Secuencias de problemas por encuentro Encuentro 1 1. Se considera un plano π, dos puntos B y C de este plano, y un punto A que no pertenece a él. Sea B un punto del segmento AB y C un punto del segmento AC. Una recta que pasa por A corta al segmento B C en un punto D y al plano π en un punto D. Observando el dibujo, intenta descubrir el error que existe. 2. En hoja lisa representar un segmento PQ de 4cm de longitud. Representar un recta r y marcar en ella un punto Q. Sin medir, transportar el segmento PQ sobre la recta r de modo que Q coincida con Q. Nombra las semirrectas que quedan determinadas. 3. Eduardo está planificando su parque en el que quiere plantar varios árboles. Lo único que tiene plantado, hasta ahora, es un roble y un pino que se encuentran a 5m de distancia. Quiere colocar un nogal que esté a 2m del roble y a 4m del pino. Dónde tendría que colocar el nogal? Cuántas posibilidades tiene? 4. Ahora Eduardo quiere marcar en un esquema que hizo los puntos que correspondan a tres nuevos árboles. Un jacarandá que se encuentre a 3m del roble y del pino respectivamente, un ciprés que se encuentre a 4m de ambos árboles y un plátano que se halle a 4,5m de ambos árboles también. Dónde tendría que ubicar estos árboles? Cuántas posibilidades tiene? Finalmente, Eduardo quiere ubicar un sauce a 2,5m del roble y del pino. Cuántas opciones tiene para ubicarlo? 5. Transportar el segmento ST sobre una recta r y encontrar 3 puntos que pertenezcan a su mediatriz. 6. Trazar una recta perpendicular a r que pase por A sin usar escuadra. 7. Dividir el segmento PQ en cuatro segmentos congruentes pero sin medirlo. 8. Hallar las coordenadas del punto medio M del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, 2) y B (5, 2). Justificar. 9. Hallar las coordenadas del punto medio N del segmento cuyos extremos son los puntos C (3, 9) y B (-1, 5). 10. Mariano, Santiago y Josefina deciden enterrar en un parque una caja con mensajes para leerlos en el futuro. Para ello tienen que buscar un escondite secreto que les permita desenterrarlo más adelante. En el parque hay un monumento, un mástil y un bebedero. Los chicos piensan que un buen lugar para enterrar la caja sería un punto que esté a igual distancia del monumento, del mástil y del bebedero. Deciden hacer un dibujo para representar la situación. Cómo pueden determinar ese lugar? 1
11. Completa con V o F según corresponda: 12. La figura representa un cuadrado de 4cm de lado. Colorear de rojo la parte del cuadrado que está a menos de 4cm de A, de azul la que está a 4cm de A y de verde la que está a más de 4cm de A. Encuentro 2 1. En la figura,. Nombrar dos rectas paralelas, dos rectas perpendiculares, un ángulo que mida más de 180 y menos de 360, un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso, un ángulo llano, un ángulo nulo y un ángulo de un giro. 2. En la figura Nombrar dos ángulos opuestos por el vértice, dos ángulos adyacentes, dos ángulos suplementarios no adyacentes, dos ángulos consecutivos no suplementarios y dos ángulos consecutivos complementarios. 3. Dos ángulos opuestos por el vértice, pueden ser complementarios? Y suplementarios? 4. 5. La medida del opuesto por el vértice de un ángulo α es igual al doble de la medida de su suplemento. Marcar la ecuación que permite calcular α e indicar su medida. 6. Alejandro está diseñando un sistema de riego para su huerta. Quiere colocar una fila de regadores que se encuentre a igual distancia de sus hortalizas que están alineadas sobre los lados de un ángulo agudo como muestra el dibujo. Dónde puede colocar los regadores? 2
7. OB es la bisectriz del ángulo β. Trazar el ángulo β. Es la única posibilidad? Justificar la respuesta. 8. Dibujar dos ángulos adyacentes y trazar sus bisectrices. Marcar el ángulo que forman las bisectrices, cuánto mide? Enunciar la conclusión en forma de proposición. 9. Se quiere colocar una estación de servicio a igual distancia de tres rutas: la 40, la 29 y la 47. Indicar el punto exacto donde debe realizarse la construcción. 10. Encuentros 3 1. Marcar con una X el casillero correspondiente: 2. 5. 3
6. Construir un triángulo dados los tres lados: 7. Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo que forman: 8. Construir un triángulo dados un lado y los dos ángulos adyacentes a él: 9. Construir un triángulo dados un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto a dicho lado: 10 Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos: 4
Encuentro 4 1. Marcar con una X lo que corresponda: 2. Cuáles de los segmentos marcados representan alturas de los triángulos ADH, ADE y ABF? 3. Dibujar un triángulo que sea acutángulo y escaleno. Trazar sus alturas. 4. Dibujar un triángulo que sea obtusángulo y escaleno. Trazar sus alturas. 5. Dibujar un triángulo que sea rectángulo e isósceles. Trazar sus alturas. 6. Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 9 cm, 12 cm y 15 cm. Se trata de un triángulo es rectángulo? 7. La diagonal de un rectángulo mide 29 cm y uno de sus lados mide 21 cm. Cuánto mide el otro lado? 8. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo sabiendo que: 9. Hallar la medida del segmento AB: 10. Hallar la medida de los lados del triángulo ABC. Es un triángulo isósceles? 5
Encuentro 5 1. Investigar la relación entre la medida de lados, ángulos, perímetro y áreas de las siguientes figuras. Enuncia tus conclusiones en forma de proposiciones simples. a) b) 6
c) 1.1. Organizar en la siguiente tabla las medidas que permitieron sacar las conclusiones. Triángulos ítem a Lados Ángulos Perímetro Áreas Figura 1 Figura 2 Figura 3 Cuadrilátero ítem b Lados Ángulos Perímetro Áreas Figura 1 Figura 2 Figura 3 Triángulos ítem c Lados Ángulos Perímetro Áreas Figura 1 Figura 2 Figura 3 1.2. Trazar las rectas que pasan por los vértices homólogos de las figuras semejantes. Qué ocurre? Existe alguna relación entre las medidas de los segmentos determinados sobre cada una de las rectas trazadas? 2. Dibujar un triángulo obtusángulo y aplicarle una homotecia de razón 2 y otra de razón -2. Son semejantes los triángulos? Por qué? 3. Dado el triángulo DEF rectángulo en E, hallar tres triángulos semejantes aplicando al DEF homotecias de centro D y razones ½, 2 y 3. 7
Encuentro 6 1. Recortar los triángulos semejantes del ANEXO I y superponerlos de modo que un vértice coincida y dos de sus lados homólogos sean colineales. (Observación: Superponer de manera que el de mayor área quede debajo y el de menor área, en la parte superior). 1.1. Qué pasó con las posiciones relativas de los otros lados homólogos? 1.2. Sobre las transversales quedan determinados segmentos colineales. Completar la siguiente tabla con los segmentos que son correspondientes. Segmentos sobre AC (medidas en cm) AC = AC = = AC CC = CC = = C C Segmento correspondiente sobre AB (medidas en cm) Son correspondientes porque 1.3. Investigar si existe alguna relación entre las medidas de los segmentos determinados sobre una de las transversales y los correspondientes en la otra. Enunciar las conclusiones en forma de proposiciones simples. 1.4. Verificar la o las conclusiones obtenidas en el punto 1.3. utilizando el gráfico del punto 3 (del encuentro anterior) y expresar algunas relaciones en forma simbólica. 2. Hallar la medida de los segmentos GI y JI sabiendo que: HG //IK //JL HK= 5cm KL= 15cm GI= 4x-24cm JI= 3x 3. Se sabe que AD //BE //CF y que AB tiene la misma medida que. BC Qué se puede decir de las medidas de los segmentos determinados en la otra transversal? Por qué? 4. Dibujar un segmento de 7cm y utilizando compás y regla sólo para trazar, dividirlo en tres segmentos congruentes y luego en 5. 8
Encuentro 7 1. Retomar las medidas de los lados de los triángulos rectángulo semejantes del punto 1 (del encuentro anterior) y hallar las razones entre los lados de cada uno. Triángulos rectángulo semejantes ABC A B C A B C Lados Razones entre lados 1.1. Observa alguna regularidad entre las razones obtenidas? 1.2. Superponer nuevamente los triángulos semejantes y hallar la medida del ángulo α común a los tres triángulos. Con los valores de la tabla anterior y considerando las posiciones relativas de los lados en función de α completar: Triángulos rectángulo semejante α Lados Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa Razones entre lados ABC A B C A B C 1.2.1. Analizar la tabla y enunciar las conclusiones en forma de proposición. 1.2.2. Observando la tabla, es posible determinar las razones trigonométricas del complemento de α? Justifica tu respuesta. Enunciar las conclusiones en forma de proposición. 2. En un sistema de ejes cartesianos representar el triángulo A B C de modo que el vértice de α se encuentre en (0,0) y el lado A B quede incluido en el eje de las abscisas. Representar la circunferencia de centro o y radio hipotenusa. Suponiendo que la hipotenusa mida 1, cuánto miden los catetos? Las medidas halladas, tienen alguna relación con las razones de la tabla del punto 1.2.? 3. Considerando que el radio es 1, ubicar los puntos P (1,0) y Q (0,1). Trazar la recta e paralela al eje y que pase por el punto P. Prologar la hipotenusa hasta que corte a la recta e en el punto S. Hallar la medida del segmento PS. La medida hallada, tiene alguna relación con las razones de la tabla del punto 1.2.? 4. Con la calculadora hallar seno, coseno y tangente de un ángulo de 30. Sin usar calculadora hallar seno cose y tangente de su complemento. 5. El hilo de un cometa mide 50m y forma con la horizontal un ángulo de 37. Realizar un esquema que represente la situación y determinar la altura a la que se encuentra el comenta. 6. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100m. Cuál es la altura si los ángulos de elevación miden 33 y 46 respectivamente? Realizar el esquema de análisis. 9
Anexo I E.N.S. J.M.E : ISFD N 163 - Taller de ingreso Profesorado de Matemática - 2017 10