FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CONCEPTOS BÁSICOS Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D R cn D Œ R, es decir, a cualquier crrespndencia que ascia a cada element de D un únic númer real Habitualmente, la ntación que se usa para representar una función es y f( ), dnde es la variable independiente, y la variable dependiente y f la aplicación que indica cm se btiene el valr de y cncid el valr de Se llama dmini de definición de f al cnjunt de númers reales para ls cuales eiste f() Se denta D(f), simplemente D Es decir, D { R eiste f()} En alguns cass, el dmini de la función n viene dad a priri sin que hay que calcularl mediante la definición de f Además, en ls mdels ecnómics para determinar el dmini n sól hay que cnsiderar la eistencia matemática de f(), sin también que tenga sentid en el cntet ecnómic cnsiderad tant cm f() Ejempl : a) f : [, ) R dada pr f( ) es una función real de variable real cuy dmini es D [, ) b) y es una función cn D R - {} ya que ascia a td númer real distint de un únic element de R c) La crrespndencia dada pr y n es una función, ya que a cada númer real psitiv n nul le ascia ds valres reales distints, pr ejempl, para, el valr de la variable y puede ser - d) El dmini de la función f( ) es D (0, ) ya que para que eista, debe de ser mayr igual que 0, y además cm está en el denminadr n puede ser 0 e) El cste C pr día de una empresa es función de su prducción diaria q según la relación C 500 5q Si la empresa tiene una capacidad límite de prducir 5000 unidades al día, el dmini de esta función es D { q 0 q 5000 } Observar que desde el punt de vista matemátic, el dmini de esta función sería R, sin embarg pr el cntet ecnómic el dmini se restringe al calculad Se llama rang imagen de f al cnjunt de númers reales que tma la variable y siend y f() y perteneciente al dmini de f Se denta Im(f) Es decir, Im(f) {y R eiste D cn y f()} Ejempl : a) Dada f( ), para que eista f() se debe cumplir que - 0, ya que n eiste la raíz cuadrada de númers negativs Pr tant, se debe cumplir y pr ell D [, ) Además, se verifica que Im(f) [0, ) b) La función C 500 5q, estudiada en el ejempl apartad e), cuy dmini es D { q 0 q 5000 }, tiene cm imagen Im(f) { C 500 C 75500 } Pryect de innvación ARAGÓN TRES
5 c) Dada f( ), al estar definida pr un plinmi eiste para cualquier númer real, lueg D R Además, se verifica que Im(f) R d) Dada f( ), se cumple que su dmini es D R y su imagen Im(f) [, ) Se llama gráfica de f al cnjunt de tds ls pares de númers reales que tienen cm primera cmpnente cualquier valr del dmini de f y cm segunda su imagen f() Se denta Gr(f) Es decir, Gr(f) {(, y) R D, y f()} Ntar que la gráfica de f es una curva en R per n tdas curvas del plan sn gráficas de funcines La gráfica de una función tiene la prpiedad de que una recta vertical que pase pr cualquier punt del eje OX la crta a l sum una vez, en cas cntrari, significaría que un mism númer tendría más de una imagen pr l que n sería aplicación, y pr tant tampc función Ejempl : a) La gráfica de la función f( ) es: y La curva representada a cntinuación dada pr ls punts que verifican y función y f( ) y n crrespnde a la gráfica de una Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Tips de funcines Una función f() se dice: Función creciente en un interval I Œ D si para cualquier par de punts, I, tales que < se verifica f( ) f( ) Función estrictamente creciente en un interval I Œ D si para cualquier par de punts, I, tales que < se verifica f( ) < f( ) Función decreciente en un interval I Œ D si para cualquier par de punts, I, tales que < se verifica f( ) f( ) Función estrictamente decreciente en un interval I Œ D si para cualquier par de punts, I, tales que < se verifica f( ) > f( ) Función estrictamente creciente en R Función decreciente, per n estrictamente decreciente en (0, ) Una función f() se dice: Función cóncava en un interval I Œ D, si dads ds punts cualesquiera, I el segment, f( ) y, f( ) nunca se sitúa pr encima de la gráfica que une ls punts ( ) ( ) Función estrictamente cóncava en un interval I Œ D, si dads ds punts cualesquiera,, f( ) y, f( ) se sitúa pr debaj de la I, el segment que une ls punts ( ) ( ) gráfica Función cnvea en un interval I Œ D, si dads ds punts cualesquiera, I el segment, f( ) y, f( ) nunca se sitúa pr debaj de la gráfica que une ls punts ( ) ( ) Función estrictamente cnvea en un interval I Œ D, si dads ds punts cualesquiera,, f( ) y, f( ) se sitúa pr encima de la I, el segment que une ls punts ( ) ( ) gráfica Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Función cóncava per n estrictamente cóncava en R Función estrictamente cnvea en R Una función f() se dice: Función actada superirmente si eiste un númer M cumpliend que para cualquier valr de D se verifica f( ) M Función actada inferirmente si eiste un númer m cumpliend que para cualquier valr de D se verifica f( ) m Función actada si está actada inferir y superirmente Es decir, si eiste un númer K > 0 tal que para cualquier valr de D, f( ) K, equivalentemente, K f( ) K Función actada superirmente y n actada inferirmente en R Función actada superirmente pr y actada inferirmente pr - Una función f() se dice: Función par si para cualquier valr de D se cumple f( ) f( ) En este cas, la gráfica de la función es simétrica respect del eje OY Función impar si para cualquier valr de D se cumple f( ) f( ) En este cas, la gráfica de la función es simétrica respect del rigen Función periódica si eiste un númer M > 0 cumpliend que para cualquier valr de D se verifica f( M) f( ) Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Función periódica de perid π Función par Ejempl : Observand la gráfica de la función f( ) que se muestra a cntinuación, se tiene que f () es estrictamente creciente en R, estrictamente cóncava en (-, 0), estrictamente cnvea en (0, ), n está actada superir ni inferirmente y es impar, ya que f( ) ( ) f( ) y Operacines cn funcines Sean f y g ds funcines reales de variable real cn dminis D(f) y D(g) respectivamente Se definen las funcines: Suma de f y g cm (f g)() f() g() siend D(fg) D(f) D(g) Prduct de f pr un escalar t cm (tf)() t f() siend D(tf) D(f) Prduct de f y g cm (fg)() f() g() siend D(fg) D(f) D(g) Cciente de f y g cm f ( ) g f( ) g( ) siend D f D(f) { D(g) g() 0} g Cmpsición de g y f cm (f g)() f( g( )) siend D(f g) { D(g) g() D(f)} Inversa de f: Esta función sól se puede definir en el cas de que y f() sea inyectiva, se denta f y se define cm f ( y) f( ) y siend D( f ) Im f Las gráficas de una función f y de su inversa f sn simétricas respect de la recta y Ejempl 5: Dadas las funcines: f( ), g( ), h( ) vams a realizar las siguientes peracines: Pryect de innvación ARAGÓN TRES 5
a) ( f g)( ) f( ) g( ) (5 h)( ) 5 h( ) 5 ( g h)( ) g( ) h( ) f f( ) ( ) h h( ) (f g)() f(g()) f ( ) ( ), (g f)() g(f()) g( ) b) La función g ( ) es inyectiva, para calcular su función inversa hay que perar de la siguiente frma: Intercambiand las variables en y, queda y y despejand la y tenems que g ( ) y, lueg FUNCIONES ELEMENTALES La mayría de las funcines cn las que se trabaja se btienen al perar cn unas pcas funcines llamadas funcines elementales A cntinuación se ven cn detalle algunas de las más utilizadas Funcines Plinómicas Una función plinómica de grad n es de la frma ai R y an 0 El dmini de estas funcines es R n n n 0 P( ) a a a a cn n N n Funcines Racinales P( ) Sn funcines de la frma R ( ) cn P ( ) y Q( ) funcines plinómicas Q ( ) El dmini esta frmad pr tds ls númers reales que n sn raíces del plinmi del denminadr Funcines Irracinales n Sn funcines de la frma f( ) R ( ) dnde R ( ) es una función racinal y n un númer natural mayr que Si n es impar el dmini de esta función es igual al dmini de R() Si n es par el dmini de esta función está frmad pr tds ls númers reales para ls que R ( ) 0 Ejempl 6: 5 a) La función f( ) 7 es plinómica de grad 5 y su dmini es R 5 b) La función f( ) es racinal y su dmini es R, ya que, 0 para cualquier valr c) La función f( ) es irracinal y cm el índice de la raíz es par (n ), para calcular su dmini hay que estudiar cuand 0 Para reslver esta inecuación (Ver unidad ), se factriza el plinmi quedand ( )( ) y se estudia su sign en la tabla siguiente Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6
Sign (-, -) (-, ) (, ) - - - - Pr l tant, el dmini es (-, -] [, ), ya que se han de incluir y - puest que cumplen la desigualdad pr ser ésta n estricta Funcines Epnenciales Sn funcines de la frma f( ) a cn a > 0 El dmini de estas funcines es R y su imagen (0, ) A cntinuación se enumeran algunas prpiedades de las ptencias que resultan muy útiles a la hra de trabajar cn las funcines epnenciales (Ver unidad ): 0 a a y y a a y a a y a y ( a ) y a ab a b ( ) a b a b a a a y y a La función epnencial más utilizada es f( ) e cuya gráfica se muestra en la siguiente figura, de ella se deduce que es estrictamente creciente, estrictamente cnvea y actada inferirmente en R Funcines Lgarítmicas Sn funcines de la frma f( ) lg a cn a > 0 y a El dmini de estas funcines es (0, ) y su imagen R La función f( ) lg a es la función inversa de la función epnencial a cn a > 0 La función lgarítmica más utilizada es la que viene dada pr el lgaritm neperian, es decir, la que tiene pr base el númer e, que es la función inversa de f( ) e Se representa pr f( ) ln y su gráfica se muestra en la siguiente figura de la que se deduce que es estrictamente creciente, estrictamente cóncava y n actada superir ni inferirmente Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7
Algunas funcines Trignmétricas La función sen viene dada pr f( ) sen Su dmini es R, su imagen [-, ] y su gráfica es la siguiente: Cm se bserva en el dibuj anterir, está actada superirmente pr e inferirmente pr -, es periódica de perid π e impar La función csen viene dada pr f( ) cs Su dmini es R, su imagen [-, ] y su gráfica es la siguiente: Cm se bserva en el dibuj anterir, está actada superirmente pr e inferirmente pr -, es periódica de perid π y par La función tangente viene dada pr f( ) tg sen π Cm tg, su dmini es D R - (n ) n Z cs siguiente:, su imagen R y su gráfica es la Pryect de innvación ARAGÓN TRES 8
Cm se bserva en el dibuj anterir, n está actada superir ni inferirmente, es periódica de perid π e impar Las funcines inversas de las anterires sn: La función arc sen es la inversa de la función sen y se denta f( ) arcsen Su dmini es [-, ] y su gráfica La función arc csen es la inversa del csen y se denta f( ) arccs Su dmini es [-, ] y su gráfica La función arc tangente es la inversa de la tangente y se denta f( ) arctg Su dmini es R y su gráfica Pryect de innvación ARAGÓN TRES 9
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN De frma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punt cm el valr al que se aprima la función cuand la variable independiente se acerca al punt Esta idea intuitiva se frmaliza en la siguiente definición: Se dice que el límite de f cuand tiende a es el númer real L, y se representa lim f( ) L, si para cada ε > 0 que fijems, se puede encntrar algún δ > 0 verificand que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε Ntar que para que esta definición tenga sentid es necesari que eistan punts cercans a sean del dmini de f, aunque n se necesita que f esté definida en Ejempl 7: Aplicand la definición se va a cmprbar que lim ( 5) que Tmand un valr cualquiera ε > 0 hay que encntrar un δ > 0 tal que si se cumple 0 < < δ, se verifique ( 5) < ε Realizand peracines en la última desigualdad cn bjet de encntrar una relación entre ε ( 5) < ε 8 < ε < ε < ε Cm se ha de cumplir que 0 < < δ, tmand δ se verifica la definición de límite δ y ε queda: Al estudiar el valr al que tiende una función cuand se aprima a un punt, a veces es cnveniente cnsiderar pr separad ls valres próims a que sean menres y ls que sean mayres que él Est da lugar a ls límites laterales que se definen a cntinuación Se dice que L es el límite pr la derecha de f y se representa lim f( ) L, si la función se aprima a este valr al acercarse a, siend > Es decir, si para cada ε > 0, eiste δ > 0 tal que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε Pryect de innvación ARAGÓN TRES 0
Se dice que L es el límite pr la izquierda de f y se representa lim f( ) L, si la función se aprima a este valr al acercarse a, siend < Es decir, si para cada ε > 0, eiste δ > 0 tal que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε Ejempl 8: La función si 0 f( ) si > 0 cuya gráfica es cumple que lim f( ) lim y 0 0 lim f( ) lim 0 según se ve en el dibuj 0 0 Cuand tiene sentid calcular ls ds límites laterales se verifica la siguiente equivalencia: lim f ( ) L lim f( ) lim f( ) L Una cnsecuencia inmediata de esta equivalencia es que si ls límites laterales cuand distints, el límite de la función cuand n eiste sn Ejempl 9: si 0 a) En la función f( ) si > 0 que n eiste lim f( ) 0 del ejempl 8, cm sus límites laterales cuand 0 sn distints, se cncluye si b) Dada f( ) si > punt, han de hallarse sus límites laterales quedand:, para calcular lim f( ), cm f( ) está definida de frma diferente antes y después del lim f( ) lim 9 y Cm ls ds límites laterales cinciden, entnces eiste el límite de la función y se verifica que: c) lim 0 lim f( ) lim f( ) lim f( ) 9 lim f( ) lim 9 Observar que en este cas n tiene sentid cnsiderar valres menres que ya que D [, ), pr tant, n tiene sentid plantearse el límite pr la izquierda cuand y el límite calculad cincide cn el límite pr la derecha La definición de límite se puede etender para elements infinits teniend en cuenta l siguiente: Pr, se entiende que se tman valres de psitivs tan grandes cm se quiera Pr, se entiende que se tman valres de negativs tan pequeñs cm se quiera Direms que el límite es si la función tma valres psitivs tan grandes cm se quiera Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Direms que el límite es - si la función tma valres negativs tan pequeñs cm se quiera Ejempl 0: a) Calcular ls límites laterales cuand 0 de la función f( ) y cuya gráfica se muestra a cntinuación 0 Si ls valres de se apriman a 0 pr la derecha el valr de la función crece indefinidamente, es decir, Si se acerca pr la izquierda a 0, la función decrece indefinidamente, es decir, lim 0 En este cas el límite de la función cuand 0 n eiste, ya que ls límites laterales n cinciden lim 0 b) Calcular ls límites laterales cuand la función f( ) ( ) cuya gráfica se muestra a cntinuación Si se acerca a pr la derecha, la función decrece indefinidamente, es decir, lim ( ) Si se acerca al pr la izquierda, la función decrece indefinidamente, es decir, lim ( ) En este cas, lim, ya que ambs límites laterales cinciden y tman el valr - ( ) si < c) Calcular el límite cuand de la función f( ) ( ) si Cm f( ) está definida de frma diferente antes y después del, para determinar el límite de la función han de hallarse sus límites laterales quedand: lim f( ) lim y f lim ( ) lim ( ) Al ser distints ests límites se cncluye que n eiste el límite de f cuand Prpiedades de ls límites El límite de una función, si eiste, es únic Pryect de innvación ARAGÓN TRES
lim ( f g)( ) lim f( ) lim g( ), ecept si lim f ( ) y lim lim ( t f)( ) t lim f( ), siend t un númer real cualquiera g lim ( f g)( ) lim f( ) lim g( ), ecept si lim f ( ) 0 y lim g ( ) - viceversa ( ) ± viceversa 5 f lim ( ) g lim f( ) lim g( ) si lim g( ) 0, ecept si: lim f( ) lim g( ) 0 lim f( ) lim g( ) ± 6 g ( ) f lim g( ) lim ( ) ( lim f( )), ecept si: lim f ( ) ± y lim ( ) 0 g lim f( ) lim g( ) 0 lim f ( ) y lim g ( ) ± 7 Si f( ) es una función actada en un entrn de y lim g ( ) 0, entnces lim ( fg )( ) 0 Ejempl : Calcular ls siguientes límites: 0 lim e lim lim e 0 e 0 0 0 0 a) ( ) b) lim 5ln 5 lim lim ln 5ln 50 0 lim 9 c) lim lim d) ( ) lim( ) lim( ) ( ) (( ) ) 0 0 e) lim 0 lim ( ) f) lim sen 0 0, ya que, lim 0 y la función sen es una función actada 0 En ls cass en ls que la aplicación directa de estas prpiedades n permite calcular el límite (ver las ecepcines que aparecen en las prpiedades de ls límites), se dice que hay una indeterminación y es necesari calcular el límite de tra manera Utilizand ntación simbólica las indeterminacines sn: 0 ± 0 0, 0( ± ),,, 0, ( ± ), 0 ± ± Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a) 7 0 lim 9 0 Esta indeterminación se resuelve factrizand ls plinmis cn bjet de simplificar el factr cmún al numeradr y al denminadr, ya que anula a ambs: lim lim lim 7 ( )( 9) 9 7 9 9 ( )( ) 6 0 b) lim Esta indeterminación se resuelve multiplicand numeradr y denminadr pr el cnjugad del 0 denminadr, es decir, pr : ( )( ) ( )( ) lim lim lim lim ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim lim ( ) ( ) 5 c) Esta indeterminación se resuelve dividiend numeradr y denminadr pr lim de mayr epnente que aparece en el numeradr y denminadr:, ya que es la ptencia lim 5 5 0 lim 0 d) lim Esta indeterminación se resuelve dividiend numeradr y denminadr pr, ya que es la ptencia de mayr epnente que aparece en el numeradr y denminadr: lim 0 lim 0 Ntar que las indeterminacines del tip casinadas pr ccientes de plinmis se resuelven fácilmente generalizand l realizad en ls apartads c) y d) del ejempl anterir bteniéndse: 0 si m > n n an a a an lim si m n m ± bm b b b m ± si m < n Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a) lim 5 5, es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es - 5 b), es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es 0 lim 5 c), es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es lim 5 5 Pryect de innvación ARAGÓN TRES
Las indeterminacines 0 0, ( ± ) 0, ± se pueden transfrmar en una del tip 0( ± ) tmand lgaritms neperians Además, la indeterminación ± se puede reslver aplicand que si lim f ( ) y lim g ( ) ±, entnces, lim g ( )( f( ) ) ( ) lim f ( g ) e Ejempl : Calcular ls siguientes límites: 8 8 a) lim 0 9 9 ya que 8 9 < 5 b) lim 5 5 ya que 5 > c) 5 5 5 lim lim ya que 5 > d) lim 5 es una indeterminación que se puede reslver cm sigue: lim ( ) ( ) lim 5 5 e e e lim 5 A veces, algunas de estas indeterminacines se resuelven usand ls llamads infinitésims equivalentes que sn funcines cuy límite vale 0 y que se pueden sustituir una pr tra si están multiplicand dividiend dentr de un límite sin que éste se mdifique Alguns infinitésims equivalentes cuand f( ) 0 sn: sen f( ) f( ) arcsen f( ) f( ) tg f( ) f( ) arctg f( ) f( ) f( ) ln( f( )) f( ) e f( ) (( f )) cs f( ) Ejempl 5: Calcular ls siguientes límites: a) sen 0 lim Esta indeterminación se puede reslver pr infinitésims equivalentes de la frma siguiente, 0 0 sen lim lim 0 0 b) (cs ) 0 lim Esta indeterminación se puede reslver pr infinitésims equivalentes de la frma siguiente, 0 tg 0 (cs ) lim lim lim lim 0 0 0 0 tg 0 Otra equivalencia útil para reslver límites es: n n an a a an cuand ± Pryect de innvación ARAGÓN TRES 5
Ejempl 6: Calcular ls siguientes límites utilizand la equivalencia anterir: a) lim 5 Esta indeterminación se resuelve fácilmente utilizand la equivalencia anterir, quedand 5 5 lim lim lim ( ) b) ln( ) lim Esta indeterminación se puede reslver de esta manera: ln ln( ) ln ln lim lim lim lim ln ln ln CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Gráficamente el que una función f() sea cntinua en un punt, significa que n se rmpe su gráfica en el punt (, f( )), es decir, se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel en las primidades de dich punt Intuitivamente la cntinuidad de f() en quiere decir que variacines pequeñas de la variable cuand está próima a, le crrespnden variacines pequeñas de f() A cntinuación se frmaliza el cncept de función cntinua Una función real f() es cntinua en si se cumple lim f( ) f( ) Se dice que f es función cntinua en un subcnjunt A si l es en tds ls punts de A Ejempl 7: Estudiar la cntinuidad de las siguientes funcines en ls punts que se indican: a) 5 si f( ) si > en el punt Se calculan ls límites laterales ya que la función tiene distinta definición pr la derecha y pr la izquierda del punt: lim f( ) lim 5 y lim f( ) lim 5 5, lueg lim f( ) 5 Además, cm f() 5 y cincide cn lim f( ), se cumple que f es cntinua en el punt b) si f( ) 0 si Se calcula f ( ) punt c) f( ) ( ) en el punt lim ( ) lim y cm f() 0, se cumple que en el punt lim f( ) f() y pr tant, f n es cntinua en el En este cas n eiste f(), ya que anula el denminadr, pr tant, f n es cntinua en el punt si 0 d) f( ) / e 0 si 0 en el punt 0 Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6
Cm / e tiene distint límite según tienda a 0 pr la derecha pr la izquierda, para btener calculan ls límites laterales: lim / 0 e e 0, lim 0 / 0 e e lim 0 / e se Cm ests límites n cinciden, entnces n eiste lim f( ), y pr ell, f n es cntinua en 0 0 Tips de discntinuidades de una función Si f n es cntinua en un punt se dice que es discntinua en dich punt Est puede prducirse pr varias causas, dand lugar a distints tips de discntinuidades que se enumeran a cntinuación Discntinuidad evitable: si eiste lim f( ) R En este cas, al ser discntinua bien D, bien lim f( ) f( ) Este tip de discntinuidad permite redefinir la función de frma cntinua de la manera siguiente: f( ) si lim f( ) si Discntinuidad n evitable, si n eiste lim f ( ) R Esta situación se puede prducir pr las siguientes raznes: - eiste lim f( ) R y lim f( ) R per sn distints - eiste lim f( ) ± lim f( ) ± - n eiste lim f( ) n eiste lim f( ) Ejempl 8: sen a) La función f( ) presenta una discntinuidad evitable en 0 ya que n eiste f(0) y ha aplicad el infinitésim equivalente sen si 0 ) sen lim lim (se 0 0 sen si 0 Pr tant, esta función se puede redefinir para que sea cntinua de la frma siguiente: f() si 0 b) La función si f( ) si > presenta una discntinuidad n evitable en, puest que sus límites laterales, lim f( ) lim y lim f( ) lim, sn distints c) La función f( ) presenta una discntinuidad n evitable en 0, ya que lim 0 n es un númer real d) La función f( ) sen presenta una discntinuidad n evitable en 0, ya que n eiste lim sen 0 Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7
Prpiedades de las funcines cntinuas Si f es cntinua en y f( ) 0, entnces, eiste un entrn de mism sign que f( ) Si f es cntinua en, entnces, eiste un entrn de en el cual f está actada en el cual f tiene el Tdas las funcines elementales definidas anterirmente (plinómicas, racinales, irracinales, epnenciales, lgarítmicas, trignmétricas ) sn cntinuas en sus dminis de definición Si f y g sn ds funcines cntinuas en, se verifica: f f ± g, f g, t f cn t númer real y cn g( ) 0 sn funcines cntinuas en g 5 Si f es cntinua en y g es cntinua en f( ), entnces, g f es cntinua en Ejempl 9: Estudiar la cntinuidad de las siguientes funcines: a) si 0 f( ) e si > 0 En (-, 0) la función es cntinua pr ser plinómica En (0, ) la función es cntinua pr ser una función epnencial En 0, es necesari calcular ls límites laterales pr estar f( ) definida de distinta manera pr la derecha e izquierda del punt; así, lim f( ) lim, lim f( ) lim e y pr tant, lim f( ) Además, f (0) cincide cn 0 0 0 0 el valr del límite hallad, lueg, f es cntinua en 0 0 b) si < f( ) e si En (-, ) la función es cntinua pr ser una función racinal cn denminadr n nul En (, ) la función es cntinua pr ser una función epnencial En se tiene: lim f( ) lim y lim ( ) lim f e e, cm n cinciden ls límites laterales 0 e n eiste lim f( ) y pr tant, f es discntinua n evitable c) f( ) ln( ) La función es cntinua en su dmini pr ser una función lgarítmica Para calcular su dmini hay que tener en cuenta que el lgaritm sól se puede calcular de epresines psitivas, lueg, > 0, es decir, > Pr l tant, f( ) es cntinua en (-, ) Pryect de innvación ARAGÓN TRES 8