Matemáticas I, 01-I Hay varios nociones claves en las matemáticas. Una de ella es la de función. A lo largo del año volveremos a ver este concepto bajo diferentes puntos de vista. Empezaremos con una idea intuitiva de función. La función como máquina Por lo pronto usaremos una idea intuitiva: una función es como una máquina que transforma un número dado (la entrada) en otro número (la salida). Una función la visualizaremos como la entrada la función la salida Ejemplo 1. La siguiente ilustración muestra las funciones de (a) duplicar, (b) aumentar por uno y (c) elevar al cuadrado al operar en un número cualquiera. (a) (b) + 1 + 1 (c) La evaluación Una función puede ser evaluada en cualquier número. 10 0 5-1
Matemáticas I, 01-I La composición de funciones Las funciones se pueden componer, es decir aplicar una tras otra. Ejemplo. Primero duplicar y después aumentar por uno se verá así: + 1 + 1 Se debe observar que el orden es importante: primero aumentar por uno y luego duplicar es algo diferente. + 1 ( + 1) La composición de funciones puede servir para describir cómo se construye un término complicado a partir de pasos chicos. Ejemplo. Diseña una máquina que produce a partir de la entrada el término + 1. El término es una suma de y 1, así que el último paso es él de sumar 1: + 1 + 1 El término que sirve de entrada: es un producto de por por lo tanto podemos verlo como la salida de la función de duplicar: + 1 + 1 Pero ahora ya no necesitamos denotar lo que se encuentra entre las dos máquinas: + 1 + 1 De esta manera podemos proceder a descomponer: 5-
Matemáticas I, 01-I + 1 + 1 y obtenemos finalmente: + 1 + 1 La función inversa A la máquina que deshace (o invierte) todo lo que hace una función dada se le llama la función inversa de la función dada. Ejemplo 4. Lo inverso de duplicar por dos es dividir entre dos y lo inverso de aumentar por uno es disminuir por uno. Si la máquina es compuesto como por ejemplo: ( ) + 1 + 1 entonces la función inverse de ésta también podemos verla como compuesta: 1 + 1 Esta función se escribirá de izquierda a derecha como ( ) y 1 y 1 Coneión con las ecuaciones Algunas (pero no todas) las ecuaciones pueden resolverse usando la estrategia de pensar en las funciones inversas. Si la incógnita aparece sólo en un lado y solamente una vez entonces la estrategia es eitosa. 5-
Matemáticas I, 01-I Ejemplo 5. Si queremos resolver la ecuación + 1 = 5 entonces podemos observar que el lado izquierdo es justo lo que produce la máquina ( ) a partir de. Por ello: si aplicamos la función inversa de ( ) (que calculamos en ( )) a ambos lados de la ecuación obtenemos del lado izquierdo justo. Del lado derecho obtenemos: ( ) 5 1 5 1 = Por ello obtenemos =. Veamos lo que hace la máquina inversa ( ) paso a paso con la ecuación: Primero resta uno luego divide entre dos: + 1 = 5 1 = 4 = Esto es justo lo que haríamos para resolver la ecuación dada. El ejemplo puede parecer demasiado sencillo, pero este mismo principio aplica aún en ejemplos más complicadas. Observamos lo siguiente: Para construir la máquina que produce el término dado que contiene la incógnita se analiza este término. Se construye la máquina desde el final hacia al principio. Se invierte la máquina y luego se aplica la máquina inversa en ambos lados. Realmente no es necesario construir las máquinas. Es suficiente analizar el término y hacer paso a paso lo correcto para simplificar el término. 5-4
Matemáticas I, 01-I 1 Diseña las siguientes funciones como máquinas compuestas: (a) Duplicar primero, luego restar 5 y finalmente dividir entre. (b) Restar uno, luego dividir entre dos y luego sumar 10. Diseña unas máquinas compuestas que producen los siguientes términos a partir de la incógnita : (a) (+1) (b) ( + 1) (c) A disposisión se encuentran las siguientes máquinas elementales: + (a) Cuántas máquinas compuestas puedes diseñar a partir de estas si cada máquina elemental debes usar eactamente una vez (b) Cuántas máquinas compuestas puedes diseñar a partir de estas si cada máquina elemental puedes usar a lo máimo una vez (c) Cuántas máquinas compuestas puedes diseñar a partir de estas si a lo máimo puedes usar tres máquinas elementales (pero estas se pueden repetir) (d) Describe los términos que se obtienen con la entrada para cada una de las máquinas que diseñaste en (a). 4 Diseña la máquina inversa en cada caso: (a) jaja (b) jaja + 1 (c) jaja 1 1 5-5
Matemáticas I, 01-I 5 Se cuenta con la siguiente máquina: + 1 + 1 (a) Cuál número sale si la entrada es de 18 (b) Cuál número hay que dar de entrada para que salga el número 11 (c) Cuál término sale si la entrada es (d) Cuál término hay que dar de entrada para que salga la salida y 6 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando lo que ahora aprendiste. (a) + 5 = 5 (b) 6 = + 4 (c) + 1 + 1 = 5 (d) + + 5 + 6 7 = 1 5-6