Unidad II. Cinemáica
Conenido Definiciones Diagramas de moimieno Marco de referencia Magniudes de la cinemáica Clasificación del moimieno Moimieno recilíneo uniforme Moimieno uniformemene ariado Moimieno en caída libre Moimieno de proyecil Moimieno circular uniforme Moimieno relaio
Definiciones Mecánica: esudia el moimieno de los cuerpos. Se diide en dos ramas: cinemáica y dinámica. Cinemáica: describe el moimieno de los cuerpos. Dinámica: esudia las causas del moimieno de los cuerpos. Parícula: cuerpo con masa de dimensiones despreciables. En una problema deerminado del esudio del moimieno, las dimensiones (amaño y forma del cuerpo) de la parícula no son consideradas. Es equialene a considerar un cuerpo como si su masa esuiese concenrada en un puno. Marco de referencia: consise en un sisema de coordenadas más un reloj para medir el iempo. Trayecoria: camino que recorre la parícula Moimieno: es el cambio de la posición (donde esá) de una parícula en el iempo.
Diagramas de moimieno Transcurrió el mismo iempo enre una imagen y la próima Cuaro cuadros de un ideo (30 cuadros por segundo), en una posición fija, de un carro que se acerca a un árbol. A Diagrama de moimieno: es un diagrama que muesra la posición de una parícula en el iempo. Fuene: Randall D., Knigh. Physics for scieniss and engineers. nd. Ed.,
Diagramas de moimieno Analice los siguienes diagramas de moimieno (el número 0, 1,,3, indica la secuencia en que se omaron los cuadros en el ideo): Cuál carro se muee más rápido (cada imagen a igual ineralo)? Fuene: Randall D., Knigh. Physics for scieniss and engineers. nd. Ed.
Diagramas de moimieno Parícula en reposo Parícula imágenes igualmene espaciadas: recorre disancias iguales en iempos iguales Parícula que incremena su disancia enre imágenes: aumena la rapidez Parícula que reduce su rapidez Parícula que reduce rapidez al subir y la aumena al bajar. Fuene: Randall D., Knigh. Physics for scieniss and engineers. nd. Ed.,
Marco de referencia Posición: dónde esá la parícula. Uilizamos un sisema de coordenadas (,y), por ejemplo, que seleccionamos, con un origen deerminado Tiempo: Cuándo esá la parícula en esa posición. Uilizamos un reloj. Podemos asignar =0. segundos a una posición deerminada. Los iempos se miden relaio a un origen.
Marco de referencia Marco de referencia: es el objeo en el cual colocamos nuesro sisema de coordenadas, y medimos el iempo.
El moimieno es relaio El moimieno siempre se describe respeco a un marco de referencia. Por ejemplo, en ciero marco de referencia el cuerpo se encuenra en reposo, mienras que en oro marco, se muee de ciera manera. Marco de referencia 1 Marco de referencia
Marco de referencia Lanzamieno de una peloa de balonceso
Magniudes de la cinemáica Canidades escalares Tiempo Disancia Rapidez media Rapidez insanánea o rapidez Canidades ecoriales Posición Desplazamieno Velocidad media Velocidad insanánea o elocidad Aceleración media Aceleración insanánea o aceleración
Variables cinemáicas Variable Definición Tipo de canidad Dimensiones Disancia, s Posición, r Desplazamieno, Δr Rapidez, Velocidad, Aceleración, a Longiud de la rayecoria recorrida Disancia respeco al origen del sisema de referencia Cambio de posición (posición final menos posición inicial) Disancia recorrida en el iempo ranscurrido Desplazamieno en el iempo ranscurrido Cambio de elocidad en el iempo Escalar Vecor Vecor Escalar Vecor L L L L/T L/T Vecor L/T Tiempo, Duración del moimieno Escalar T L=longiud T= iempo
Magniudes de la cinemáica Tiempo Noación: Definición: el iempo es la duración enre dos eenos medidos en el moimieno de una parícula. Canidad: escalar Unidad SI: segundo (s)
Magniudes de la cinemáica Disancia Noación: s (espacio del laín spaium), d Definición: Disancia es la longiud de la rayecoria que recorre la parícula. Canidad: escalar Unidad SI: mero (m)
Magniudes de la cinemáica Rapidez media o promedio Noación: m Definición: La rapidez media es la disancia recorrida a l largo de cualquier rayecoria diidida enre el iempo que duró el recorrido. disancia recorrida rapidez media = iempo ranscurrido m = s = s s 1 1 Canidad escalar [para cualquier rayecoria] Unidad SI: m/s Gráficamene: es la pendiene de la secane del gráfico disancia-iempo
Magniudes de la cinemáica Rapidez insanánea o rapidez Noación: Definición. La rapidez insanánea o rapidez es el alor límie de la rapidez media deerminado cuando el ineralo en el que se hace el promedio (Δ) iende a cero. s = lim 0 Canidad escalar Unidad SI: m/s Gráficamene: es la pendiene de la reca angene en un puno de la cura del gráfico disancia-iempo
Noación f = = iempo final i = 1 = 0 iempo inicial y el subíndice indica el eje respeco al cual se describe el moimieno el subíndice indica el eje y respeco al cual se describe
Magniudes de la cinemáica Posición Noación: (para una dimensión), r Definición: La posición es el ecor con origen el sisema de coordenadas y puna donde esá la parícula. En una dimensión, la posición es la coordenada de la parícula. Canidad ecorial Unidad SI: m y Trayecoria de la parícula r 0
Posición en el iempo
Gráfico posición- iempo La elocidad media enre los dos iempos es la pendiene de la línea reca que coneca ambos punos. La elocidad media de 0 a 3 s es posiia La elocidad media de a 3 s es negaia
Magniudes de la cinemáica Desplazamieno Noación: (en una dimensión), r (en dos o res dimensiones) Definición. El desplazamieno es el cambio de posición. Desplazmieno = posición final posición inicial = 1 Canidad ecorial Unidad SI: m y r 1 r r 0 1 0
Magniudes de cinemáica Velocidad media Noación: m Definición: la elocidad es el desplazamieno de la parícula diidido por el iempo ranscurrido. m = Canidad ecorial Unidad SI: m/s Gráficamene: es la pendiene de la reca secane del gráfico posición-iempo.
Definiciones Velocidad insanánea o elocidad: es el límie de la elocidad media cuando el ineralo de iempo iende a cero. Canidad ecorial Noación: Unidades SI: m/s lim 0 r Gráficamene, es la pendiene de angene a la rayecoria
Definiciones Aceleración media: es el cambio de elocidad por unidad de iempo. Canidad ecorial Noación: am Unidades SI: m/s a m En un gráfico elocidad-iempo la aceleración media es la pendiene de la reca secane
Definiciones Aceleración insanánea o aceleración: es el límie de la aceleración media cuando el ineralo de iempo iende a cero. Canidad ecorial Noación: a Unidades SI: m/s a lim 0 En un gráfico elocidad-iempo la aceleración es la pendiene de la reca angene
Recordar que Velocidad y aceleración al ser canidades ecoriales pueden cambiar si arían en: Magniud Dirección Magniud y dirección Un ehículo se muee a 80 km/h en una rayecoria curilínea. Un carrusel se muee a 0 km/h en moimieno circular
Clasificación del moimieno Según su nauraleza Moimieno de raslación: es el moimieno de una parícula a lo largo de una rayecoria Moimieno de roación: el cuerpo gira respeco a un eje. Moimieno de ibración: el cuerpo se muee en odas las direcciones
El moimieno puede ser: Moimieno de raslación: Moimieno de roación: Moimieno ibraorio:
Clasificación del moimieno Según las dimensiones Moimieno en una dimensión o moimieno recilíneo Moimieno en dos dimensiones o moimieno en el plano Moimieno en res dimensiones o moimieno en el espacio
Clasificación del moimieno Según la rayecoria Moimieno recilíneo: rayecoria es una reca Moimieno curilíneo: la rayecoria es una cura. Moimieno circular: la rayecoria es un círculo Moimieno no circular: la rayecoria no es un circulo
Moimieno según la rayecoria Moimieno recilíneo: Moimieno curilíneo Moimieno circular
Clasificación del moimieno Según la aceleración Aceleración = cero (a=0) : Moimieno recilíneo uniforme (MRU) Aceleración = consane (magniud y dirección consanes): Moimieno recilíneo uniformemene ariado (MRUV) Moimieno recilíneo uniformemene acelerado La aceleración iene la misma dirección que la elocidad Moimieno recilíneo uniformemene reardado La aceleración iene dirección opuesa a la elocidad Aceleración = ariable: Moimieno ariado
Moimieno recilíneo MRU MRUV Acelerado MRUV Reardado Moimieno Variado Gráfico posición-iempo Gráfico elocidad-iempo a a a a Gráfico aceleración-iempo
Moimieno recilíneo uniforme (MRU) Definición. Moimieno con elocidad consane (aceleración es nula), el desplazamieno es direcamene proporcional al iempo = = consane Gráficos (inerpreación de áreas y pendienes) Posición-iempo Velocidad-iempo Aceleración-iempo
Posición Velocidad Aceleración Gráficos de la cinemáica e inerpreación geomérica de pendiene y área debajo de la cura Gráfica posición-iempo Gráfica elocidad-iempo Gráfica aceleración-iempo 0 Tiempo, 0 0 Tiempo, Tiempo, Pendiene=elocidad Pendiene=Aceleración Área=desplazamieno
MRU Moil( A) Moil(B) P Moil(B) Moil( A) o o Velocidades diferenes Velocidades iguales en posiciones diferenes o Represenación gráfica de un moimieno uniforme de elocidad ; a parir de una posición diferene de cero.
Moimieno con aceleración consane Si la aceleración es consane, el gráfico es: a Por ano, el gráfico rapidez-iempo es:
Analicemos el caso más general con elocidad inicial disina de cero y aceleración consane f o a o o 1 a, omemos 1 0, y llamemos o f Podemos er la figura de dos formas: a) Como un rapecio o Como ya imos, el área debajo de ese gráfico es igual a disancia recorrida b) Como un recángulo y un riángulo o a
Analicemos el caso más general de moimieno recilíneo uniformemene ariado MRUV (a=consane) o a o 1 a) Como rapecio: ( o ) b) Como recángulo más riángulo: o o 1 ( a) 1 a
Ecuaciones del MRUV a o o ) ( 1 a o Hasa ahora enemos que: Busquemos una ecuación que no conenga a, pariendo de las dos primeras ecuaciones, despejando a en la primera y susiuyendo en la segunda: o a ) ( ) ( ) )( ( a a a a o o o o o 1 a o o 1 a o o
Ecuaciones del MRUV Ecuación o ( o o a o ) a 1 a ( ) a f o Δ (a consane) Por úlimo, la elocidad media m f m o [sólo para aceleración consane] m o
Relación enre aceleración y elocidad Caso 1. a 0, =0 La elocidad puede ser cero aunque la aceleración sea no nula. Por ejemplo, un cuerpo en reposo (=0) se acelera. Caso. a=0, 0 Por ejemplo, un cuerpo se muee con rapidez consane en línea reca Caso 3. Desaceleración Cómo sabemos que un cuerpo esá desacelerando? En primer lugar, NO necesariamene por el signo negaio de a
Relación enre aceleración y elocidad Ocurre desaceleración cuando la dirección del ecor aceleración es opuesa al ecor elocidad. En caso conrario, se dice que acelera. i =0 s i =15 m/s f =5 s f =5 m/s f =5 s f =-5 m/s i =0 s f =-15 m/s 0 a=- m/s Aceleración apuna a la izquierda a f f 5m / s 15m / s 5s 0s m / s i i Moimieno recilíneo reardado: obsere que la magniud de la elocidad disminuye a a=+ m/s Aceleración apuna a la derecha f f i i 0 5m / s ( 15m / s) 5s 0s m / s a Moimieno recilíneo acelerado: obsere que la magniude de la elocidad aumena a
Caída libre Moimieno bajo el efeco de la aceleración de la graedad= 9.8 m/s Todos los cuerpos caen a la misma aceleración sin imporar su masa, despreciando el efeco de la resisencia del aire. El alor de la g depende de la masa del cuerpo (Tierra, Luna, Sol, ec.) de la aliud, ec. El ecor aceleración de la graedad g apuna al cenro de la ierra
Caída libre Las ecuaciones del moimieno de caída libre son idénicas al MRUV, susiyendo si se oma la dirección erical negaia hacia abajo. a y = g + y y y ( yo yo g y yo y yo y 1 g ) g( y) 0 - -g
Moimieno de proyeciles El moimieno de proyecirl es un moimieno en dos dimensiones cerca de la superficie de la Tierra. Se compone de dos moimienos independienes: Un moimieno horizonal: moimieno recilíneo uniforme (MRU) Un moimieno erical: moimieno reclíneo uniformemene ariado (MRUV) (caída libre)
En el lanzamieno horizonal los moimienos horizonal y erical son independienes y= =0 y y y y y y
El moimieno de un proyecil o en el plano iene una rayecoria parabólica. Alcanza la máima alura cuando el ángulo es 45 grados. Fuene: Giancoli ol. 1
Moimieno de proyecil
Ecuaciones del moimieno de proyecil Fuene: Giancoli
Moimieno circular uniforme La parícula iene una rayecoria circular con rapidez consane, La elocidad cambia de dirección en cada puno del la circunferencia O r θ A s B Posición angular θ: Angulo en radianes. Desplazamieno angular Δθ Variacíón en el ángulo, se mide en radianes. Desplazamieno lineal: s Variación en la longiud de la circunferencia recorrida. Se mide en meros. Velocidad angular ω Igual al desplazamieno angular enre ineralo de iempo. Se mide en radianes/segundo Velocidad lineal o angencial Igual al desplazamieno lineal enre el ineralo de iempo. Se mide en m/s
Período y frecuencia Período T: es el iempo que arda en dar una uela complea:, = iempo, n= número de uelas o reoluciones o ciclos. Se mide en segundos T = n Frecuencia f : es el número de uelas por unidad de iempo. Se mide en Herz (Hz)=1/s=s -1 f = n f = 1 T
Moimieno circular uniforme s r T rf T f r f= frecuencia el número de uelas, ciclos o reoluciones por unidad de iempo Se mide en 1/s = Herz Hz T = período iempo que arda en dar una uela, reolución o ciclo compleo Se mide en s. = elocidad angencial o lineal, m/s ω= elocidad angular, rad/s r= radio π= 3.1415 θ= desplazamieno angular, radián s= desplazamieno lineal, m
Moimieno Circular Uniforme r θ A 1 B r=radio O=cenro Θ=ángulo V 1 =elocidad angencial en A V = elocidad angencial en B s= el arco que subiende la cuerda AB O θ 1 1 1 Diagrama ecorial
Moimieno Circular Uniforme El riangulo OAB es semejane al riángulo del diagrama ecorial, Por ano: 1 1 a 1 r AB r AB s r r Diidiendo enre Δ y rearreglando érminos: Si consideramos un ángulo muy pequeño, Enonces la cuerda AB y el arco que subiende son prácicamene iguales. Por ano, AB=Δs a c r Aceleración cenrípea, apuna al cenro
Moimieno circular uniforme Conclusiones: La elocidad angencial cambia de dirección pero no de módulo. La aceleración resulane apuna al cenro, se llama aceleración cenrípea. La aceleración cenrípea es direcamene proporcional al cuadrado de la elocidad e inersamene proporcional al radio
Velocidad relaia Consideremos a un obserador senado en una esación de auobús. Su marco de referencia es la Tierra considerada fija. Al pasar un auobús, una persona denro del auobús se muee. Consideremos al auobús oro marco referencial. La preguna es cuáno es la elocidad de la persona que se muee en el auobús respeco al obserador esacionario senado en la parada. Obserador Δ PA Δ AT Auobús, A Tierra, T Δ PT PT = persona respeco a la Tierra AT= auobús respeco a la Tierra PA= persona respeco al auobús
Moimieno relaio Todo moimieno es relaio al marco de referencia
Velocidad relaia PT PT PA PA AT AT diidiendo enre ambos miembros, PT PA Para planear correcamene la relación enre elocidades, es coneniene Seguir las siguienes reglas (Giancoli, pp 66-67): 1. Idenifique cada elocidad empleando dos subíndices. El primer subíndice se refiere al objeo y el segundo, al marco de referencia respeco al cual se indica la elocidad.. La suma ecorial se planea de al modo que el orden de los subíndices sea Tal que los subíndices ineriores adyacenes sean iguales. AT
Velocidad relaia PT PA AT Subíndices inernos Obsérese la correspondencia enre subíndices.