148 Matemáticas 1. Unidad IV. Álgebra Lineal

148 Matemáticas 1 Unidad IV Álgebra Lineal

149 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal Capítulo 13 Espacios vectoriales reales 13.1 Espacios vectoriales Definición 76.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto de vectores por números reales o producto por escalares, que verifican las siguientes propiedades: (1) u + v V ; u, v V. () u + v = v + u ; u, v V. (3) u + (v + w ) = (u + v ) + w ; u, v, w V. (4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u ; u V. (5) Para cada u V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado por u, tal que u + ( u) = 0. (6) k u V ; k R y u V. (7) k(u + v ) = k u + k v ; k R y u, v V. (8) (k + l)u = k u + lu ; k, l R y u V. (9) (kl)u = k(lu); k, l R y u V. (10) 1u = u ; u V. Por ser los escalares de R, se dice que V es un R-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C. Ejemplo Los conjuntos R n, los conjuntos de polinomios P n [X] = {P (X) R[X] : gr(p ) n y los conjuntos de matrices reales M m n = {matrices de tamaño m n, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales. Propiedades 77.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: (i) 0u = 0. (ii) k 0 = 0. (iii) ( 1)u = u. (iv) k u = 0 k = 0 ó u = 0. (v) El vector cero de un espacio vectorial es único. (vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único. 13. Subespacios vectoriales Definición 78.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V, si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Como W V, todos los vectores de W verifican las propiedades a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W, es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W : (1 ) u + v W ; u, v W (6 ) k u W ; u W y k R Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única:

150 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.3 Base y dimensión k u + lv W ; u, v W y k, l R. Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V, entonces 0 W. Ejemplo P [X] es un subespacio de P 4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) P [X], el grado de kp (X) + lq(x) es gr(kp + lq) = máx{gr(kp ), gr(lq) máx{gr(p ), gr(q), por lo que está en P [X]. Sin embargo, {P (X) : gr(p ) = no es un subespacio de P 4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1 ) ya que X y X X son polinomios del conjunto pero su suma X + (X X ) = X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto. Definición 79.- Se dice que un vector v V es una combinación lineal de los vectores v 1, v,..., v n y sólo si, c 1, c,..., c n R tales que v = c 1 v 1 + c v + + c n v n. si, Definición 80.- Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v,..., v k de un espacio vectorial V, llamaremos subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{v 1, v,..., v k, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S : { lin S = lin{v 1, v,..., v k = c 1 v 1 + c v + + c k v k : c i R y se dirá que S genera lin S o que v 1, v,..., v k generan lin S. Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V vectores de S (ver ejercicio 13.17). y, de hecho, es el más pequeño que contiene a los Definición 81.- Dado un conjunto S = {v 1, v,..., v k de vectores del espacio vectorial V, la ecuación vectorial c 1 v 1 + c v + + c k v k = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1 = c = = c k = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente dependientes). Ejemplo El vector X X de P [X] está generado por los vectores X 1 y X : λ µ = 0 X X = λ(x 1) + µ(x ) = λx λ + µx µ = ( λ µ) + λx + µx = λ = µ = 1 luego X X = (X 1) + ( 1)(X ). Ejemplo Los polinomios X + y X de P [X] son linealmente independientes: si λ(x + ) + µx = 0 (al polinomio cero), se tiene que 0 = λ(x + ) + µx = λ + λx + µx = λ = 0, λ = 0 y µ = 0, ya que los coeficientes de ambos polinomios deben coincidir. Nota: Si los vectores {v 1, v,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Es decir, se tiene la siguiente caracterización para que un conjunto de dos o más vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 13.18): Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes. 13.3 Base y dimensión Lema 8.- Si v n+1 = c 1 v 1 + + c n v n, entonces lin{v 1,..., v n, v n+1 = lin{v 1,..., v n. Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a: Definición 83.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V. Diremos que S es una base de V si: a) S es linealmente independiente y b) S genera a V

151 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.3 Base y dimensión Observación: El comentario anterior a esta definición nos indica la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base. Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y lin S V, tomando v V pero que v / lin S, el conjunto S {v es linealmente independiente (ver el Lema 84 siguiente); y así, se añaden vectores a S hasta generar V. Lema 84.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v V lin S, entonces S {v es linealmente independiente. De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 85 siguiente); luego no tendrá una base un número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base. Lema 85.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v 1, v,..., v m de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 86.- Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1 es una base de n elementos y B es una base de m elementos, por ser B 1 base y B linealmente independiente, m n y por ser B base y B 1 linealmente independiente n m, luego n = m. Definición 87.- Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base, y llamaremos dimensión de V, dim V, al número de vectores de cualquier base de V. Al espacio vectorial V = { 0 le consideramos de dimensión finita, de dimensión cero, aún cuando no tiene conjuntos linealmente independientes. Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita (y no nos son ajenos pues R[X] es un espacio vectorial de dimensión infinita). Ejemplo P [X] = {P (X) R[X] : gr(p ) tiene dimensión 3, pues B = {1, X, X forman una base. En general, dim(p n [X]) = n + 1 y B = {1, X,..., X n es una base suya. Ejemplo 88 Los conjuntos R n = R R R = {(x 1,..., x n ) : x i R, i con las operaciones habituales de suma y producto por escalares x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ) son espacios vectoriales con dim R n = n, ya que cualquier vector x R n puede escribirse de la forma x = (x 1, x,..., x n ) = x 1 (1, 0,..., 0) + x (0, 1,..., 0) + + x n (0, 0,..., 1) y este conjunto de vectores { B = e 1 = (1, 0,..., 0), e = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de R n. Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases: Proposición 89.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n. Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V, a) si el conjunto es linealmente independiente, o b) si genera a V. 13.3.1 Coordenadas en una base Definición 90.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v 1, v,..., v n una base de V. Para cada vector v V, se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales c 1, c,..., c n tales que v = c 1 v 1 + c v + + c n v n. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de R n, de las coordenadas de v en B se denota por (v ) B = (c 1, c,..., c n ) y más usualmente por [v ] B cuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [v ] B = (c 1, c,..., c n ) t.

15 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.3 Base y dimensión Ejemplo o también Si B = {v 1, v, v 3 es una base de V y v = v 1 v + v 3, se tiene que (v ) B = (1, 1, ) (v 1 ) B = (1, 0, 0) (v ) B = (0, 1, 0) (v 3 ) B = (0, 0, 1) 1 1 0 0 [v] B = 1 [v 1 ] B = 0 [v ] B = 1 [v 3 ] B = 0 0 0 1 Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B 1 = {v, v 3, v 1, tenemos que (v ) B1 = ( 1,, 1) que es un vector de coordenadas distinto de (v ) B = (1, 1, ). Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de R n, de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Además, se cumple (ver ejercicio 13.5): [v + w ] B = [v ] B + [w ] B y [λv ] B = λ[v ] B, luego [λ 1 v 1 + +λ n v n ] B = λ 1 [v 1 ] B + + λ n [v n ] B y con esto, no es dificil probar que: v lin{v 1,..., v k V [v] B lin{[v 1 ] B,..., [v k ] B R n {v 1,..., v k lin. independiente en V {[v 1 ] B,..., [v k ] B lin. independiente en R n {v 1,..., v n base de V {[v 1 ] B,..., [v n ] B base de R n por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores. 13.3. Espacios de las filas y las columnas de una matriz De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de R n ; por lo que resulta muy interesante conocer esta sección. a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n Definición 91.- Consideremos la matriz A m n =....... a m1 a m... a mn Los m vectores de R n : r 1 = (a 11,..., a 1n ), r = (a 1,..., a n ),..., r m = (a m1,..., a mn ), se denominan vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, E f (A) = lin{r 1, r,..., r m, espacio de las filas de A. Por supuesto E f (A) R n. Los n vectores de R m : c 1 = (a 11,..., a m1 ), c = (a 1,..., a m ),..., c n = (a 1n,..., a mn ), se denominan vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, E c (A) = lin{c 1, c,..., c n, espacio de las columnas de A. Por supuesto E c (A) R m. Proposición 9.- Si A es una matriz de tamaño m n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A. Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el subespacio lineal generado es el mismo. (Igual para las columnas.) Corolario 93.- Sea A una matriz, entonces: a) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A, forman una base de E f (A). b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A t, forman una base de E c (A). Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros.

153 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.4 Cambios de base Teorema 94.- Sea A una matriz de tamaño m n, entonces: dim(e f (A)) = dim(e c (A)). El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(a) = rg(a t ), y que el rango coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, así como el resultado anterior. Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases. Ejemplo Los vectores X 1, X + 1 y X 1 de P [X] son linealmente independientes? Tomemos la base B = {1, X, X de P [X], entonces formamos por filas la matriz: (X 1) B 1 1 0 F +F 1 1 1 0 1 1 0 F A = (X + 1) B = 1 1 0 3 F 1 0 0 F3+ 1 F 0 0 (X 1) B 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim E f (A) = 3. En consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan E f (A) son también base, luego linealmente independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes. Además, forman una base de P [X] ( por qué?). 13.4 Cambios de base Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente: Definición 95.- Sean B 1 = {u 1, u,..., u n y B = {v 1, v,..., v n son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B 1 a la base B, la matriz de dimensiones n n, que por columnas es ( ) P = [u 1 ] B [u ] B [u n ] B, es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B, del vector u i de la base B 1. En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida. El porqué la matriz de paso se contruye así, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición 96.- Sea P la matriz de paso de una base B 1 en otra base B de un espacio V. Entonces: 1.- x V se tiene que [x] B = P [x] B1..- P es inversible y su inversa, P 1, es la matriz de paso de la base B a la base B 1. Sea B 1 = {u 1, u,..., u n y sea x = c 1 u 1 + c u + + c n u n. Entonces, Apartado 1: ) P [x] B1 = ([u 1 ] B [u ] B [u n ] c B. c 1 c n = c 1 [u 1 ] B + c [u ] B + + c n [u n ] B = [c 1 u 1 + c u + + c n u n ] B = [x] B Apartado : como los vectores de la base B 1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en la base B también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rg(p ) = n, por lo que P es inversible. Además, [x] B = P [x] B1 = P 1 [x] B = P 1 P [x] B1 = P 1 [x] B = [x] B1 y P 1 es la matriz de cambio de la base B en la base B 1.

154 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X y B 1 = {X 1, X + 1, X 1 de P [X]. La matriz de paso de la base B 1 a la base B será: ( ) 1 1 1 1 1 1 P = [X 1] B [X + 1] B [X 1] B = 1 1 0 y P 1 = 1 1 1 0 0 1 0 0 1 la matriz de paso de B a B 1. Ejemplo Consideremos en R 3 la base canónica B c = {e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) y la base B 1 = {v 1 =(1, 0, 1), v =(, 1, 1), v 3 =(0, 1, 1). Como v 1 = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) 1(0, 0, 1) = e 1 e 3, se tiene que (v 1 ) Bc = (1, 0, 1); y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1 a la base B c será: ( ) P = [v 1 ] Bc [v ] Bc [v 3 ] Bc = 1 0 0 1 1 y P 1 = 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 la matriz de paso de la base B c a la base B 1. Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de R n en la base canónica de R n es inmediato, pues (x) Bc = x. Pero ciudado!, al trabajar con vectores de R n no hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica. 13.5 Espacios vectoriales con producto interior 13.5.1 Producto interior. Norma. Distancia Definición 97.- Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de vectores u, v V le asocia un número real, que denotaremos por u, v, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: 1.- u, v = v, u ; u, v V..- u + v, w = u, w + v, w ; u, v, w V. 3.- k u, v = k u, v ; u, v V y k R. 4.- u, u 0; u V y u, u = 0 u = 0. Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: 1.- 0, u = 0.- u, v + w = u, v + u, w 3.- u, k v = k u, v Ejemplo Considerar en P [X], la función P (X), Q(X) = P (1)Q(1) + P (1)Q (1) + P (1)Q (1). (1) P (X), Q(X) = P (1)Q(1) + P (1)Q (1) + P (1)Q (1) = Q(1)P (1) + Q (1)P (1) + Q (1)P (1) = Q(X), P (X) ( ) ( ) () P (X) + R(X), Q(X) = P (1) + R(1) Q(1) + P (1) + R (1) Q (1) + ( ) = P (1)Q(1)+P (1)Q (1)+P (1)Q (1) + = P (X), Q(X) + R(X), Q(X) ( ) P (1) + R (1) ( R(1)Q(1)+R (1)Q (1)+R (1)Q (1) (3) kp (X), Q(X) = kp ( (1)Q(1) + kp (1)Q (1) + kp (1)Q (1) ) = k P (1)Q(1) + P (1)Q (1) + P (1)Q (1) = k P (X), Q(X) Q (1) )

155 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior (4) P (X), P (X) = P (1)P (1) + P (1)P (1) + P (1)P (1) = ( ) ( ) ( P (1) + P (1) + P (1)) 0. Y, se da la igualdad si y sólo si, P (1) = P (1) = P (1) = 0. Entonces, sea P (X) = a + bx + cx, de donde P (X) = b + cx y P (X) = c; de las igualdades se tiene: a + b + c = 0 P (1) = P (1) = P (1) = 0 b + c = 0 a = b = c = 0 P (X) = 0. c = 0 Luego tenemos un producto interno definido en P [X]. A partir de un producto interior sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición 98.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud o módulo) de un vector v V se denota mediante v y se define como v = + v, v. La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v ) y se define como d(u, v ) = u v = + u v, u v. Desigualdad de Cauchy-Schwarz 99.- Para todo u, v V, espacio con producto interior, se tiene u, v u v o en la forma u, v u v. Propiedades básicas de la norma 300.- 1.- u 0; u V.- u = 0 u = 0 3.- k u = k u ; u V y k R 4.- u + v u + v ; u, v V Propiedades básicas de la distancia 301.- 1.- d(u, v ) 0; u, v V.- d(u, v ) = 0 u = v 3.- d(u, v ) = d(v, u); u, v V 4.- d(u, v ) d(u, w )+d(w, v ); u, v, w V La prueba de estas propiedades es análoga a la de las propiedades del módulo colplejo. Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = {u 1,..., u n una base de V. Tomemos dos vectores v = a 1 u 1 + + a n u n y w = b 1 u 1 + + b n u n, entonces v, w = a 1 u 1 + + a n u n, w = a 1 u 1, w + + a n u n, w = a 1 u 1, b 1 u 1 + + b n u n + + a n u n, b 1 u 1 + + b n u n = a 1 u 1, u 1 b 1 + + a 1 u 1, u n b n + + a n u n, u 1 b 1 + + a n u n, u n b n = ( u 1, u 1 u 1, u n b 1 ) a 1 a n...... = (v) B Q B [w] B = [v] t B Q B [w] B u n, u 1 u n, u n luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz Q B obtenida se denomina matriz de Gram o matriz métrica. Por las propiedades del producto interior, Q B es simétrica y los elementos de la diagonal positivos. b n 13.5.1.1 El espacio euclídeo n -dimensional R n Definición 30.- Sobre el espacio vectorial R n definimos la función que a cada x, y R n le asocia x, y = x y = (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = x 1 y 1 + + x n y n = n x i y i Como puede comprobarse fácilmente dicha función es un producto interior, el que se conoce como producto interior euclídeo o producto escalar euclídeo (ya usado en R y R 3 ). Este producto interior da lugar a la norma y distancia euclídeas, ya conocidas: x = x 1 + + x n y d(x, y ) = x y = (x 1 y 1 ) + + (x n y n ). Se llama espacio euclídeo n -dimensional a R n con el producto interior euclídeo. i=1

156 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior Nota: Si la matriz métrica del producto interior en la base B, Q B, es la identidad, el producto interior se reduce al producto escalar euclídeo de los vectores de coordenadas. Esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudian en la siguiente sección. 13.5. Ortogonalidad Definición 303.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que 1 u v u,v 1 y, por tanto, existe un único ángulo, θ, tal que cos θ = u, v u v, con 0 θ π Definición 304.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si u, v = 0. Suele denotarse por u v. Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W, se dice que u es ortogonal a W. Se dice que S = {v 1, v,..., v k es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es decir, si v i v j para todo i j. Ejemplo Los vectores de la base canónica de R 3 con el producto escalar euclídeo son ortogonales entre si, pero no lo son si el producto interior definido es: v, w = v 1 w 1 + v 1 w + v w 1 + v w + v 3 w 3. (Pruébese que es un producto interior). En efecto: e 1, e = (1, 0, 0), (0, 1, 0) = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 0. Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados). De hecho, en R n con el producto escalar euclídeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad. Una curiosidad: Teorema general de Pitágoras 305.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces u + v = u + v. Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en R con el producto escalar al Teorema de Pitágoras. También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio 13.3): Proposición 306.- Si w {v 1, v,..., v k, entonces w lin{v 1, v,..., v k. Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia: Teorema 307.- Si S = {v 1, v,..., v k un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente. 13.5..1 Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt Definición 308.- Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base B = {v 1, v,..., v n es una base ortonormal de V, si B es un conjunto ortogonal y v i = 1, i. {( ( ) Ejemplo Las bases canónica y B 1 = 1 1, 1 ), 1, son ortonormales en R con el producto escalar euclídeo. La base B = {(, 0), (0, ) es ortonormal para el producto interior x, y = x1y1 4 + xy. Teorema 309.- Si B = {v 1, v,..., v n ( es una base ortonormal para un ) espacio V con producto interior, entonces v V se tiene que (v ) B = v, v 1, v, v,..., v, v n. Es decir, v = v, v 1 v 1 + v, v v + + v, v n v n, Si v = c 1 v 1 + + c i v i + + c n v n, para cada i, se tiene que v, v i = c 1 v 1 + + c i v i + + c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c i v i, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i = c i v i = c i

157 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.6 Ejercicios Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas puede resultar más sencilla. Pero no sólo eso, si no que también se tiene: Teorema 310.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B 1 a otra base ortonormal B, entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P 1 = P t ). La prueba es puramente operativa, usando la definición de matriz de paso y el apartado b) del ejercicio 13.35 (ver también el ejercicio 13.40). Definición 311.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {w 1, w,..., w k una base ortonormal de W. Para cada v V, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W Proy W (v ) = v, w 1 w 1 + v, w w + + v, w k w k. Al vector v Proy W (v ) se le llama componente ortogonal de v sobre W. El vector proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, pág. 157, tras la demostración del Lema 31 siguiente. Lema 31.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W un subespacio de V y B una base ortonormal de W. Entonces para cada v V, el vector v Proy W (v ) es ortogonal a W. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 313.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y de dimensión finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B ={v 1, v,..., v n una base ortonormal B = {u 1, u,..., u n. 1 a etapa.- Como v 1 0 por ser de B, el vector u 1 = v 1 v 1 tiene norma 1 y lin{u 1 = lin{v 1. a etapa.- Sea W 1 = lin{u 1, por el Lema anterior, el vector v Proy W1 (v ) es ortogonal a W 1, en particular a u 1, y es distinto del vector 0 pues Proy W1 (v ) W 1 y v / W 1 = lin{v 1, entonces tiene que u = v Proy W1 (v ) v Proy W1 (v ) = v v, u 1 u 1 v v, u 1 u 1 lin{v 1, v es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u = lin{v 1, v. 3 a etapa.- Sea ahora W = lin{u 1, u, como antes, el vector v 3 Proy W (v 3 ) es ortogonal a W, en particular a u 1 y u, y es distinto del vector 0, pues Proy W (v 3 ) W y v 3 / W = lin{v 1, v, entonces se tiene que u 3 = v 3 Proy W (v 3 ) v3 Proy W (v 3 ) = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u lin{v 1, v, v 3 es ortogonal a u 1 y u, y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u, u 3 = lin{v 1, v, v 3. n a etapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B = {u 1, u,..., u n, tal que lin B = lin B = V. Luego B es una base ortonormal de V. 13.6 Ejercicios 13.1 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a) R con las operaciones: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) y k(x, y) = (kx, ky). b) A = {(x, 0) : x R con las operaciones usuales de R. c) R con las operaciones: (x, y) + (x, y ) = (x + x + 1, y + y + 1) y k(x, y) = (kx, ky). d) El conjunto de los números reales estríctamente positivos, R + {0, con las operaciones: x+x = xx y kx = x k.

158 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.6 Ejercicios 13.13 Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 3 ó R 4? a) {(a, 1, 1) R 3 : a R R 3 b) {(a, b, c) R 3 : b = a + c R 3 c) {(a, b, c, d) R 4 : a + d = 7 R 4 d) {(a, b, c, d) R 4 : ba = 0 R 4 13.14 Sean v 1 = (, 1, 0, 3), v = (3, 1, 5, ) y v 3 = ( 1, 0,, 1) vectores de R 4. Cuáles de los vectores (, 3, 7, 3), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1) y ( 4, 6, 13, 4), están en lin{v 1, v, v 3? 13.15 Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = (λ, 1 un conjunto linealmente dependiente en R 3?, 1 ) v = ( 1 1, λ, ) y v 3 = ( 1, 1, λ) forman 13.16 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w, demostrar que u + v, v + w y w + u son también linealmente independientes. 13.17 Sea V un espacio vectorial y S = {v 1,..., v k un conjunto de vectores de V. Probar que: a) lin S es un subespacio vectorial de V. b) Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S, entonces lin S W. 13.18 Probar que si los vectores v 1,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes. 13.19 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de R 4 : a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a b. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d. 13.0 Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de R n. Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0? 13.1 Sean E y F subespacios de un espacio V. Probar que: E F = {v V : v E y v F es un subespacio de V. 13. Considerar en R 4 los conjuntos de vectores: A = {(1,, 1, 3), (0, 1, 0, 3) B = {(1, 1, 1, 0), (, 3, 1, ), (0, 0, 0, 1) a) Hallar las dimensiones de lin(a) y de lin(b), y encontrar una base b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(a) y de lin(b). c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(a) y de lin(b). d) Hallar la dimensión de lin(a) lin(b). 13.3 Consideremos en el espacio vectorial R 3 la base B = {u 1, u, u 3. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3, v = u 1 3u + u 3, v 3 = 4u 1 3u + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u + u 3, w = u 1 + 3u + 4u 3, w 3 = 3u 1 + 4u + 5u 3. Hallar una base de E, una base de F, el subespacio E F y una base de E F. 13.4 Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden sobre R y sea E el subconjunto de ( ) a b + c M formado por las matrices de la forma con a, b, c R. b + c a a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 1 b) Probar que las matrices A 1 =, A 0 1 = y A 1 0 3 =, forman una base de E. 1 0 13.5 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto {v 1, v,..., v n es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v 1 ] B, [v ] B,..., [v n ] B es una base de R n.

159 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.6 Ejercicios 13.6 En una cierta base {u 1, u, u 3, u 4 de un espacio vectorial V, un vector w tiene por coordenadas (3, 1,, 6). Hallar las coordenadas de W en otra base {v 1, v, v 3, v 4 cuyos vectores verifican que v 1 = u 1 + u, v =u 4 u 1, v 3 = u u 3 y v 4 =u 1 u. 13.7 En R 3 se consideran las bases B = {v 1 = (, 0, 0), v = (0, 1, ), v 3 = (0, 0, 3) y la base canónica B c = {e 1, e, e 3. Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e 1 + e 5e 3. 13.8 Se consideran en R 3 las bases B = {u 1, u, u 3 y B = {v 1, v, v 3, siendo u 1 = ( 3, 0, 3), u = ( 3,, 1), u 3 = (1, 6, 1) y v 1 = ( 6, 6, 0), v = (, 6, 4), v 3 = (, 3, 7). a) Hallar la matriz de paso de B a B. b) Calcular la matriz de coordenadas, [w ] B, siendo w = ( 5, 8, 5). c) Calcular [w ] B de dos formas diferentes 13.9 Sean u = (u 1, u, u 3 ) y v = (v 1, v, v 3 ). Determinar si u, v = u 1 v 1 u v + u 3 v 3 define un producto interior en R 3. 13.30 a) Encontrar dos vectores de R con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con (, 4) sea cero. b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en R 3 con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con ( 1, 7, ) es cero. 13.31 Sean a = ( 1 5, 1 5 ) y b = ( 30, 3 30 ). Demostrar que {a, b es ortonormal si R tiene el producto interior u, v = 3u 1 v 1 +u v donde u = (u 1, u ) y v = (v 1, v ), y que no lo es si R tiene el producto interior euclídeo. 13.3 Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v,..., v k entonces es ortogonal a lin{v 1, v,..., v k. 13.33 Considera R 3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base {u 1, u, u 3 en una base ortonormal. a) u 1 = (1, 1, 1), u = ( 1, 1, 0), u 3 = (1,, 1). b) u 1 = (1, 0, 0), u = (3, 7, ), u 3 = (0, 4, 1). 13.34 Sea R 3 con el producto interior u, v = u 1 v 1 + u v + 3u 3 v 3. Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base formada por los vectores u 1 = (1, 1, 1), u = (1, 1, 0) y u 3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal. 13.35 Sea B = {v 1, v, v 3 una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Probar que: a) w = w, v 1 + w, v + w, v 3 ; w V. b) u, w = (u) B (w ) B = [u] t B [w ] B ; u, w V. 13.36 Tomemos en R 4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = ( 1,, 6, 0) en la forma w = w 1 + w donde, w 1 esté en el subespacio W generado por los vectores u 1 = ( 1, 0, 1, ) y u = (0, 1, 0, 1), y w sea ortogonal a W. 13.37 Suponer que R 4 tiene el producto interior euclideo. a) Hallar un vector ortogonal a u 1 = (1, 0, 0, 0) y u 4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos iguales con los vectores u = (0, 1, 0, 0) y u 3 = (0, 0, 1, 0). b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u 1 y a u, tal que el coseno del ángulo entre x y u 3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u 4. 13.38 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) de R 4 al subespacio generado por los vectores v 1 = (1, 1, 1, 0) y v = (1, 1, 0, 0).

160 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.6 Ejercicios 13.39 Dados los vectores x = (x 1, x, x 3 ) e y = (y 1, y, y 3 ) de R 3, demostrar que la expresión x, y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 1 y + x y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1, u, u 3 ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u y u 3 tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. 13.40 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en R n.

161 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal Capítulo 14 Aplicaciones lineales 14.1 Definición. Núcleo e imagen Definición 314.- Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: (1) f(u + v ) = f(u) + f(v ); u, v V, () f(k u) = kf(u); u V y k R. Estas dos propiedades se pueden reunir en: f(k u + lv ) = kf(u) + lf(v ); u, v V, k, l R. y, en general, se tiene: f(k 1 u 1 + k u + + k r u r ) = k 1 f(u 1 ) + k f(u ) + + k r f(u r ) u i V, k i R Si V = W la aplicación lineal también se dice que es un operador lineal. Ejemplos 315 Las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales 1.- f: V V definida por f(v ) = v : f(λv + µw ) = (λv + µw ) = λv + µw = λf(v ) + µf(w ).- Dada A = ( ) ( ) x 0 1 1 0 1 1 1, la aplicación f: R 1 0 1 3 R con f(x) = Ax = x 1 0 1 x 3 f(λx + µy ) = A(λx + µy ) = A(λx) + A(µy ) = λax + µay = λf(x) + µf(y ) : Proposición 316.- Si f: V W es una aplicación lineal, entonces: a) f(0) = 0; b) f( v ) = f(v ); v V Definición 317.- Dada una aplicación lineal f: V W, se define el núcleo o ker(nel) de f, que se denota por ker(f) ó ker f, como el conjunto: ker f = {v V : f(v ) = 0 y se define la imagen de f, que se denota por Img(f) ó Img f (a veces f(v )), como el conjunto Img f = {w W : v V tal que w = f(v ) El ker f es un subespacio vectorial de V y la Img f es subespacio vectorial de W (ver ejercicio 14.4). Definición 318.- Si f: V W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f. Proposición 319.- Sea f: V W es una aplicación lineal y B = {v 1, v,..., v n una base de V, entonces Img f = lin{f(v 1 ), f(v ),..., f(v n ) En efecto, todo v V puede escribirse como v = k 1 v 1 + k v + + k n v n, luego f(v ) = f(k 1 v 1 + k v + + k n v n ) = k 1 f(v 1 ) + k f(v ) + + k n f(v n ) En consecuencia, si w Img f, w = f(v ) = k 1 f(v 1 ) + k f(v ) + + k n f(v n ), para algún v.

16 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14. Matrices de una aplicación lineal Ejemplo Tomemos el ejemplo ) de los Ejemplos 315 anteriores: ker f = {x R 3 : f(x) = 0 = {x R 3 : Ax = 0 luego son las soluciones del sitema de ecuaciones lineales AX = 0. Como son los vectores de la forma (z, z, z), para cualquier valor de z R, se tiene que ker f = {(z, z, z) R 3 : z R = lin{(1, 1, 1). Para la imagen: tomemos en R 3 la base canónica, entonces Img f =lin{f(e 1 ), f(e ), f(e 3 )=lin{ae 1, Ae, Ae 3 =lin{(0, 1), ( 1, 0), (1, 1)=lin{(0, 1), ( 1, 0)=R pues (1, 1) = ( 1)(0, 1) + ( 1)( 1, 0). Se tiene además, que dim(ker f) = 1 y dim(img f) =. No por casualidad, sucede que dim(ker f) + dim(img f) = 1 + = 3 = dim R 3 : Teorema de la dimensión 30.- Si f: V W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, dim V = dim(ker f) + dim(img f) Si la dim(ker f) = n = dim V, entonces ker f = V, y f(v ) = 0 v V, luego Img f = {0 que tiene dimensión cero, por lo que se cumple dim(ker f) + dim(img f) = dim V ( n + 0 = n ) Si la dim(ker f) = r < n, tomemos B ker = {u 1,..., u r una base del ker f V que podemos completar con n r vectores hasta una base de V, B V = {u 1,..., u r, v r+1,..., v n, y el conjunto imagen será por tanto { Img f = lin f(u 1 ),..., f(u r ), f(v r+1 ),..., f(v n ) { { = lin 0,..., 0, f(v r+1 ),..., f(v n ) =lin f(v r+1 ),..., f(v n ) Si probamos que el conjunto formado por esos n r vectores es linealmente independiente, será una base de la Img f y habremos probado que dim(ker f) + dim(img f) = dim V ( r + n r = n ) como queríamos. Veamoslo: por ser f una aplicación lineal, λ r+1 f(v r+1 ) + + λ n f(v n ) = 0 f(λ r+1 v r+1 + + λ n v n ) = 0 λ r+1 v r+1 + + λ n v n ker f luego en la base B ker se expresa con λ r+1 v r+1 + + λ n v n = µ 1 u 1 + + µ r u r, para ciertos µ i. Luego µ 1 u 1 µ r u r + λ r+1 v r+1 + + λ n v n = 0 y µ 1 = = µ r = λ r+1 = = λ n = 0 por formar esos vectores una base de V. En particular, con λ r+1 = = λ n = 0 se prueba que el conjunto {f(v r+1 ),..., f(v n ) es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la Img f es una base de ella. 14. Matrices de una aplicación lineal Teorema 31.- Sean V y W espacios vectoriales con dim V = n y dim W = m, y sea f: V W, una aplicación lineal. Si B 1 = {v 1, v,..., v n es una base de V y B = {w 1, w,..., w m una base de W, entonces la matriz ( ) A m n = [f(v 1 )] B [f(v )] B [f(v n )] B es la única matriz que verifica que [f(v )] B = A[v ] B1, para cada v V. Todo v V se escribe de forma única como una combinación lineal de los vectores de la base, v = k 1 v 1 + k v + + k n v n, luego su imagen f(v ) = k 1 f(v 1 ) + k f(v ) + + k n f(v n ). Como los vectores f(v 1 ), f(v ),..., f(v n ) son de W, sean sus coordenadas en la base B : ( ) f(v 1 ) = (a 11, a 1,..., a m1 ) ( ) B f(v 1 ) = a 11 w 1 + a 1 w + + a m1 w m f(v ) = (a 1, a,..., a m ) f(v B ) = a 1 w 1 + a w + + a m w m ( ) f(v n ) = a 1n w 1 + a n w + + a mn w m f(v n ) = (a 1n, a n,..., a mn ) B

163 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14. Matrices de una aplicación lineal Entonces, sustituyendo en f(v ), se tiene f(v) = k 1 (a 11 w 1 + a 1 w + + a m1 w m ) + k (a 1 w 1 + a w + + a m w m ) + + k n (a 1n w 1 + a n w + + a mn w m ) = (k 1 a 11 + k a 1 + + k n a 1n )w 1 + (k 1 a 1 + k a + + k n a n )w por tanto, las coordenadas de f(v ) en la base B son [f(v )] B = k 1 a 11 + k a 1 + + k n a 1n k 1 a 1 + k a + + k n a n k 1 a m1 + k a m + + k n a mn + + (k 1 a m1 + k a m + + k n a mn )w m = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n... a m1 a m a mn k 1 k. k n = A[v ] B 1 y A, tiene por columnas las coordenadas en la base B de las imágenes de los vectores de la base B 1. Definición 3.- Sean B 1 una base de V, B base de W y f: V W una aplicación lineal. A la única matriz A, tal que [f(v )] B = A[v ] B1, para cada v V, se le llama matriz de f respecto de las bases B 1 y B. Si f: V V es un operador lineal y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B. Ejemplo Sea f: P [X] P 1 [X] dada por f(p (X)) = P (X). Sean B 1 = {1, X, X y B = {1, X bases respectivas de P [X] y P 1 [X]. Entonces, como f(1) = 0, f(x) = 1 y f(x ) = X se tiene que A = ( ( ) ) 0 1 0 [f(1)] B [f(x)] B [f(x )] B = es la matriz de f asociada a B 0 0 1 y B. En efecto ( ) a ( ) 0 1 0 f(a + bx + cx ) = b + cx y A[a + bx + cx ] B1 = b b = = [b + cx] 0 0 c B c Observación 33.- Si f: V W es una aplicación lineal y A la matriz de f respecto de B 1 y B, entonces { { ker f = v V : f(v ) = 0 = {v V : [f(v )] B = [0] B = v V : A[v ] B1 = 0 luego las coordenadas en la base B 1 de los vectores del ker f son las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0. { w Img f = lin f(v 1 ), f(v ),..., f(v n ) [w ] B lin {[f(v 1 )] B, [f(v )] B,..., [f(v n )] B luego el espacio de las columnas de la matriz A, E c (A), está compuesto por las coordenadas en la base B de los vectores de la Img f. En consecuencia, dim(img f) = dim E c (A) = rg(a). Ejemplo Sean B 1 = {v 1, v, v 3 base de V, B = {w 1, w, w 3 base de W, f: V W aplicación lineal y A = 1 0 1 1 1 1 la matriz de f asociada a B 1 y B. Encontrar una base de ker f y otra de Img f. 1 1 3 Como A[v ] B1 = [f(v )] B, v 0 ker f A[v 0 ] B1 = 0, luego resolviendo el sistema AX = 0: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 x = z x 1 A = 1 1 1 0 1 0 1 = y = z = [v 0 ] B1 = y = z 1 1 3 0 1 0 0 0 z = z z 1 el vector ( 1,, 1) genera las coordenadas en B 1 de los vectores del ker f. Luego ker f =lin{ v 1 v + v 3. Además, dim(ker f) = 1 luego dim(img f) = 3 1 = = rg(a). Y una base de la imagen se obtendrá de una base del espacio de las columnas de A (para operar sobre las columnas de A, operamos es las filas de A t ): A t = 1 0 1 1 1 1 1 1 3 t = 1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 luego los vectores (1, 1, 1) y (0, 1, 1) generan las coordenadas en la base B de los vectores de la Img f. En consecuencia, Img f = lin{w 1 w + w 3, w + w 3.

164 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14. Matrices de una aplicación lineal Observación 34.- Pueden obtenerse de una sola vez una base para ker(f) y otra para la Img(f). Basta para ello, tener en cuenta que las operaciones elementales realizadas sobre las columnas de la matriz, son operaciones sobre los vectores imagen. Ejemplo Sea A = 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 6 9 7 4 0 la matriz de la aplicación f: V W, referida a las bases B 1 = {v 1, v, v 3, v 4, v 5, v 6 y B = {w 1, w, w 3, w 4. Para obtener una base de la imagen, hacemos operaciones elementales en las filas de A t (en las columnas de A): 1 1 1 : C 1 1 1 1 : C 1 1 1 1 : C 1 F 1 1 6 : C F 1 F 3 +F 1 F A t = 1 1 9 : C 3 4 F 1 0 3 5 4 : C C 1 0 1 3 0 : C 6 C 1 F 6 F 1 1 1 7 : C 4 0 3 1 8 : C 3 + C 1 F F 6 0 3 3 6 : C 4 C 1 0 3 1 8 : C 3 +C 1 0 3 3 6 : C 4 C 1 0 1 1 4 : C 5 0 1 1 4 : C 5 0 1 1 4 : C 5 1 0 1 1 : C 6 0 1 3 0 : C 6 C 1 0 3 5 4 : C C 1 F 3 +3F F 4 3F F 5 F F 6 3F F 4 3 F 3 F 5 +F 3 F 6 F 3 1 1 1 : C 1 0 1 3 0 : C 6 C 1 0 0 8 8 : C 3 + C 1 + 3(C 6 C 1 ) 0 0 6 6 : C 4 C 1 3(C 6 C 1 ) 0 0 4 4 : C 5 (C 6 C 1 ) 0 0 4 4 : C C 1 3(C 6 C 1 ) 1 1 1 : C 1 0 1 3 0 : C 6 C 1 0 0 4 4 : C 5 C 6 + C 1 0 0 0 0 : C 4 + 1 C 1 3 C 6 3 C 5 0 0 0 0 : C 3 + C 6 + C 5 0 0 0 0 : C C 6 C 5 F 3 F 5 1 1 1 : C 1 0 1 3 0 : C 6 C 1 0 0 4 4 : C 5 C 6 + C 1 0 0 6 6 : C 4 + C 1 3C 6 0 0 8 8 : C 3 C 1 + 3C 6 0 0 4 4 : C + C 1 3C 6 La matriz final es escalonada, luego las tres primeras filas son linealmente independientes, pero éstas en realidad son: C 1 = [f(v { 1 )] B, C 6 C 1 = [f(v 6 )] B [f(v 1 )] B = [f(v 6 v 1 )] B y C 5 C 6 +C 1 = [f(v 5 v 6 + v 1 )] B. Por lo que f(v 1 ), f(v 6 v 1 ), f(v 5 v 6 + v 1 ) es base de Img(f) (rg(a) = dim(img f) = 3). Las tres filas restantes de la matriz son cero, en realidad: 0 = C 4 + 1 C 1 3 C 6 3 C 5 = [f(v 4 + 1 v 1 3 v 6 3 v 5)] B 0 = C 3 + C 6 + C 5 = [f(v 3 + v 6 + v 5 )] B 0 = C C 6 C 5 = [f(v v 6 v 5 )] B luego los vectores v 4 + 1 v 1 3 v 6 3 v 5, v 3 +v 6 +v 5 y v v 6 v 5 son vectores de ker(f). Como son linealmente independientes (ver justificación en Anexo 1, pág 185) y dim(ker f) = 6 dim(img f) = 3, forman una base del ker(f). Definición 35.- Si f: R n R m es una aplicación lineal, a la matriz de f asociada a las bases canónicas de R n y R m, se le llama la matriz estándar. Definición 36.- Para cada matriz A m n, la aplicación f: R n R m definida por f(x) = Ax es lineal y A es la matriz estándar de f. Se dice que f es una aplicación matricial. 14..1 Composición de aplicaciones lineales Aplicación y función tienen el mismo significado (aunque esta última denominación es la que suele usarse en los temas de Cálculo) por lo que la definición siguiente no debe plantear sorpresas: Definición 37.- Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta de f y g, a la aplicación g f: V U definida por (g f)(v ) = g(f(v )), v V.

165 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14.3 Teorema de Semejanza Proposición 38.- Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales, con dim V = n, dim W = m y dim U = p, y sean B 1, B y B 3 bases de V, W y U, respectivamente. Entonces: a) g f es una aplicación lineal. b) Si A m n es la matriz asociada a f respecto de las bases B 1 y B, y C p m es la matriz asociada a g respecto de B y B 3, entonces CA p n es la matriz asociada a g f respecto de las bases B 1 y B 3. a) (g f)(λu + µv) = g(f(λu + µv)) = g(λf(u) + µf(v)) = λg(f(u)) + µg(f(v)) = λ(g f)(u) + µ(g f)(v). b) Teniendo en cuenta que [g(w )] B3 = C[w ] B y [f(v )] B = A[v ] B1, 14.3 Teorema de Semejanza [(g f)(v)] B3 = [g(f(v))] B3 = C[f(v)] B = CA[v] B1 ; v V. Proposición 39.- Sea f: V W una aplicación lineal entre espacios vectoriales, B 1 y B1 dos bases de V y B y B dos bases de W. Si A 1 es la matriz de f asociada a las bases B 1 y B, P la matriz de cambio de base la base B1 a la base B 1 y Q la matriz de cambio de base de B a B ; entonces la matriz, A, de f asociada a las bases B1 y B viene dada por A = QAP QAP [v ] B 1 = QA[v ] B1 = Q[f(v )] B = [f(v )] B = A [v ] B, v V. Luego A = QAP. Teorema de semejanza 330.- Sean f: V V, un operador lineal, A 1 la matriz de f respecto de una base B 1 de V, A la matriz de f respecto de otra base B y P la matriz de paso de B a B 1. Entonces A = P 1 A 1 P Observación: Una manera de recordar bien este proceso es tener en cuenta los diagramas siguientes, donde la obtención de las nuevas matrices se reduce a la búsqueda de caminos alternativos: A = QAP P V B 1 f W A B Q B 1 A B P V f V A B 1 1 B1 P 1 A B B A = P 1 A 1 P No hay que olvidar, que las matrices se operan en orden inverso (las matrices multiplican a los vectores por la izquierda, sucesivamente). Obviamente, el Teorema de Semejanza es un caso particular de la Proposición 39. Definición 331.- Dadas dos matrices A y B de orden n, se dice que A y B son semejantes si existe una matriz P inversible tal que B = P 1 AP. Corolario 33.- Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases. Corolario 333.- Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango.

166 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14.4 Ejercicios 14.4 Ejercicios 14.41 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: a) f: R R definida por f(x, y) = ( 3 x, 3 y) b) f: R 3 R definida por f(x, y, z) = (x + y, 3y 4z). ( ) a b c) f: M R definida por f = a c d + b. 14.4 Sea f: V W una aplicación lineal. a) Probar que ker f es un subespacio de V b) Probar que Img f es un subespacio de W 14.43 Sean V un espacio vectorial y T : V V la aplicación lineal tal que T (v ) = 3v. Cuál es el núcleo de T? Cuál es la imagen de T?. 14.44 Sea A una matriz de tamaño 5 7 con rango 4. a) Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0?. b) Ax = b tiene solución para todo b de R 5? Por qué?. 1 3 4 x 14.45 Sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal dada por la fórmula T (x, y, z) = 3 4 7 y. 0 z a) Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas. b) Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación (cartesiana). 14.46 Sea B = {v 1 = (1,, 3), v = (, 5, 3), v 3 = (1, 0, 10) una base de R 3 y f: R 3 R una aplicación lineal para la que f(v 1 ) = (1, 0), f(v ) = (0, 1) y f(v 3 ) = (0, 1). a) Encontrar una matriz de la aplicación f indicando las bases a las que está asociada. b) Calcular f(v 3 v v 1 ) y f(1, 1, 1). 14.47 Encontrar la matriz estándar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes: x 1 x 1 + x + x 3 a) f x = x 3 x 1 + 5x x 3 b) f x 1 x x 3 x 4 = x 4 x 1 x 3 x 1 x 3 Encontrar una base del nucleo y otra de la imagen, para cada una de ellas c) f x 1 x x 3 x 4 = x 4 x 1 x 1 + x x x 3 14.48 Sea T : R 3 W la proyección ortogonal de R 3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0. Hallar una fórmula para T y calcular T (3, 8, 4). 14.49 Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f(u) = f(v ) = u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker f = {0. 14.50 Sea T : R R 3 la transformación lineal definida por T (x 1, x ) = (x 1 + x, x 1, 0). a) Encontrar { la matriz de la aplicación T en las { bases: B 1 = u 1 =(1, 3), u =(, 4) y B = v 1 =(1, 1, 1), v =(,, 0), v 3 =(3, 0, 0). b) Usar la matriz obtenida en el apartado anterior para calcular T (8, 3). ( ) ( ) ( ) a11 a 14.51 Sea f: M M definida por: f 1 1 a11 a = 1 y sean las bases B a 1 a 0 1 a 1 a c (hace {( el papel) de( la canónica) ) ( y B) de ( M ) : {( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 B c =,,, B =,,, 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

167 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14.4 Ejercicios a) Demostrar que f es lineal. b) Cuál será el tamaño de la matriz de f asociada a la base B c? Hallarla. c) Hallar el núcleo y la imagen de f así como sus dimensiones y bases. d) Hallar la matriz de f respecto de la base B. 3 1 0 14.5 Sea A = 1 6 1 la matriz de la aplicación lineal T : R 4 R 3 respecto de las bases: 3 0 7 1 { B = v 1 = (0, 1, 1, 1), v = (, 1, 1, 1), v 3 = (1, 4, 1, ), v 4 = (6, 9, 4, ) y { B = w 1 = (0, 8, 8), w = ( 7, 8, 1), w 3 = ( 6, 9, 1). a) Hallar [T (v 1 )] B, [T (v )] B, [T (v 3 )] B y [T (v 4 )] B. b) Encontrar T (v 1 ), T (v ), T (v 3 ) y T (v 4 ). c) Hallar T (,, 0, 0). 14.53 Sea T : R R la aplicación lineal definida por ( ) ( ) x1 x1 + 7x T =. x 3x 1 + 4x Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base { B, siendo { B = u 1 = (, ), u = (4, 1) y B = v 1 = (1, 3), v = ( 1, 1). 14.54 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(a) = det(b). 14.55 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces A y B también lo son. 14.56 Dado el operador lineal T : R 3 R 3 tal que [T (x)] B = A[x] B siendo: a 1 { A = 1 a 1 y B = u 1 = (1, 1, 0), u = (0, 1, 1), u 3 = ( 1, 0, 0) 1 a a) Calcular los subespacios ker(t ) y Img(T ) según los valores de a. b) Hallar la matriz estándar de T. 14.57 Sean f: V W una aplicación lineal y S = {v 1, v,..., v n un conjunto de vectores de V. Probar que si el conjunto {f(v 1 ), f(v ),..., f(v n ) es linealmente independiente, entonces S es linealmente independiente. Es cierto el recíproco? Justificar la respuesta. 14.58 Sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal T = x 1 x x 3 = λx 1 + µx + x 3 x 1 + λµx + x 3 x 1 + µx + λx 3. Se pide: a) Encontrar los valores de λ y µ para los cuáles la imagen de T sea R 3. Quién es en ese caso el núcleo? b) Para λ = 1, encontrar una base del núcleo. c) Sea λ = 1 y µ = 0. Se pide: (c.1) Encontrar { la matriz de T respecto de la base B = u 1 = ( 1, 0, 1), u = (0, 1, 0), u 3 = (4, 1, ) {. (c.) Dada la base B 1 = v 1 =(1, 1, ), v =(1, 1, 0), v 3 =( 1, 1, 1), encontrar la matriz de paso de B a B 1. (c.3) Encontrar la matriz de T en la base B 1 aplicando el teorema de semejanza. 14.59 Sea T : R 3 R una aplicación lineal tal que: { x + y + z = 0 (i) ker(t ) = (ii) T 0 0 = x + y + z = 0 1 ( 0 1 ) (iii) T 1 0 1 ( ) = 1

168 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14.4 Ejercicios a) Obtener una matriz asociada a T, indicando respecto a que bases. b) Calcular las ecuaciones paramétricas de la imagen del subespacio x + y + z = 0. { 14.60 Sean B p = {p 1, p, p 3, p 4 una base de P 3 [X] (polinomios de grado menor o igual a 3), B 1 = v 1 = (0, 1, 0), v =(1, 1, 1), v 3 =(0, 0, 1) una base de R 3 y f: P 3 [X] R 3 una aplicación lineal verificando: (i) f(p 1 )=f(p +p 4 )=f(p p 3 ) (ii) f(p )=v 1 +v 3 v (iii) f(p 4 )=(3, 3, ) a) Encontrar A p1 la matriz de la aplicación f en las bases B p y B 1. 1 1 0 b) Es 1 0 0 la matriz de paso, P c1, de la base canónica de R 3 a B 1? Justificar la respuesta 1 0 1 y, en caso negativo, hallar P c1. { c) Sea B q = q 1 = X X 3, q = X 1, q 3 = 1 X, q 4 = X +X otra base de P 3 [X] para la cuál, las 0 0 0 matrices M qp = 1 3 0 6 5 3 0 1 1 0 y A q1 = 3 1 0 3 son respectivamente, la matriz de 3 3 1 0 0 0 1 paso de B q a B p y la matriz de f en las bases B q y B 1. Con estos nuevos datos, cómo se puede comprobar que la matriz A p1 calculada antes es la correcta? d) Hallar bases de ker(f) e Img(f), obteniendo los vectores concretos que las forman. { e) Probar que B = w 1 = ( 1,, 1), w = (0, 1, 1), w 3 = (, 1, 0) es base de R 3 y obtener la matriz de paso, P 1, de la base B en la base B 1. f) A partir de las matrices anteriores, dar la expresión del cálculo de las matrices: A p de la aplicación f en las bases B p y B M pq de paso de la base B p en la base B q A q de la aplicación f en las bases B q y B g) Pueden conocerse los vectores que forman B p? Cómo?, de ser posible o, por qué no?