Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2015 Semana 1: Guía de Ejercicios de Complemento, lunes 9 viernes 13 de Marzo Contenidos Clase 1: Elementos de lógica: conectivos, tablas de verdad, tautologías y contingencias. Clase 2: Demostraciones y razonamientos lógicos. Conjuntos: denición y operaciones 1. Ejercicios propuestos 1.1. Verique que ((p = q) (q = p)) (p q) es una tautología a través del uso de una tabla de Verdad. 1.2. Si (p q) t, pruebe que la siguiente proposición es una tautología 1.3. Pruebe que {[(p q) (q p)] (p q)} q p (q = t) F 1.4. Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en un conjunto Universo U, tales que A B = y C B. Pruebe que: [ A C (B C) C] [( B C A C) A C] = A 1.5. Si A B y C B. Usando propiedades de conjuntos verique que se cumple: [(A B) c C] (A B) = B 1.6. Identique cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuales son compuestas: a) Estoy en la casa o en la universidad. b) Gabriela está trabajando. c) Si multiplicamos por cero, el producto siempre es igual a cero. d) Si gano suciente, voy a un viaje. 1.7. Si p es la proposición "Luisa quiere a Supermán" y q la proposición "Supermán quiere a Luisa", exprese con palabras las proposiciones: a) (p q). b) p q. c) p q. MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 1
1.8. Pruebe que: (a) B (A B) = (c) (A c B) c (A c B c ) c = A (e) (A B c ) B = A B (b) (A B) (B C) c = (A B c ) C c (d) [A (B A c )] [A c B c C] = A B C (f) (A B) (A B c ) = A 1.9. Sea p: llueve, q: hace frio, r: voy a la esta. Exprese en lenguaje cotidiano las siguientes proposiciones: a) (p q) r b) (p q) r c) ( p q) r. 1.10. De los enunciados siguientes decida cuáles son verdaderos: 1. 10 es par y termina en cero. 2. 10 es par y 3*3=9 3. 10 es par y 9 también 4. 13 es par o 13 termina en cero 5. 13 es par o 2*2=4 6. Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7, si sólo si, 1 + 1 = 2 7. Si 2 + 2 = 4, entonces no es cierto que 2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10. 1.11. ¾Cuáles de los siguientes enunciados compuestos son verdaderos? a) p q p q b) p q (p q) ( p q) c) (p q) ( p q) (p q) 1.12. El conectivo proposicional se llama conjunción negativa. Para dos proposiciones p y q se anota p q, se lee "ni p ni q". a) Construir la tabla de verdad de p q b) Probar que : i) p p p ii) p q (p p) (q q) iii) p q (p q) (p q) 1.13. Niegue y luego simplique las proposiciones resultantes: 1. p (q r) (p q r) 2. (p q) r 3. p (q r) 4. (p q) (p q r) MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 2
2. Ejercicios propuestos que incluyen respuesta 2.1. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes a) El café es agradable, a menos que se le agregue azúcar. b) El café es agradable si no le agregamos azúcar c) Si agregamos azúcar, el café es agradable d) Si agregamos azúcar, el café no es agradable 2.2. Determinar si la siguiente proposición compuesta p = (p [p q]) es o no Tautología 2.3. Determinar si las siguientes proposiciones son Tautología, Contradicción o Contingencia a) [(p q) p] q b) [p (q p)] (q p) c) [p (p r)] [q (q p)] d) [p ((r q) p)] (q p) 2.4. Pruebe si la siguiente proposición (p = q) = (p q)es o no una Tautología 2.5. Se dene el siguiente conectivo lógico (p q) (q (q p)) Determine el valor de verdad de p p. 2.6. Sean p y q dos proposiciones. sabiendo que r es una proposición falsa, determine el valor de verdad de la siguiente proposición [p = (q = r)] = [(p q) = r] 2.7. Si (p r) es verdadera, entonces la proposición: Es tautología, contradicción o contingencia. [(p = s) = r] (s r) 2.8. Si p es una proposición Verdadera, determinar el valor de verdad de la proposición q, de modo que la proposición compuesta (p q) [(p q) F ] sea Verdadera. 2.9. Si la Proposición compuesta (p q) (p r) es Falsa, determinar el valor de verdad de la proposición (q r) p. 2.10. Escribir por extensión los conjuntos: 2.11. Se denen los siguientes conjuntos A = {2, 4, 6, 8} { 1 B = 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 } 7 U = R A = {x Z / 5 x < 6} B = [ 3, 10] [12, 14] C = {x U /4x 2 < 6} Exprese claramente los siguientes conjuntos: A B, (B C) A, C c A. 2.12. Considere el conjunto Universo U = {x IN /x es múltiplo de 3 5 < x 18} y los conjuntos A = {x U /x es par x 8} y B = {x U /x es múltiplo de 4 }, Obtener el conjunto (A B) c (A B) MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 3
3. Ejercicios Resueltos 3.1. Usando tablas de verdad muestre o refute que [p (p q)] q (p q) 3.2. Simplicar usando propiedades [p (p q)] [p q] 3.3. Simplicar usando propiedades [(p q) q] p 3.4. Muestre que [p (p q)] (p q) es equivalente con p utilizando propiedades y tabla de verdad. 3.5. Demostrar (p q) q p q. 3.6. Determinar una forma proposicional A (p, q, r) cuya tabla de verdad sea la siguiente: 3.7. p q r A (p, q, r) V V V F V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V F F F F V Consideremos el nuevo conectivo lógico, (p q) se lee ni p, ni q. (p q) es verdadera si y solo si p y q son ambas falsas, demostrar las siguientes equivalencias lógicas: 1. p (p p) 2. p q ((p q) (p q)) 3. p q ((p p) (q q)) 3.8. Sean p y q dos proposiciones. Denamos la proposición p q (Existe una proposición τ tal que (p = τ) (τ = q)) Pruebe que p q (p = q) 3.9. Pruebe que: B [(B c A) c (A B) c ] = B A 3.10. Demuestre usando algebra de conjuntos {[A c (A B)] [A c (A B)]} = B A 3.11. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: a) (A B) [(A B) (B A)] = A B b) Demostrar que si A c B = A B entonces B = MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 4
Respuestas y desarrollos 2.1 Las proposiciones a y d 2.2 Es Tautologia 2.3 a) Contingencia. b) Tautología. c) (p q) (Contingencia) d) p Contingencia. 2.4 Si es una Tautología. 2.5 Falso 2.6 Tautología. 2.7 Contradicción. 2.8 La proposición es una Tautología, para q Verdadera o Falsa. 2.9 Verdadera. 2.10 A = {x N /(x es par) x < 10} B = { 1 n /n N 2 n 7} 2.11 A B = { 5, 4}, (B C) A = A, C c A = {2, 3, 4, 5}. 2.12 (A B) C (A B) = {9, 15}. 3.1 La tabla es luego es una tautología. p q p q p (p q) [p (p q)] q [p (p q)] q (p q) V V V V V V V F F V F V F V F F F V F F F F F V 3.2 [p (p q)] [p q] [p (p q)] [p q] [p q] [p q] [p q] [p q] [p q] [p q] q [p p] q Propiedad utilizada Morgan Distributividad, p p V y V p p p q p q Morgan Distributividad MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 5
3.3 3.4 Usando tablas de verdad [(p q) q] p [ ] (p q) q p [(p q) q] p V p (p V ) (V p) (p V ) (F p) V p p Propiedad utilizada Pues p q p q Morgan Pues q q V y asociatividad Pues p q {(p q) (q p)} Pues p q p q p V p y F p p V p p p q p q p q p (p q) p q [p (p q)] (p q) V V F F F V V V V F F V F V V V F V V F V V F F F F V V F F V F comparando los valores de verdad de p y [p (p q)] (p q) se sigue que son equivalentes. Ahora usando propiedades pero {[p (p q)] (p q)} {[(p p) (p q)] (p q)} {(p q) (p q)} {[V (p q)] (p q)} {(p q) (p q)} {(p q) (p q)} {(p q) (p q)} { } { } (p q) (p q) (p q) (p q) {(p q) (p q)} {(p q) (p q)} {(p q)} {(p q)} p (q q) p F p MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 6
3.5 (p q) q ((p q) q) (q (p q)) ((p q) q) (q (p q)) ((p q) q) (q (p q)) ((p q) q) ((q q) p) ((p q) q) (V p) ((p q q)) V (p q) (q q) (p q) V p q. 3.6 Mirando las líneas de la tabla en las cuales A es verdadera podemos interpretar A por: (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) = A (p, q, r) esta expresión se puede simplicar a A (p, q, r) = (p q) (q r) Explicación un poco más detallada: La forma (p q r) es verdadera si y solo si p es verdadera, q es falsa y r es falsa, lo que hacemos es crear formas que sean verdaderas solo para una combinación en la cual A (p, q, r) es verdadera, después conectamos tales formas con el conectivo esta forma será verdadera si alguna de ellas es verdadera. 3.7 1. Se pueden construir tablas de verdad para demostrar estas propiedades: se sigue p (p p) p p (p p) V F F F V V 2. 3. p q (p q) (p q) (p q) (p q) V V V F F V F V F F F V V F F F F F V V p q (p q) (p p) (q q) (p q) (p q) V V V F F V V F F F V F F V F V F F F F F V V F se sigue (p q) (p q) (p q) 3.8 ( ) Como p q es verdadera, existe una proposición τ tal que Luego, por transitividad se tiene que p q. (p τ) (τ q). MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 7
( ) Como p q es verdadera, se puede armar que Luego; ( τ = p tal que (p τ) (τ q)) p q p q (p = q) B [(B c A) c (A B) c ] = B [(B A c ) (A c B c )] = B [A c (B B c )] 3.9 = B [A c ] = (B A c ) = A B 3.10 {[A c (A B)] [A c (A B)]} = {[(A c A) (A c B)] [A c (A B c )]} = {(A c B) } = A c B = B A 3.11 1. Vamos a demostrar utilizando álgebra de conjuntos, en especial las propiedades G F = G F c (G F ) c = G c F c (G F ) c = G c F c y distributividad G (F D) = (G F ) (G D) G (F D) = (G F ) (G D) así (A B) [(A B) (B A)] = (A B) [(A B) (B A)] c = (A B) [(A B) c (B A) c ] = (A B) [(A B c ) c (B A c ) c ] = (A B) [(A c B) (B c A)] = (A B) (A c B) (B c A) = B (A A c ) (B c A) = B (B c A) = (B B c ) (B A) = (B A) 2. Notemos que A B = A (A B) = A (A c B) = MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 8
se sigue A c B = A B = de donde obtenemos B = B (A A c ) = (B A) (B A c ) = = MAT021 Primer Semestre 2015 (Complemento) 9