ª Parte: Sistemas Igualdades, identidades, ecuaciones Una igualdad, (), es una relación de equivalencia 1 entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las epresiones recibe el nombre de miembro. IGUALDAD una epresión otra epresión primer miembro segundo miembro Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica. Ejemplo 1: 5 1 10 Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores. Ejemplo : Las Identidades Notables Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia ( a b) a ab b ( a b) a ab b Diferencia de cuadrados ( a b)( a b) a b Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas. Ejemplo : a) 0 es una ecuación con una incógnita.; b) 1 es una ecuación con dos incógnitas. Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma. Ejemplo. Una solución de la ecuación del ejemplo es -/. Ejercicio 1. Encuentra soluciones de la ecuación --10 Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna. Ejemplo 5. a) -10 tiene dos soluciones, 1-1 b) 10 es una ecuación sin soluciones en R. c) 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-,), (, -)... equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple: Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas: Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando. De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo al revés. Esto se llama trasponer términos. 1 Refleiva, simétrica transitiva.
Ejemplo 6: La ecuación 5-1 - se puede escribir 0, trasponiendo términos. Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0. de primer grado La forma general de esta ecuación es a b 0 con a 0 b Trasponiendo dividiendo por a se llega a. a que siempre eiste es única. Ejemplo 7. a) 0 b) 7 -, si trasponemos términos, nos queda 7 - Luego 5-5 de donde -1 de segundo grado La forma general de una ecuación de º grado es: a b c 0, donde a 0 La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula: Ejemplo 8. 5 6 0 Observación. A D b ± b ac a 5 5 ( 5) ± ( 5).1.6.1 5 5 b ac se llama discriminante de la ecuación de º se verifica: Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas Si D 0 la ecuación tiene una única solución (doble) Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real. incompletas Si c 0 la ecuación se reduce a a b 0 sacando factor común se tiene: 0 (a b) 0 b a b 0 a Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones. Ejemplo 9. -50 (-5)0 0 5 5 0 Si b 0 la ecuación queda a c 0 de donde ± Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que El radicando sea o no positivo. c a 5 5 Ejemplo 10. - 0; 5 ± (dos soluciones) 6
Ejemplo 11. 1 0 Resolución práctica de una ecuación Lo estudiamos con un ejemplo 1 ± (no tiene ninguna solución) 5 1 Ejemplo 1. 1 Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden. 1º Quitar denominadores Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda (-) -(5-1) 6 º Quitar paréntesis Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis 6-9 106 º Trasposición de términos Se disponen todos los términos que llevan en un miembro los demás en el otro. Trasponiendo términos 6 10 9-6 º Reducción de términos semejantes De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: - 1 5º. Despejar la incógnita Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a 0) 1 1 Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite se pasa al siguiente. de primer grado Resuelve 1) ) 5 0 5 1 ) 1 5 1 ) 6
5) 1 6 7) 1 5 1 7 7 8) 11 6 9 ( ) ( 1) 9) 5 8. Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m.c.m. de los denominadores) (-) 0 ( 1) 16 16 0 16 16 0 Reduciendo términos semejantes: 6 16-0- 16-0 -1, 0 5 10) 5 9 ( 1) ( )( ) 5 de segundo grado Resuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no: 1) 0 ) 5-0 ) -0 ) -10
5) - 5 0 5 6) 0 6 5 ± 5 6 8) 1 0 9) 6-50 10) 6 5-10 11) (5-)() 5 1) 0 9 0 1) 1. Multiplicamos por el M.C.M de los denominadores, que es ( ): ( )(-). ( ) 8, agrupando términos organizando la ecuación 6 ± ( ) 0 8 6 ( ) ( 1)( ) 1) 1 ( 1) 1 15) 9 0 16)
Aplicaciones de las ecuaciones de º grado Descomposición en factores del trinomio de º grado. Ejemplo 1.La ecuación 5 6 0 tiene dos raíces r 1 r (comprobarlo). Entonces se puede descomponer en producto de (-) por (-). Es decir: 5 6 (-)(-). Ejercicios Determina los factores de los siguientes trinomios de º grado 1) -16 ) -16 ) - ) 171 5) -57 6) - 0,75 7) 5-6 ) 17 ± 17..1 17 ± 89 168 17 ± 11. Luego 171 ( 1)( 7) 1 7 Resolución de ecuaciones irracionales. Ejemplo 1. 1 0 Se procede de la forma siguiente: 1) Se aísla la raíz: 1 ) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad: (-1)(-) - 16-8 ) Se resuelve a ecuación de º grado que resulta -1 0 0 10 (comprobarlo) ) Se comprueban las soluciones Si 10 Si 10 10 1 0 16-0 Falso, no es solución 1 0-0 Cierto, si es solución.
Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones comprueba las soluciones: 1) ) ) 1 ) 5 1 5) 5 1 6) 1 6. Aislamos una de las raíces: 6 1 Elevamos al cuadrado ( ) ( 6 1) 6 1 1 1 Volvemos a aislar la raíz que nos queda 1 1 1 Elevamos al cuadrado 1(-1) 6961 88-1 6 961 Es decir: 6 1105 0 6 51076 0 6 16 1 50 ± 6.1105 6 51076 0 6 16 5 Comprobamos las soluciones: 1 no es solución pues 1 6 1 15 6 1 5 sí es solución 5 6.5 1 7) 7 1 1 10
bicuadradas Ejemplo 15. La ecuación 5 60 es bicuadrada (es de º grado sin potencias impares). Para resolverla se procede así: Se hace un cambio de incógnita con lo cual Sustituendo en la ecuación: -560 que sí es de º grado podemos aplicar la 5 1 5 ± 5 fórmula: 5 1 Sustituendo los valores en la epresión, ± obtenemos: ± ± En este caso la ecuación tiene soluciones. Ejercicios Resuelve: 1) ) -1 6 ) -1 ) 0. Como es incompleta,.al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común 0 ( ) 0 que tiene sólo la solución (doble) 0 5) -9 0 0 6) 5 0 7) 10 6 8) 5
Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. 1 Ejemplo 16: es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas 0 Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución. Ha tres métodos para resolverlos: Sustitución 1 Ejemplo 17. 0 En la ª ecuación despejamos la la sustituimos en 1ª ecuación ; () 1 11 1 1/11 Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustitue ( ) para encontrar el valor de la otra incógnita: /11 Observación. Este método es mu adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1. Igualación Ejemplo 18. 1 0 1 Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones ;. 1 Igualando 1-9 1 11 1/11 Ahora para obtener el valor de la se procede como en el caso anterior, es decir se sustitue el valor hallado en la ecuación que más convenga ( en este caso en ). /11 Observación. Este método es mu adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones. Reducción Ejemplo 19. 1 0 Multiplicamos la 1ª ecuación por la ª por. (De esta forma el coeficiente de en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m. Resulta: 1 0 Sumando obtenemos 1 1 6 9 6 0 Sustituendo el valor encontrado de en la segunda ecuación: 0 /1 1
Observación. Este método es mu adecuado en todos los casos. Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto) Ejercicios Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado: 1) 1 ) 5 ) 0 ) 1 5 5) 7 5 6) 9 5 7) 1 Para quitar los denominadores multiplicamos por la 1ª ecuación 1 1 Le resolvemos por reducción doble. Multiplicamos la ª ecuación por 1 Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: - -1 Para encontrar el valor de, eliminamos la, para ello multiplicando la 1ª por - 1 sumando -1
8) 19 5 0 Problemas de aplicación 1) Calcula dos número cua suma sea 8 su producto 1. ) La suma de dos número es 65 su diferencia. Halla los números ) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del maor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números. Sistemas de ecuaciones de º grado Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones Ejemplo 0. Sea el sistema En la ª ecuación despejamos la, la sustituimos en la 1ª - ( ) 16 16; 6-16-60, Simplificando por obtenemos: -8-0, que es una ecuación de º grado completa: 8 10 8 ± 6 ( 6) 8 6 8 10 1 1 6 Ejercicios Resuelve los siguientes sistemas: 1) 1 ) 9 1 ) 5
Estrategias para la resolución de Problemas. Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases : 1ª. Comprender el problema. Ha que leer el problema hasta familiarizarse con él que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas: Cuáles son los datos? cuál es la incógnita o incógnitas? son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? son insuficientes?... ª Concebir un plan. Determinar la relación entre los datos la incógnitas. De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auiliares. Conoces problemas relacionados con éste? Podrías plantear el problema de forma diferente? Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita datos estén en una relación más sencilla?... Has considerado todas las nociones esenciales del problema?... Obtener finalmente un plan de solución. Para nuestro caso: Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas analizar el sistema que forman. ª. Ejecutar el plan. Resuelve el sistema por los métodos estudiados. ª. Eaminar la solución obtenida. Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas proceder en consecuencia. Ejemplo 1.. Alejandra tiene 7 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. Cuántos años tiene cada una?. Sólo en este problema indicaremos con detalle las fases 1º. Comprender el problema. Es un problema con dos incógnitas dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos a la edad de Alejandra e a la de su hija. Ordenamos los elementos del problema: Ho dentro de 8 años La madre 8 La hija 8 º. Concebir un plan. Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas: 7 8 ( 8) Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución. Cómo plantear resolver problemas. G. Pola, Edit. Trillas
º Ejecutar el plan. 7 Entonces: 7 8 ( 8) de donde 5-16 19, 6 º Eaminar la solución obtenida. La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas similares. Problemas resueltos 1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre sus edades es de años. qué edad tienen?. Llamamos a la edad de la hija, luego 7 será la edad de la madre. 7 6 Luego edad de la hija años edad de la madre 8 años. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. Llamamos al número que buscamos, la mitad del número es / su cuarta parte / Entonces: 1 Multiplicamos por el m.c.m. que es. Nos queda:. Se atribue a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos: - Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio, además ha tres mujeres. Cuántos discípulos tenía? Llamamos al número de sus discípulos. Traduciendo a lenguaje algebraico las condiciones, se tiene: 1 5 Multiplicando por 0, que es el m.c.m., quitamos todos los denominadores 10 5 60 0 Es decir, 60 discípulos. Dos poblaciones A B distan 5km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse. A B 5km El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E v A t.t El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E v B t 6t Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 5km Por lo tanto: t 6t 5 10 t 5 t,5 horas Tardan en encontrarse horas media
5. En una jaula ha conejos palomas, pueden contarse 5 cabezas 9 patas. Cuántos animales ha de cada clase?. Llamamos al número de conejos, al número de palomas habrá entonces 5 Lo conejos tienen patas, ha patas de conejos Las palomas patas, luego tendremos patas de palomas El número de patas en total es 9 9 5 Es decir lo resolvemos por sustitución 5-9 (5 ) 9 70 9 1 5 1 Ha 1 conejos palomas 6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se etrajeron 15 litros de leche de ambos envases, entonces había tres veces mas leche en el primer envase que en el segundo. Cuánta leche había originariamente en cada envase.. Llamamos al nº de litros de un envase. En el otro envase habrá litros. Al etraer 0 litros de cada envase nos quedan -15 15 15( 15) 5 0 En un envase había 0 litros en el otro 60 litros 7. El hermano maor de una familia con tres hermanos tiene años más que el segundo éste más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 0 años qué edad tiene cada hermano? Llamamos edad del hermano menor. Entonces según las condiciones del problema: es la edad del hermano mediano 7 es la edad del hermano maor Como la suma de las edades de los hermanos es 0: 7 0 0 10 0 10 Por lo tanto: edades de los tres hermanos: 10, 1 17 años. 8. A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, a partir del mediodía. Es un caso particular de problemas de móviles. La velocidad del minutero es doce veces maor que la del horario. Podemos pues representar por 1 1 las velocidades respectivas de las dos saetas. Si es el nº de divisiones que ha recorrido la aguja horaria, la minutaría formará con ella ángulo recto cuando haa recorrido 15 divisiones Al igualar los tiempos empleados por ambas, se obtiene: 15 1 15 15/11 1minuto 1segundos 1 1 Se encuentran a las 1 horas 16 minutos 1 segundos
9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de años la edad del padre será el doble de la del hijo. Cuántos años tiene ahora cada uno? Llamamos a la edad del hijo. La del padre será Dentro de años el hijo tendrá Dentro de años el padre tendrá Por lo tanto ( ) 8 La ecuación que resulta es de º grado. - 0 Por ser completa aplicamos la fórmula general: 10 6 ± 96 10 Aunque da dos soluciones, sólo la primera 6 es válida, - no nos vale pues las edades no pueden ser negativas. Por tanto el hijo tiene 6 años el padre 6 años 10. Para vallar una finca rectangular de 750m se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca. Llamamos a la base del rectángulo, e la altura. Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces. 750 El perímetro es la suma de los lados: 110. 750 Es decir tenemos el sistema 110 De la primera ecuación se tiene 750/ Sustituendo en la segunda:.750 110 1500 110-110 15000 110 10 0 110 ± 110..1500 110 ± 1100 1000 De donde 110 10 5,5 Nos da dos soluciones: Si la base es 0 la altura es 750/0 5 Si la base es,5 la altura es 750/,5100/,.. Ambas válidas.
Problemas propuestos 1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo saca de su error: - No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la mitad de las que somos, la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán, seríamos cien. Cuántas palomas había en la bandada?. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado maor mide 10 m. más que el lado menor. Cuánto miden los lados del jardín?. Halla dos números positivos cua suma es 0 la suma de sus cuadrados 50.. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 0km/h. Cuánto tardarán en alcanzarse? 5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. 6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 0% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos eámenes fue 6 cuántas personas se presentaron a la oposición? 7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos que su suma es igual al cuádruple del menor. 8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m. Calcular las dimensiones del rectángulo.
9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 0km/h. Cuánto tardarán en alcanzarse? 10. El área de una lámina de plata es 8cm, su longitud es / de su anchura. Halla su longitud su anchura. 11. Halla dos números cua suma sea su producto 15. 1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del maor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7. 1. Dos números son tales que el maor menos la raíz cuadrada del menor es la suma de los números es. Cuáles son los números. 1. Una caja mide 5cm de altura de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm. Calcular la longitud la anchura. 15. La diagonal de un rectángulo mide 6cm el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.