Práctica 2. Producto interno 1. (a) Encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes a 11, a 12, a 21 y a 22 para que la expresión defina un producto interno en R 2. (u, v) = a 11 u 1 v 1 + a 12 u 1 v 2 + a 21 u 2 v 1 + a 22 u 2 v 2 (1) (b) Compruebe que la expresión (1) puede escribirse en forma compacta (u, v) = u T Av con A R 2 2. Cómo pueden expresarse las condiciones que halló en el punto anterior en términos de la matriz A? 2. Sea V un K-espacio vectorial, K=R o C, con producto interno y sea la norma inducida. Pruebe lo siguiente: (a) u v u v para todo u y v en V. (b) Si u y v son ortogonales entonces u + v 2 = u 2 + v 2 (Pitágoras). Es verdadera la recíproca? (c) Re(u, v) = 1 4 ( u + v 2 u v 2 ) u, v V (d) (u, v) = si y solo si αu + βv 2 = αu 2 + βv 2, α, β K. (e) u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) u, v V. (Ley del paralelogramo.) (f) Si V es un C-espacio vectorial, (u, v) = 1 4 ( u + v 2 u v 2 ) i 4 ( u + iv 2 u iv 2 ) u, v V. (Fórmula de polarización). 3. (a) Encuentre el ángulo entre los vectores de R 3 u = [1 2 1] T y v = [2 1 3] T,
considerando primero el producto interno canónico (u, v) = u T v y luego el producto interno (compruébelo) (u, v) = 3u 1 v 1 + 2u 2 v 2 + u 3 v 3. (b) Encuentre todos los vectores de R 3 que son ortogonales a w = [1 2 ] T con el producto interno canónico. Qué clase de conjunto forman? [ ] [ ] 1 3 2 2 (c) Encuentre el ángulo entre los vectores de R 2 2 u = y v = considerando el 2 4 2 producto interno (A, B) = tr(a T B). Escriba la expresión de (A, B) en términos de los coeficientes de A y de B. Generalice para matrices de n n. 4. (a) Demuestre que en P 2, (a + a 1 t + a 2 t 2, b + b 1 t + b 2 t 2 ) = a b + a 1 b 1 + a 2 b 2 define un producto interno tal que la base B = {1; t; t 2 } es ortonormal. (b) En P 2 con el producto interno dado por determine una base ortonormal del subespacio que contiene a todos los polinomios ortogonales a p(t) = t. Calcule el ángulo entre t y t 2 t + 1. Halle a R para que f g, siendo f(t) = t 2 + at y g(t) = t 1. (c) Demuestre que es un producto interno en C[, 1]. Escriba la desigualdad de Schwarz para este caso. (d) En C[ π, π] con el producto interno dado por 1 π π π determine el ángulo entre f(t) = cos(t) y g(t) = cos(t + δ), para δ π. 5. Sea V un K-espacio vectorial, K = R o C, con producto interno y B = {v 1 ; v 2 ; v 3 } una base ordenada de V. Demuestre que (u, v) = [u] H B G[v] B con (v 1, v 1 ) (v 1, v 2 ) (v 1, v 3 ) G = (v 2, v 1 ) (v 2, v 2 ) (v 2, v 3 ). (v 3, v 1 ) (v 3, v 2 ) (v 3, v 3 )
A la matriz G se la denomina matriz del producto interno en la base ordenada B. Note que G es hermítica, es decir, G = G H, y definida positiva, es decir, x H Gx > para cualquier x K 3 distinto de cero. Deduzca que G es inversible. 6. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, K = R o C, y B una base ordenada de V. Pruebe que dada una matriz A hermítica y definida positiva, para u, v V la expresión (u, v) = [u] H B A[v] B define un producto interno en V. 7. (a) Halle la matriz G del producto interno en el caso en que V = C 3, B = {[1 i ] T ; [1 1 1] T ; [i ] T } con el producto interno es el canónico ((u, v) = u H v). (b) Suponga que (, ) es un producto interno en R 3 tal que B = {[1 1 1] T ; [ 1 1] T ; [ 1 ] T } es una base ortonormal. Calcule (v 1, v 2 ) siendo v 1 = [1 1 1] T y v 2 = [ 2 2] T y halle la matriz G del producto interno en la base canónica. 8. Halle el punto de S más cercano a v V y calcule d(v, S) en cada uno de los siguientes casos: (a) S = gen{[1 1 1] T, [1 1 ] T }, v = [1 ] T y el producto interno es el canónico de R 3. (b) S = gen{[i 1 1 + i] T }, v = [a b c] T y el producto interno es el canónico de C 3. (c) S = gen{1, t 1 2 }, v(t) = t2 + t + 1 y el producto interno está dado por. (d) S = gen{1, t}, v(t) = e t y el producto interno se define por Grafique v(t) y el vector de S obtenido e interprete geométricamente. 9. Sea P S la proyección ortogonal sobre el subespacio S del espacio vectorial V. Demuestre lo siguiente: (a) P S v = v para todo v S. (b) v 2 = P S v 2 + v P S v 2 para todo v V. (c) P S v v para todo v V ( en qué caso se cumple la igualdad?). (d) Todo v V se puede escribir v = v 1 + v 2 con v 1 S y v 2 S. Es única la descomposición?
1. Sea (.,.) un producto interno en R n (a) Sean v 1, v 2, v 3 unitarios tales que (v 1, v 2 ) = (v 1, v 3 ) =.5. Cuáles son los valores que podría tomar (v 2, v 3 ) y cuál podría ser el ángulo entre v 2 y v 3? (b) Sea L subespacio de R n de dimensión 1. Existe x R n tal que (x, P L x) <? Interprete geométricamente en el caso n=2 con el producto interno canónico. 11. Sea P con el producto interno dado por Sean f, g, h P tales que (,) f g h f 4 8 g 1 3 h 8 3 5 (a) Halle (f, g + h) y g + h (b) Halle P S (h) para S = gen{f, g} (c) Halle base ortonormal del subespacio generado por {f, g, h} 12. Mediante el procedimiento de Gram-Schmidt halle (a) una base ortogonal del subespacio S generado por los siguientes vectores de R 4 : [1 1 1 1] T, [2 1 1 1] T, [ 2 2 1] T, (b) una base ortonormal de P 2 con el producto interno definido por a partir de la base canónica {1, t, t 2 }. (c) una base ortonormal para los subespacios fundamentales asociados a A = 1 1 2 1 1 1 3 1 1 13. Sean A R m n y S = {x R n : Ax = }. Demuestre que S está generado por las filas de la matriz A si se considera el producto interno canónico. Qué relación puede establecer entre dim(s),
dim(s ) y el rango de la matriz A? Si reemplaza R por C quiénes generan S? 14. Halle bases de los complementos ortogonales de los siguientes subespacios: (a) S = {x R 3 : 2x 1 + x 2 x 3 = }. (b) S = {x R n : x 1 = x 2 =... = x r = }. (c) S = {x C 4 : x 1 ix 2 + (1 i)x 3 = (2 + i)x 2 + x 4 = }. 15. Considere el producto interno canónico de K n. K = R o C.Sean u, x K n, u = 1. Muestre que que (a) (I uu H )x es la proyección ortogonal de x sobre {u} (b) uu H x es la proyección ortogonal de x sobre gen{u} (c) u H x es la longitud de la proyección ortogonal de x sobre gen{u} (d) Sea R = I 2uu H Verificar que R = R H = R. R es la llamada transformación de Householder. Interprete geométricamente la transformación Rx en el caso K = R con n = 2 y n = 3. En este caso, si P = I uu T representa a la proyección sobre gen{u}, qué resulta ser P Rx? (e) Dado x = 1 3 2 2 utilice la definición de R para construir una base ortonormal de R4 que contenga a x.(sugerencia: observe que, definiendo u = x e 1 x e 1, donde e 1 es el primer vector de la base canónica de R 4, resulta que Rx = e 1 ). 16. (a) Sea V = {f : R R/f(x) = (a + bx + cx 2 )e x }. Pruebe que dim(v ) = 3 y que define un producto interno en V. f()g() + f(1)g(1) + f()g() (b) Dado S = {f V/f() = f() = }, descomponer g(x) = (1 + x)e x como suma de un vector de S con uno de S considerando el producto interno definido en el item anterior. 17. Sea (.,.) un producto interno en R 3 tal que B = {[1 2 1] T, [1 1 1] T, [1 1 ] T }
es una base ortonormal. Dado S = gen{[ 1] T }, hallar todos los x R 3 que verifican y además (x, [1 2 1] T ) = dist(x, S) = dist(x, S ) = 2 (con la distancia asociada al producto interno dado) 18. En P 2 con el producto interno dado por (a + a 1 t + a 2 t 2, b + b 1 t + b 2 t 2 ) = a b + a b 1 + a 1 b + 4a 1 b 1 + a 2 b 2 dado S = {p P 2 /p() = p ()}, hallar todos los q P 2 tales que q = 8 y además proy S (q) = 4 t + 2t 2. 19. En R 4 considere el producto interno canónico. Sean A = S y W de R 4 tales que Calcular la proyección de [1 1 1 1] T sobre W. S = gen{[1 1 ] T, [1 1] T } S W = col(a) W S 1 1 2 1 1 1 1 y los subespacios 2. Sean V un espacio vectorial real con producto interno (.,.), B = {v 1, v 2, v 3 } base de V tal que {v 1 v 2, v 1 + v 2, v 3 2v 1 } es una base ortonormal de V. Dado S = gen{v 1, v 2 } calcular dist(2v 3 4v 1, S) y v 1 + v 2 + v 3. 21. Considere el producto interno canónico en R 3. Sean S = {x R 3 /x 1 + x 2 x 3 = } y U = gen{[1 1 ] T }. Demuestre que W = {x R 3 /proy S (x) U} es subespacio de R 3 y halle una base. 22. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno (.,.) y S un subespacio de V. Sean u, v V tales que (u, w) = (v, w) w S. Probar que proy S (u) = proy S (v).