Coincidencias Plan de clase (1/2) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 1 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo, empleando el producto de los factores primos. Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas: 1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma capacidad. Cuál es la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, 10 o 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente? 2. En una línea de transporte de pasajeros un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, a qué hora y en qué día vuelven a coincidir sus salidas? 3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana coincidieron las tres, a qué hora volverán a tocar otra vez juntas? Consideraciones previas: Con respecto al primer problema es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identifiquen visualmente el número buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima del tanque debe ser de 60 litros. En el segundo problema es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos que pasan cada vez que sale un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan: Autobús A: 1 ½, 3, 4½, 6, 7 ½, Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10,... Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, Si es así, encontrar la respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, probablemente renuncien a trabajar con números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150 minutos, respectivamente; luego encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno, lo 1
cual ya no es tan funcional; sin embargo, es muy probable que la mayoría intente resolverlo por esta vía, incluso habrá quienes sí puedan resolverlo. Éste sería el momento en que se les puede dar a conocer un procedimiento abreviado para calcular el mínimo común múltiplo a partir de la factorización de números primos. Se inicia por descomponer los números involucrados en factores primos, como se muestra enseguida: Descomposición en factores primos 90 2 120 2 150 2 45 3 60 2 75 3 15 3 30 2 25 5 5 5 15 3 5 5 1 5 5 1 1 Luego se escriben las descomposiciones en forma de potencia: 90 = 2 x 3 2 x 5 120 = 2 3 x 3 x 5 150 = 2x 3 x 5 2 Finalmente se toman los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente. En este caso resulta: mcm (90, 120, 150) = 2 3 x 3 2 x 5 2 = 1800 Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800 minutos volverán a coincidir los tres autobuses, tiempo equivalente a 30 horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas. Una forma simplificada de obtener el mcm de los números 90, 120 y 150 es la siguiente: Descomposición en factores primos 90, 120, 150 2 45, 60, 75 2 45, 30, 75 2 45, 15, 75 3 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1, 1 Por lo tanto, el mcm (90, 120, 150) = 2 3 x 3 2 x 5 2 = 1800 2
Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes: Encuentren el mcm de los siguientes números: 225, 300 380, 420 18, 24, 36 mcm = mcm = mcm = 25, 75, 125 60, 75, 90 140, 325, 490 mcm = mcm = mcm = Respondan lo que se pide enseguida. El mcm de dos números primos es el producto de ellos mismos? Justifiquen su respuesta. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 7:15 de la tarde los tres coinciden. Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco minutos y a qué hora? Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si coinciden en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, cuándo volverán a coincidir? Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador que suena cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo. A qué hora volverán a sonar otra vez juntos? 3
Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, cuánto tardarán en volver a estarlo? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 4
Plan de clase (2/2) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 1 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor, empleando el producto de los factores primos. Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas: 1. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones. a) Cuánto medirá cada una de las partes? b) Cuántas tablas se pueden sacar? 2. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, cuál debe ser la medida por lado de los azulejos? 3. En una bodega hay 3 barriles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar todo el vino contenido en cada uno de los barriles y el número de garrafas que se necesitan. 4. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 peras, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de peras y, además, el mayor número posible. Hallar el número de manzanas o de peras en cada caja y el número de cajas necesarias. 5
Consideraciones previas: El primer problema es muy sencillo, seguramente los alumnos lo resolverán listando los divisores de cada uno de los números involucrados e identifiquen visualmente el número buscado que en este caso es 12: Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48, Divisores de 60: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Luego podrán determinar que en un tablón de 48 cm se pueden cortar 4 tablas de 12 cm y que en el tablón de 60 cm se pueden cortar 5 tablas de 12 cm, lo que da un total de 9 tablas. Con respecto a los problemas 2 y 3 ya no es sencillo resolverlos listando los divisores, sin embargo, es probable que los alumnos intenten resolverlos, pero encontrarán muchas dificultades si optan por ese camino. En este momento es preciso darles a conocer cómo se determina el MCD de varios números. Recuerde que el MCD de dos números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos. Para hallar el MCD de varios números: se descomponen los números en factores primos, se pasa la descomposición a forma de potencia y se toman los factores comunes con su menor exponente. Al igual que en el caso del mcm, se puede descomponer cada uno los números en factores primos. En este caso, resulta: Descomposición en factores primos 210 2 300 2 105 3 150 2 35 5 75 3 7 7 25 5 1 5 5 1 Luego se escribe la descomposición en forma de potencia. 210 = 2 x 3 x 5 x 7 300 = 2 2 x 3 x 5 2 Finalmente se toman los factores primos comunes con menor exponente y se multiplican. En este caso resulta: MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30 6
Esto quiere decir que los azulejos más grandes que se pueden poner sin que haya desperdicio deben tener 30 cm por lado para que quepan 7 azulejos de ancho por 10 azulejos de altura. Una manera de determinar el MCD de los números de una forma más simplificada es como se muestra enseguida: Descomposición en factores primos 210, 300 2 105, 150 3 35, 50 5 7, 10 En este caso, sólo se descomponen los números en factores primos comunes. Por lo que el MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30 Esta forma directa puede aplicarse para obtener las respuestas de los problemas 3 y 4. En el problema 3, el MCD (250, 360, 540) = 10. Por tanto, la sapacidad máxima de las garrafas es 10 litros y el número de garrafas que se necesitan es: 25 + 36 + 54 = 115. La solución del problema 4, se obtiene de la siguiente forma: MCD (12028, 12 772) = 2 2 x 31 = 124. 124 manzanas o 124 peras en cada caja. Se requieren 97 cajas para las manzanas y para las peras 103 cajas, en total 200 cajas. Una vez que los alumnos se les han mostrado cómo determinar el MCD y que han realizado algunos ejercicios, se les puede plantear la siguiente pregunta para que reflexionen en las nociones estudiadas: Si un número es divisor de otro, entonces, este divisor es el MCD de ambos? Justifiquen su respuesta. Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes: Encuentren el MCD de los siguientes números: 225, 300 380, 420 18, 24, 36 MCD = MCD = MCD = 7
25, 75, 125 60, 75, 90 140, 325, 490 MCD = MCD = MCD = Se requiere embaldosar un patio de 1620 cm de largo por 980 cm de ancho con baldosas cuadradas lo más grandes posibles y enteras. Cuál será la longitud del lado de cada baldosa? Una fracción de cartulina mide 1 m por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula del mayor tamaño posible cada cuadrado. Cuál debe ser la medida de cada cuadrado de la cuadrícula? De un pliego rectangular de fomi que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho se quiere cortar cuadrados de la mayor superficie posible. Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados? Cuántos cuadrados se pueden obtener? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 8