Tema: Solución de Problemas Verbales de Aplicación Problemas sin variables: 1. Problemas generales de números: A. Juan tiene $1303 en su cuenta de banco. Podrá Juan pagar su seguro del auto de $676, sus deudas de $121 y además su renta de $750 con lo que tiene en su cuenta de banco? Explicar la respuesta. No, porque: 1303 676 121 750 = -244 Quiere decir que tendría que tener $244 para poder pagar todo. B. En un laboratorio la temperatura de un fluido es de 0 grados y se reduce a 6 grados por hora; después de haber pasado 12 horas, cuál es la temperatura final de este fluido? 0 6 x 12 = -72 grados 2. Problemas de por ciento: Nota: Se debe de tener en cuenta lo siguiente: - Cambiar de por ciento a decimal. - Multiplicar la cantidad total por el % (en decimal). - Cantidad inicial x % = Total. A. Cuál es el 5% de 80? 5 5 % = = 0.05 100 0.05 x 80 = 4 B. De qué cantidad es 6 el 15%? 15 15 % = = 0.15 100 Total = 6 6 = 40 0.15
3. Problemas de inversión: Nota: Se debe tener en cuenta que I = P x r x t, donde: - I = Cantidad del interés - P = Principal - r = Interés - t = Tiempo Pablo invirtió $500 al 10% de interés. Cuánto dinero tendrá al cabo de 4 años? I =? I = P x r x t P = 500 10 r = 10 % = = 0.10 100 t = 4 I = 500 x 0.10 x 4 = $200 En total tendrá = $500 + $200 = $700 Problemas con variables: 1. Problemas de números con variables: A. Un número es el doble de otro. Si el primero se aumenta en 15 y el mayor se disminuye en 3, ambos son iguales. Hallar los números. Número 1: Número 2: x 2x x + 15 = 2x 3 15 + 3 = 2x x 18 = x Por lo tanto: Número 1: x = 18 Número 2: 2x = 36
B. Hallar cuatro números pares consecutivos si la suma del segundo y el cuarto es 52. Números pares consecutivos: Número 1: X Número 2: X + 2 Número 3: X + 4 Número 4: X + 6 Definir los números (X + 2) + (X + 6) = 52 Hacer la ecuación 2X + 8 = 52 2X = 52 8 2X = 44 X = 22 Números: X = 22 X + 2 = 24 X + 4 = 26 X + 6 = 28 Resolver la ecuación Contestar la pregunta 2. Problemas de sustancias: A. Cuántos litros de una solución de alcohol al 80% se deben mezclar con 15 litros de otra solución al 60% para obtener una solución al 75%? A B TOTAL 80% 60% 75% X 15 X + 15 0.8(X) + 0.6(15) = 0.75(X +15) Cambiar a decimal 80(X) + 60(15) = 75(X + 15) Multiplicar por 100 80X + 900 = 75X + 1125 80X 75X = 1125 900 5X = 225 X = 45 Mezclar 45 litros de alcohol. Resolver la ecuación Contestar la pregunta
B. Dada una solución de ácido al 10% y otra al 18%, cuántos litros de cada una se deben mezclar para obtener 30 litros al 15%? A B TOTAL 10% 18% 15% 30 X X 30 0.10(30 X) + 0.18(X) = 0.15(30) Cambiar a decimal 10(30 X) + 18(X) = 15(30) Multiplicar por 100 300 10X + 18X = 450 8X = 150 X = 18.75 Cantidad 1: X = 18.75 litros Cantidad 2: 30 18.75 = 11.25 litros Resolver la ecuación Contestar la pregunta 3. Problemas de trabajo: Fracción de trabajo = tiempo _ total tiempo _ individual A. Maribel puede pasar a maquinilla una página en la mitad del tiempo que le toma a Ana. Si juntas terminan un trabajo en 6 horas, Cuánto le tomará a Ana completarlo sola? Ana t 6 6 + = 1 t t 2 18 = 1 t Maribel 2 t 6 12 + = 1 t t t =18 horas B. Juan hace un trabajo en 4 días, Pedro en 6 días. Cuánto se tardarán si trabajan juntos? t + t = 1 4 6 Multiplicar por 12 3 t + 2t = 12 5 t = 12 Dividir por 5 t = 2.4 días
4. Problema de distancia A. Dos corredores salen al mismo tiempo. Uno corre a 8 MPH y el otro a 9 MPH. Si uno llega a la meta en 45 minutos después que el otro, qué tiempo corrió cada uno? Corredor distancia velocidad tiempo 3 3 1 8 t + 8 t + (= t horas y 45 minutos) 4 4 9 2 9t t 3 8 t + = 9t 4 8 t + 6 = 9t 6 = t El #2 corrió 6 horas. El #1 corrió 6 horas y 45 minutos. B. Juan puede viajar al doble de la velocidad de Martin. Si al cabo de 3 horas están a 36 millas el uno del otro, Cuál es la velocidad de cada uno? Corredor distancia velocidad tiempo Juan 6x 2x 3 Martin 3x x 3 6x + 3x = 36 9x = 36 x = 4 Martin = 4 MPH Juan = 2x = 2(4) = 8 MPH C. Ana quiere invertir $9000. Ella invierte parte en certificado de depósito pagando al 8% y el resto en una cuenta de ahorros al 9% por año. Si el interés ganado en un año fue $750, cuánto invirtió en cada una? Concepto I P r t Certificado de depósito 0.08x x 8% 1 Ahorros 0.09(9000 x) 9000 x 9% 1 0.08x + 0.09(9000 x) = 750 8x + 9(9000 x) = 75000 8x 9x = 75000 81000 -x = -6000 x = $6000 en Certificado de depósito 9000 6000 = $3000 en Ahorros
Ejercicios: 1) La suma de dos números es 19. Si uno de los números es 4 más que dos veces el otro, encuentre los dos números. 2) Fred invirtió $8000 en dos cuentas. Una al 8% y la otra al 10%. Si el interés total al año fue $680, Cuánto invirtió en cada una? 3)Tren A tiene una velocidad de 15 MPH mayor que tren B. Si el tren A viaja 150 millas en el mismo tiempo que el tren B viaja 120 millas, Cuáles son las velocidades de cada uno de los trenes? 4) Dos personas trabajando juntas pueden completar un trabajo en 6 horas. Si una de ellas trabaja dos veces más rápido que la otra. Cuánto tiempo le tomará a la más rápida en completar el trabajo sola? Soluciones: 1) Los números son 5, 14. 2) Invirtió $2000 al 10% Invirtió $6000 al 8% 3) Velocidad del tren A = 75 MPH Velocidad del tren B = 60 MPH 4) Le tomará 9 horas.