Ejemplo para introducir la idea de ecuación y el significado que tiene la resolución de un sistema de ecuaciones. Ejemplo 1 La ecuación x-2y=2 es una ecuación con dos incógnitas. Tiene infinitas soluciones. Así, por ejemplo: x = -4, y = -3 es una de ellas porque (-4) - 2.(-3) = 2. Otras soluciones son: x = 0, y = -1 x = 2, y = 0 x = 4, y = 1 x = 6, y = 2 Interpretando cada solución como un punto del plano de coordenadas (x,y) : P( -4, -3 ), Q( 0, -1 ), R( 2, 0 ), S( 4, 1 ), T( 6, 2 ). Ejemplo 2 La ecuación x 2 + y 2 = 25 es otra ecuación con dos incógnitas. También tiene infinitas soluciones. Unas soluciones son, por ejemplo: x = 0, y = 5, x = 0, y = -5, x = 5, y = 0 x = 3, y = 4, x = 3, y = -4, x = 4, y = -3 Interpretando cada solución como un punto del plano de coordenadas (x,y) : P( 0, 5 ), Q ( 0, -5 ), R ( 5, 0 ) S ( 3, 4 ), T ( 3, -4 ), U ( 4, -3 ) Todas las soluciones de esta ecuación están situadas sobre una recta. Por eso decimos que x-2y=2 es la ecuación de una recta. Todas las soluciones de la ecuación están situadas sobre una circunferencia de centro O y radio 5 unidades. Diremos que la ecuación x 2 + y 2 = 25 es la ecuación de una circunferencia Qué siginificado tiene resolver un sistema de ecuaciones? Considera el siguiente sistema de ecuaciones : x - 2y = 2 x 2 + y 2 = 25 Los puntos que son soluciones de la primera ecuación están sobre la recta; los que son solución de la segunda ecuación están situados sobre la circunferencia. Así, los puntos que son solución del sistema, es decir, los que satisfacen simultáneamente la primera y segunda ecuación, son aquellos puntos que estén situados sobre la recta y la circunferencia. A la derecha, una vez dibujadas las dos líneas correspondientes a cada ecuación, hallamos la solución del sistema mediante un método gráfico. Ejercicio Soluciones mediante el método gráfico P ( -4, - 3 ), Q. ( 4,7, 1,4 ) Resuelve el sistema anterior y halla las soluciones exactas. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Interpretación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: estudio de la posición relativa en el plano de dos rectas. CASO 1 COMPATIBLE Y DETERMINADO EJEMPLO El sistema tiene una única solución que podemos identificar como un punto P cuyas coordenadas son los valores obtenidos de x e y. Dicho punto pertenece a las dos rectas y es el único común a ellas: las rectas son secantes. CASO 2 COMPATIBLE E INDETERMINADO EJEMPLO El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas es un punto del plano. Las dos rectas tienen infinitos puntos comunes: son idénticas. CASO 3 INCOMPATIBLE EJEMPLO El sistema no tiene solución : las tres rectas no tienen puntos comunes y, por consiguiente, son paralelas. Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Interpretación de una ecuación lineal con tres incógnitas. Ecuación de un plano en el espacio. Vector normal de un plano. Planos paralelos. En la hoja anterior, cuando introducíamos el tema, vimos que la ecuación x-2y = 2 admitía infinitas soluciones. Cada solución la identificábamos como un punto del plano de coordenadas P(x,y). También vimos que si representábamos todos estos puntos en el plano, estaban alineados. Por eso decíamos que la ecuación representaba una recta. Después vimos que toda expresión de la forma Ax+By = C, es decir toda ecuación lineal con dos incógnitas, representaba la ecuación de una recta en el plano y que los coeficientes de las incógnitas nos daban la dirección de la recta: Ax+By=C recta en el plano dirección ã(-b,a) Ecuación del plano en el espacio Vamos a partir de la ecuación lineal 2x+y-2z = 3. Esta ecuación admite infinitas soluciones. Por ejemplo. x=3, y=5, z=4. Efectivamente es solución porque 2(3) + 5-2(4) = 3. Esta solución podemos interpretarla como un punto en el espacio, de coordenadas P(3,5,4). Podríamos seguir determinando soluciones e identificando cada una de ellas con un punto del espacio. Si representamos todos esos puntos podríamos comprobar que todos ellos están situados sobre un plano. Por eso diríamos que la ecuación 2x+y-2z = 3 es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional. Toda ecuación lineal con tres incógnitas es la ecuación de un plano Y Ax + By + Cz = D Ecuación de un plano Vector normal de un plano Cuando estudiamos la ecuación de una recta, como hemos recordado en la introducción de esta hoja, vimos que los coeficientes de las incógnitas de la ecuación tenían una interpretación: daban las coordenadas de la dirección de la recta. Aquí ocurre algo parecido, pero sería más complicado de explicarlo. Los coeficientes de la ecuación lineal con tres incógnitas nos proporcionan las coordenadas de un vector cuya dirección es perpendicular a la dirección del plano. Lo llamaremos vector normal del plano. Ax + By + Cz = D Vector normal ú(a,b,c) Planos paralelos Dados dos planos en el espacio, qué condición deben cumplir sus ecuaciones lineales para que representen a dos planos paralelos?. P 1 : Ax + By + Cz = D su vector normal : ú 1 (A,B,C) P 2 : Ex + Fy + Gz = H su vector normal : ú 2 (E,F,G) P 1 5 P 2 ] dir ( N 1 ) = dir ( N 2 ) Los dos vectores normales deben ser linealmente dependientes y, por consiguiente, sus coordenadas deben ser proporcionales. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II.Sistemas de Ecuaciones Lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones de rectas y planos en el espacio tridimensional. R E C T A S E N PLANO XY Z = 0 R E C T A S E N PLANO XZ Y = 0 R E C T A S E N PLANO YZ X = 0 Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas Equivalentes. Criterios de equivalencia Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, toda solución del primer sistema lo es del segundo, y recíprocamente. S equivalente a S * lo escribiremos S ] S * CRITERIO 1 Utilidad Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Dado un sistema, aplicando este criterio, podremos obtener un sistema equivalente en el que: a) todos sus coeficientes sean números enteros; b) podemos "simplificar" los coeficientes de una ecuación. Ejemplo 1 CRITERIO 2 Utilidad Si una ecuación del sistema la reemplazamos por una combinación lineal de ecuaciones, en la que aparezca la ecuación reemplazada con coeficiente distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente. Aplicando este criterio, podemos obtener un nuevo sistema equivalente en el que los coeficientes de algunas incógnitas, sean nulos. Ejemplo 2 E 3 CRITERIO 3 Utilidad Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras ecuaciones del sistema, dicha ecuación puede suprimirse, y el sistema resultante es equivalente al dado. Permite eliminar aquellas ecuaciones que, al ser combinación de otras ecuaciones, no ofrecen información nueva. Ejemplo 3 E 3 Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
2x + 3y = 5 z = 3 5x - 2y = 0 Ejemplo 1 para aproximarnos al Método de Gauss Sistema Compatible y Determinado OBJETIVO: Obtener un sistema escalonado que sea equivalente al sistema dado. PREGUNTAS Se puede simplificar alguna ecuación? Vemos si alguna ecuación se puede eliminar porque sea combinación lineal de otras? Se observa alguna incompatibilidad entre sus ecuaciones? SISTEMA EQUIVALENTE TRANSFORMACIONES PARA LLEGAR A UN SISTEMA ESCALONADO Reorganización de incógnitas: x, y, z ± y, x, z E 3 Reorganización de incógnitas: y, x, z ± y, z, x E 3 CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DEL SISTEMA SIGUE... Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
2x + 3y = 5 z = 3 5x - 2y = 0 Ejemplo 2 para aproximarnos al Método de Gauss Sistema Compatible e Indeterminado PREGUNTAS Se puede simplificar alguna ecuación? Vemos si alguna ecuación se puede eliminar porque sea combinación lineal de otras? Se observa alguna incompatibilidad entre sus ecuaciones? SISTEMA EQUIVALENTE TRANSFORMACIONES PARA LLEGAR A UN SISTEMA ESCALONADO CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DEL SISTEMA SIGUE... Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
2x + 3y = 5 z = 3 5x - 2y = 0 Ejemplo 3 para aproximarnos al Método de Gauss Sistema Incompatible PREGUNTAS Se puede simplificar alguna ecuación? Vemos si alguna ecuación se puede eliminar porque sea combinación lineal de otras? Se observa alguna incompatibilidad entre sus ecuaciones? SISTEMA EQUIVALENTE TRANSFORMACIONES PARA LLEGAR A UN SISTEMA ESCALONADO E 3 E 3 CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL SISTEMA Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. EL MÉTODO DE GAUSS consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente que tenga forma escalonada. Para conseguirlo se efectúan, según convengan, cinco trasformaciones elementales: Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. Reemplazar una ecuación por una combinación lineal de ecuaciones en la que aparezca la ecuación reemplazada con coeficiente distinto de cero. Intercambiar ecuaciones. Intercambiar incógnitas. Prescindir de aquellas ecuaciones que sean combinación lineal de otras ecuaciones del sistema. Cada una de estas transformaciones da lugar a un sistema equivalente al anterior. Todas ellas pueden realizarse directamente sobre la matriz asociada al sistema. El sistema de ecuaciones, o su matriz asociada, adopta finalmente una de las formas siguientes: CASO 1 )))))))))))))))))))) )))))))))))))))))))) G : Número cualquiera, O : Número distinto de cero Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas. De forma escalonada, vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. El sistema tiene solución única : SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO. CASO 2 )))))))))))))))))))) )))))))))))))))))))) Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con lo que las demás se obtendrán en función de ellas. El sistema admite infinitas soluciones : SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO. CASO 3 )))))))))))))))))))) )))))))))))))))))))) Si en una fila de la matriz asociada al sistema aparece una fila de ceros, excepto el último, distinto de cero, quiere decir que dicha línea representa a la ecuación: 0.x + 0.y + 0.z +... + 0.t = k 0 La ecuación no admite solución. Por tanto tampoco habrá solución del sistema : SISTEMA INCOMPATIBLE. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Interpretación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: estudio de la posición relativa en el espacio de tres planos. CASO 1 COMPATIBLE Y DETERMINADO El sistema admite una única solución que podemos identificar como un punto P cuyas coordenadas son los valores obtenidos de x, y, z. El punto pertenecerá a los tres planos y será el único punto común a ellos. CASO 3 INCOMPATIBLE El sistema no tiene solución : los tres planos no tienen ningún punto común. 1 No hay planos paralelos. CASO 2 COMPATIBLE E INDETERMINADO El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas es un punto del plano. Los planos tienen infinitos puntos comunes. Los planos se cortan, dos a dos, según tres rectas paralelas. 2 Hay dos planos que son paralelos. 1 Los tres planos son iguales. 2 No son iguales : se cortan en una recta. Supongamos que los dos planos que son paralelos son el segundo y tercero: el primero y tercero se cortarán en la recta r ; el primero y el segundo se cortan en la recta s. Las rectas r y s son paralelas. 3 Los tres planos son paralelos. Los tres planos tienen en común los infinitos puntos de una recta llamada recta base del haz de planos. Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Sistemas de Ecuaciones Lineales
r umen Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Clasificación, solución e interpretación ' ' Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Cada ecuación tiene infinitas soluciones que identificaremos como puntos P(x,y) del plano. Si los representamos gráficamente observamos que están alineados. Por eso decimos que cada ecuación del sistema representa a una recta en el plano. Hallar la solución del sistema equivale, según lo anterior, a analizar la posición relativa de las rectas en el plano. ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES 02 Están las ecuaciones simplificadas? Depende alguna ecuación de otras? Se observa alguna incompatibilidad? NO SÍ NO SÍ NO SÍ se simplifican se eliminan Sistema equivalente MÉTODO DE GAUSS Compatible y Determinado Compatible e indeterminado Sistema incompatible el sistema tiene una solución el sistema tiene infinitas soluciones el sistema no tiene solución SOLUCIÓN DEL SISTEMA : P(x,y) SOLUCIÓNES las tres rectas no tienen puntos comunes las rectas se cortan en un mismo punto las rectas tienen infinitos puntos comunes ESTUDIO DEL PARALELISMO suponiendo que sean tres rectas iguales ninguna dos las tres P t r s r s t r s t
r umen Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas Clasificación, solución e interpretación ' ' Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Cada ecuación del sistema tiene infinitas soluciones que se pueden interpretar como puntos P(x,y,z) del espacio que están situados sobre un plano. Por eso diremos que cada ecuación del sistema es un plano en el espacio. Hallar la solución del sistema equivale, según lo anterior, a analizar la posición de los planos en el espacio. ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES Están las ecuaciones simplificadas? Depende alguna ecuación de otras? Se observa alguna incompatibilidad? NO SÍ NO SÍ NO SÍ se simplifican se eliminan Sistema equivalente MÉTODO DE GAUSS Compatible y Determinado Compatible e indeterminado Sistema incompatible el sistema tiene una solución el sistema tiene infinitas soluciones el sistema no tiene solución SOLUCIÓN DEL SISTEMA : P(x,y,z) SOLUCIONES los planos no tienen puntos comunes los tres planos tienen un único punto común los planos tienen infinitos puntos comunes ESTUDIO DEL PARALELISMO suponiendo que sean tres planos iguales haz ninguno dos los tres P r r s t r s