1 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO. CINEMATICA TEMA 6 1º Bachillerao.. ESQUEMA DE LA UNIDAD. 1. CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO. 1.1 SISTEMAS DE REFERENCIA. 1. TRAYECTORIA. 1.3 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 1.4 POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA SOBRE LA TRAYECTORIA.. LA VELOCIDAD..1 RAPIDEZ DE UN MOVIMIENTO: VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTÁNEA.. DIRECCIÓN Y SENTIDO DE LA VELOCIDAD. 3. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U) 4. LA ACELERACIÓN. 4.1 CAMBIOS EN EL MÓDULO DE LA VELOCIDAD. 4. CAMBIOS EN LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD. 5. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) 6. EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U) 6.1 VELOCIDAD LINEAL Y ANGULAR. 6. ACELERACIÓN CENTRÍPETA. 7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. 7.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL. 7. LANZAMIENTO OBLICUO.
1. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO. 1.1 SISTEMAS DE REFERENCIA. Anes de empezar el ema debemos reflexionar sobre algunas cuesiones: Esá en reposo la pizarra o el aula donde e encuenras? Lo esá la Tierra? Capan nuesros senidos el reposo y el moimieno? Si la Tierra se moiera, lo caparíamos? Cada día el Sol sale por el Ese y se muee hacia el Oese, pero, es ciero que el Sol se muee, o es falso? La cinemáica esudia el moimieno sin ener en cuena sus causas. En el unierso, odo se encuenra en coninuo moimieno. Desde los elecrones de los áomos, las moléculas, los planeas y las esrellas, hasa las galaxias, ni una sola parícula conocida por nosoros esá en reposo. 3 Qué hay en el unierso que esé en reposo con oda seguridad? Esa realidad no es inuiia. Cuando esamos senados en el salón de nuesra casa, esamos en reposo, o nos moemos? Si no reflexionamos sobre ello seguramene responderemos que esamos en reposo, ya que, de un modo esponáneo, omamos como sisema de referencia fio la casa. Nuesra endencia naural es considerar que casi odo nuesro enorno esa formado por cosas en reposo: las casas, las monañas, la calle, ec., y por unas pocas cosas que a eces se mueen: el aire, nosoros, los coches. Cómo saber enonces, obeiamene lo que se muee y lo que esá en reposo? Podremos hacerlo si definimos del siguiene modo: 1.1 SISTEMAS DE REFERENCIA (II) Moimieno es el cambio de posición de un cuerpo, a lo largo del iempo, respeco de un sisema de referencia que consideramos fio. 4 El iaero se equioca al pensar que se muee el agón de enfrene. Al mirar al andén, comprueba que es su agón el que se muee Si dicho puno esá en reposo, el moimieno es absoluo El conducor esá en reposo respeco al pasaero que ranspora, pero esá en moimieno respeco al peaón. Si esá en moimieno, es relaio Desde ierra el proyecil cae describiendo una parábola. Desde el aión cae en línea reca
1. TRAYECTORIA. 5 Se denomina rayecoria a la línea coninua que describe un móil durane su moimieno; esá formada por las posiciones sucesias del móil a lo largo del iempo. La esela que dea un aión de reacción en el aire y un barco en el agua, o las huellas de un animal sobre la niee, permien isualizar la rayecoria de esos móiles. Pero la rayecoria no iene exisencia real; es una línea imaginaria que ayuda a describir el moimieno. Trayecoria es la línea imaginaria que describe un móil durane su moimieno. Los moimienos se pueden clasificar según la rayecoria descria por el móil: Moimieno recilíneo: La rayecoria es una reca. Por eemplo, la caída libre de una piedra o el moimieno de un ren en un ramo de ía reca. Moimieno curilíneo: La rayecoria es una cura. Por eemplo, el moimieno del exremo de una hélice que gira, el moimieno de la Tierra en orno al Sol o el de un proyecil en el aire. 1.3 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 6 Las magniudes físicas son aquellas propiedades de los cuerpos o de los fenómenos naurales que son suscepibles de ser medidas. Las magniudes escalares son aquellas que quedan perfecamene definidas con un número y una unidad; por eemplo el iempo (5 segundos), la emperaura (5º), la energía (1 ulios), ec. Las magniudes ecoriales, en cambio, para quedar perfecamene especificadas además del alor numérico han de conocerse ambién su dirección y su senido; por eemplo, una fuerza de 5 N no queda compleamene especificada si no se indica en qué dirección y en qué senido acúa esa fuerza. Las magniudes ecoriales se represenan mediane ecores. Un ecor es un segmeno orienado. Los elemenos de un ecor son: 1. Dirección: Es la reca que coniene al ecor.. Senido: Queda especificado por el exremo del ecor. En cada dirección hay dos senidos posibles. 3. Puno de aplicación: Es el origen del ecor. 4. Módulo: Es la longiud del ecor. Cuando el ecor represena una magniud física, su módulo es proporcional a la inensidad de la magniud física represenada.
1.4 POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA SOBRE LA TRAYECTORIA. Cuando queremos esudiar el moimieno de un coche, por eemplo, un méodo prácico y sencillo que ya hemos uilizado en cursos aneriores es omar como sisema de referencia la carreera y, como origen, un puno cualquiera de ella. Enonces, llamaremos posición al lugar donde el móil se encuenra respeco al origen, y de forma escalar la expresaremos por la disancia, medida sobre la carreera, enre ese puno y el origen. 7 Cuando hagamos un raamieno ecorial, uilizaremos el ecor de posición (origen en el sisema de referencia elegido O y su exremo en la posición P ocupada por el móil) y los ees de coordenadas. Tano si la rayecoria es reca como si es cura, o si el móil, ras recorrer un camino, rerocede y regresa hacia el puno de origen: La disancia recorrida, s, es la longiud de la rayecoria descria por el móil. Es una magniud escalar y su unidad en el S.I es el mero (m). 1.4 POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA SOBRE LA TRAYECTORIA (II) 8 Para esudiar de forma más rigurosa los moimienos, hemos de ener en cuena la dirección y el senido en que se producen. Para ello, inroducimos el concepo de desplazamieno: Eldesplazamienoes un ecorque unela posición inicial del móilconla final. Su modulo es: x x f x Es imporane ener en cuena que la disancia o espacio recorrido, s, no coincide con la longiud del ecor desplazamieno, x, salo en el caso de que la rayecoria sea recilínea y el móil no reroceda. Imagina un corredor que se desplaza 5 m hasa llegar al final de la pisa y enonces gira y recorre m más en senido conrario. La disancia recorrida será: 5 m + m 7 m. El desplazamieno será: 3 3 m.
1.4 POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA SOBRE LA TRAYECTORIA (III) 9 Y P 1 s Vecor de posición y ecor desplazamieno r 1 r r P r 1 El ecor de posición de un móil, es el ecor con origen en O y exremo en P 1. Se represena por OP 1 r 1 X El ecor desplazamieno r de un móil enre dos punos P 1 y P de su rayecoria, es el ecor con origen en P 1 y exremo en P Si el moimieno es plano: r r r1 (x x 1 ) + (y y 1 ) x i + y i En general, s r LA VELOCIDAD..1 RAPIDEZ DE UN MOVIMIENTO: VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTANEA. 1 Los cambios de posición de un móil pueden ser rápidos o lenos. Por eemplo, un auomóil que recorre 1 m en 5 s se muee más rápido que oro que recorre esos 1 m en 8 s. Ineresa definir una magniud que mida la rapidez con la que se producen los cambios de posición durane el moimieno. La elocidad media de un móil es el cociene enre la disancia recorrida sobre la rayecoria y el iempo inerido en recorrerla. Imagina que hacemos un iae de 5 km y ardamos media hora; la elocidad media del moimieno habrá sido: Disancia oal recorrida s sf s 5 km Velocidadmedia 1 km/h Tiempo oal,5h La unidad de elocidad en el S.I es el mero por segundo (m/s). También se usa mucho en la prácica el kilómero por hora (km/h). Velocidad insanánea es la elocidad media de un móil durane un ineralo de iempo muy pequeño. f
. DIRECCIÓN Y SENTIDO DE LA VELOCIDAD. 11 Para una descripción complea del moimieno no basa conocer el alor numérico de la elocidad insanánea; es preciso deerminar en cada momeno la dirección y el senido de la elocidad. El ecor elocidad iene: 1. Dirección: Tangene a la rayecoria en cada insane.. Senido: El del moimieno. 3. Puno de aplicación: Posición del móil. 4. Modulo: Suele denominarse simplemene elocidad, pero es más correco denominarlo celeridad o rapidez para disinguirlo de la elocidad como ecor. La elocidad es una magniud ecorial. La dirección del ecor elocidad es angene a la rayecoria y su módulo se denomina rapidez.. DIRECCIÓN Y SENTIDO DE LA VELOCIDAD (II) 1 Velocidad media Ambos ehículos salen y llegan a la ez, pero no han iaado unos. Tienen en común su elocidad media Magniud elocidad media escalar: Vecor elocidad media: s m m r Velocidad insanánea r x i + y m x i y + xm i + ym r cuando En coordenadas caresianas: i + x y
3. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U) 13 Los moimienos pueden ser uniformes y no uniformes según que el alor del módulo de la elocidad se manenga consane o no. Un móil efecúa un moimieno recilíneo uniforme (M.R.U) si su rayecoria es una reca y el módulo de su elocidad es consane. En el MRU, el móil recorre espacios iguales en ineralos de iempos iguales, por lo que su elocidad media es la misma en cualquier ineralo de iempo que se considere y coincide con la elocidad insanánea. Si en el ineralo de iempo el móil ha recorrido un espacio x sobre la rayecoria, la elocidad media ha sido: m x/ Por ano el espacio recorrido es: x En un moimieno recilíneo uniforme el espacio recorrido sobre la rayecoria es igual al produco de la elocidad por el iempo empleado. x f x + ( ) Esa es la Ecuación general del M.R.U, y nos permie calcular la posición del móil, x f, en cualquier insane,, conocidos la posición inicial en el momeno en que se comienza a conar el iempo, x, y la elocidad,. 4. LA ACELERACIÓN. 4.1 CAMBIOS EN EL MÓDULO DE LA VELOCIDAD. 14 Los moimienos más frecuenes no son los uniformes, sino los acelerados, en los que aría la elocidad (La caída de un obeo, la roación de la Tierra alrededor del Sol, el arranque o parada de un ehículo, el despegue de una nae espacial). Para medir esos cambios, necesiamos una nuea magniud: la aceleración (indica la rapidez con que aría la elocidad con el iempo). Como la elocidad es una magniud ecorial, la aceleración ambién debe serlo, y debe dar cuena de los cambios que se produzcan en la elocidad, ano en su módulo como en su dirección y senido. Para ello definiremos a coninuación la aceleración angencial y la aceleración normal. Una de las causas de que se origine un moimieno acelerado es que aríe el módulo de la elocidad, sin que lo hagan ni su dirección ni su senido; eso implica un moimieno recilíneo. La magniud física que da cuena de los cambios en el módulo de la elocidad es la aceleración angencial, a : Aceleración angencial es la ariación que experimena el módulo de la elocidad en el iempo. Su módulo es : a f f - -
4.1 CAMBIOS EN EL MÓDULO DE LA VELOCIDAD (II) 15 Obsera que la aceleración angencial no es el cociene enre la elocidad y el iempo, sino enre lo que aría la elocidad y el iempo. La aceleración será ano mayor cuano más rápido sea el cambio de la elocidad. Al igual que la elocidad, la aceleración angencial es un ecor angene a la rayecoria en los moimienos curilíneos. Si es negaia, el moimieno es reardado o decelerado y por ano la elocidad disminuye. En esos apunes cuando hablemos de aceleración a secas, nos referiremos a la angencial. Por el conrario en el m.r.u la aceleración es cero porque no hay cambio de elocidad. Del mismo modo que hicimos con la elocidad, ambién podemos definir una aceleración media y una insanánea. Cuando el incremeno del iempo es infiniamene pequeño, enemos una aceleración insanánea. Su unidad en el S.I es el: a / (m/s) / s m/s 4. CAMBIOS EN LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD. 16 En los moimienos recilíneos an solo puede haber aceleración angencial. Sin embargo, cuando la rayecoria es una cura, puede haber ora, porque el ecor elocidad cambia de dirección al seguir la rayecoria del móil. Recuerda que la elocidad insanánea es siempre angene a la rayecoria. Definimos la aceleración normal como el cambio que experimena la dirección de la elocidad en el iempo. La denominamos normal porque es un ecor perpendicular (normal) a la rayecoria, dirigido hacia el cenro de curaura. Su módulo es : r Donde es el módulo de la elocidad y r es el radio de giro de la rayecoria. a n
4. CAMBIOS EN LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD. 17 Y 1 A A Y 1 r 1 B r X La ariación de la elocidad se obiene gráficamene rasladando el origen de al de 1, consruyendo así - 1 La aceleración insanánea a cuando X La aceleración media a m - - 1 1 5. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) 18 Se denomina moimieno uniformemene acelerado al que iene aceleración consane, es decir, al que experimena la misma ariación de elocidad en cada unidad de iempo. Si además la rayecoria es recilínea, el moimieno resulane es un moimieno recilíneo uniformemene acelerado (m.r.u.a). En un moimieno recilíneo uniformemene acelerado la aceleración media es igual que la aceleración insanánea al ser consane. Por ano de la propia definición de aceleración podemos deducir la ecuación de la elocidad: a f f - - f + a ( ) Esa ecuación nos ofrece el alor de la elocidad del móil, f, en función del iempo ranscurrido,, desde que se inicio el moimieno, conocidos la elocidad inicial,, y la aceleración del moimieno, a.
5. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) (II) 19 Vamos a deducir la ecuación de la posición, que es aquella que nos ofrece la posición del móil en función del iempo. En primer lugar de la expresión de la elocidad media despeamos x f : m (x f x ) / x f x + m Pero no conocemos la elocidad media, m, de modo que endremos que idear el modo de susiuirla por oros alores. En el m.r.u.a, la elocidad aría uniformemene y, por ano, podemos calcular ambién m como la media ariméica de los alores inicial y final. Teniendo además en cuena que, como hemos iso anes, f + a, si susiuimos en la expresión de la elocidad media, resula: m ( + f ) / m ( + + a ) / + ½ a Ahora ya podemos susiuir el alor de la m en la ecuación de la posición: x f x + m x + ( + ½ a ) x f x + + ½ a 5. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) (III) En resumen las ecuaciones que rigen el m.r.u.a son dos: la ecuación de la elocidad y la de la posición. f + a x f x + + ½ a Esas dos ecuaciones nos proporcionan la elocidad y la posición en función del iempo. Pero podemos obener una ecuación auxiliar muy uilizada en la pracica que relaciona la posición y la elocidad. Si se despea el iempo en la ecuación de la elocidad y se susiuye en la ecuación de la posición, resula: f + a f - / a x f x + + ½ a x + ( f - / a)+ ½ a ( f - / a) De donde: f a (x f -x )
5. LA CAÍDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL. 1 Cualquier cuerpo solado desde ciera alura cae hacia el suelo siguiendo una rayecoria reca. Ese moimieno se denomina caída libre. A principios del siglo XVII el físico ialiano Galileo Galilei demosró que el moimieno de caída de los cuerpos es un moimieno uniformemene acelerado y que el alor de la aceleración es el mismo para odos los cuerpos independienemene de su masa, forma o amaño. Como la resisencia ofrecida por el aire puede causar que los cuerpos caigan más o menos deprisa, es más riguroso decir que los cuerpos caen en el acío con la misma aceleración. Todos los cuerpos caen en el ació con la misma aceleración, llamada aceleración de la graedad (g). A niel del mar, el alor de la aceleración de la graedad es g 9,8 m/s. 5. LA CAÍDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL (II) Ecuaciones del moimieno de la caída libre. La posición del móil o alura (h) se suele medir a parir del niel del suelo. La aceleración es el alor de la aceleración de la graedad (g 9,8 m/s ). Por ano, las ecuaciones del m.r.u.a se pueden escribir como: f + a h f h + + ½ a Siendo h la alura inicial del cuerpo y h f la alura final. Se esablece por conenio que las elocidades con senido hacia arriba son posiias (caso de un lanzamieno erical), y con senido hacia abao, negaias (caso de caída libre). La aceleración de la graedad siempre esá dirigida hacia abao (-9,8m/s ). Cuando se lanza una piedra ericalmene hacia arriba, seguirá un moimieno similar al de la caída pero inerido (lanzamieno erical); por lo que lleara una elocidad inicial eleada que irá disminuyendo hasa deenerse en el puno más alo ( f ) y caer de nueo coniriéndose en una caída libre.
5. LA CAÍDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL (III) Problema de aplicación al cálculo del espacio en caída libre 3 Una ubería de una fábrica iene un escape por el que salen 1 goas cada minuos. Si la ubería se encuenra se encuenra a 3 m sobre el suelo y ya ha llegado alguna al suelo, dibuar la posición de odas las goas que se encuenran en el aire en el momeno en que comienza a caer una concrea Una goa arda en caer: y y + + 1 a 1 3 + + ( 9,8).3 9,8,47 s Las goas caen cada, 1 goas 1 s > x 1, s. 47 go,1, 1 goa x s luego cuando una goa sale, hay en el aire,47/1, goas La primera ha descendido s 1 3 +,5. (-9,8). 1,,95 La segunda ha descendido s 3 +,5. (-9,8).,4 1,8 s 1,95 m s 1,8 m 6. EL MOVIIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U) 4 Como ya hemos indicado, los moimienos de rayecoria curilínea son mucho más abundanes que los recilíneos. En ese curso abordaremos el caso más sencillo que puede presenarse: el circular uniforme. Moimieno circular uniforme (M.C.U) es el de un móil que recorre una rayecoria circular con rapidez consane. El moimieno circular, la rayecoria seguida por el móil es siempre una circunferencia, o un arco de ella y, por ano, las disancias recorridas son las longiudes de esos arcos. Exise una relación maemáica sencilla enre los arcos y los ángulos que susenan: ángulo es la relación enre el arco y el radio con que ha sido razado. Si llamamos s al arco recorrido, e φ al ángulo barrido por el radio: Ángulo Arco Radio s R Φ La unidad de ángulos es el radián (rad), que es el ángulo cuya longiud del arco es igual al radio. Una circunferencia complea endrá: Ángulo Arco Radio 36º π rad s π R π radianes R R
6.1 VELOCIDAD LINEAL Y ANGULAR. φ ω Imagina un disco que hacemos girar con una ciera rapidez y en el que hemos marcado dos punos A y B. Cuando el disco haya efecuado un cuaro de giro, el puno A habrá recorrido un arco s A, menor que el puno B, que habrá recorrido s B. Sus elocidades lineales serán disinas, pueso que, en el mismo iempo, el puno B ha recorrido mayor disancia. Y así ocurre con cada uno de los punos de un cuerpo que gira. Cómo podríamos enonces expresar la elocidad con que gira el disco? Obsera que, al girar ambos barren el mismo ángulo en el mismo iempo. En ese caso, π/ radianes (9º). Eso equiale a decir que odos los punos del disco giran ángulos iguales en iempos iguales. Debemos enonces definir la elocidad del disco en érminos angulares y no lineales. Velocidad angular es el ángulo barrido en la unidad de iempo. 5 La ecuación del moimieno es: φ ω φ φ + ω( ) Donde ω es la elocidad angular, φ, el ángulo barrido expresado en radianes, e, el iempo ranscurrido. Su unidad en el S.I. es el rad/s. 6.1 VELOCIDAD LINEAL Y ANGULAR (II) En la indusria y en el comercio suele uilizarse como unidad las r.p.m (reoluciones por minuo). La equialencia enre una y ora unidad es sencilla; pasemos 45 r.p.m a rad/s: 6 uelas π rad 1min 45 4,7 min uela 6 s rad s Habíamos esablecido que la relación enre arcos y ángulos es: s φ R Si diidimos los dos miembros de esa expresión por el iempo empleado: s / ( Φ R) / ω R Lo que esablece la relación ene la elocidad angular y la elocidad lineal; obsera que esa úlima es direcamene proporcional al radio de giro.
6. ACELERACIÓN CENTRÍPETA. 7 Todos los moimienos circulares, desde un puno de isa ecorial, son acelerados, pueso que la dirección del ecor elocidad aría consanemene al recorrer el móil su rayecoria. Al no cambiar el módulo, se raa solo de una aceleración normal, a n (perpendicular a la rayecoria), a la que se denomina aceleración cenrípea, pueso que es un ecor dirigido siempre al cenro de la circunferencia. Su módulo, en función de la elocidad lineal y en función de la elocidad angular, es: a n / R a n (ω R) / R ω R 6.3 CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS 8 Moimienos recilíneos a η Moimieno recilíneo uniforme a τ Moimieno recilíneo uniformemene acelerado a τ ce Moimieno recilíneo acelerado a τ ce Moimienos circulares a η y R ce Moimieno circular uniforme a τ Moimieno circular uniformemene acelerado a τ ce Moimieno circular acelerado a τ ce
9 7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Galileo: Principio de independencia Pensaban que el obeo que caía desde el másil de un barco en moimieno, impacaría hacia popa. Para el obserador fio en ierra el obeo describe al caer, una rayecoria parabólica, suma de moimienos Si un móil esá someido a dos moimienos, su cambio de posición es independiene de que la acuación de ésos, sea de forma simulánea o sucesia 7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS (II) 3 Composición de MRU en la misma dirección La elocidad del niño al correr sobre la cina, crece o decrece según el senido elegido El principio de superposición dice que si un obeo esá someido a la ez a dos o más moimienos, se cumple que: r r r r... r 1 + + 3 + + i 1 + + 3 +... + i a a + a + a +... + a 1 3 i En ese caso, su composición será: O O x 1 x Trayecoria x 1 x 1 + 1x x x + x x 1 + x (x 1 + x ) + ( 1x + x ) La suma es un MRU en la misma dirección
7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS (III) 31 Esudio del lanzamieno erical O' El ascensor desciende con MRU, y a su ez el niño lanza la peloa hacia abao O efecúa un MRU respeco al sisema O y y1 + 1 1 O La peloa efecúa un MRUA respeco a O' y y 1 + + a Su suma es: y ) ( ) 1 1 + y (y1 + y + 1 + + a La suma de un MRU y oro MRUA, ambos en la misma dirección, origina oro MRUA en la misma dirección 7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS (IV) 3 Y y y y O y x Composición de MRU perpendiculares x + y Sean dos moimienos recilíneos uniformes en las direcciones de los ees X e Y con elocidades respecias x y y x x x X Si un móil experimena solo el primer moimieno: x x + Si un móil experimena solo el segundo moimieno: y y + Cuando experimena la superposición de ambos: x + y (x + y ) + (x + y) El resulado es un MRU en la dirección deerminada por: + x y x y
7.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL 33 Trayecorias descrias por la peloa según el sisema de referencia Para un obserador en ierra, la rayecoria es parabólica Para un pasaero del aión, el moimieno es erical y en caída libre Para el obserador en caída libre, el móil posee un MRU horizonal 7.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL (II) Caracerísicas del moimieno X Las proyecciones del móil sobre los ees son cada segundo Es un moimieno compueso por: MRU Ee x x x + x ; x ce x x 34 MRUA Ee y y y + y + ½ a ; y y + a Y Siuando el origen en ierra y considerando. X ; y h ; y h f x ce ; y a -9,8 Ecuaciones del moimieno Ee x x x ; x ce Ee y h f h + ½ a ; y a Mezclando x e y Ecuación de la rayecoriay h + (a/ ) x
7.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL (III) Problema de aplicación de iro horizonal 35 Un aión uela a 5 m de alura con una elocidad horizonal de m/s desea bombardear un obeio. Calcular: a) El iempo que ardará la bomba en llegar al suelo b) La disancia sobre la erical del obeio a la que debe solar la bomba a) Tiempo que arda la bomba en caer Solo depende de la alura del aión h f h + y + 1/ a 5 + 4,9 31,945 s b) Disancia a la que debe solar la bomba Cuando la bomba llegue el obeio, el aión se enconrará sobre él Como ha recorrido x x. 31,94 6388 m, el aión solará la bomba a esa misma disancia anes de la erical. 7. LANZAMIENTO OBLICUO 36 Unas rayecorias muy comunes 1,4 1, 1,8,6,4, 1 3 α i 1 3 4 5 6 a g Son las descrias, por eemplo, por el lanzamieno de disinos proyeciles disparados desde el suelo. Dependen de la elocidad inicial de salida i y del ángulo de lanzamieno α i
7. LANZAMIENTO OBLICUO (II) Es el resulado de la composición de un MRU horizonal y un MRUA en dirección erical. MRU Ee x x x + x ; x ce Caracerísicas del moimieno MRUA Ee y y y + y + ½ a ; y y + a Y a g Siuando el origen en ierra y x y considerando. y O (, ) α x x x cos α y Proyecciones de : y sen α y x X Ecuaciones del moimieno Ee x x cos α ; Ee y h f sen α + ½ a ; X ; y ; y h f x cos α ce y sen α a -9,8 x cos α ce y sen α+ a Mezclando x e y Ec. de la rayecoriay agα x+ (a/ cos α) x 37 7. LANZAMIENTO OBLICUO (III) Aplicaciones de ese moimieno 38 Tiempo empleado en lograr la alura máxima y senα+a Y y y x a g y V sen α g senα g y O (, ) α x x X El iempo que arda en caer desde el insane en que fue lanzado, será el doble Cálculo del puno de alura máxima: y max sen α 1 g sen g α
7. LANZAMIENTO OBLICUO (IV) Aplicaciones de ese moimieno 39 Cálculo del alcance del iro Y y a g O (, ) x P(x max, ) X h f sen α + ½ a La caída se produce en P(x max, ) y 1 sen α g senα g x max cos α x max sen g α Si ce, el alcance es máximo cuando α 45 Si ce, como sen α sen (18 α ) el alcance será el mismo si los ángulos son complemenarios (α y 9 α) 7. LANZAMIENTO OBLICUO (V) Problema de aplicación de iro oblicuo ( I ) 4 Un fubolisa realiza un lanzamieno de balón con una elocidad inicial de m/s y que forma un ángulo con el suelo de 3º. Calcular: a) Su ecor de posición cuando s después del lanzamieno b) Su ecor elocidad y su módulo en s c) La alura máxima del lanzamieno d) El alcance máximo a) x x + x ( cos α) ( cos 3º) 34,64 m h h + y + ½ a ( sen α) ½ g ( sen 3º) 4,9.,4 m r x i + y r 34,64 i +,4 b) x x ( cos α) ( cos 3º) 17,3 m/s y y + a ( sen α) g ( sen 3º) 9,8. c) sen α sen 3 y 5,1 m max g. 9,8 9,6 m/s y max 5,1 m 17,3 19,8 m/s i 9,6 d) x sen sen 6 max α 35,34 m g 9,8 x max 35,34 m
7. LANZAMIENTO OBLICUO (VI) Problema de aplicación de iro oblicuo ( II ) 41 y (m) El gráfico represena un disparo y su impaco sobre una ladera inclinada. Si la elocidad inicial del proyecil es de m/s y su inclinación con el suelo es de 45º, hallar: a) La posición del impaco b) La elocidad de la bala en ese momeno c) Indicar si podría impacar más alo en la ladera ag α c.o / c.c 45º 3º 1 m x (m) a) La ecuación de la rayecoria es: g x x. gα y x cosα,45 x y La ecuación de la reca represenane de la ladera es: y g 3º. (x 1) y,57 (x 1) En el puno de impaco se cumple:,45 x + x,57 x 57 x 637, m y 933,4 m b) Tiempo ranscurrido hasa el impaco: 637, x 18,64 s cosα cos45 Velocidad en ese insane: ( cosα) i + ( sen α g ) c) Sí. Para α 6º el puno de impaco es P (785, 117) 141,4 i 41,5