UNIDAD 5: Curvas y superficies 5.A. Cónicas En un principio se estudiaron las curvas que quedaban determinadas cuando se cortaba un cono recto con planos en distintas posiciones respecto de la base del cono. Posteriormente, con la ayuda de las expresiones analíticas se pudieron establecer las características de cada una de ellas generalizando lo observado. 5.A.1 LUGAR GEOMÉTRICO Se denomina así al conjunto de puntos del plano que cumplen con una propiedad métrica determinada. En el caso de las cónicas existe siempre al menos un punto llamado foco y una recta llamada directriz. Estos elementos no pertenecen a la cónica, sólo la definen. 5.A.2 Las cónicas como lugar geométrico Se dice quela cónica está en posición estándar cuando el centro en el caso de elipse o hipérbola, o el vértice en el caso de la parábola están en el origen de coordenadas. Se denomina elipse al lugar geométrico cuyos puntos cumplen: la suma de las distancias de cada uno de ellos a los focos es una constante. PF PF 2a 1 2 Observación: la recta que contiene a los focos, llamada eje focal, es eje de simetría de los puntos de la elipse, los vértices A y A son invariantes. La recta perpendicular al eje focal Prof. Liliana Collado Página 1
que contiene al centro de la elipse, es también eje de simetría y los vértices B y B son invariantes. El centro O es centro de simetría de los puntos de la elipse. La parábola es el lugar geométrico de los puntos que cumplen: la distancia de cada punto al foco es igual a a la distancia de dicho punto a la directriz. El punto O pertenece a la parábola su distancia al foco como a la directriz es un parámetro llamado p. Observación: el eje que contiene al foco es eje de simetría de los puntos de la parábola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen: la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a los focos es una constante. PF PF 2a 1 2 Observación: el eje focal es eje de simetría y la recta perpendicular al eje focal que contiene al centro de la hipérbola, también es eje de simetría. 5.A.3 Las cónicas como expresiones cuadráticas Toda cónica puede expresarse algebraicamente como una ecuación de segundo grado con las siguientes características: En la que son términos de segundo grado mientras que son términos lineales y es el término independiente. En una primera instancia estudiaremos las cónicas sin rotación, por lo que el coeficiente B es nulo. Elipse: tiene los términos cuadrados A y C no nulos y de igual signo y A.C >0. Prof. Liliana Collado Página 2
Hipérbola : tiene los términos cuadrados A y C no nulos y de distinto signo y A.C <0. Parábola: tiene uno de los dos términos cuadrados no nulo y el término lineal de la otra variables y la expresión es o 5.A.4 Ecuaciones canónicas de las cónicas Ejes, centro y vértices de la elipse: En la gráfica se observa una elipse con: centro en el origen de coordenadas los focos ubicados en el eje x, que es el eje focal a una distancia c del centro. los vértices V1 y V2 están a una distancia a del centro. los vértices V3 y V4 están a una distancia b del centro. Estas distancias están relacionadas ya que si se ubica un punto A coincidente con el vértice V3 se observa que cumple con la propiedad métrica de cualquier punto de la elipse: y como a es, por ejemplo, la hipotenusa del triángulo rectángulo se comprueba que, esto significa que a es mayor que b y que c, por lo que se le denomina semieje mayor; b es la distancia de los vértices V3 y V4 al centro, en eje secundario y se lo llama semieje menor, en tanto c es la distancia de cualquiera de los focos al centro y se le denomina distancia focal. Estas medidas sirven para construir la elipse y una sencilla forma para hacerlo es la siguiente: se colocan dos alfileres a cierta distancia, esos indicarán las ubicaciones de los focos, se utiliza una cuerda con una longitud mayor a dos veces la distancia entre los focos (2c)ya que los vértices principales están a (2a) entre sí. Se estira la cuerda de modo de indicar un punto de la elipse. Y se marcan todos los otros puntos Prof. Liliana Collado Página 3
moviendo la cuerda alrededor de los focos, así cada punto cumplirá con la condición métrica de la elipse. El Lado Recto es la cuerda focal perpendicular al eje focal cuya longitud es. Los extremos de ese segmento son puntos de la elipse por lo que son necesarios para su construcción. La ecuación canónica de la elipse es: Cuando el centro de la elipse coincide con el origen de coordenadas : Si el centro está trasladado a otro punto del plano, Ya que así se expresan las coordenadas del vector la elipse., siendo P(x,y) un punto cualquiera de Relación entre la ecuación general y la ecuación reducida o canónica Sea la ecuación general de la elipse. Determinar su ecuación canónica. Se reúnen los términos de acuerdo a la variable: Se extraen los factores de modo tal que las expresiones cuadradas queden con coeficiente 1 Se completan cuadrados de modo tal de no modificar la ecuación dada: Se expresan los binomios aplicando también la propiedad distributiva: Se reúnen todos los términos independientes y se expresan en el otro miembro de la igualdad: Se divide por el término independiente para que quede igualado a 1: Quedando la ecuación reducida buscada: Prof. Liliana Collado Página 4
De acuerdo a lo expresado ahora el eje focal es una recta paralela al eje y ya que el mayor valor corresponde a la fracción de la variable y. La elipse encontrada tiene centro semieje mayor y semieje menor. Cálculo de c Entonces los focos son:, Los vértices son:,,, El lado recto es Los extremos del lado recto para el foco F1 son:, Los extremos del lado recto para el foco F2 son:, Graficando queda: Ejes, centro, vértices y asíntotas de la hipérbola: En la gráfica se observa una hipérbola con: centro en el origen de coordenadas los focos ubicados en el eje x, que es el eje focal a una distancia c del centro. los vértices V1 y V2 están a una distancia a del centro. los puntos A y A están a una distancia b del centro. Estas distancias están relacionadas ya que si se ubica un punto coincidente con el vértice A, que es el punto medio del lado menor del rectángulo que se forma con las medidas a y b, se observa que cumple con la propiedad métrica de cualquier punto de la elipse: y como a es, en este caso, un cateto del triángulo rectángulo se Prof. Liliana Collado Página 5
comprueba que, esto significa que c es mayor que a y que b, siendo a la semidistancia entre los vértices A y A. El Lado Recto es la cuerda focal perpendicular al eje focal cuya longitud es. Las asíntotas de la hipérbola son rectas que delimitan la trayectoria de cada una de las ramas, estas se acercan a ellas sin tocarlas. Las asíntotas son las diagonales del rectángulo que contiene a los vértices y que tiene como lados las distancias 2a y ab. Si la hipérbola tiene centro en el origen de coordenadas las ecuaciones de las asíntotas son:, Si la hipérbola está trasladada y su centro es C(h,k) las asíntotas serán:, La ecuación canónica de la hipérbola es: Cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas : Si el centro está trasladado a otro punto del plano, Ya que así se expresan las coordenadas del vector la hipérbola., siendo P(x,y) un punto cualquiera de Relación entre la ecuación general y la ecuación reducida o canónica Sea la ecuación general de la elipse. Determinar su ecuación canónica. Se reúnen los términos de acuerdo a la variable: Se extraen los factores de modo tal que las expresiones cuadradas queden con coeficiente 1 Prof. Liliana Collado Página 6
Se completan cuadrados de modo tal de no modificar la ecuación dada: Se expresan los binomios aplicando también la propiedad distributiva: Se reúnen todos los términos independientes y se expresan en el otro miembro de la igualdad: Se divide por el término independiente para que quede igualado a 1: Quedando la ecuación reducida buscada: De acuerdo a lo expresado ahora el eje focal es una recta paralela al eje y ya que el mayor valor corresponde a la fracción de la variable y. La hipérbola encontrada tiene centro Cálculo de c Entonces los focos son:, Los vértices son:,,, El lado recto es Los extremos del lado recto para el foco F1 son:, Los extremos del lado recto para el foco F2 son:, Las asíntotas son L1:, L2: Graficando queda: Prof. Liliana Collado Página 7
Directriz,eje,vértice y foco de la parábola En la gráfica observamos una parábola con : vértice en el origen de coordenadas foco sobre la recta que contiene al vértice, llamada eje focal directriz perpendicular al eje focal a la misma distancia p del vértice que el foco, este parámetro es indispensable para determinar la ecuación. Las ramas de la parábola se desarrollan de modo tal que todos sus puntos son simétricos respecto del eje focal. Como el vértice pertenece a la parábola la distancia del foco a él es la misma que la distancia a la directriz desde él. siendo M la intersección del eje focal con la directriz. El lado recto es el segmento focal perpendicular al eje focal cuyos extremos son puntos de la parábola y cuya medida es 2p. La ecuación canónica de la parábola es cuando el eje focal es el eje x cuando el eje focal es el eje y cuando el eje focal es paralelo al eje x cuando el eje focal es paralelo al eje y Dirección de las ramas Si el eje focal es paralelo al eje x: Y las ramas se dirigen hacia la derecha del vértice, esto significa que p es positivo. Y las ramas se dirigen hacia la izquierda del vértice, esto significa que p es negativo. Si el eje focal es paralelo al eje y: Y las ramas se dirigen hacia arriba del vértice, esto significa que p es positivo. Prof. Liliana Collado Página 8
Y las ramas se dirigen hacia la abajo del vértice, esto significa que p es negativo. Directriz : su ecuación es una recta paralela a uno de los dos ejes y se determina viendo en la ecuación la variable lineal. x=t, (x-h)=t, y=s, (y-h) =s Ecuación canónica de la parábola Sólo tiene un término cuadrado. Hallar la ecuación de la parábola ubicada en el origen de coordenadas que tiene directriz y=-6 y pasa por el punto (1,3) Sabiendo que la directriz es perpendicular al eje focal, el eje es el eje y, entonces x tomará dos valores simétricos respecto de ese eje: Si el punto pertenece a la parábola verifica su ecuación La ecuación de la parábola es el vértice de la parábola es y el foco es. Hallar la ecuación de la parábola. Sabiendo que vértice y foco pertenecen a la misma recta, observamos que ambos mantienen la ordenada -1, esto significa que el eje focal es paralelo al eje x, entonces: Aplicando la definición de parábola: Entonces calculamos la distancia entre esos dos puntos La ecuación de la parábola es el foco de la parábola es F(-5,1) y la directriz es la recta y=2. Hallar la ecuación de la parábola. La directriz es paralela al eje x, por lo tanto el eje focal es paralelo al eje y La ecuación es La distancia entre F y la directriz es 2p. Calculamos la distancia desde el punto M intersección de la recta directriz con el eje focal, luego M(-5,2) hasta el foco Todavía resta calcular la ubicación del vértice que es el punto medio entre M y F Prof. Liliana Collado Página 9
La ecuación es: 5.A.5Relación de las cónicas con la excentricidad Sea P un punto cualquiera del plano, sea F un punto del plano llamado foco y L una recta llamada directriz, se denomina excentricidad a un número positivo que expresa la relación entre las distancias del punto P al foco y del punto P a la directriz. Se puede definir una cónica como el conjunto de puntos del plano cuya distancia al foco sea E veces la distancia a la directriz. La elipse es el conjunto de puntos del plano en el que se verifica que la excentricidad es menor que 1. La parábola es el conjunto de puntos del plano que verifican que la excentricidad es 1 La hipérbola es el conjunto de puntos del plano que verifica que la excentricidad es mayor que 1. Prof. Liliana Collado Página 10
Ecuación general de la parábola Si igualamos a cero la ecuación canónica ya tenemos la ecuación general A=1,C=0,D=-2h;E=-2p 5.A.7 Identificación de la cónica a través de la ecuación general Sea Si A=C y ambos son no nulos, la cónica es una CIRCUNFERENCIA. Si A =0 o C=0 pero uno solo de ellos cumple esta condición, la cónica es una PARÁBOLA. Si el resultado de A.C >0 la cónica es una ELIPSE. Si el resultado de A.C < 0 la cónica es una HIPÉRBOLA. Los invariantes de la cónica Se denominan invariantes a las estructuras formales matemáticas que permanecen inalterables con los movimientos provocados sobre las curvas. 5.A.6 Propiedades físicas de las cónicas Prof. Liliana Collado Página 11
Las parábolas : Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergen o convergen. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloidal. La elipse: si un rayo de luz incide en un foco, al llegar a la curva se desvía pasando por el otro foco, esto origina una serie de desarrollo tecnológicos para cámaras de sonido o de luz. La propiedad reflexiva de las hipérbolas se usa en lentes telescópicas, así como en un sistema de ubicación por radar como es LORAN, sistema de navegación por radio desarrollado durante la II Guerra mundial, permite determinar la posición de un barco si éste emite señales a dos receptores ubicados a cierta distancia entre ellos, calculando el tiempo que tarda en llegar la señal. Intersecciones de una cónica con una recta Para calcular la intersección de una cónica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dará lugar a una ecuación de segundo grado (ax 2 + bx + c = 0). Al resolver esta ecuación, se obtienen resultados distintos dependiendo del valor que tome el discriminante (Δ = b 2-4ac): Si el discriminante es negativo (b 2-4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son números complejos conjugados), el sistema no tiene solución. La recta no corta a la cónica y se dice que es exterior a ella. Prof. Liliana Collado Página 12
Si el discriminante es nulo (b 2-4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales), la recta corta a la cónica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cónica. Si el discriminante es positivo (b 2-4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cónica. Entonces se dice que la recta es secante a la cónica. Prof. Liliana Collado Página 13
TRABAJO PRÁCTICO N 7: CÓNICAS Parte A: desarrollo en clase Teórica 1-Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-5,12) y radio 13. Decir por qué sí o por qué no la circunferencia pasa por el origen. 2-Identificar la cónica de ecuación. 3-Indicar si es verdadera o falsa la siguiente afirmación, justificando con el desarrollo analítico y gráfico: la recta es tangente a la cónica en (6,-2) 4- Una elipse tiene sus focos en los puntos F(5,0) y F (-5,0) y la constante de formación es 26. Hallar sus elementos característicos y la ecuación reducida. Graficar. 5- Una hipérbola tiene sus focos en (-5,3) y (5,3) y la constante de formación es 6. Hallar sus elementos característico y la ecuación reducida. Graficar. Prof. Liliana Collado Página 14
TRABAJO PRÁCTICO N 7: CÓNICAS Parte C: desarrollo en clase Práctica y para carpeta de Trabajos Prácticos del alumno 1-calcular la excentricidad de la siguiente cónica e identificarla.graficar. 2- Hallar las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 3-Hallar la ecuación general de la parábola de foco y directriz 4- Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección entre las rectas y es tangente a la recta 5-Dada la siguiente gráfica hallar los elementos característicos y la ecuación general de la elipse. 6- Reducir la ecuación 4x 2 + 9y 2-8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. 7- Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x 2-9y 2-8x + 36y + 4 = 0. Hallar su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas. Graficar. 8- Hallar las rectas tangentes a la curva y 2 = 4x que contengan al punto (-1, 0). 9-Averiguar qué valor toma k para que la recta circunferencia sea tangente a la 10-Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse Prof. Liliana Collado Página 15
2x 2 + 3y 2-4x + 6y - 9 = 0. Prof. Liliana Collado Página 16