Estadística Soluciones ejercicios: Variables aleatorias Versión 8 Emilio Letón. Nivel. Enunciar las dos propiedades que debe cumplir p) para ser función de probabilidad. Las dos propiedades para ser función de probabilidad o también llamada función de masa) son p ) P p ) en el soporte en el conjunto donde toma valores la v.a X).. Enunciar las cuatro propiedades que debe cumplir F ) para ser función de distribución. ) ; F +) ; monó- Las cuatro propiedades para ser función de distribución son F tona no decreciente continua por la derecha. 3. Decir si es verdadera o falsa la siguiente a rmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo en caso de que sea falsa dar un contraejemplo: No ha variables aleatorias discretas nitas que tomen valores negativos". Es falsa. Por ejemplo la v.a. X que toma los valores negativos positivos es discreta nita. + de forma equiprobable toma valores 4. Sea X variable aleatoria que toma los valores f ; ; g. Determinar el valor de a para el cual la función dada por p ) a ; ; ; sea una función de probabilidad. Se puede calcular P X ) utilizando la función p )? En primer lugar, observar que una variable aleatoria no tiene por qué ser siempre positiva, ni tampoco que los valores que pueda tomar sean correlativos. Por otra parte para que una función p ) sea función de probabilidad sobre un rango soporte) de valores tiene que veri car que en dicho rango p ) X p )
Pero se observa que p ) ni siquiera está de nida en, por lo que no ha ningún a para el cual la función dada sea de probabilidad. Por lo tanto, no se puede calcular ninguna probabilidad utilizando la función p ) dada. 5. Enunciar las dos propiedades que debe cumplir f) para ser función de densidad. Las dos propiedades para ser función de densidad son f ) R f ) d : 6. Demostrar que V [X] E X E [X] Se tiene que V [X] E h X ) i E X + X E X + E E [X] E X + E [X] E X + E X E X E [X]) E X E [X] 7. Si X es una variable aleatoria que toma los valores f ; ; g. Determinar los valores de a para los que las funciones siguientes sean de probabilidad a) p ) a 4. b) p ) a) 4. c) p ) a. d) p ) a. e) p ) a+3 6 + 5a+3 6 +. a) Para que se veri que que p ) en el rango de valores, se tiene que p ) 3a, a p ) 4a, a p ) 8a Por otra parte para que X p ) en el rango de valores, se tiene que veri car que p ) + p ) + p ), 3a 4a +, a 7 Dado que ambas condiciones son compatibles, para a 7 se tiene que p ) 7 4 es función de probabilidad. Observar que dado que p ), en realidad la variable aleatoria que se está considerando, en este caso, es la que toma valores f ; g. b) No es función de probabilidad para ningún valor de a porque para, p ) 4 <.
c) Para que se veri que que p ) en el rango de valores, se tiene que p ) a, a p ) a, a p ) a, a Para que esas condiciones sean compatibles a entonces la función dada sería p ), con lo que no puede veri car que X p ) en el rango de valores. Por tanto no ha ningún a que haga que la función dada sea de probabilidad. Observar que no ha problemas en la de nición de p ), pues que anularía el denominador, no está en el rango de valores de X. d) Para que se veri que que p ) en el rango de valores, se tiene que p ) a +, a p ) a, a p ) a, a Para que esas condiciones sean compatibles, a. Por otra parte para que X p ) en el rango de valores, se tiene que veri car que p ) + p ) + p ) a + + a + a 3a, a 3 Por tanto no es compatible con lo anterior de que a. Por lo que no ha ningún a que haga que la función dada sea de probabilidad. e) Para que se veri que que p ) en el rango de valores, se tiene que p ) a 3 5a 3 + 6 6 p ) 8a a, a 4a + a + 6 + 6 p ) a, a 6 Para que esas condiciones sean compatibles, a. Por otra parte para que X p ) en el rango de valores, se tiene que veri car que p ) + p ) + p ) a + + a 8a Por tanto para que sea compatible con lo anterior, a. Observar que en este caso a no anula la función p ). 8. Sea X variable aleatoria que toma los valores f; ; 3; 4g con función de probabilidad p ) a + ) ; ; ; 3; 4 Se pide calcular: a) El valor a para que realmente p ) sea realmente una función de probabilidad. b) P X ). 3
c) P X ). d) P X impar). e) P f; g) f ) P fpor lo menos g) a) Para que se veri que que p ) en el rango de valores, se tiene que p ) a, a p ) 3a, a p 3) 4a, a p 4) 5a, a Por otra parte para que X p ) en el rango de valores, se tiene que veri car que p ) + p ) + p 3) + p 4) 4a, a 4 Dado que ambas condiciones son compatibles, para a 4 se tiene que p ) a + ) es función de probabilidad. b) P X ) porque la variable aleatoria X nunca toma el valor. c) P X ) p ) 7. d) P X impar) P fg [ f3g) p ) + p 3) 6 4. e) P f; g) P fg [ fg) p ) + p ) 5 4. f ) P fpor lo menos g) P fg [ fg [ f3g [ f4g). 9. Sea X una variable aleatoria triangular continua T ricont ; ) cua función de densidad f ) viene dada por 8 >< < < f) a ) < < >: a) Determinar a para que f ) sea realmente función de densidad. b) Dibujar f ). Cuál es la razón de que a f ) se la denomine triangular continua. c) Con la auda del grá co f ) comprobar por procedimientos geométricos que el área bajo la curva de f ) es. d) Determinar F ) : Una vez calculada, comprobar que cumple las cuatro condiciones para ser función de distribución. e) Calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando la función de densidad f ). f ) Calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando la función de distribución F ). g) Calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando razonamientos geométricos. 4
a) Para que f ) sea función de densidad tiene que veri car que f ) que R + f ) d. Por tanto para que f ) se tiene que a para la segunda condición Z + f ) d Z Z d + Z f ) d + Z f ) d + a ) d + 4a a a + a Z f ) d + + a + a + a por lo que + a, a Para que se veri quen las dos condiciones se tiene que a. Z + a f ) d b) Si se dibuja f ) se obtiene un triángulo sobre el segmento [; ], de ahí el nombre de triangular continua porque la v.a X está de nida sobre un contínuo de valores. c) Basta con calcular el área del triángulo, que al ser base por altura dividido por es ) d) Para determinar F ) R f t) dt se tiene que 8 R Z >< R dt < F ) f t) dt dt + R R tdt < >: dt + R tdt + R t) dt < R dt + R tdt + R t) dt + R dt por lo que 8 >< F ) >: < < < Efectivamente cumple las cuatro propiedades para ser función de distribción F ) ; F +), F ) continua por la derecha es más, es continua) F ) monótona no decreciente). e) Para calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando la función de densidad f ) se tiene que f ) P ; 3 < X ; 5) + ;3 Z ;5 ;3 f ) d Z ;3 d + Z ;5 ) d ;5 ; 455 + ; 375 ; 83 Para calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando la función de distribución F ) se tiene que P ; 3 < X ; 5) F ; 5) F ; 3) ; 5) ; 5 ; 3 ; 875 ; 45 ; 83 g) Para calcular P ; 3 < X ; 5) utilizando razonamientos geométricos se tiene que ha que descomponer el área requerida en rectángulos triángulos, con lo que P ; 3 < X ; 5) ; 3) ; 3 + ; 3) ; 7 + ; 5 ; 5) + ; 5 ; 5 ; 83 5
. Nivel. Sea X v.a. con función de distribución F ). Demostrar que 8a; b R se tiene que a) P a < X b) F b) F a) : b) P a X b) F b) F a) + P X a) : c) P a < X < b) F b) F a) P X b) : d) P a X < b) F b) F a) P X b) + P X a) : a) Dado que el suceso X b) se puede epresar como la unión de los sucesos disjuntos a < X b) X a) se tiene que, por tanto, P X b) P [a < X b) [ X a)] P a < X b) + P X a) P a < X b) P X b) P X a) F b) F a) b) Dado que el suceso a X b) se puede epresar como la unión de los sucesos disjuntos a < X b) X a) se tiene que P a X b) P [a < X b) [ X a)] P a < X b) + P X a) F b) F a) + P X a) c) Dado que el suceso a < X b) se puede epresar como la unión de los sucesos disjuntos a < X < b) X b) se tiene que, por tanto, P a < X b) P [a < X < b) [ X b)] P a < X < b) + P X b) P a < X < b) P a < X b) P X b) F b) F a) P X b) d) Dado que el suceso a X < b) se puede epresar como la unión de los sucesos disjuntos a < X < b) X a) se tiene que P a X b) P [a < X < b) [ X a)] P a < X < b) + P X a) F b) F a) P X b) + P X a). Se dice que una v.a. X es simétrica en torno a si, por de nición, P X ) P X + ). Demostrar que esta condición es equivalente a que se veri que que F ) F + )+ P X + ) que en el caso de que X sea continua es equivalente a f ) f + ). Se deja para el alumno. 3. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo en caso de que sean falsas dar un contraejemplo. 6
a) Para cualquier X v.a. se veri ca que 8a; b R se tiene que P a < X b) P a X b) P a < X < b) P a X < b) : b) Si X es v.a. discreta o continua entonces se veri ca, si a < b < c, que P a X c) P a X b) + P b X c) : c) Las condiciones sobre p ) en v.a. discretas de que p ) que P p ) se traducen a f ) en v.a. continuas de forma que f ) que R f ) d. d) Sea X v.a. con función de densidad dada por f ) < < entonces su función de distribución viene dada por F ) 4 < < e) Si X es una v.a. discreta nita entonces se veri ca que E [X] : a) Es falsa. En general se veri ca que P a < X b) F b) F a) : P a X b) F b) F a) + P X a) : P a < X < b) F b) F a) P X b) : P a X < b) F b) F a) P X b) + P X a) : Si además X es v.a. continua, se tiene que P X ) por tanto, en ese caso P a < X b) P a X b) P a < X < b) P a X < b) : b) Es falsa. En general se tiene que P a X b) + P b X c) F b) F a) + P X a) + F c) F b) + P X b) F c) F a) + P X a) + P X b) P a X c) + P X b) Se observa que en el caso de que X sea v.a. continua, sí se veri ca que P a X c) P a X b) + P b X c) : c) Es falsa. Las condiciones sobre f ) en v.a. continuas son f ) que R f ) d. Se observa que f ) puede ser superior a a que f ) no es una probabilidad. 7
d) Es falsa. Directamente se observa que la función de distribución dada no cumple las cuatro propiedades para ser función de distribución en concreto falla porque F +) 6 ; F ) no es continua por la derecha no es monótona no decreciente). Para determinar F ) R f t) dt se tiene que 8 Z >< F ) f t) dt >: R dt < tdt < R dt + R R dt + R tdt + R dt por lo que 8 >< < F ) + 4 >: 4 < + + Efectivamente cumple las cuatro propiedades para ser función de distribución F ) ; F +), F ) continua por la derecha es más, es continua) F ) monótona no decreciente). e) Es falsa. Por ejemplo la v.a discreta X que toma los valores con probabilidad 3 4 probabilidad 4 cumple que + con E [X] ) 3 4 + +) 4 3 + 4 < 4. Sea X v.a. continua que veri ca que P X > 4) ;5 que P X < 4;3) ;65. Decir si es verdadero o falso el siguiente razonamiento: P 4 < X < 4;3) P 4 < X) \ X < 4;3)) P 4 < X) P X < 4;3) ;5 ;65 ;35 En el supuesto de que sea falso el razonamiento, calcular el valor verdadero de P 4 < X < 4;3). Falso. Ya que P 4 < X < 4;3) F 4;3) F 4) P X 4;3) P X 4) ;65 ;5) ;5. El paso P 4 < X) \ X < 4;3)) P 4 < X) P X < 4;3) sería cierto si lo sucesos fueran independientes no lo son. Para ver que no son independientes, se observa que: 3. Nivel 3 P 4 < XjX < 4;3) P 4 < X < 4;3) P X < 4;3) ;5 ;3 6 ;5 P 4 < X). ;65. Sean las variables aleatorias X Ln U) e Y Ln U) con U U ; ) > : a) Son X e Y iguales? b) Tienen X e Y la misma densidad? c) Qué sugieren los apartados anteriores? 8
a) Por la propia construcción de X e Y, se tiene que son distintas numéricamente. b) Utilizando la función de densidad de X se tiene que al ser Ln u) se veri ca que < u e < ; por lo que si < e <, < e <, > e >, Ln > >, < < + >, < < + f X ) f U u) du d f U e e e e con lo que f X ) e < < + que corresponde a una ep). De forma análoga la función de densidad de Y se tiene que al ser que < u e < ; por lo que si Ln u) se veri ca < e <, < < Ln, + > > >, < < + f Y ) f U u) du d f U e e e e con lo que f Y ) e < < + que corresponde a una ep) : Por tanto X e Y son dos variables aleatorias que tienen la misma densidad: las dos son eponenciales de parámetro : Otra forma de llegar a este resultado es observar que U U ; ), U U ; ) : c) Los apartados anteriores dan un ejemplo de que puede ocurrir que dos variables aleatorias distintas tengan la misma densidad.. Sea f función de densidad de una v.a. X continua de nida de la siguiente forma: k ; ) f) a) Determinar k para que f sea realmente una función de densidad. Cómo se llama esta función de densidad teórica? b) Cuánto vale P X? c) Calcular E [X] V [X]. d) Si se de ne Y X. 9
a) Para que f sea función de densidad debe veri car que f ), que es cierto si k, que Para que esto último sea cierto: Z + f ) d. Z + f ) d Z kd k Z d k [] k Por tanto, k, que además cumple la primera condición de ser k. Esta función es la Uniforme Contínua de parámetros, que se denota por U ; ). b) P X, porque para cualquier v.a. continua la probabilidad de que tome un valor en concreto es siempre nula. c) Para calcular E [X] se tiene que E [X] Z + f ) d Z Para calcular V [X] se utiliza que V [X] E X primer lugar E X que es E X Z + f ) d Z d E [X], por lo que se calcula en d 3 3 3 Por tanto, V [X] E X E [X] 3 3 4. d) La variable Y X veri ca que g ) ; h ) ; d como g > siempre ó g < siempre, se tiene que: f Y ) f X h )) d d j j < < d < <, Por tanto, se tiene que si X U ; ) entonces Y X es también U ; ). 3. Sea X v.a uniforme continua U ; ) calcular la función de densidad de la variable Y X. Al ser d f ) f X d dado que d, se veri ca que d, se tiene que < f) < por lo que f) < < +
4. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo en caso de que sean falsas dar un contraejemplo: a) Si X U ; ) e Y T ricont ; ) dada por 8 >< < < f Y ) < < >: entonces E [X] E [Y ]. b) Si X U ; ) entonces se veri ca que W X p E [X] U V [X]! E [X] p ; p E [X] V [X] V [X] a) Es verdadera. Para cualquier par de variables aleatorias X e Y que sean simétricas en torno a un valor a suponiendo que tienen media nita), automáticamente la media la mediana coinciden por tanto E [X] E [Y ] a, con lo que en este caso E [X] E [Y ] : Analíticamente para X U ; ) E [X] Z + f X ) d Z d observar que en una uniforme su media es el punto medio del intervalo donde su densidad es positiva). Para Y T ricont ; ) E [Y ] 3 Z + f Y ) d 3 + Z d + Z 3 3 + 9 7 3 ) d observar que este ejemplo sirve para ilustrar que E [X] E [Y ] ; X Y ). b) Es verdadera. Observar en primer lugar que W es una combinación lineal de X a que W X p E [X] E [X] p + p X a + bx V [X] V [X] V [X] Utilizando la función de densidad de W se tiene que al ser w a + b se veri ca que < w a b < ; por lo que si < w a b <, < w a < b, a < w < b + a f W w) f X ) d dw w a f X b b b> b
con lo que f W w) b a < w < a + b E[X] que corresponde a una U a; b) por tanto U p ; p E[X] V [X] V [X] 5. Decir si es verdadera o falsa la siguiente a rmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo en caso de que sea falsa dar un contraejemplo o su valor correcto: Sea X v.a. con función de densidad f ) + con R entonces se veri ca que Y X tiene la misma función de densidad que X. Es verdadera. Al ser Y X se tiene que fy d ) fx d dado que d, se veri ca que d, con lo que por lo que se veri ca que Y X f Y ) + f Y ) con R + + con R tiene la misma función de densidad que X: 4. Nivel 4. Sea X una variable aleatoria Raleigh de parámetro cua función de densidad f ) viene dada por ep f) > cua función de distribución F ) viene dada por ep F ) > a) Cómo se pasa de f ) a F )? Cómo se pasa de F ) a f )? b) Determinar E [X] utilizar la de nición de la función p) sus propiedades básicas junto a p ). c) Determinar V [X]. d) Calcular la mediana poblacional de la v.a. X. e) Calcular la moda poblacional de la v.a. X.
a) De f ) a F ) se pasa integrando a que F ) de F ) a f ) se pasa derivando a que b) La media poblacional de X viene dada por Si se hace el cambio E [X] para buscar la función E [X] Z + p Z + p r 3 Z + Z f t) dt F ) f ) f ) d Z + ; d d p), se tiene que p ep ) p p d p ep ) d 3 r p p ep d Z + p ep ) d + r p 3 p p p c) Para calcular la varianza poblacional de X se hace uso de la epresión Por tanto, en primer lugar, se calcula Si se hace el cambio E X para buscar la función E X V [X] E X Z + f ) d Z + ; d d p), se tiene que Z + E [X] ep d p r ep ) d ) )! por tanto V [X] E X E [X] 4 d) Para calcular la mediana poblacional med de X ha que resolver le ecuación F ), por lo que ha que resolver ep Por tanto con lo que ep Ln ) Ln med + r Ln 3
e) Para calcular la moda poblacional mod de X ha que calcular el máimo o máimos de f ), por lo que f ) ep + ) ep ep q Por tanto para que f ) se tiene que +. Para terminar, se comprueba que relamente es un máimo para lo cual ha que calcular la segunda derivada de f ver que en ese punto es negativa. Esto es cierto porque f ) ) ep ep ) ep ) ep + q se veri ca que, al ser + >, f <.. Determinar el valor o los valores de para que e f) sea función de densidad. Se puede hacer por dos métodos: integración directa buscando la función gamma. Para hacerlo por integración directa, se tiene que Z + f ) d Z + e d e + e + Por lo que para cualquier, siempre que sea >, se tiene que es función de densidad. Para hacerlo buscando la función gamma, se tiene que, haciendo el cambio Z + e d Z + ; d d e Z + d e d )! De nuevo para cualquier, siempre que sea >, se tiene que es función de densidad. 3. Usando la función gamma p) R + e p d, con p >, veri ca que ) ; p) p p ) p ) 8p > ; p) p )! 8p N que, demostrar que Z + r e d : Se deja para el alumno. 4