Laboratorio de Fíica de Proceo Biológico AGA Y DESAGA DE UN ONDENSADO Fecha: 3/2/2006. Objetivo de la práctica Etudio de la carga y la decarga de un condenador; medida de u capacidad 2. Material Fuente de alimentación Polímetro (funcionando como voltímetro, = (,0±0,02) MΩ) ronómetro Panel de montaje con condenador deconocido, reitencia de 3,7 MΩ, reitencia de 470 Ω y puente utilizado como interruptor fuente de alimentación panel de montaje condenador voltímetro arga condenador, de
3. Teoría 3.. Parte A: arga de un condenador onidéree el circuito repreentado en la figura. Al cerrar el interruptor S, el condenador empieza a cargare a un ritmo variable, cada vez má lento, el cual depende del valor de. Para deducir la fórmula que rige el proceo de carga, vamo a aplicar la leye de Kirchhoff a ete circuito. S E iffig.. Equema del circuito eléctrico para experimentar con la carga de un condenador a travé de una reitencia. En la figura 2 e indican lo nudo (A y B) y la intenidade (I, I, e I 2 ) que conideraremo en el circuito para aplicar la leye de Kirchhoff obre la malla. = (,0±0,02) MΩ e la reitencia interna del voltímetro. Denotaremo por q la carga del condenador. Aplicando la primera ley de Kirchoff al nudo A e tiene: dq (i) Nudo A: I = I + I2 = + I2 () dt Teniendo en cuenta ahora la egunda ley de Kirchhoff aplicada a la malla formada por la fuente de tenión E, la reitencia y el condenador, e tiene: (ii) Malla : I q E = I + (2) A E I I 2 Fig. 2. Equema equivalente del circuito eléctrico de la figura, donde e conidera que el voltímetro poee una reitencia interna <. B arga condenador, 2 de
y aplicada a la malla 2 formada por el condenador y la reitencia del voltímetro, e obtiene: (iii) Malla 2: q = I (3) 2 Sutituyendo ahora la ecuación () en la ecuación (2) e obtiene: dq q E = + I2 + (4) dt y teniendo en cuenta (3): dq q q dq q E = + + = + dt dt + (5) Por tanto, reordenando, la ecuación diferencial que hay que integrar e la iguiente: E dq ( + ) q = dt (6) La condición inicial que impondremo en el experimento erá que el condenador eté decargado ante de cerrar el interruptor. Para que la ecuación (6) cumpla eta "condición de contorno", bata hacer q = 0, = 0 (para t = 0) (7) De modo que integraremo la ecuación anterior entre t = 0 y un intante cualquiera t en el que la carga e q, e decir: q dq E = 0 ( + ) q t 0 dt (8) Si efectuamo la integración, y tomamo el antilogaritmo del reultado, queda: E q = + e + / t (9) la cual, haciendo e puede ecribir del iguiente modo: ' = y τ = ' (0) + t /τ ( e ) ' q = E () arga condenador, 3 de
y por tanto la variación del voltaje con el tiempo reulta er: t /τ ( t /τ ) ( e = e ) q ' = = E max (2) La magnitud τ definida en (0) tiene dimenione de tiempo y, de hecho, u valor e utiliza como indicativo del tiempo que tarda en cargare el condenador (tiempo de ubida de la carga, en inglé rie-time). Etrictamente, el tiempo de carga e infinito dado el carácter aintótico del término con exponencial en (2), y el valor de cuando el condenador etá completamente cargado e el que tomaría i no hubiee condenador en el circuito, e decir, ' ( t ) = max = E = E (3) + / En la práctica, e alcanza un valor experimental inditinguible de (3) en un tiempo razonable (dependiendo de lo valore de y de ). 3.2. Parte B: Decarga de un condenador Si, etando cargado el condenador hata un potencial 0, e abre el interruptor, el condenador empieza a decargare a travé de la reitencia interna del voltímetro, = (,0±0,02) MΩ (figura 3). Tomando eta condición inicial, e decir, = 0, q = q 0 = 0 / (para t = 0) (4) + I Fig. 3. Equema del circuito eléctrico que ilutra la decarga de un condenador de capacidad a travé de la reitencia óhmica del voltímetro. y iguiendo pao análogo a lo del apartado 3.. (Parte A), e puede demotrar que el potencial diminuye con el tiempo de acuerdo con la ecuación: t /τ 0 d = e ; τ d = (5) el tiempo τ d ahora e el tiempo en el que el potencial (o la carga) cae en un factor e, e decir para t = τ d e tiene = 0 /e y e llama tiempo de decarga o decaimiento (en inglé decay o fall-time). arga condenador, 4 de
4 Método experimental PEAUION: uidado al manejar el condenador!, puede tener mucha carga almacenada, y al cortocircuitar u polo (in reitencia) pueden altar chipa que funden lo cable y producen quemadura. Hay que tener la precaución de dejarlo iempre decargado, conectando una reitencia entre u polo para que no alte la chipa; la má pequeña de 470 Ω da lugar a una decarga má rápida. 4.. Parte A Se trata de utilizar la evolución temporal del potencial durante la carga del condenador, fórmula (2), para determinar la capacidad del mimo. Para ello: a) Se monta el circuito de la figura ajutando a 0 la alida de c.c. (corriente continua) de la fuente de alimentación. b) Depué de comprobar que el condenador etá totalmente decargado, e cierra el interruptor S al mimo tiempo que e dipara el cronómetro. Aí e cumplen la condicione iniciale (7) que e han impueto al integrar (6). Se toma el valor del potencial que indica el voltímetro para diferente tiempo parciale en el cronómetro hata llegar a max (e ) 5, y e anotan y t en la Tabla. Al principio cada 0, depué cada 20, luego cada 30 y a partir de 4 min bata una medida cada minuto. c) Se epera hata que el potencial en el condenador permanezca contante, y e anota dicho valor. Ete valor correponde al max de aturación de la ubida. 4.2. Parte B Se trata de utilizar la evolución temporal del potencial durante la decarga del condenador, fórmula (5), para determinar la capacidad del mimo. Para ello: a) on el mimo montaje de la figura, pero conectando la reitencia de 470 Ω para que la carga ea rápida, e cierra el circuito y e ajuta la alida de la fuente hata que el potencial alcance un valor 0 = 0. b) Se abre el interruptor y e dipara el cronómetro; aí e cumplen la condicione iniciale (4). Manteniendo abierto el circuito, el condenador e decaga ólo a travé de la reitencia = (,0±0,02) MΩ del voltímetro. Se toma el valor del potencial que indica el voltímetro para diferente tiempo parciale en el cronómetro hata llegar a arga condenador, 5 de
0 /e 3,6, y e anotan y t en la Tabla 2. Al principio cada 0, depué cada 20, luego cada 30 y a partir de 4 min bata una medida cada minuto. 5. eultado 5.. Parte A: carga de un condenador Para obtener de lo dato experimentale e utilizará la egunda expreión de (0), τ = ', por lo que hay que determinar el valor de τ. Para obtener ' hay que medir con mayor preciión, uando el polímetro, el valor de 3,7 MΩ y determinar u error. El valor de τ lo determinaremo por do procedimiento: a) Dibujando la gráfica (,t). De ella e obtiene el valor de t = τ para el que vale ( ) τ = max e (6) b) Uando la fórmula (2). Para lo cual, tomando logaritmo, la ecribiremo del iguiente modo: t ln = (7) max τ E decir, i e repreenta la expreión ln (8) max en función de t, e tiene una recta. Por tanto, trazando una recta que e ajute lo mejor poible a lo punto experimentale, y determinando la pendiente de eta recta, e obtiene /τ ; primero viualmente y depué por mínimo cuadrado. De aquí e obtiene el valor de τ y u error (compáree con el valor obtenido en el apartado a). Uando ete último valor de τ y la do expreione de (0), ' = v / (+ v ) y τ = ', e obtiene el valor de la capacidad del condenador y u error. De acuerdo con la fórmula (3), el valor de E / = max debe coincidir con la medida experimental de eta magnitud en la Tabla, alvo el error experimental. 5.2. Parte B: decarga de un condenador Para obtener de lo dato de la decarga e utilizará la egunda de la (5) para τ d, y, análogamente, lo determinaremo por lo do procedimiento iguiente: a) Dibujando la gráfica (, t). De ella e obtiene el valor de t = τ d para el que = 0 /e. arga condenador, 6 de
b) Uando la primera de la (5). Tomando logaritmo como ante, e tiene: ln 0 = t (6) τ d que repreenta una recta i e dibuja ln (/ 0 ) en función de t. Por tanto, trazando una recta que e ajute lo mejor poible a lo punto experimentale, y determinando la pendiente de eta recta, e obtiene /τ d ; primero viualmente y depué por mínimo cuadrado. De aquí e obtiene el valor de τ d y u error (compáree con el valor obtenido en el apartado a). Uando ete último valor de τ d y la expreión (5), τ d =, e obtiene el valor de la capacidad del condenador y u error. ompáree con el valor de obtenido en la Parte A. ompárene también lo valore de τ y τ d. La relación teórica entre ello, uando (0) y la egunda de (5), viene dada por: τ τ d = + (7) ómo e compara ete cociente teórico con el obtenido en el experimento? Nota Sólo i el polímetro e de ecala automática (cambia la ecala de medida automáticamente, egún ea la magnitud de la tenión), puede producire un cambio en u reitencia interna =,0 MΩ al cambiar de ecala. Ete efecto e indeeable en eta práctica, por lo que, para evitarlo y una vez eleccionada la función de voltímetro en c.c. (continua), e pulará la tecla ANGE la vece necearia para que el polímetro pae a modo "manual" y no varíe la ecala de 30. e-análii de la carga y decarga (no e obligatorio) En todo condenador exite una corriente de fuga (I fuga en la figura 4) que circula por dentro del mimo dede el polo poitivo hata el negativo. En general, para un condenador no defectuoo I fuga e muy pequeña; eto equivale a que la reitencia interna del condenador para c.c. e muy grande, idealmente infinita. Pero en lo condenadore de gran capacidad, la I fuga puede competir en cierta medida con la intenidad I 2 que paa a travé del voltímetro. Si e quiere tener en cuenta ete efecto hay que corregir la ecuacione iniciale () a (3) del iguiente modo: arga condenador, 7 de
I A E I I fuga + I 2 Fig. 4. Igual que la figura 2, pero con mayor eparación entre la placa del condenador con objeto de ilutrar la corriente de fuga en el mimo. B dq (i) Nudo A: I = I + I2 = + Ifuga + I2 (')(8) dt (ii) Malla : (iii) Malla 2: q E = I + (2')(9) q = I 2 = I (3')(20) fuga Ahora e procede de modo análogo a como e ha hecho con la ()-(3). Subtituyendo la do ecuacione (3') en (') e tiene, dq q q I = + + (4')(2) dt c y ubtituyendo éta en (2'), dq q q q E = + + + dt c (5')(22) Si e introducen lo parámetro '' (imilar a ') y τ ("tiempo de carga") dado por '' / + / + / c τ = ' ' (0')(23) y e reordena, la (5') queda aí dq q E' ' dt = τ (6')(24) Integrando, e obtiene finalmente t /τ ( t /τ ) ( e = e ) ' ' = E max (2')(25) arga condenador, 8 de
equivalente a la (2), pero con una expreión para el max experimental que etá dado en función del parámetro '' (en vez de ): max ' ' = E (3')(26) Ahora, utilizando el valor experimental de max anotado en la Tabla, e obtienen: '' a partir de (3') (compáree con '); c a partir de la primera de (0'); y el valor corregido de de la egunda de (0'): ' ' = E max c = ' ' τ = (27) ' ' Otro método, alternativo al anterior, para obtener c y el valor corregido de, e utilizar una expreión análoga a la (7) para el cociente τ d /τ. Ahora, la expreione (5) para la decarga del condenador e convierten en: = t /τ d 0e ; τ d = (5 ) / + / c y la (7), dividiendo la (5') entre la (0') reulta τ d τ / = + / + / c (7') de donde e puede obtener / c a partir del valor experimental del cociente τ' d /τ' c / = τ / τ d v (28) y de aquí el valor de uando (5'). Bibliografía F. uó,. López y. illar Fíica de lo proceo biológico. Ariel iencia (2004). a. ap. 7. Fuerza, campo y potenciale eléctrico. b. ap. 8. orriente eléctrica. orriente eléctrica. c. ap. 9. La membrana celular y el impulo nervioo arga condenador, 9 de
Tabla. Dato de la carga = ( ± ) MΩ; E = ( ± ) ; = (.0±0.02) MΩ preci. cronómetro ± () preci. voltímetro ± () error fórmula t () () ln [/('E)] ± Δln[ ] 0 0 0 0 20 40 60 90 20 50 80 20 240 300 360 420 50 600 max = arga condenador, 0 de
Tabla 2. Dato de la decarga preci. cronómetro ± () preci. voltímetro ± () error fórmula t () () ln (/ 0 ) ± Δln[ ] 0 0 20 40 60 90 20 50 80 20 240 300 360 420 50 600 arga condenador, de