3. DIVISIBILIDAD a es divisible por b si al dividir a entre b, el resto de la división es 0. Es decir : Si a es divisible por b, diremos que: a es múltiplo de b b es divisor de a Un número es primo si sólo es divisible por el 1 y él mismo. Eratóstenes 1.- Escribe 5 múltiplos de: a) 3:.. b) 4:.. c) 5:. d) 10: e) 15:..f) 100:. 1
2.- Escribe los múltiplos comprendidos entre 300 y 350 de: a) 10:... b) 20: c) 3:.. d) 25:... e) 6:.. f) 40:. 3.- Escribe los divisores de : a) Div(12)=. b) Div(20)=. c) Div(24)=.. d) Div(120)= e)div(100)=. f) Div(39)=... 4.- Escribe los números del 50 al 100 que sean divisibles por: a) 3:.. b) 5:.. c) 10:. d) 4:.. e) 11:. 5.- Rodea con un círculo los números primos : 12 11 15 29 113 93 48 23 61 225 129 2
6.- Calcula el primer múltiplo de 33 que sea mayor que 500. 7.- Escribe todos los divisores de 2 cifras del número 350 8.- Clasifica los siguientes números en primos y compuestos. Para ello calcula sus divisores: DIVISORES : DIVISORES: DIVISORES: TIPO: TIPO: TIPO: DIVISORES: TIPO: DIVISORES: DIVISORES: TIPO: TIPO: 9.- Escribe los números primos comprendidos entre 70 y 90 10.- Completa con los siguientes números: es múltiplo de 5, y 5 es divisor de 8 es múltiplo de y es divisor de es múltiplo de 3 y es divisor de 3
REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 ( número par) si la última cifra es 0,2,4,6,8 Un número es divisible por 3 sumamos todas sus cifras y el resultado es un número múltiplo de 3 Un número es múltiplo de 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4 Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5 Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0 Un número es divisible por 11 si después de sumar sus cifras en posición par por un lado y las cifras en posición impar por otro, restamos las dos cantidades obtenidas y resulta 0 o un múltiplo de 11 1.- Indica si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 4, 5, 10 y 11. Número 2 3 4 5 10 11 12528 5610 11111 3495 4503 4
2.- Escribe la cifra que falta para que el número correspondiente sea divisible entre 3: a) 39 2 b) 522 c) 1 11 2 DESCOMPOSICIÓN EN PRODUCTO DE FACTORES. MCD y MCM. Si escribimos 28 = 4 7, diremos que hemos descompuesto 28 en producto de dos factores, 4 y 7. Pero no es la única descomposición posible de 28. También podríamos haber escrito 28 = 2 2 7. En este caso habríamos descompuesto 28 en producto de tres factores. 1.- Descompón en producto de 2 factores los números: a) 45 = b) 24 = c) 130 = d) 156 = 2.- Descompón en producto de 3 factores los números: a) 45 = b) 24 = c) 130 = d) 156 = 3.- Descompón cada número en el número máximo de factores (no necesariamente distintos todos ellos): a) 120 = b) 90 = c) 325 = d) 200 = 5
a 1 a 2... a r a si a 1, a 2,..., a r son números primos y a = a 1 a 2... a r Diremos que es una descomposición en factores primos de Para realizar la descomposición de un número en producto de factores primos procederemos con el siguiente algoritmo: IMPORTANTE: Todos los números situados a la derecha de la línea vertical deben ser números primos 4.- Realiza la descomposición en factores primos de los números: a) 64 = b) 120 = c) 242 = d) 1014 = e) 1260 = f) 135 = 6
Utiliza el algoritmo anterior. 5.- Intenta descubrir qué página de un libro estoy leyendo si la página de su derecha sumada con la página en la que estoy da 149. 6.- Calcula qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales: a) 2 2 3 = b) 5 3 2 3 2 = c) 2 3 7 2 11 = d) 2 4 3 3 5 = Llamamos mínimo común múltiplo (mcm) de unos números al menor de los múltiplos comunes de dichos números. Llamamos máximo común divisor (mcd) de unos números al mayor de los divisores comunes de dichos números Si quisiéramos calcular el mcm ( 24, 36 ) deberíamos elaborar una lista de los múltiplos de cada uno y de los comunes, elegir el más pequeño: 24 24, 48, 72, 96, 120, 144,.. 36 36, 72, 108, 140,. Por tanto mcm ( 24, 36 ) = 72 El procedimiento para calcular el mcd es similar. Vamos a calcular el mcd (24,36). En primer lugar calculamos todos los divisores de ambos números, para elegir el mayor de los que sean comunes: Divisores de 24 2, 3, 4, 6, 12, 24 7
Divisores de 36 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Por tanto el mcd ( 24, 36 ) = 12 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números: 9 y 12 36 y 28 12, 34 y 15 21 y 28 14, 36 y 49 ALGORITMO DE CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 1º Descomponemos los números en factores primos. 2º Tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. 3º Multiplicamos dichos factores Ejemplo: m.c.m (12, 30, 21) 1º 12 = 2 2 3 30 = 2 3 5 21 = 3 7 2º Tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente: 8
2 2, 3, 5 y 7 3º Multiplicamos los factores: 2 2 3 5 7 = 420 m.c.m (12, 30, 21) = 420 ALGORITMO DE CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 1º Descomponemos los números en factores primos. 2º Tomamos los factores comunes con el menor exponente. 3º Multiplicamos dichos factores Ejemplo: m.c.d (12, 30, 21) 1º 12 = 2 2 3 30 = 2 3 5 21 = 3 7 2º Tomamos los factores comunes con el menor exponente: 3 3º Multiplicamos los factores: 3 = 3 m.c.d (12, 30, 21)=3 1. Los autobuses de las líneas 25 y 34 salen de la misma parada. Pero sus frecuencias no son las mismas: el autobús 25 sale cada 10 minutos y el autobús 34 sale cada 35 minutos. Son las 7 y cuarto de la mañana y acaba de salir un autobús de la línea 25 y otro de la línea 34. Cuándo volverán a coincidir? 9
2.- Calcula: mcm ( 4, 18 )= mcd ( 60, 200 )= mcm ( 365, 30 )= mcd ( 45, 60 )= mcm ( 35, 45, 150 )= mcd ( 24, 60, 80 )= mcm ( 6, 15, 18 )= mcd ( 18, 24, 30 )= mcm ( 4, 6, 21, 27 )= 3.- Tengo entre 30 y 40 CD s. Puedo contarlos de 2 en 2, de 4 en 4 y de 6 en 6, sin que en ningún caso me sobre ningún CD. Cuántos CD s tengo? 4.- En una carrera de 15 km hay un puesto de agua cada 3 km y un control de cronometraje cada 2 km. En qué punto kilométrico coincidirán el puesto de agua y el control de cronometraje? 10
5.- En mi clase podemos hacer equipos de 2, de 4 o de 7 alumnos, sin que sobre ni falte ningún alumno. Si somos menos de 32 alumnos en clase, cuál es el número exacto de alumnos que hay? 6.- Cuatro amigos van a una pizzería. Las pizzas están divididas en 6 porciones cada una y todos van a tomar el mismo número de porciones. Cuántas pizzas deben pedir como mínimo? 7.- Ana tiene 49 periódicos y los quiere repartir en montones iguales. De qué forma puede realizar Ana ese reparto? Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso 2013-2014. 11