EJEMPLO Una tienda departamental desea conocer los mínimos a pagar en, de los clientes que tienen tarjeta de crédito de la tienda. Se toma una muestra elegida al azar de la base de datos del departamento de crédito y se obtuvieron los siguientes datos: 960 130 1190 1500 1750 170 100 1650 1970 80 1570 1580 1680 1830 1590 130 1110 1530 1630 1910 1410 1710 1660 1370 1510 1300 110 1480 060 190 950 1850 00 170 1300 1140 1430 1440 1160 1670 1080 1490 900 1780 1090 1390 1350 1870 1470 1490 Actividades: a. Resumir los datos en una tabla de distribución de frecuencias que contenga 7 clases. b. Calcule las medidas de tendencia Central c. Calcule las medidas de dispersión d. Determine el Cuartil 1 y 3. Solución: 1. Determine en cuantas clases se van a resumir los datos. En este caso se van a resumir en 7 clases, como lo indica la actividad.. Se obtiene el valor máximo y el valor mínimo de los datos obtenidos en la muestra.
3. Se calcula la Amplitud de clase: La amplitud es de 190 $ 4. Se elabora la Distribución de frecuencias: Se determinan los límites inferiores y superiores de clase. Considerando que no hay indicaciones de que valor es el límite inferior de la primera clase, se establece este límite, con el dato menor y se le suma la amplitud para determinar el segundo límite inferior (80 + 190) = 1010, a este valor se le suma la amplitud para determinar el límite inferior de la tercera clase (1010 + 190) = 100, y así sucesivamente hasta determinar el resto de los límites inferiores. Amplitud = 190 $ 5. Se realiza el conteo para determinar la Frecuencia Absoluta
6. Para calcular las medidas de Tendencia central, iniciamos determinando las marcas de clase (Xi). Xi = L. i. + L. s. 80 + 1010 = = 915 A la primera marca de clase (915) se le suma la amplitud para determinar la segunda (915 + 190 = 1105), a esta se le suma nuevamente la amplitud para determinar la tercera y así sucesivamente hasta calcular todas las marcas de clase. Calculo de las medidas de tendencia central. 7.- Para Calcular la media aritmética Se multiplica la Frecuencia por la marca de clase de todas las clases (Fi Xi). Se suma (Fi Xi). Fi Xi Se calcula la media sustituyendo en la fórmula: x = n Por lo tanto Fi Xi 73870 x = = = 1477. 4 n 50
7.- Para Calcular la mediana Se determina la Frecuencia absoluta (Fa) Se localiza en que clase se encuentra la mediana con la fórmula: 1 Loc~ = n + x Se calcula la media sustituyendo en la fórmula: n C ~ x = Li + Amp fm n + 1 50 + 1 Loc x = = ~ = 5.5 la mediana se encuentra en la posición 5.5 y esta localizada en la clase # 4. 50 19 ~ x = 1390 + 190 = 1485 1 8- Para Calcular la moda Se localiza en que clase se encuentra la moda. La moda se localiza en clase que tiene la frecuencia absoluta mayor. Se calcula la moda sustituyendo en la fórmula: d1 Moda = Li + Amp d + d 1 4 Moda = 1390 + 190 = 1516. 7 4 +
Calculo de las medidas de dispersión. 9. Para calcular la Varianza. A cada marca de clase se le resta la media aritmética: ( Xi x) Las diferencias se elevan al cuadrado: ( Xi x) Las diferencias elevadas al cuadrado se multiplican por Fi: Se sustituye en la fórmula ( Xi x) Fi S = n 1 ( Xi x) Fi Recuerde que la media es: x = 1477. 4 10. Para calcular la desviación estándar. Se saca la raíz cuadrada a la varianza. Se sustituye en la fórmula: ( Xi x) Fi S = n 1 Por lo tanto la desviación estándar es: S = 101,610.45 = 318. 76
11. Para calcular el coeficiente de variación. Se sustituye en la fórmula: S CV = 100 x Recuerde que la media es x = 1477. 4 Y la desviación estándar es: S = 318. 76 318.76 Por lo tanto el coeficiente de variación es: CV = 100 = 1. 58 1477.4 El coeficiente de variación es de 1.58% Calculo de los Cuartiles. 1. Para calcular el Cuartil 1 Se determina la Frecuencia absoluta (Fa) n Se localiza en que clase se encuentra el Cuartil 1 con la fórmula: Loc Q 1 = 1 4 Se dete rmina el Q 1 sustituyendo en la fórmula: 50 Loc Q 1 = 1 = 1.5 4 Loc Q 1 C Q 1 = Li + Amp fm el Cuartil 1 se encuentra en la posición 1.5 y esta localizada en la clase # 3. 1.5 11 Q1 = 100 + 190 = 135. 6 8
13. Para calcular el Cuartil 3 Se determina la Frecuencia absoluta (Fa) Se localiza en que clase se encuentra el Cuartil 3 con la fórmula: Loc Q n = 4 3 3 S e determina el Q 3 sustituyendo en la fórmula: Q 3 LocQ3 C = Li + Amp fm el Cuartil 3 se encuentra en la posición 37.5 y esta localizada en la clase # 5. Loc Q3 50 = 3 = 37.5 4 37.5 31 Q1 = 1580 + 190 = 1610. 9 10 EJEMPLO Una agencia de autos toma desea saber las ventas logradas por una muestra de vendedores en el ultimo mes. Para tal efecto se tomo una muestra de 1 registros de la base de datos del departamento de ventas, obteniéndose los siguientes datos: 7 9 9 4 11 6 8 8 10 8 7 5 Actividades: a. Calcule las medidas de tendencia Central b. Calcule las medidas de dispersión
Calculo de las medidas de tendencia central. 1.- Para Calcular la media aritmética Se suma el total de todos los datos y se divide entre le número de datos. Se sustituye en la siguiente fórmula: x x = n 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11 7 + 9 + 9 + 4 + 11+ 6 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 5 9 x = = = 7. 67 autos n 1. Para Calcular la mediana Se ordenan los datos. Considerando que estamos en el caso cuando n es par, se suman los dos datos centrales y se divide entre dos Se sustituye en la formula 8 + 8 Mediana = = 8 autos Por lo tanto la Medina es 8 autos. 3. Para Calcular la moda se obtiene el dato que se repite más veces Por lo tanto la Moda es 8 autos.
Calculo de las medidas de dispersión. 1.- Para Calcular la Varianza. A cada dato se le resta la media aritmética para obtener las desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado. Se suman las desviaciones cuadráticas. Se sustituye en la siguiente fórmula: ( x x) S = n 1 7 9 9 4 11 6 8 8 10 8 7 5 Recuerde que la media es x = 9 67 1 = 7. autos (7 7.67) + (9 7.67) + (9 7.67) 1 1 +... + (7 7.67) + (5 7.67) S = = 4.08 autos Por lo tanto la varianza es.0 autos.. Para calcular la desviación estándar. Se saca la raíz cuadrada a la varianza. Se sustituye en la fórmula: S = ( x x) n 1 Por lo tanto la desviación estándar es: S = 4.08 =. 0 autos 3. Para calcular el coeficiente d e variación. Se sustituye en la fórmula: CV = S 100 x Recuerde que la media es x = 7. 67 autos Y la desviación estándar es: S =. 0 autos Por lo tanto el coeficiente de variación es:.0 CV = 100 = 6.34 7.67 El coeficiente de variación es de 6.34%
4. Para calcular el rango. Se determina el dato mayor y el dato menor de los datos. Se sustituye en la fórmula: R = Dato mayor Dato menor Por lo tanto el rango es: R = 11 4 = 7 autos EJEMPLO El profesor Garibay abrió una cuenta de ahorros en el banco de la ilusión con 1000 dejando que se acumulen los intereses durante seis años a diferentes tasas, por lo que los factores de crecimiento resultaron ser: 1.16, 1.7, 1.10, 1.14, 1.08, 1.06, es decir el banco le pago 16, 7, 10, 14, 8 y 6% de interés anual, durante esos años. Actividad: a. Calcular el factor de crecimiento promedio. Para encontrar el factor de crecimiento promedio correcto se utiliza la media geométrica. Se sustituye en la fórmula: M =. G. x producto de todos los valores de x En este caso los valores de x son: 1.16, 1.7, 1.10, 1.14, 1.08, 1.06, Por lo tanto la Media Geométrica es: Por lo tanto la tasa de interés promedio correcta es de 13% anual
EJEMPLO Se desea saber los precios que tienen las bebidas que cafetería de la Facultad. Se obtuvieron los siguientes datos: se venden en la Tipo de bebida Precio $ Botella agua 1/ litro Refresco en lata 7.5 10.0 Café Capuchino 15.0 Refresco 600 ml 8.0 Botella agua 1.5 litros 1.0 Café Americano 8.0 Vaso Leche Té de manzanilla 4.5 6.0 Té helado Nestea 1.0 Considere los datos como una población. Actividad: Calcular la medida de tendencia central y de dispersión que considere más apropiada. Las medidas más adecuadas son: 1.- Para Calcular la media aritmética Se suma el total de todos los datos y se divide entre le número de datos. Se sustituye en la siguiente fórmula: x μ = N μ = 7.5 + 10.0 + 15.0 + 8.0 + 1.0 + 8.0 + 4.5 + 6.0 + 1.0 = N 83 9 = 9. Por lo tanto la media es de 9..
. Para Calcular la Desviación estándar A cada dato se le resta la media aritmética para obtener las desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado. Se suman las desviaciones cuadráticas. Se sustituye en la siguiente fórmula: σ = ( X μ) N 7.5 10.0 15.0 8.0 1.0 8.0 4.5 6.0 1.0 Recuerde que la media es x = 9. σ = (7.5 9.) + (10 9.) + (15 9.) 9 +... + (6 9.) + (1 9.) = 3.13 Por lo tanto la desviación estándar es 3.13.