que para todo n N existe m N tal que m 1 n apple f(x) < m n. A continuación vamos a usar estas consideraciones para construir la función f. Pongamos = k y tomemos m k N tal que a m k 1 apple x <a m k. Consideramos la familia de intervalos apple mk 1 I k =, m k. Veamos que estos intervalos están encajados. Tenemos a (m k 1) apple x +1 <a m k y por lo tanto m k+1 1 (m k 1) y m k m k+1. Esto significa que m k 1 = (m k 1) apple m k+1 1 < m k+1 apple m k +1 +1 = m k y por lo tanto I k I k+1. Según el principio de Cantor de intervalos encajados, existe un único punto en la intersección de estos intervalos. Pongamos f(x): = 1\ I k. Ahora probamos que la función que hemos construido satisface las propiedades (1) (3). Sean x, y > 0 y sean m k,p k N tales que k=1 a m k 1 apple x <a m k, a p k 1 apple y <a p k,

.. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1 de modo que m k 1 apple f(x) < m k, p k 1 apple f(y) < p k. (.1) Resulta que de modo que a m k+p k apple (xy) <a m k+p k, m k + p k apple f(xy) < m k + p k. Ahora se sigue de las relaciones (.1) que de donde se deduce que m k + p k apple f(x)+f(y) < m k + p k. f(x)+f(y) f(xy) <, y como k es arbitrario tenemos la igualdad (1). Cuando x = a se tiene de modo evidente f(a) =1. Cuando x>1, existe n N tal que a apple x n, luego según la definición de f resulta que f(x) 1/n y en particular f(x) > 0. Cuando y>1, tenemos f(xy) =f(x)+f(y) >f(x) luego f es estrictamente creciente y queda demostrado el teorema. La función f(x) del teorema se llama logaritmo de x en base a y se simboliza como log a (x). Tenemos por lo tanto 1. log a (xy) = log a (x) + log a (y).. log a a =1. 3. Si 0 <x<yentonces log a (x) < log a (y). Tenemos además las siguientes fórmulas: log a (x n )=nlog a (x), log a (1) = 0, log a (x 1 )= log a (x), log a (x/y) = log a (x) log a (y). Veamos la relación que existe entre los logaritmos en dos bases distintas a,b > 1. Consideremos para ello la función definida por la expresión f(x) = log a(x) log a (b) Es evidente que f satisface las propiedades (1) y (3) además de ser f(b) =1. Ahora se sigue de la unicidad de los logaritmos que f(x) = log b (x) de donde se obtiene la fórmula log a (x) = log a (b) log b (x).

TEMA. FUNCIONES ELEMENTALES.3. La función exponencial La función logarítmica y = log a (x) es estrictamente creciente y por lo tanto es inyectiva. La función inversa y = log 1 a (x) se llama función exponencial y se representa por y = a x. Tenemos log a (a x )=x para todo x R y a log a (x) = x para todo x>0. El dominio de la función exponencial es R y el rango es (0, 1). Tenemos log a (a 1/n )=1/n luego log a [(a 1/n ) n ]=n log a (a 1/n )=1 y por lo tanto (a 1/n ) n = a, es decir, que a 1/n es la raíz n-ésima de a. Tenemos las siguientes fórmulas para todo x, y R : 1. a x+y = a x a y,. (a x ) y = a xy. En efecto, sean = a x, = a y de modo que x = log a ( ), y= log a ( ) luego a x+y = a log a ( )+log a ( ) = a log a ( ) = = a x a y. Además se tiene log a [(a x ) y ]=y log a (a x )=xy luego (a x ) y = a xy. Aplicando la fórmula de cambio de base de los logaritmos resulta log a (b x ) = log a (b) log b (b x )=x log a (b). Las definiciones de función logarítmica y exponencial se pueden extender a una base 0 <b<1. En efecto, pongamos a =1/b > 1. Tenemos log a (b) = 1. Según la fórmula de cambio de base, log b (x) = log a (b) log a (x) = log a (x) = log 1/b (x), luego la función log b es estrictamente decreciente. Además está claro que log b satisface (i) y (ii). A continuación b x =1/a x = a x luego tenemos b log b (x) = a log b (x) = a log a (x) = x, log b (b x )= log a (a x )=x. La función exponencial está íntimamente ligada a la función potencia de exponente a R, que se define como f(x) =x a. Se puede expresar esta función por medio de una función exponencial y una función logarítmica. En efecto, tenemos f(x) =[b log b (x) ] a = b a log b (x). Ejercicio.3.1. Comprobar que si x, y > 0 entonces (xy) a = x a y a.

.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 3.4. Las funciones trigonométricas Teorema.4.1. Existen dos funciones sen, cos: R! R tales que para todo x, y R se tiene 1. sen x + cos x =1,. sen(x + y) =senx cos y + cos x sen y, 3. cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y. 4. 0 < sen x<x< sen x cos x siempre y cuando x sea suficientemente pequeño, digamos 0 <x<". Más adelante daremos una demostración de este teorema. Ahora sólo vamos a considerar aquellas propiedades que se deducen de (1) (4). Tomando x = y = 0 en el teorema anterior resulta sen 0 + cos 0=1, sen 0 = sen 0 cos 0, cos 0 = cos 0 sen 0. Se sigue de () que sen 0 = 0 o bien cos 0 = 1/. Ahora, (1) y (3) implican 1 + cos 0 = cos 0 (.) de modo que la opción cos 0 = 1/ es imposible. Luego sen 0 = 0 y se deduce de (1) que cos 0 = ±1. Una vez más, la identidad (.) implica que la opción cos 0 = 1 es imposible. Así sen 0 = 0, cos 0 = 1. Tomando y = x en el teorema anterior resulta 0 = sen x cos( x) + cos x sen( x), 1 = cos x cos( x) sen(x)sen( x). La solución de este sistema de ecuaciones lineales con respecto a sen( x) y cos( x) indicaque sen( x) = sen x, cos( x) = cos x, (.3) es decir, la función seno es impar y la función coseno es par. Sustrayendo de la igualdad () la misma igualdad con y en vez de y, y teniendo en cuenta (.3) resulta que sen(x + y) sen(x y) =seny cos x. El mismo procedimiento aplicado a la ecuación () indica que cos(x + y) cos(x y) = sen x sen y.

4 TEMA. FUNCIONES ELEMENTALES Sea = x + y, = x y, de modo que x =( + )/, y=( )/ y por lo tanto sen sen =sen cos cos = sen + cos + sen, (.4). (.5) Se sigue de (1) que Si x, y R son tales que x sen x apple 1, cos x apple 1. y < " entonces se tiene sen x sen y apple x y (.6) cos x cos y apple x y. (.7) En efecto, si x, y R son tales que 0 <x y<" entonces sen x sen y =sen x y cos x y apple sen x y apple x y = x y. Análogamente, Teorema.4.. Existe x>0 tal que cos x =0. cos x cos y =sen x y sen x y apple sen x y apple x y = x y. Demostración. Pongamos =ínf{cos x: x>0}. Si > 0 entonces para todo 0 <x<" y para todo k N tenemos sen(k + 1)x (k + 1)x sex = cos sen x sen x. Sumando estas desigualdades resulta sen(n + 1)x sen x = nx sen(k + 1)x sex n sen x k=1 y por lo tanto sen nx se hace arbitrariamente grande, lo cual contradice el ser sen nx apple 1. Tenemos = 0. Veremos más adelante al estudiar la continuidad de las funciones elementales que existe x 0 > 0 tal que cos x 0 =0. Se define un número real R mediante la expresión =ínf{x >0: cos x =0}. Veremos entonces que cos =0, sen =1.

.4. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5 También veremos más adelante que =3,14159. Tomando y = / en las fórmulas () y (3) del teorema anterior resulta sen(x + )=senx cos + cos x sen = cos x, (.8) de donde se deduce que cos(x + ) = cos x cos sen x sen = sen x, (.9) sen(x + ) = cos(x + )= sen x, (.10) cos(x + ) = sen(x + ) cos x. (.11) A continuación sen(x +) = sen(x + ) =senx, (.1) cos(x + ) = cos(x + ) = cos x. (.13) Se dice que una función f es periódica de periodo T>0 si cumple f(x + T )=f(x) para todo x D. Resulta que las funciones sen, cos son periódicas de periodo. Si tomamos un intervalo de longitud entonces los signos de estas funciones determinados por las fórmulas.8.10 varían de la forma siguiente. 0 <x</ / <x< <x<3/ 3/ <x< sen x + + cos x + + Observemos que si sen x 6= 06= cos x entonces los signos de sen x, cos x determinan de forma unívoca el cuarto del intervalo 0 <x< que contiene a x. Las gráficas de las funciones sen, cos están representadas en la figura.5. Lema.4.3. Sean x, y R tales que Entonces existe n Z tal que y = x +n. Demostración. Sea h = y y por lo tanto x. Tenemos sen x =seny, cos x = cos y. sen(x + h) =senx, cos(x + h) = cos x, sen x cos h + cos x sen h =senx, cos x cos h sen x sen h = cos x, Resolviendo estas ecuaciones con respecto a cos h, sen h resulta cos h =1, sen h =0. Si 0 apple h<, estas relaciones solamente se satisfacen para h = 0. Como las funciones cos, sen son periódicas de periodo resulta que las relaciones se satisfacen para h =n para todo n Z y no se satisfacen para ningún otro valor de h. Esto completa la demostración del lema.

6 TEMA. FUNCIONES ELEMENTALES Se sigue de la fórmula.4 que la función sen x es creciente en el intervalo [0, ]. Además, como sen( x) = sen(x) se sigue que la función sen x también es creciente en el intervalo [, ]. Cuando estudiemos más adelante la continuidad de las funciones trigonométricas veremos que el rango de la función sen x es el intervalo [ 1, 1]. La inversa de la función sen x se denota como arc sen x. Su dominio es el intervalo [ 1, 1] y su rango es el intervalo [, ]. La función cos x =sen x + es creciente en el intervalo [, 0]. Su función inversa se denota como arc cos x. El dominio de esta función es el intervalo [ 1, 1] y el rango es el intervalo [, 0]. Ahora consideramos la función tg x = sen x cos x. La función tg x está bien definida salvo en aquellos puntos donde cos x =0, es decir, x = + n. Se sigue de la fórmula.10 que la función tg x es periódica de periodo. La función tg x es creciente en el intervalo [, ]. Su inversa se denota como arc tg x. El dominio de la función inversa es R y el rango el el intervalo [, ].