3. Cinemáica 3. CINEMÁTICA La cinemáica se ocupa de descibi el moimieno sin oma en cuena sus causas. El moimieno consise en el cambio de posición de los objeos con el paso del iempo y paa comenza coniene aclaa como se especifica la posición de un objeo. Paa eso hace fala efeilo a algún oo, po ejemplo al obseado. Eso equiee da aios daos como la disancia ene obseado y objeo, en que diección se halla ése, la oienación del objeo en el espacio, ec. bjeo punifome Un puno es el objeo más simple. Como no iene paes, no iene senido habla de su oienación. Enonces su posición se conoce si se conoce el segmeno oienado que a del obseado al objeo A (Fig. 3.1a). Basa pues especifica al eco A, o más beemene, se puede indica la posición con A, dando po sobenendido el obseado. Es úil a eces considea un sisema de coodenadas caesianas con oigen en. En ese caso la posición de A queda deeminada po las es coodenadas A, ya, za que son, naualmene, las componenes del eco A en el sisema, y, z: = ˆ + y yˆ + z zˆ (3.1) A A A A siendo ˆ, ˆ, ˆ y z ecoes uniaios (esoes) en la diección de los ejes (Fig. 3.1b). z A A z A A z` A A ` ỳ y A y Fig. 3.1. Posición de un objeo punual: el eco posición, las componenes caesianas del eco posición. bjeo eenso y cuepo ígido Si el objeo es eenso el poblema se complica. En geneal podemos supone que un objeo eenso esá consiuido po un conjuno de (infinios) punos. Luego paa conoce su posición necesiaíamos conoce la posición de odos esos (infinios) punos. Eso planea una dificulad seia. Hay dos caminos paa aanza. El más geneal es el que se emplea en la Mecánica del Coninuo (que eemos más adelane). El más simple consise en usa el modelo de objeo (o cuepo) ígido. Un objeo ígido iene la popiedad que la disancia ene dos cualesquiea de sus punos A y B es siempe la misma cualquiea sea el moimieno del cuepo (Fig. 3..a). No hay en ealidad cuepos pefecamene ígidos en la naualeza y po eso el objeo ígido es un mo- 31
3. Cinemáica delo. Peo muchas eces ocue que las defomaciones que sufe el objeo en su moimieno son muy pequeñas y a los fines pácicos despeciables. En ese caso podemos aplica el modelo sin emo de equiocanos seiamene. Po ejemplo si esudiamos el moimieno de una pieda que cae la podemos considea como ígida. Una bola que ueda po un plano inclinado se puede considea ígida (aunque en ealidad sufe defomaciones muy pequeñas). B B A A C Fig. 3.. bjeo ígido: la disancia ene dos punos cualesquiea A y B es siempe la misma, es punos cualesquiea (no alineados) del cuepo deeminan su posición. Supongamos que queemos especifica la posición de un cuepo ígido Cuános daos hacen fala? Es eidene (Fig. 3..b) que la posición del cuepo queda deeminada si se conoce la de es cualesquiea de sus punos (con al que no esén alineados). Podemos enonces pocede del modo que descibimos a coninuación. Comenzamos po deemina la posición de un puno cualquiea A. Paa eso necesiamos conoce A = Aˆ + yayˆ + zazˆ, o sea es daos. Deeminamos ahoa la posición de oo puno B; como A ya se ha fijado y la disancia de A a B es fija (cuepo ígido) el puno B no puede esa en cualquie pae: iene que esa sobe la supeficie de una esfea con ceno en A y adio igual a la disancia AB. Peo sabemos que paa fija la posición de un puno sobe una esfea basan dos daos (po ejemplo la laiud y la longiud en la Tiea). Luego, conocido A, la posición de B queda deeminada po dos daos (no ineesa ahoa discui cuáles son, en geneal seán dos ángulos). Conocida la posición de A y de B ambién esá deeminada la de odos los punos de la eca AB que pasa po ambos. Como las disancias AC y BC son fijas la disancia de C a la eca AB es ambién fija. Luego C se iene que encona en algún puno de una cicunfeencia con ceno en dicha eca. Basa enonces un dao más paa deemina la posición de C. En sínesis se necesian 3+ + 1= 6 daos paa fija la posición de un cuepo ígido: la posición de un puno cualquiea A y es ángulos que definen la oienación del cuepo 1. También se llega al mismo esulado de la siguiene foma: es punos A, B, C no alineados fijan la posición del objeo; la posición de esos punos equiee conoce 3 3= 9 daos, peo esos daos no son independienes ya que se cumplen las es condiciones AB = ce., AC = ce. y BC = ce.. Luego 9 3= 6 daos independienes fijan la posición. 1 Ve el Capíulo 1. 3
3. Cinemáica Gados de libead y ínculos Se dice que un cuepo iene n gados de libead si se equieen n paámeos independienes paa fija su posición. A cada paámeo independiene le coesponde un gado de libead. Cada gado de libead coesponde a un posible moimieno del cuepo en el cual aía el paámeo coespondiene a ese gado de libead. El moimieno más geneal consisiá en que aíen simuláneamene los paámeos coespondienes a odos los gados de libead. En base a la discusión pecedene podemos hace la siguiene abla: Tabla 3.1. Gados de libead y posibles moimienos. bjeo: Gados de libead: Moimienos: Punifome 3 aslaciones Cuepo ígido 6 aslaciones y oaciones Cuepo defomable infinios aslaciones, oaciones y defomaciones Un objeo se muee cuando su posición aía en el iempo. El moimieno más geneal de un objeo punifome es una aslación (en es dimensiones). El moimieno más geneal de un objeo eenso y ígido es una combinación de aslación y oación. Sin embago en muchos casos hay condiciones maeiales, denominadas ínculos, que limian los moimienos del objeo. Po ejemplo, una polea esá obligada a gia alededo de un eje fijo. En ese caso si el eje es inmóil la polea iene un solo gado de libead. z = f(s) y = g(s) z = h(s) s z z = f(,y) z y y y (c) Fig. 3.3. Disinas clases de moimieno: unidimensional, bidimensional, (c) idimensional. Consideemos un objeo punifome. Cuando el móil esá obligado a desplazase siguiendo una línea deeminada (como una homiga que camina sobe una cueda) endá un gado de libead y el moimieno se dice unidimensional (Fig. 3.3a). En ese caso la posición depende de un único paámeo, que puede se (po caso) la disancia s medida a lo lago de la línea a pai de un puno elegido como oigen. Si el objeo esá obligado a moese sobe una supeficie dada sus coodenadas, y, z no son independienes, pues se cumple que z = z(, y) po esa sobe la supeficie. Po eso una ouga que camina sobe el suelo iene dos gados de libead (Fig. 3.3b). Decimos en ese caso que el moimieno es bidimensional. Un ae elige libemene hacia donde ola (Fig. 3.3c) y po lo ano su moimieno de aslación iene es gados de libead. 33
3. Cinemáica Cinemáica de los moimienos aslaoios En lo que queda de ese Capíulo consideaemos solamene moimienos de aslación. Si no hay ínculos y si no se oman en cuena las oaciones del móil, ése iene 3 gados de libead. A los fines pácicos cuando sólo consideamos aslaciones odo objeo se puede considea punifome, cualquiea sea su amaño, a condición de elegi un puno del mismo y esudia las aslaciones de ese puno. En el caso de un cuepo eenso que se muee en es dimensiones (como una pieda que se ha aojado) coniene elegi el ceno de masa o baiceno del mismo, ya que como eemos más adelane la descipción del moimieno del baiceno es más simple que la del moimieno de cualquie oo puno del cuepo. Si consideamos un moimieno en una dimensión, como el desplazamieno de un en sobe una ía, lo podemos aa como un objeo punifome aunque iene muchos meos de longiud. La elección del puno epesenaio es abiaia ya que odos los punos del en ienen un moimieno unidimensional y basa conoce la posición de uno cualquiea de ellos (po ejemplo una maca sobe el paagolpes delaneo deecho de la locomooa) paa sabe donde esá ubicado el eso del en. Tayecoia Nos ineesa esudia ahoa cómo se poduce el moimieno, cuáles son las magniudes que lo desciben y qué elaciones hay ene ellas. La pimea noción que podemos inoduci es la de ayecoia. Como esamos esudiando aslaciones aaemos objeos punifomes (si el móil es eenso omaemos en consideación uno de sus punos). A medida que anscue el iempo el móil ocupa posiciones disinas, de modo que su posición es función del iempo, es deci = () (3.) La (3.) es una ecuación ecoial (equialene a es ecuaciones en éminos de las componenes de ) que descibe la línea que une los punos po los que pasa el móil a medida que anscue el iempo. Dicha línea 3 se denomina ayecoia del móil. L s() 1 3 1 3 Fig. 3.4. Moimienos unidimensionales: a lo lago de una cua, según una eca. La cinemáica de las oaciones de un cuepo ígido se aa en el Capíulo 1. 3 Aención a no confundi concepos: odo moimieno sigue una ayecoia peo eso no quiee deci que sea unidimensional. El uelo de una mosca no es un moimieno unidimensional pese a que sigue una línea, poque la mosca a donde quiee: no hay ínculos que la obliguen a segui una ayecoia deeminada. El moimieno es unidimensional sólo cuando el móil esá obligado a segui una línea fijada de anemano. 34
3. Cinemáica En geneal la ayecoia de un móil es una cua en el espacio y puede se muy complicada. Comenzaemos esudiando las ayecoias más simples que son las que coesponden a moimienos unidimensionales, po ejemplo un moimieno a lo lago de una eca, o a lo lago de una línea deeminada como el de un en a lo lago de la ía (Fig. 3.4a). En ese caso la ecuación ecoial (3.) se educe a una única ecuación s = s(), sonde s es el aco medido a lo lago de la línea. Paa fija ideas consideaemos moimienos ecilíneos, peo lo que se diga ale paa odo moimieno unidimensional. Moimieno en una dimensión La Fig. 3.4b epesena sucesias posiciones de un móil que se desplaza a lo lago de una eca. Podemos oma un oigen y medi en cada insane su posición. Así 1,, 3, son las posiciones del móil en 1,, 3, Esa es una manea de descibi el moimieno. Una manea más úil de epesenalo es mediane la línea hoaia (Fig. 3.5a). La línea hoaia del móil es la línea = () que epesena las sucesias posiciones que ocupa en función del iempo. 3 1 Faculad Callao Tibunales 9 de Julio 1 3 Caedal Fig. 3.5. Un móil que se desplaza a lo lago de una eca: línea hoaia que descibe el moimieno; línea hoaia de un en subeáneo. La Fig. 3.5b epesena la línea hoaia de un en subeáneo que pae en = desde Caedal hacia Palemo. Los amos hoizonales donde la posición no cambia duane un inealo epesenan los lapsos en que el en esá deenido en las esaciones. A pai del diagama de líneas hoaias podemos apecia aias popiedades del moimieno, que comenaemos ahoa. Velocidad La Fig. 3.6 muesa las líneas hoaias de dos móiles que en el insane 1 esaban ambos en el puno 1. El móil A, que a más ligeo, llega a en, anes que el móil B que llega a ese luga ecién en ( > ). Se e enonces que cuano más ápido es el móil, ano más empinada es la línea hoaia coespondiene, poque emplea menos iempo en ecoe la misma disancia. Podemos hace más peciso ese concepo definiendo la elocidad media como 1 = 1 1 = El subíndice 1 y la baa indican que se aa de la elocidad media en el amo 1. (3.3) 35
3. Cinemáica 1 D D A B 1 a D D 1 ' 1 Fig. 3.6. Velocidad media: dos móiles que se desplazan de 1 a con difeenes elocidades medias, obención gáfica de la elocidad media. Toda ez que se inoduce una magniud física coesponde especifica sus dimensiones y las unidades en que se mide. Claamene, de la definición (3.3) esula que [] = [/] l (3.4) y enonces las unidades de la elocidad seán cm/s en el sisema cgs, o bien m/s en el sisema MKS (1 m/s = 1 cm/s). Cuando se iaja en auomóil es usual medi la elocidad en km/h: 1 m 1 km/h = =. 777 m/s = 7. 77 cm/s 36 s Los aloes de y se pueden obene del gáfico de la línea hoaia si se conocen las escalas del mismo. La escala de disancias diá, po ejemplo, que 1 cm del gáfico epesena e cm ecoidos, la escala de iempos diá que 1 cm del gáfico epesena e segundos. Luego (3.5) = e, = e (3.6) g g donde g y g son las longiudes en cm de los especios segmenos, al como se miden en el gáfico po medio de una egla (e Fig. 3.6b). Enonces: e g e 1 = = = e e g an α ~ anα (3.7) Luego la elocidad media es popocional a la angene del ángulo α que foma la cueda de la línea hoaia con el eje de las abscisas. La elocidad media es un concepo úil como sabe quien iaja y quiee sabe cuándo llegaá a desino, peo depende de dos posiciones y dos insanes de iempo ( 1, y 1, ) y no se elaciona de un modo sencillo con el ipo de moimieno. Po ejemplo la Fig. 3.7a muesa es líneas hoaias de 1 a que ienen el mismo alo de 1 : (i) descibe un móil que empezó yendo hacia, se paó, olió hacia aás, se paó oa ez y se puso en moimieno muy ligeo llegando finalmene a ; (ii) es un moimieno basane paejo 36
3. Cinemáica de 1 a ; (iii) es un moimieno que empezó muy ápido, luego se fenó y ecoió lenamene la úlima pae del ayeco. (iii) (i) (ii) D D 1 1 D 1 1 a D 1 1 Fig. 3.7. Tes móiles que se desplazan de A a B con igual elocidad media, definición de la elocidad insanánea. Un concepo mucho más úil es la elocidad insanánea. Consideemos la línea hoaia = () de un móil. Sea 1 el puno de la misma que coesponde a la posición 1 que el móil ocupa en 1. (Fig. 3.7b). Si es un puno de la línea hoaia póimo a 1, se define como elocidad insanánea del móil en el insane 1 a d = lim = = lim d 1 1 1 = 1 (3.8) Si α es la pendiene de la línea hoaia en 1 es eidene que 1 = ( e / e)anα. En geneal definiemos la elocidad insanánea como la deiada de () con especo del iempo: d = (3.9) d En lo sucesio paa efeinos a la elocidad insanánea omiiemos el calificaio y hablaemos de elocidad a secas. En geneal aiaá de un puno a oo (en la Fig. 3.7b la pendiene de la línea hoaia es difeene en de lo que es en 1, y po lo ano ). 1 Moimieno ecilíneo unifome Un caso muy simple de moimieno ecilíneo es aquél en que la elocidad no aía con el iempo ( = ce.). La línea hoaia de un moimieno ecilíneo unifome (en lo sucesio MRU po beedad) es una eca cuya pendiene es popocional a (Fig. 3.8a) y su ecuación es = (3.1) de donde se iene que = + ( ) (3.11) 37
3. Cinemáica ( ) ( ) Fig. 3.8. Moimieno ecilíneo unifome: la línea hoaia = (), = ce. Aceleación Cuando aía con es úil defini una magniud que desciba esa aiación. Análogamene a como definimos la elocidad media y la elocidad insanánea paa el caso en que la posición aía con el iempo podemos defini (Fig. 3.9a) la aceleación media a como a 1 = 1 1 = y la aceleación insanánea (Fig. 3.9b) o aceleación (a secas) como (3.1) a d = lim = d 1 = 1 (3.13) D 1 1 D b 1 1 b 1 1 1 Fig. 3.9. Aceleación: media, insanánea. En geneal, definiemos la aceleación como d a = d d = d (3.14) 38
En el MRU la elocidad es consane y enonces la aceleación es nula en odo momeno. De la definición (3.14) podemos obene las dimensiones de la aceleación como 3. Cinemáica [ a] = [ ]/[ ] = [ l ] (3.15) Las unidades de aceleación seán el cm/s en el sisema cgs y el m/s en el sisema MKS. La unidad cgs de aceleación se llama Galileo (abeiado gal) en hono al célebe físico ialiano. Naualmene 1 gal = 1 cm/s =1 m/s. De la (3.14) esula d = a d, de donde obenemos = + a( ) d (3.16) donde = ( ). El cálculo de la inegal equiee conoce la aceleación a como función del iempo. Una ez calculada la elocidad podemos obene la posición ( = ( )) como = + ( ) d = + ( ) + d d a( ) (3.17) a( ) a a a( ) (c) Fig. 3.1. Moimieno ecilíneo unifomemene aceleado: posición, elocidad, (c) aceleación. 39
3. Cinemáica Moimieno unifomemene aceleado Un caso paiculamene ineesane (e impoane) de moimieno aceleado es el moimieno unifomemene aceleado (MUA) que es aquél que iene luga cuando la aceleación es consane. Si a = ce. de la (3.16) obenemos de inmediao = + a( ) (3.18) y susiuyendo ese esulado en la (3.17) esula = + ( ) + a( ) (3.19) 1 que es la ecuación que descibe el MUA. En la Fig. 3.1 epesenamos la disancia ecoida, la elocidad y la aceleación como funciones del iempo paa el MUA. En la misma se apecia que () es una paábola, y () es una eca y a es una eca paalela al eje de las abscisas. z h = = g Fig. 3.11. Caída libe en el acío. Caída libe en el acío Un caso muy impoane de MUA es la caída de los cuepos bajo la acción de la gaedad. Se debe a Galileo el descubimieno que odos los cuepos que esán ceca de la supeficie eese caen con una aceleación consane. En ealidad las cosas son más complicadas debido a la pesencia del aie, que ofece esisencia al moimieno. Peo si se hace la epeiencia en el acío se obsea que odos los cuepos caen con una aceleación consane, que además es la misma paa odos cualquiea sea su foma, su amaño y el maeial que los compone. Esa aceleación ecibe el nombe de aceleación de la gaedad y se indica con g. Su alo depende del luga de la Tiea en que nos enconamos y de la alua sobe el niel del ma. En el Capíulo 9 aaemos en dealle el poblema de los aloes de g. Peo paa muchos cálculos se puede oma el alo apoimado 4
3. Cinemáica g 98 gal = 9. 8 m/s (3.) Consideemos un cuepo que dejamos cae desde una alua h en el insane =. Sea z la coodenada eical medida a pai del suelo y posiia hacia aiba (e Fig. 3.11). Las ecuaciones del moimieno se obienen de las (3.18) y (3.19) con a = g, = y z = h; esula enonces = g, z = h 1 g (3.1) El iempo c que ada el cuepo en cae desde h hasa el suelo esá dado po c = h/ g (3.) Moimieno en es dimensiones Cuando el móil descibe una ayecoia geneal = () el moimieno se puede analiza, si se quiee, como la supeposición de es moimienos unidimensionales consideando las poyecciones de en una ena, y, z; endemos así que = (), y = y(), z = z(). Paa cada poyección se pueden enonces aplica las consideaciones pecedenes aceca del moimieno a lo lago de una eca. Así definiemos las componenes de la elocidad y de la aceleación como = d/ d y a = d / d = d / d, y análogamene paa las componenes y, z. Esa foma de pocede es úil cuando a no depende de y, z, y análogamene paa a y, a z. Sin embago es más pácico y más inuiio descibi el moimieno en foma ecoial. Si = () podemos defini la elocidad como d = lim = = (3.3) d Aquí el puno indica la deiada especo del iempo de q, donde q es una magniud cualquiea escala o ecoial. biamene es angene a la ayecoia. La aceleación se define ecoialmene como donde dos punos indican la deiada segunda de q especo de. d d a = = = = (3.4) d d Tena inínseca Paa esudia la aceleación coniene pimeo ecoda algunas nociones de geomeía. Sea una cua C en el espacio (e Fig. 3.1) y sean P 1, P, P 3 es punos de C. Como odos sabemos de la geomeía elemenal, es punos cualesquiea no alineados definen un plano Π, y en ese plano definen un cículo C cuyo adio indicaemos con ρ. Si desplazamos P 1, P, P 3 con coninuidad a lo lago de C cambiaá la oienación de Π y ambién se modificaán C y ρ. Si P 1, P, P 3 ienden a un único puno P (es deci si P 1, P, P 3 P) el plano Π y el cículo C ienden a límies Π ( P ), C( P ) y ρ iende a un alo ρ( P ). Con ese paso al límie podemos asocia a cada puno P de C un plano Π ( P ) que se denomina plano osculado de C en P, un cículo C( P ) que se llama cículo osculado de C en P y un adio de cuaua ρ( P ) de C en P (Fig. 3.13). Se conocen fómulas que pemien halla esos elemenos dadas las ecuaciones de C, peo eso no nos 41
3. Cinemáica ineesa ahoa. Lo que aquí impoa es solamene ene la imagen inuiia del plano osculado, el cículo osculado y el adio de cuaua 4 en cada puno de C. C C P P 1 P P 3 Fig. 3.1. Tes punos póimos de la ayecoia deeminan un plano y un cículo. Usando esos concepos podemos defini en cada puno de C una ena inínseca (inínseca poque esá asociada a la cua misma) fomada po es ejes pependiculaes ene sí (Fig. 3.14) cuyas diecciones idenificaemos mediane es esoes ˆ, ˆn, ˆb definidos de la manea siguiene: ˆ es angene a C en P, ˆn es pependicula a ˆ y se diige hacia el ceno de C( P ) y bˆ = ˆ nˆ es pependicula al plano osculado, de modo que ˆ, ˆn, ˆb (en ese oden) foman una ena deecha. El eso ˆ se llama angene, el ˆn nomal, y el ˆb binomal de C en P. C(P) b` P ǹ C (P) (P) ` P (P) Fig. 3.13. Plano osculado, cículo osculado y adio de cuaua de C en P. Velocidad y aceleación en un moimieno cuilíneo geneal Mediane la ena inínseca es simple analiza la elocidad y la aceleación cuando C ( ) es la ayecoia de un móil 5. En efeco, de la Fig. 3.15 es eidene que ( es el módulo de ): d = = ˆ (3.5) d 4 Una foma sinéica de epesa esos concepos es deci que el cículo osculado es el cículo definido po es punos de C infiniamene póimos, que el plano de ese cículo es el plano osculado y su adio el adio de cuaua. 5 No confundi el símbolo que epesena el iempo con el símbolo que designa el eso angene. 4
3. Cinemáica C ` b() ` n() ` () () Fig. 3.14. Tena inínseca. C d = d C b` ǹ ` () ( +d) Fig. 3.15. La elocidad en un moimieno cuilíneo geneal. La aceleación se obiene deiando especo del iempo la (3.5). Resula d a = + d ˆ ˆ d d (3.6) Paa e que significa la (3.6) enemos que calcula d ˆ / d. bseando la Fig. 3.16 emos que dˆ = dα nˆ y que ρdα = d, po lo ano dˆ = nˆ (3.7) d ρ Susiuyendo en la (3.6) obenemos finalmene d a = ˆ + nˆ d ρ (3.8) 43
3. Cinemáica En geneal la aceleación es la suma de dos éminos. El pimeo, ( d / d)ˆ, se elaciona con la aiación del módulo de y se llama aceleación angencial poque esá diigido según ˆ. El segundo, ( / ρ)ˆ n, se llama aceleación cenípea poque al esa diigido según ˆn apuna siempe hacia el ceno (insanáneo) de cuaua de la ayecoia. La aceleación cenípea cambia la diección de la elocidad peo no su módulo. ǹ da da ` ' ` ' ` ` d` = da ǹ Fig. 3.16. Cálculo de d ˆ / d. Algunos ejemplos de moimieno Tio oblicuo en el acío Si en = lanzamos un poyecil desde un puno P (, y z ) con elocidad inicial el móil descibiá un moimieno unifomemene aceleado con la aceleación a = gˆ z = ce. La elocidad ale enonces = g ( )ˆ z (3.9) Inegando la (3.9) obenemos la ecuación del moimieno: = + ( ) 1 g( ) zˆ (3.3) Sin pédida de genealidad podemos elegi el sisema de coodenadas de modo que y = y que en = el poyecil esé en el plano y =. Enonces la ecuación ecoial (3.9) equiale a =, =, = g( ) (3.31) y z z Del mismo modo la (3.3) equiale a las es ecuaciones = + ( ), y =, z = z + ( ) g( ) (3.3) z 1 La ayecoia del móil es una paábola en el plano (, z). El puno más alo de la ayecoia se alcanza cuando z =. Eso ocue paa = dado po m m z = + (3.33) g 44
3. Cinemáica La alua máima que alcanza el poyecil ale z m z = z + 1 (3.34) g z z m g z Fig. 3.17. Tio oblicuo en el acío. Vamos a escibi los esulados (3.31)-(3.34) en foma uniesal epesándolos en éminos de los paámeos caaceísicos del poblema, que podemos elegi como g, (el módulo de la elocidad inicial) y θ (la eleación del io). A pai de ellos podemos defini las escalas de longiud, iempo, elocidad y aceleación del fenómeno como, especiamene: l* = / g, * = / g, * =, a* = g/ (3.35) donde el faco se puso po coneniencia. Sean =, z = z z, = y = l* X, z = l* Z, = * T, = * V (3.36) Enonces nuesos esulados aneioes se esciben como y V = cos θ, Vz = senθ T (3.37) X = Tcos θ, Z = Tsenθ T (3.38) de donde esulan los daos de la alua máima del io en la foma senθ sen θ Tm =, Xm = cosθsen θ, Zm = (3.39) y po lo ano Xm = Zm( 1 Zm). Si eliminamos T ene las (3.38) podemos obene la ecuación de la ayecoia en la foma X Z = Xanθ cos θ (3.4) 45
3. Cinemáica.5. 4 85 75 65 Z. 3 55.. 1 5 15 5. 1.. 3. 4. 5. 6.7.8.9 1. X 35 45 Fig. 3.18. Tayecoias de ios en el acío coespondienes a dispaos con difeenes eleaciones. El alcance X a del io se obiene poniendo Z = en la (3.4) y esula X a = senθ (3.41) El iempo de uelo ene X = y X = X a es T a = senθ. De la (3.41) es eidene que el máimo alcance ale X am = 1 y se obiene paa θ = π / 4, después de un iempo de uelo T am = 1. En la Fig. 3.18 se muesan aias ayecoias paa difeenes aloes de θ. Moimieno cicula La ayecoia del moimieno cicula es una cicunfeencia C de adio y ceno en (Fig. 3.19). La posición P del móil se puede especifica dando el ángulo α ene una diección fija y el eco = P. Podemos defini la elocidad angula como α ω = d d (3.4) cuyas dimensiones son [ ω] = [ α]/[ ] = [ 1 ] (3.43) o sea las de la inesa del iempo. Coniene defini el eco elocidad angula ω como un eco cuyo módulo es ω, cuya diección es la del eje de oación (la nomal al plano de la ayecoia que pasa po ) y cuyo senido es el senido de aance de un onillo de osca deecha que gia en el senido en que lo hace el móil, de modo que ω,, (en ese oden) foman una ena deecha. bseando la Fig. 3.19 esá clao que ecoialmene: = ω (3.44) 46
3. Cinemáica = ω = ωˆ (3.45) Paa calcula la aceleación deiamos la (3.45) ecodando que es consane y que la diección de ω no cambia. Resula enonces a = d ω + d ˆ ˆ ω d d (3.46) Recodando la (3.7) enemos que dˆ d = nˆ =ω nˆ (3.47) Luego a = d ω ˆ + ω nˆ (3.48) d Tenemos pues una aceleación angencial (pesene solo si ω aía en el iempo) y una aceleación cenípea ac = nˆ = nˆ (3.49) ω Esos esulados se podían habe obenido de inmediao usando la (3.8). w a P da da = d Fig. 3.19. Moimieno cicula: geomeía del poblema, elación ene α y. Moimieno cicula unifome Si no hay aceleación angencial ω se maniene consane y sólo enemos aceleación cenípea, enonces la elocidad maniene consane su módulo y sólo cambia su diección: = ωˆ = ˆ (3.5) 47
3. Cinemáica Paa el moimieno cicula unifome es úil defini el peíodo, es deci el iempo T que ada el móil en da una uela. Claamene T = π ω (3.51) a magniud úil es la fecuencia, es deci la canidad f de uelas po unidad de iempo: f 1 = = T ω π (3.5) En éminos de T y f la elocidad y la aceleación cenípea se esciben: π 4π = = πf, ac = = 4π f (3.53) T T Moimieno en un plano Paa descibi un moimieno plano podemos emplea coodenadas polaes con oigen en un puno. En al caso especificaemos dando su módulo y el ángulo ϕ que foma con una diección fija ˆ. La ayecoia de un móil se descibe enonces dando () y ϕ( ). Claamene ϕ ω = d (3.54) d es la elocidad angula de oación alededo del oigen (que no es en geneal el ceno insanáneo de gio). Po oa pae d = d (3.55) es la elocidad adial, es deci la elocidad con que el móil se aleja del o se aceca al oigen. En cada puno P de la ayecoia podemos defini dos esoes ˆ y ˆϕ (Fig. 3.), el pimeo en la diección adial y el segundo pependicula al pimeo y en el senido de ϕ ceciene. Enonces La aceleación es = + ω ˆ ϕ (3.56) ˆ d a = + d ˆ + d ω + + d ˆ ϕ ˆ ˆ ϕ ω ˆ ϕ ω d d d d (3.57) Peo es fácil eifica que dˆ d d ˆ ϕ = ω ˆ ϕ, = ωˆ d (3.58) Susiuyendo (3.58) en la (3.57) obenemos la epesión de la aceleación: a = ( ω ) ˆ + ( ω + ω ) ˆ ϕ (3.59) 48
3. Cinemáica j ` j ` j j ayecoia MRU Fig. 3.. Descipción de un moimieno plano usando coodenadas polaes: componenes de la elocidad, el moimieno ecilíneo unifome. Es ineesane mosa como se descibe el moimieno ecilíneo unifome en coodenadas polaes. Pueso que a = las componenes de la (3.59) son nulas. De a ϕ = esula ω + ω =, que muliplicado po equiale a ω + ω =, o sea La (3.6) implica que d d d ( ω) = ( ϕ ) = d (3.6) ϕ = ce. (3.61) Se puede noa que la canidad da = ( 1/ ) ϕ d es el áea baida po el adio eco P en el inealo d. Luego la (3.61) epesa que P bae áeas iguales en iempos iguales 6. De a = y ecodando la (3.61) obenemos = ω = ( ) 3 ϕ que significa que la aceleación adial es inesamene popocional a 3. Moimieno elaio de aslación Nos ineesa ahoa analiza qué pasa cuando un móil es iso po dos obseadoes disinos que se mueen el uno especo del oo. Como se e de la Fig. 3.1 la posición del objeo A esá dada po A paa el obseado y po A paa el obseado. Si es la posición de paa el obseado, ale la elación A = A (3.6) En componenes, si A, y A, z A son las coodenadas de A y, y, z son las coodenadas de en el sisema, y, z con oigen en, y si A, y A, z A son las coodenadas de A en un sisema con oigen en cuyos ejes, y, z son paalelos a, y, z, seá 6 Ese es un caso paicula de la Segunda Ley de Keple, ambién llamada Ley de las Áeas, que esudiaemos en el Capíulo 7. 49
3. Cinemáica =, y = y y, z = z z (3.63) A A A A A A Supongamos ahoa que el móil A se desplaza especo de con la elocidad A y la aceleación a A. El poblema es: cómo e ese moimieno un obseado ubicado en que se muee especo de con la elocidad y la aceleación a? A A ' A ' ' Fig. 3.1. La posición depende del obseado. Paa aeigua eso basa deia la (3.6) especo del iempo. Resula enonces que =, a = a a (3.64) A A A A Esas son las fómulas que esuelen nueso poblema. Un caso impoane es aquél en que a =, o sea que los obseadoes y se mueen el uno especo del oo con elocidad consane (el moimieno elaio de y es ecilíneo y unifome). En ese caso =, a = a, ( a = ) (3.65) A A A A y ambos obseadoes encuenan que la aceleación de A es la misma. Las ansfomaciones (3.65) se llaman ansfomaciones de Galileo. Moimieno elaio de oación Vamos a esudia como se elaciona el moimieno de un objeo iso desde un sisema de efeencia fijo Σ con el que se obsea desde un sisema de efeencia oane Σ que gia especo de Σ con una elocidad angula ω. Ese caso es impoane poque coesponde a un obseado siuado sobe la Tiea, que como sabemos gia sobe su eje. Vamos a llama, y, z a los ejes fijos y, y, z los ejes oanes (indicaemos con pima una aiable efeida al sisema móil y sin pima si esá efeida al sisema fijo). Si P es un puno fijo especo de Σ, que gia solidaiamene con él especo de Σ, endá en el sisema fijo la elocidad a = ω. Esa a es la elocidad con que P es aasado po el sisema oane. Si además el móil se muee especo de Σ con la elocidad su elocidad en el sisema fijo seá Esa es la epesión que elaciona con. = + ω (3.66) 5
3. Cinemáica y' y ' w P ' w ` y' z` ` z' ỳ ` ' ` w ẁ z z' y' ' ` y' ' ` ' w ` z' a c = ' w z' (c) Fig. 3.. Moimieno elaio de oación: la elación ene las elocidades que se obsean desde el sisema fijo y desde el sisema oane, componenes del eco posición paalela y pependicula a ω, (c) la aceleación de Coiolis. Calculemos ahoa las aceleaciones. Paa ello enemos que deia especo del iempo los dos éminos del miembo deecho de la (3.66). Paa calcula el pimeo ecodemos que = ˆ + yˆ + zˆ = iˆ y z i i =, y, z (3.67) donde ˆ, ŷ, ẑ son los esoes coespondienes a los ejes oanes, que naualmene no son consanes sino que aían con el iempo debido a la oación. Luego d di d = iˆ iˆ + i d d d i =, y, z i =, y, z (3.68) 51
3. Cinemáica Ahoa i =, y, z di iˆ = a (3.69) d es la aceleación que se obsea desde el sisema oane. Po oa pae diˆ / d = ω iˆ pueso que los esoes ˆ, ŷ, ẑ oan con elocidad angula ω. Luego d iˆ i = i ω iˆ = ω (3.7) d i =, y, z i =, y, z Usando las (3.69) y (3.7) la (3.68) se escibe en la foma Deiando el segundo émino de la (3.66) obenemos d d Recodando la (3.66) enemos que d = a + ω (3.71) d dω d dω ( ω ) = + ω = + ω (3.7) d d d ω = ω + ω ( ω ) (3.73) Paa ealua el iple poduco ecoial ω ( ω ) ponemos = ˆω + donde y son las paes de paalela y pependicula a ω. Eidenemene ω = ω. Además usando la fómula del iple poduco ecoial enemos que ω ( ω ) = ω A ( B C) = B( A C) C( A B) (3.74). Luego d d ( ω ) = ω + ω ω (3.75) Po lo ano euniendo los dos éminos (3.71) y (3.75) de la aceleación esula a = a ω + ω + ω (3.76) De aquí podemos obene la aceleación que se obsea en el sisema oane: a = a+ ω + ω+ ω (3.77) La fómula (3.77) epesa que la aceleación obseada desde el sisema oane (que se llama aceleación apaene) es igual a la aceleación que se e en el sisema fijo más es éminos: El pime émino (ω ) es la aceleación cenífuga. Se la llama así poque iene la diección de, es deci alejándose del eje de oación. Esa aceleación eise aunque el objeo esé en eposo en el sisema oane (coesponde a la aceleación cenípea de aase). 5
3. Cinemáica El émino ω se llama aceleación de Coiolis o aceleación complemenaia y es pependicula a y ω. Po efeco de la aceleación de Coiolis un móil que se muee en el sisema oane iende a desiase de la línea eca. El úlimo émino ( ω) depende de la aceleación de la oación. Paa e mejo el significado de la aceleación de Coiolis consideemos un moimieno ecilíneo unifome en el sisema fijo, iso desde un sisema oane con ω = ce. En ese caso a =, = ce., ω = y a = ω + ω. Supongamos que el moimieno iene luga en un plano pependicula a ω, que omaemos como el plano de la Fig. 3.3, y que en = el móil pasa po el oigen (eje de oación). La Fig. 3.3a muesa la ayecoia en el sisema oane y se indica como aía debido a la aceleación cenífuga y al émino de Coiolis. ayecoia en el sisema fijo w q '( ) ayecoia en el sisema móil '( + d) f ` '( + d) '( ) ' w d w a' d Fig. 3.3. Un moimieno ecilíneo unifome iso desde un efeencial oane: la ayecoia del móil, las componenes de la aceleación. Empleando coodenadas polaes, θ en el sisema oane las ecuaciones del moimieno son Eliminando el iempo obenemos la ecuación de la ayecoia =, θ = ω (3.78) = ω θ (3.79) que descibe una cua llamada espial de Aquímedes. La elocidad en el sisema oane no es, naualmene, consane pues = ω po la (3.66). Su módulo ale y el ángulo φ que foma con ˆ esá dado po = + ω (3.8) an φ = ω/ (3.81) 53
3. Cinemáica La elocidad adial en el sisema oane es = cosφ y se maniene consane. De allí la consucción geoméica de la Fig. 3.3b donde se muesa que la aiación de se debe a los efecos de la aceleación cenífuga ω ( = ω ) y la aceleación de Coiolis. La Tiea como sisema de efeencia La Tiea gia sobe un eje que pasa po los polos con una elocidad angula π ω = 77. 1 5 adianes/s (3.8) día sidéeo que podemos considea consane. El adio de la Tiea (que es apoimadamene esféica) ale T 64 km = 6. 4 1 6 m. Efecos de la aceleación cenífuga Paa un obseado en la supeficie de la Tiea la aceleación cenífuga ale a = ω = ω cosθˆ =. 34cosθˆ ( m/s ) (3.83) c T siendo θ la laiud geogáfica (Fig. 3.4a). Debido a eso la aceleación apaene de la gaedad (la que obseamos desde la Tiea) paa un objeo en eposo difiee de la que eía un obseado desde el espacio (Fig. 3.4b). La aceleación cenífuga es nula en los polos y es máima en el ecuado, donde su magniud es de 3.4 gal (un.35% de g) y su diección coincide con la de g (la eical geoméica). Salo en los polos la aceleación apaene de la gaedad g = g+ a c difiee de g. La difeencia en módulo es máima (un.35%) en el ecuado. La eical de la plomada (dada po g ) se desía hacia el ecuado especo de la eical 3 geoméica (dada po g) en un ángulo ψ 178. 1 sen θ; la desiación máima ocue paa θ =±45 y es de apenas.1. Efecos de la aceleación de Coiolis Paa un objeo en moimieno esá pesene ambién el émino de Coiolis y enonces a = a+ ω + ω = a+. 34cosθ ˆ + 1. 454 1 ( ˆ ω) (MKS) 4 (3.84) La aceleación de Coiolis ( a Co ) conduce a aios efecos obseables. Esos compenden: La desiación desde la eical en la caída libe de un objeo. Como se puede e fácilmene de la Fig. 3.5 el émino conduce a una desiación hacia el ese especo de la eical. La desiación de moimienos hoizonales. Como se puede apecia de la Fig. 3.6, un objeo que se muee hoizonalmene se iende a desia hacia la deecha en el hemisfeio Noe y hacia la izquieda en el hemisfeio Su. Paa moimienos hoizonales ˆ ω= (cosθ ˆ θ + senθ ˆ) de modo que la componene hoizonal de a Co es ω( ˆ ω) h = ωsenθ ˆ = f ( ˆ ˆ) donde f = ωsen θ se denomina paámeo de Coiolis. Paa la Tiea f = 1. 454 1 4 senθ s 1 y a Co es pequeña. Usando la (3.84) podemos esima las desiaciones / poducidas en un lapso como / 1. 454 1 4 ( s ). Luego paa que sean apeciables la duación del fenómeno iene que se laga. 54
3. Cinemáica w N eical geoméica q q w q E g' g T eical según la plomada S Fig. 3.4. Efeco de la aceleación cenífuga paa un obseado eese: la geomeía del poblema, debido a la aceleación cenífuga la eical que indica una plomada no coincide con la eical geoméica del luga. Consideemos la desiación hacia el Ese en la caída libe de un cuepo desde 1 m de alua. De la (3.) se obiene = c = 451. s, de donde esula una desiación de.38, que implica que el cuepo oca el suelo a una disancia de 6.5 cm del pie de la eical. Ese ejemplo muesa que cuando se aa de fenómenos cuya duación no ecede de pocos segundos los efecos de a Co se pueden ignoa. No es así sin embago cuando es lago. Consideemos un io de ailleía paa bai un blanco a 1 km de disancia. Usando las fómulas del io oblicuo y suponiendo que la eleación del cañón es de 45 paa obene el máimo alcance se encuena que el poyecil demoa 45 s paa llega al blanco. Con ese alo de esula una desiación de.38 que implica que el poyecil llega a 65 m de disancia de donde se apunó. Luego si quiee da en el blanco el ailleo iene que oma en cuena 7 a Co. Noemos que / = 1/ Ro, donde Ro es el númeo de Rossby que se define como Ro = UfL. / El númeo de Rossby es la azón ene la magniud de la aceleación a y a Co y paa flujos en gan escala es muy pequeño. Po ejemplo paa coienes mainas U 1. m/s, L 1 km y f 1 4 s 1 luego Ro 1 4. Al esudia fenómenos como las coienes mainas y amosféicas es fundamenal oma en cuena los efecos de la oación de la Tiea. La desiación de moimienos hoizonales eplica el senido de la ciculación de los ienos alededo de los cenos de baja pesión (cenos ciclónicos) que es anihoaio en el hemisfeio Noe y hoaio en el hemisfeio Su. El senido de la ciculación de las coienes mainas ambién se elaciona con la aceleación de Coiolis. 7 Se debe ene pesene que en esas goseas esimaciones de oden de magniud ignoamos los efecos de la esisencia del aie y del ieno. En un cálculo ealísico esos efecos se deben oma en cuena. 55
3. Cinemáica w N N eical según la plomada w q ' E E ` a c = ' w S S Fig. 3.5. Desiación hacia el Ese en la caída libe. w E E w N N a c = ' w a c = ' w ' S ' S baja pesión baja pesión Fig. 3.6. Desiación de los moimienos hoizonales po efeco de la aceleación de Coiolis: en el hemisfeio Noe se poduce una desiación hacia la deecha y po ese moio la ciculación ciclónica iene senido anihoaio, en el hemisfeio Su la desiación es hacia la izquieda y la ciculación ciclónica es hoaia. 56