Diagramas de Voronoi

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 15 de marzo del 2013 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 1 / 72

1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 2 / 72

El material de esta clase está basado en el capítulo 7 del libro: Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld and Mark Overmars. Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer, 3rd edition (April 16, 2008), ISBN-10: 3540779736. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 3 / 72

Introducción 1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 4 / 72

Introducción Diagramas de Voronoi Introducción Los diagramas de Voronoi se encuentran entre las más importantes estructuras en geometría computacional Un diagrama de Voronoi codifica la información de proximidad entre elementos Sea P = {p 1, p 2,..., p n } un conjunto de puntos en el plano (o en cualquier espacio d-dimensional), los cuales llamaremos sitios Definimos V(p i ), la celda de Voronoi para p i, como el conjunto de puntos q en el plano que están más cerca de p i que de cualquier otro sitio Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 5 / 72

Introducción Diagramas de Voronoi Introducción Es decir, la celda de Voronoi p i se define como: V(p i ) = {q p i q < p j q, j i} (1) Donde pq denota la distancia euclídea entre los puntos p y q El diagrama de Voronoi puede definirse sobre cualquier métrica y en cualquier dimensión, pero nos concentraremos en el caso planar y Euclidiano Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 6 / 72

Introducción Diagramas de Voronoi Introducción Otra forma de definir V(p i ) es en términos de la intersección de semiplanos Dados dos sitios p y q en el plano se define la bisectriz de p y q como la mediatriz (perpendicular) del segmento pq Esta bisectriz divide el plano en dos semiplanos Denotamos el semiplano abierto que contiene p como h(p, q) y el que contiene q como h(q, p) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 7 / 72

Introducción Introducción Observe que r h(p, q) si y sólo si rp < rq De esto se obtiene la siguiente observación: V(p i ) = 1 j n, j i h(p i, p j ) (2) Así pues, V(p i ) es la intersección de n 1 semiplanos, y por lo tanto una región poligonal convexa delimitada por a lo más n 1 vértices y como máximo n 1 aristas Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 8 / 72

Introducción Diagramas de Voronoi Introducción Dado que la intersección de semiplanos es un polígono convexo posiblemente no acotado, es fácil ver que V(p i ) también lo es Por último, definamos el diagrama de Voronoi de P, denotado Vor(P), como la subdivisión del plano en n celdas de Voronoi V(p i ), una para cada sitio en P No es difícil demostrar (ver libro de Berg et al.) que el diagrama de Voronoi se compone de una colección de segmentos de línea, que pueden ser no acotados, ya sea en un extremo o en ambos Un ejemplo se muestra en la siguiente figura Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 9 / 72

Introducción Diagramas de Voronoi Introducción Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 10 / 72

Algunas aplicaciones 1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 11 / 72

Algunas aplicaciones Algunas aplicaciones Búsqueda del vecino más cercano: Uno de los problemas más importantes en estructuras de datos para geometría computacional es la respuesta a búsquedas de vecinos más cercanos Dado un conjunto de puntos P, y un punto de consulta q, determinar el punto más cercano a q en P Esto puede responderse construyendo en primer lugar un diagrama de Voronoi para luego localizar la celda del diagrama que contiene a q Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 12 / 72

Algunas aplicaciones Algunas aplicaciones Morfología computacional y análisis de forma: Una estructura útil en el análisis de forma es el eje medial El eje medial de una forma (por ejemplo, un polígono simple) se define como la unión de los puntos centrales de todos los discos localmente máximos que están contenidos dentro de la forma Si generalizamos la noción de diagrama de Voronoi para permitir que los sitios sean tanto puntos como segmentos de línea, entonces el eje medial de un polígono simple se puede extraer con facilidad a partir del diagrama de Voronoi de estos sitios generalizados Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 13 / 72

Algunas aplicaciones Diagramas de Voronoi Algunas aplicaciones Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 14 / 72

Algunas aplicaciones Algunas aplicaciones Ubicación de instalaciones (facility location): Queremos abrir un nuevo Blockbuster Éste debe colocarse lo más lejos posible de cualquier otro vídeoclub existente Dónde debe ser ubicado? Dado que los vértices del diagrama de Voronoi son los puntos que están localmente a máxima distancia de cualquier otro punto en el conjunto, entonces forman un conjunto de ubicaciones candidatas naturales Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 15 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi 1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 16 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Veremos a continuación algunas propiedades sobre la estructura de los diagramas de Voronoi en el plano Evidentemente un diagrama de Voronoi es un conjunto de celdas cuyas caras son polígonos convexos (posiblemente no acotados) Cada punto en una arista del diagrama de Voronoi es equidistante de sus dos vecinos más cercanos p i y p j Por lo tanto, existe un círculo centrado en ese punto tal que p i y p j se encuentran en este círculo, y ningún otro sitio está al interior de él Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 17 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 18 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi El vértice en el cual tres celdas de Voronoi V(p i ), V(p j ), y V(p k ) se intersectan, es llamado un vértice de Voronoi y tiene la propiedad de ser equidistante de los sitios p i, p j, y p k Por lo tanto, es el centro del círculo que pasa por estos sitios Además este círculo no contiene otros sitios en su interior Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 19 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 20 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Generalmente tres puntos en el plano definen un único círculo Si hacemos la suposición general de que no existe ningún grupo de cuatro sitios cocirculares, entonces todos los vértices del diagrama de Voronoi tienen grado tres Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 21 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Una celda del diagrama de Voronoi es no limitada si y sólo si el sitio correspondiente se encuentra en la cubierta convexa Observe que un sitio está en la cubierta convexa si y sólo si es el punto más cercano de algún punto en el infinito Así, dado un diagrama de Voronoi, es fácil extraer la cubierta convexa en tiempo lineal Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 22 / 72

Propiedades de los diagrama de Voronoi Propiedades de los diagrama de Voronoi Si n representa el número de sitios, entonces el diagrama de Voronoi es un grafo planar con exactamente n caras (imaginando que todas las aristas no acotadas estuvieran dirigidas a un vértice común infinito) Se desprende de la fórmula de Euler que el número de vértices de Voronoi es como máximo 2n 5 y el número de aristas es a lo más 3n 6 (ver demostración en el libro de Berg et al.) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 23 / 72

Construcción de diagramas de Voronoi 1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 24 / 72

Construcción de diagramas de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Existen una serie de algoritmos para construir el diagrama de Voronoi de un conjunto de n sitios en el plano Por supuesto, existe un algoritmo trivial que corre en tiempo O(n 2 log n), y que opera construyendo V(p i ) mediante la intersección de n 1 semiplanos h(p i, p j ), para 1 j n, j i Sin embargo, hay formas mucho más eficientes, que corren en tiempo O(n log n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 25 / 72

Construcción de diagramas de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Históricamente, se conocieron algoritmos para construir diagramas de Voronoi que corrían en tiempo O(n 2 ) y que se basaban en construcciones incrementales Posteriormente se desarrollaron algoritmos O(n log n) basados en el método de divide y vencerás, pero que eran bastante complejos [Shamos and Hoey, 1975] Finalmente Steven Fortune (1987) inventó un algoritmo de barrido de plano para resolver este problema que es mucho más simple y corre también en tiempo O(n log n) Es este algoritmo el que vamos a discutir hoy en clase Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 26 / 72

1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 27 / 72

Antes de comenzar con la explicación del algoritmo de Fortune es importante considerar el por qué este algoritmo no fue inventado antes De hecho, es bastante más complicado que cualquier otro algoritmo de barrido del plano que hemos visto hasta ahora Recordemos que la clave para cualquier algoritmo de barrido del plano es la capacidad para descubrir todos los eventos próximos de manera eficiente Por ejemplo, en el algoritmo de barrido del plano para encontrar la intersección de segmentos de línea, estas son descubiertas antes de que la línea de barrido llegue a ellas (son agregados como eventos futuros) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 28 / 72

El problema con el diagrama de Voronoi es el de predecir cuándo y dónde se producirán los próximos eventos Imagine que detrás de la línea de barrido ya se ha construido el diagrama de Voronoi basándose en los sitios que se han encontrado hasta ahora en el barrido La dificultad es que un sitio que queda por delante de la línea de barrido podría generar un vértice de Voronoi que se encuentre detrás de la línea de barrido Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 29 / 72

Cómo puede saber el algoritmo de barrido de la existencia de este vértice antes de que pase por ese sitio? Son precisamente estos eventos no anticipados los que complican el diseño de un algoritmo de barrido del plano Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 30 / 72

Fortune hizo la inteligente observación de que podía calcularse el diagrama de Voronoi mediante barrido del plano construyendo una versión distorsionada de éste pero que es topológicamente equivalente Esta versión distorsionada del diagrama se basa en una transformación que modifica la forma en que las distancias son medidas en el plano El diagrama resultante tiene la misma estructura topológica que el diagrama de Voronoi, pero sus aristas son arcos parabólicos, en vez de segmentos de línea recta Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 31 / 72

Una vez que este diagrama distorsionado es obtenido, es fácil corregirlo en tiempo O(n) para producir el diagrama de Voronoi correcto Nuestra presentación será diferente de la hecha originalmente por Fortune (y se basa en nuestro libro de texto) En vez de distorsionar el diagrama, podemos pensar en que este algoritmo realiza una alteración de la línea de barrido En realidad, vamos a utilizar dos objetos para controlar el proceso de barrido Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 32 / 72

En primer lugar, habrá una línea de barrido horizontal, moviéndose de arriba a abajo También vamos a mantener una curva x-monótona llamada línea de playa (beach line) A medida que la línea de barrido se mueve hacia abajo, la línea de playa va justo detrás siguiéndola Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 33 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Recordemos que el problema con el barrido del plano normal es que los sitios que se encuentran por debajo de la línea de barrido pueden afectar el diagrama que se encuentra por encima de la línea de barrido Para evitar este problema, se mantendrá sólo la parte del diagrama que no pueden ser afectada por cualquier cosa que se encuentra por debajo de la línea de barrido Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 34 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Para ello, vamos a subdividir el semiplano que cae por arriba de la línea de barrido en dos regiones: Los puntos que están más cerca de algún sitio p por arriba de la línea de barrido, de lo que están de la misma línea de barrido Los puntos que están más cerca de la línea de barrido que cualquier sitio arriba de ésta Cuáles son las propiedades geométricas de la frontera entre estas dos regiones? El conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de la línea de barrido y de su sitio más cercano por encima de la línea de barrido es lo que denominamos línea de la playa Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 35 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Observe que, para cualquier punto q por encima de la línea de playa, sabemos que su sitio más cercano no pueden ser afectado por ningún sitio que se encuentra por debajo de la línea de barrido Por lo tanto, la parte del diagrama de Voronoi que se encuentra por encima de la línea de playa está segura Esto en el sentido de que tenemos toda la información que necesitamos para calcularla (sin necesidad de conocer qué sitios todavía aparecen por debajo de la línea de barrido) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 36 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Qué forma tiene la línea de playa? Recordemos de la clase de geometría en la secundaria que el conjunto de puntos que están equidistantes de un punto (un sitio) y de una línea (la línea de barrido) forman una parábola Es evidente que la forma de la parábola cambia continuamente conforme la línea de barrido se mueve Con un poco de geometría analítica, es fácil demostrar que la parábola se hace menos ancha cuando el sitio está más cerca de la línea y más ancha conforme la línea de barrido se aleja Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 37 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 38 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Por lo tanto, la línea de playa consiste de la envoltura inferior de estas parábolas, una para cada sitio Tenga en cuenta que la parábola de algunos sitios por encima de la línea de playa no tocará la envoltura inferior, y por lo tanto no contribuirá a la línea de playa Debido a que las parábolas son x-monótonas, la línea de playa también lo es Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 39 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi También observe que el punto donde dos arcos de la línea de playa se intersectan, el cual llamamos punto de corte, es equidistante de dos sitios y de la línea de barrido, por lo tanto deberá situarse en alguna arista del diagrama de Voronoi En particular, si los arcos de la línea de playa correspondientes a los sitios p i y p j comparten un punto de corte en común en la línea de playa, este punto de corte caerá en la arista de Voronoi entre p i y p j Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 40 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Como todos los algoritmos de barrido del plano, el algoritmo de Fortune mantiene un registro del estatus de la línea de barrido así como de ciertos eventos significativos En este caso cualquier evento que cambia la estructura topológica del diagrama de Voronoi y de la línea de playa En el estatus de la línea de barrido el algoritmo mantiene la posición actual (coordenada y) de la línea de barrido Además almacena en orden de izquierda a derecha la secuencia de sitios que definen la línea de playa (no almacena las parábolas) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 41 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi Por otra parte el algoritmo de Fortune trabaja con 2 tipos de eventos: Eventos de sitio: Cuando la línea de barrido pasa sobre un nuevo sitio un nuevo arco será insertado en la línea de playa Eventos de vértices de Voronoi: (llamados eventos círculo en el texto) Cuando la longitud de un arco parabólico se reduce a cero, el arco desaparece y un nuevo vértice de Voronoi será creado en ese punto Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 42 / 72

Línea de playa Diagramas de Voronoi El algoritmo consiste en el tratamiento de estos dos tipos de eventos A medida que los vértices de Voronoi son descubiertos con eventos de vértices de Voronoi, será fácil actualizar el diagrama (suponiendo una representación adecuada de las celdas), y unir todo el diagrama Veamos más a detalle los dos tipos de eventos que utiliza el algoritmo de Fortune Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 43 / 72

Eventos de sitio Diagramas de Voronoi Un evento de sitio se genera cuando la línea de barrido pasa sobre un sitio p i Como mencionamos antes, en el instante en que la línea de barrido toca el punto, su arco parabólico asociado degenera en un rayo vertical que sale hacia arriba del punto en dirección de la línea de playa actual Conforme la línea de barrido baja, este rayo va ampliándose en un arco a lo largo de la línea de playa Para procesar un evento de sitio se determinará el arco de la línea de barrido que se encuentra directamente sobre el nuevo sitio (hagamos la suposición general de que no está inmediatamente abajo de un vértice de la línea de playa) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 44 / 72

Eventos de sitio Diagramas de Voronoi Sea p j el sitio que genera este arco A continuación, dividiremos este arco de la línea de playa en dos mediante la inserción de una nueva entrada para este punto en el estatus de la línea de barrido Inicialmente éste corresponde a un arco infinitesimalmente pequeño a lo largo de la línea de playa, pero conforme la línea de barrido avanza, este arco se volverá más amplio Por lo tanto, la entrada..., p j,... en el estatus de la línea de barrido se sustituirá por la tripleta..., p j, p i, p j... Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 45 / 72

Eventos de sitio Diagramas de Voronoi Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 46 / 72

Eventos de sitio Diagramas de Voronoi Es importante considerar que esta es la única manera en la que nuevos arcos pueden ser introducidos en la línea de playa No vamos a probarlo en clase, pero es recomendable que estudie la demostración presentada en el libro de texto Ya que como consecuencia de ésta, se desprende que el número de arcos en la línea de playa puede ser como máximo 2n 1, ya que cada nuevo punto puede resultar en la creación de un nuevo arco, y la división de un arco existente, para un aumento neto de dos arcos por punto (excepto para el primero) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 47 / 72

Eventos de sitio Diagramas de Voronoi Tenga en cuenta que un punto puede contribuir en general más de un arco a la línea de playa La ventaja de los eventos de sitio es que todos ellos son conocidos de antemano Así, después de ordenar los puntos de acuerdo a sus coordenadas y, todos estos eventos son conocidos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 48 / 72

Eventos de vértices de Voronoi En contraste con los eventos del sitio, los eventos de vértices de Voronoi son generados dinámicamente conforme el algoritmo se ejecuta Al igual que en algoritmo de barrido del plano para intersección de segmentos de línea, la idea clave aqui es que cada uno de esos eventos sea generado por objetos que son vecinos en la línea de playa Sin embargo, a diferencia del algoritmo para la intersección de segmentos donde pares de segmentos consecutivos generan eventos, aquí son tripletas de puntos las que generan los nuevos eventos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 49 / 72

Eventos de vértices de Voronoi En particular, consideremos cualquier tripleta de sitios p i, p j, y p k cuyos arcos aparecen consecutivamente en la línea de playa de izquierda a derecha (ver figura) Por otra parte, supongamos que la circunferencia circunscrita de estos tres sitios cae al menos parcialmente por debajo de la línea de barrido actual (lo que significa que el vértice Voronoi aún no se ha generado) Además de que ésta no contiene puntos que están situados por debajo de la línea de barrido (lo que significa que no hay ningún punto futuro que bloqueará la creación del vértice) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 50 / 72

Eventos de vértices de Voronoi Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 51 / 72

Eventos de vértices de Voronoi Considere el momento en que la línea de barrido llega a un punto en el que es tangente al punto más bajo de este círculo En este instante el centro de la circunferencia circunscrita es equidistante de los tres sitios y de la línea de barrido Por lo que los tres arcos parabólicos pasan por este punto central, lo que implica que la contribución del arco de p j ha desaparecido de la línea de playa Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 52 / 72

Eventos de vértices de Voronoi En términos del diagrama de Voronoi, las mediatrices (p i, p j ) y (p j, p k ) se han unido en un vértice de Voronoi Quedando una sola mediatriz (p i, p k ) Por lo tanto, la tripleta de sitios consecutivos p i, p j, y p k en el estatus de la línea de barrido es remplazada por p i, p k Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 54 / 72

Algoritmo de barrido del plano Ahora podemos presentar el algoritmo de barrido del plano con más detalle Las principales estructuras que vamos a mantener son las siguientes: Diagrama de Voronoi (parcial) Línea de playa Cola de eventos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 56 / 72

Algoritmo de barrido del plano Diagrama de Voronoi parcial: El diagrama de Voronoi parcial que ha sido construido hasta el momento será conservado en cualquier estructura de datos adecuada para almacenar subdivisiones planares, por ejemplo, una lista de aristas doblemente conectada Hay un problema técnico causado por el hecho de que el diagrama contiene aristas no acotadas Para manejar esto vamos a suponer que todo el diagrama está situado dentro de un rectángulo (bounding box). Este rectángulo debe elegirse suficientemente grande para que todos los vértices de Voronoi queden dentro de él Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 57 / 72

Algoritmo de barrido del plano Línea de playa: La línea de playa consiste de una secuencia ordenada de los sitios cuyos arcos parabólicos la forman Es representada mediante un diccionario, por ejemplo un árbol binario balanceado o una lista por saltos (skip list) Como se ha mencionado anteriormente, no se almacenan explícitamente los arcos parabólicos Esos arcos sólo existen para fines de derivar el algoritmo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 58 / 72

Algoritmo de barrido del plano En lugar de almacenar cada arco parabólico sobre la actual línea de playa, guardamos únicamente el sitio que da lugar a este arco La operación clave de búsqueda es aquella que permite ubicar el arco de la línea de playa que se encuentra directamente arriba de un sitio recientemente descubierto Entre cada par consecutivo de sitios p i y p j, hay un punto de corte A pesar de que el punto de corte se mueve en función de la línea de barrido, observemos que es posible calcular la ubicación exacta de éste en función de p i, p j, y la coordenada y actual de la línea de barrido Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 59 / 72

Algoritmo de barrido del plano En particular, el punto de corte es el centro de un círculo que pasa a través de p i, p j y es tangente a la línea de barrido Por lo tanto, como con la línea de playa, no almacenamos explícitamente los puntos de corte En lugar de esto, se calculan sólo cuando se necesitan Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 60 / 72

Algoritmo de barrido del plano Una vez que el punto de corte se calcula, entonces podemos determinar si un sitio agregado recientemente está a su izquierda o a su derecha Usando un ordenamiento de los sitios y primitivas de comparación se puede conducir una búsqueda binaria para encontrar el arco que cae por arriba del nuevo sitio Las operaciones que serviran para mantener la línea de playa son las siguientes: Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 61 / 72

Algoritmo de barrido del plano Búsqueda: Dada la coordenada y actual de la línea de barrido y un nuevo sitio p i, determinar el arco de la línea de playa que se encuentra justo arriba de p i Denotemos p j el sitio que contribuye con este arco Finalmente se devuelve una referencia a esta entrada de la línea de playa Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 62 / 72

Algoritmo de barrido del plano Inserción y división: Se inserta una nueva entrada para p i dentro de un arco p j de la línea de playa Por lo tanto, se hace la sustitución de un arco simple..., p j,... por la tripleta..., p j, p i, p j... Se regresa una referencia a la nueva entrada de la línea de playa para su futuro uso Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 63 / 72

Algoritmo de barrido del plano Eliminación: Dada la referencia a una entrada p j de la línea de playa, se elimina ésta Esto sustituye una tripleta..., p i, p j, p k... con el par..., p i, p k... Como podemos ver no sería difícil modificar una estructura de datos estándar para realizar cada una de estas operaciones en un tiempo O(log n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 64 / 72

Algoritmo de barrido del plano Cola de eventos: La cola de eventos es una cola por prioridad con la capacidad para insertar y eliminar los nuevos eventos También el evento con la mayor coordenada y debe poder ser extraído Para cada sitio almacenamos su coordenada y en la cola Todas las operaciones pueden ser implementadas para ejecutarse en tiempo O(log n) asumiendo que la cola de prioridad se almacena como un diccionario ordenado Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 65 / 72

Algoritmo de barrido del plano Para cada tripleta consecutiva p i, p j, p k en la línea de playa, calculamos la circunferencia circunscrita de estos puntos, lo cual se puede hacer en tiempo O(1) Si el punto extremo inferior del círculo (mínima coordenada y) se encuentra por debajo de la línea de barrido, entonces se crea un evento de vértice de Voronoi cuya coordenada y es la misma que la de ese punto Se almacena este evento en la cola, donde cada uno de esos eventos tiene un apuntador a la tripleta de sitios que lo generó Además cada tripleta consecutiva de sitios cuenta con un apuntador hacia al evento que ésta generó en la cola de eventos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 66 / 72

Algoritmo de barrido del plano El algoritmo procede como cualquier algoritmo de barrido del plano Este inicia con la inserción del vértice extremo superior en el estatus de la línea de barrido Despúes se extrae un evento, se procesa, y se pasa al siguiente evento Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 67 / 72

Algoritmo de barrido del plano Cada evento puede resultar en una modificación del diagrama de Voronoi y de la línea de playa Además también puede resultar en la creación o supresión de los eventos existentes Ahora veremos más a detalle como se procesan los dos tipos de eventos con los que trabaja el algoritmo Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 68 / 72

Algoritmo de barrido del plano Eventos de sitio: Sea p i el nuevo sitio 1 Avanza la línea de barrido l de manera que pase sobre p i. Buscar el arco de la línea de playa que cae inmediatamente arriba de p i, sea p j el sitio correspondiente a ese arco 2 Aplicando la operación de inserción y división, se agrega una nueva entrada para p i, sustituyendo así..., p j,... por..., p j, p i, p j... 3 Se crear una nueva arista en el diagrama de Voronoi, la cual se encuentra en la bisectriz entre p i y p j 4 Algunas tripletas antiguas conteniendo p j podrían ser suprimidas y otras nuevas con p i insertadas, dependiendo del cambio de vecinos sobre la línea de playa. La tripleta creada p j, p i, p j no puede generar un evento porque implica sólo dos sitios distintos Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 69 / 72

Algoritmo de barrido del plano Eventos de vértices de Voronoi: Sean p i, p j y p k los sitios que generaron este evento (de izq. a derecha) 1 Borrar la entrada para p j de la línea de la playa (por lo tanto se elimina su arco) 2 Crear un nuevo vértice en el diagrama de Voronoi (en el circuncentro de {p i, p j, p k }), y unir las dos aristas de Voronoi de las mediatrices (p i, p j ), (p j, p k ) a este vértice (estas aristas se generaron durante el evento de sitio paso 3 del algoritmo anterior) 3 Crear una nueva arista para la bisectriz entre p i y p k 4 Eliminar cualquier evento que surgió de las tripletas que contienen el arco de p j, y generar los nuevos eventos correspondientes a las tripletas consecutivas con p i y p k Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 70 / 72

Análisis de complejidad 1 Diagramas de Voronoi Introducción Algunas aplicaciones Propiedades de los diagrama de Voronoi Construcción de diagramas de Voronoi Análisis de complejidad Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 71 / 72

Análisis de complejidad Análisis de complejidad Cada evento implica un tiempo de procesamiento O(1) más un número constante de operaciones a las distintas estructuras de datos El tamaño de las estructuras de datos es O(n), y cada una de estas operaciones consume un tiempo O(log n) Por lo tanto, el tiempo total es O(n log n), y el espacio total es O(n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Diagramas de Voronoi 15 de marzo del 2013 72 / 72