CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 03 6.3. EJERCICIOS. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila: B T R L = ( 80 50 00 ) donde B=Blanco, T=Tinto yr=rosado, ylos precios pagados por cada litro en la matriz columna: 8 B P = 5 T R Halla los productos L P yp Ldando una interpretación de los resultados obtenidos.. Dado el grafo de la figura: Calcula su matriz de adyacencia, R. Calcula la matriz R, qué representan los elementos de esta matriz respecto al grafo?. 3. En la siguiente cadena de igualdades indica cuál no es siempre correcta: (A + B) (A B) =A (A B)+B (A B) =A A A B + B A B B = = A A B + A B B = A B 4. Unaempresafabrica3tiposdeartículos R, S yt. Los precios de coste ylos de venta por unidad yel número de unidades vendidas de cada artículo quedan reflejadas en esta tabla: Precio de coste Precio de venta Unidades vendidas anualmente R 6 8 40 S 9 8 65 T 4 3 40 84 Sabemos que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales yque la matriz de venta, V, es una matriz fila. a) Determina las matrices C, I yv. b) Obtén, a partir de los anteriores, la matriz de ingresos anuales, A, correspondiente a los tres artículos, la matriz de gastos anuales, G, yla de beneficios anuales, B. 5. Dadas las matrices: Se pide obtener: A = ( ) 3 0 ( ) B = C = 0 C + A B, C +(A B), (C + A B), C, C
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 04 6. Calcula las inversas, si existen, utilizando el método de Gauss, de las siguientes matrices: ( ) ( ) ( ) 0 A = B = C = 0 3 4 3 6 0 3 D = 0 3 E = 3 F = 0 0 5 0 4 9 7. Calcula, utilizando determinantes, las inversas de las matrices del ejercicio anterior. 8. Un fabricante produce 3 tipos de clavos, de aluminio (A), de cobre (Q) yde acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de ; 5; y 5 centímetros con los precios respectivos siguientes: Clavos A: 0 0 0 03 0 04 0 05 (en ) Clavos Q: 0 03 0 05 0 06 0 08 (en ) Clavos H: 0 04 0 06 0 08 0 (en ) Sabiendo que en un minuto se producen: De cm de longitud: 00 A 50 Q 700 H De 5 cm de longitud: 00 A 0 Q 600 H De cm de longitud: 500 A 30 Q 400 H De 5 cm de longitud: 300 A 0 Q 800 H Se pide: a) Resumir la información anterior en dos matrices M y N, siendo M de tamaño 3x4 yrecoge la producción por minuto y N de tamaño 4x3 que recoge los precios. b) Calcular los elementos de la diagonal principal de M N ydar su significado. c) Hacer lo mismo para N M. 9. Dada la matriz A = 3, sepide: a) Calcular (A I 3 ) (A 5I 3 ), siendo I 3 la matriz identidad correspondiente. b) Obtener A t yrazonar si existe A 0. Calcular, sin desarrollar, aplicando yjustificando las propiedades utilizadas de los determinantes: a a a 3 b b b 3 c c c 3. a) Calcular una matriz X tal que verifique la igualdad A X = B, siendo: ( ) ( ) 3 A =, B = b) Verifica también la matriz X la igualdad X A = B? 5 4. Dada la matriz A =, comprobar que A =A I 3, siendo I 3 la matriz identidad. 4 4 Usando la fórmula anterior, calcula A 4.
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 05 3. Dadas las matrices: A = ( ) ( ) 3, B =,calcular: 3 A + B, (A B), A, B 4. a) Qué característica deberían tener las matrices A y B para que se puedan efectuar los productos AB y BA. b) Encontrar una matriz X tal que AX + B = C, siendo: ( ) ( ) ( ) 0 0 A =, B =, C = 3 c) Se puede calcular alguna matriz Y tal que YA+ B = C? 5. Obtener los valors de x, y y z que verifiquen la siguiente ecuación matricial: ( ) x + y = 0 z 0 0 6. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades: a) 8 4 00 = 8 0 4 =8 4 0 5 30 0 b) 6 9 3 0 =5 6 4 3 4 3 0 =5 6 4 3 4 3 4 =0 7. Resolver la ecuación: x 3 x =0 8. Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S(sencillas), N(normales) y L(lujo). Cada vivienda de tipo S tiene ventana grande, 7 medianas y pequeña. Cada vivienda de tipo N tiene ventanas grandes, 9 medianas y pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 0 medianas y3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y8 bisagras; cada ventana mediana tiene cristales y4 bisagras; ycada ventana pequeña tiene cristal y bisagras. a) Escribir una matriz que describa el número ytamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales yel número de bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcular una matriz, a partir de la anteriores, que exprese el número de cristales ybisagras necesarios en cada tipo de vivienda. 9. Encontrar una matriz X que verifique X B = AB, siendo: 0 A = 3 B = 0 0 0 0 6 0. Demostrar, usando las propiedades de los determinantes: a b+ c b c+ a c a+ b =0
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 06. Sean A yb dos matrices cuadradas cualesquiera de segundo orden: a) Es cierta la igualdad (A + B) = A +AB + B? b) Y la igualdad (A + B) t = A t + B t?. ( ) Dada la matriz A =, obtener las matrices B tales que AB = BA. Determinar qué matriz B de las anteriores verifica que B = A. 3. Dada la matriz M = 4 m, donde m es un parámetro real, se pide: m a) Determinar el rango de M según los distintos valores de m. b) Calcular el determinante de M si m = 3. Justificar si esa matriz tiene inversa. c) Dar un valor de m para que la matriz M sea singular (no admita inversa). 4. x x Resolver la ecuación: 8 x 5 0 = 67. 5. ( ) Dada la matriz A =, hallar su inversa ycalcular A 3 A. 6. Si A y B son dos matrices cualesquiera, es correcta la siguiente cadena de igualdades?: (A+B)(A B) =A(A B)+B(A B) =AA AB+BA+BB = A AB+BA+B = A B Justifique la respuesta. 7. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B yc, a cuatro países de África, P,P,P 3 y P 4,según se describe en la matriz M (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz M (en por tonelada). A B C 00 00 0 M = 0 30 00 0 00 00 50 60 50 P P M P = 3 P 4 P P P 3 P ( 4 500 450 375 350 50 400 400 350 Efectúa el producto de las matrices yresponde a las cuestiones: a) Qué representaa de la matriz producto? b) Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países. 0 0 8. Sea la matriz A = 0 0. 0 0 a) Comprueba que A = A t. b) Utilizando el resultado anterior, calcula (A t A) 004. ) E E
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 07 9. Dada la matriz A = 3 3, demuestra que su inversa ysu traspuesta coinciden. 30. Resuelve la ecuación AX = B siendo: 6 4 6 4 A = 4 6 B = 0 4 4 3. Determinar la matriz X que satisface la ecuación: siendo: e I 3 la matriz unidad de orden 3. 3X + I 3 = AB A 0 A = 0 3 B = 3 3 3. Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar? 33. En un instituto se imparten los cursos de,, 3 y 4 de E.S.O. Los profesores tienen asignado un número de horas de clase, tutorías yguardias a cubrir, de acuerdo con la siguiente matriz: Clase Guardias Tutorías 0 5 3 M = 8 6 5 4 5 4 El colegio paga cada hora de clase a 0, cadahoradeguardiaa5 ycada hora de tutoría a0, según la matriz: 0 C = 5 0 Además dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo, 6 para tercero y5 para cuarto: P = ( 5 4 6 5 ) Calcúlese cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados: a) PM b) MC c) PMC 34. Resolver la ecuación matricial AX = BX + C, siendo: ( ) ( ) ( ) 3 0 A =, B =, C = 0 35. Consideremos una matriz A de orden mxn con m n. Razonar si se puede calcular la expresión siendo A t la matriz traspuesta de A. AA t A t A 3 4
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 08 36. Dadas las matrices C y D: 3 0 C = 0, D = 0 0 0 se pide: a) Calcular C y D. b) Calcular la inversa de C D. c) Comprobar que: (C D) = D C. 37. Dada la matriz A = 0, calcula, si existen, las siguientes matrices: 6 0 a) Una matriz X tal que XA = ( 0 ). ( ) 0 b) Una matriz Y tal que AY =. 0 0 38. Determina las matrices A y B que son soluciones del sistema: 0 5 4 7 3A B = 5 9 0 A + B = 6 6 7 5 4 4 0 5 39. Resuelve la ecuación matricial A = AX + B, siendo: ( ) ( ) 0 A = B = 3 40. Cómo tienen que ser dos matrices A y B, para que su producto AB sea un escalar? Cómo será entonces BA? 4. Resuelve la ecuación matricial AX = B, siendo: ( ) A = B = ( ) 0 3 3 0 4. Considera la ecuación matricial: X ( ) m + m = ( ) 4 0 con m un parámetro real. Se pide: a) Para qué valores del parámetro m existe una única matriz X que verifica la ecuación anterior? b) Si es posible, resuelve la ecuación anterior cuando m =0ym =. 43. Dada la matriz A = k, calcula los valores de k para los cuales A no posee inversa, y 3 k calcula, si es posible, la inversa de A cuando k =0.