Tema 6. Funciones 1. Tipos de funciones: 1. Funciones Polinómicas 1.1. Lineales 1.2. Parabólicas 1.3. Otros grados 2. Funciones Racionales 2.1. Hipérbolas 3. Funciones Radicales 4. Funciones exponenciales 5. Funciones logarítmicas Aspectos a estudiar 1. Dominio 2. Cortes con los ejes 3. Asíntotas 4. Monotonía y curvatura 2. Límites, asíntotas y continuidad 3. Derivadas
1. Funciones lineales Son polinomios de grado 0 ó 1: La representación gráfica siempre es una recta Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna restricción, el dominio es R Dom(f )=R Corte en el eje X: y=0 x= n m Corte en el eje Y: x=0 y=n Asíntotas: las funciones polinómicas no tienen Monotonía: m es la inclinación de la recta Si m = 0, la función es constante Si m > 0, la función es creciente Si m < 0, la función es decreciente Curvatura: la función es recta y=f (x)=mx+n
2. Funciones parabólicas Son polinomios de grado 2: La representación gráfica siempre es una parábola Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna restricción, el dominio es R Dom(f )=R Corte en el eje X: Corte en el eje Y: Si a < 0, creciente en (-, v 1 ) y decreciente en (v 1, + ) Curvatura: Si a > 0, convexa Si a > 0, cóncava y=0 x= {x 1 x=0 y=c y=f (x)=ax 2 +bx+c x 2 seresuelve laecuación Asíntotas: las funciones polinómicas no tienen Monotonía: Vértice: v 1 = b ; v 2a 2 : se sustituye v 1 enla función Si a > 0, decreciente en (-, v 1 ) y creciente en (v 1, + )
2. Funciones parabólicas
Ejemplos x: altura ; y: temperatura. Expresión analítica: Dominio: [0, 800] Corte en eje X: y = 0 ; x = 1800 Se sale del dominio Corte en eje Y: x = 0 ; y = 10 Asíntotas: no tiene (polinómica) Monotonía: decreciente (m < 0) Tabla de valores: x y 0 10 800 5,6 y=10 1 180 x
Ejemplos t (x): horas abierta ; N (y): clientes. Dominio: [0,?] Corte en eje X: y = 0 ; x 1 = 0 ; x 2 = 8. Dominio = [0, 8] Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0 Asíntotas: no tiene (polinómica) Monotonía: Vértice: v 1 = 4 ; v 2 = 160 Creciente: (0, 4) Decreciente: (4, 8) Cóncava (a < 0) Tabla de valores: x y 0 0 8 0 4 160
3. Otras polinómicas Polinomios de grado >2: Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna restricción, el dominio es R Dom(f )=R Corte en el eje X: y=0 x : seresuelve laecuación. Factor común, bicuadrada, Ruffini,... Corte en el eje Y: x=0 y=c (término independiente) Asíntotas: las funciones polinómicas no tienen. Tendencias: Monotonía: f ' (x)>0 f f ' (x)<0 f Curvatura: f ' ' (x)>0 f f ' ' (x)<0 f x + f (x), f ' (x)=0. Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de monotonía y los extremos (máximos y mínimos) creciente decreciente x f (x) f ' ' (x)=0. Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión convexa cóncava
Ejemplos Dominio: R Corte en eje X: y = 0 ; x 1 = 0 ; x 2 = +3,46 ; x 3 = -3,46 Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0 Asíntotas: no tiene (polinómica). Monotonía: f' f Curvatura: f ' f f (x)=x 3 12 x f '(x)=3 x 2 12 ; f '=0 x=±2 + + - -2 2-2 2 x + f ' ' (x)=6 x f ' '=0 x=0 - + 0 0 f (x)=+ ; x Creciente: (-, -2), (2, + ) Decreciente: (-2, 2) Máximo: (-2, 16) Mínimo: (2, -16) Cónvava: (-, 0) Convexa: (0, + ) f (x)= Punto de inflexión: (0, 0)
4. Funciones hiperbólicas Son fracciones entre dos lineales f (x)= ax+b ; c 0 cx+d La gráfica siempre es una hipérbola Dominio: cx+d=0 x= d Dom=R { d c c } Corte en X: y=0 ax+b=0 x= b a Corte en Y: x=0 y= b d Asíntotas: Siempre tienen dos Vertical: f (x)=± Asíntota vertical en x= d c x d c Horizontal: f (x)= a Asíntota horizontal en y= a x ± c c Se puede hacer una tabla de valores si se considera conveniente Monotonía: Siempre creciente, o bien, siempre decreciente Curvatura: Siempre cóncava hasta la asíntota vertical y convexa a partir de ella, o bien al revés
Ejemplos x 3 f (x)= 2 x 1 Dominio: 2 x 1=0 x= 1 Dom(f )=R { 1 2 2 } Corte en X: y=0 x 3=0 x=3 Corte en Y: x=0 y=3 f (x)= 1 ; f (x)= 1 1 Asíntota Horizontal: Asínt Hor en y= x + 2 x 2 2 1 Asíntota Vertical: f (x)=+ ; f (x)= + Asínt Ver en x= 2 x 1 2 Con esto ya podemos hacer la gráfica: x 1 2 Creciente: (-, 1/2), (1/2, + ) Máximos o mínimos no tiene Convexa: (-, 1/2) Cóncava: (1/2, + ) Punto de inflexión: no tiene
Ejemplos Se trata de una hipérbola: T (x)= 4 x+12 x Dominio: x es el número de intentos, por tanto: DomT (x)=(0,+ ) Corte en X: y=0 x= 3 No hay punto de corte Corte en Y: x=0 No hay punto de corte Asíntota Horizontal: f (x)=4 Asínt Hor en y=4 x + f (x)=+ Asíntota Vertical: Asínt Ver en x=0 x 0 + Tabla de valores Decreciente: (0, + ) x y 1 16 10 5,2 Máximos o mínimos no tiene Convexa: (0, + ) Punto de inflexión: no tiene
5. Otras racionales Son fracciones entre dos polinomios Ejemplo 1: f (x)= x x 2 4 x 2 Dominio: 4=0 x=±2 Dom=R {±2} Corte en X: y=0 x=0 Corte en Y: x=0 y=0 Asíntotas Hor.: Asíntotas Ver.: Monotonía: f' f x ± x 2 x 2 f ( x)=0 Asíntota horizontal en y =0 f (x)= ( 2 ) =± Asíntota vertical en x= 2 0 f (x)= ( 2 ) =± Asíntota vertical en x=2 0 f ' (x)= x2 4 ; f '=0 x= (x 2 4) 2 - - - -2 2-2 2 Decreciente: (-, -2), (2, + ), (-2, 2) Máximo o mínimos: No tiene
Curvatura: f ' ' (x)= 2 x3 +24 x ; f ' '=0 x=0 (x 2 4) 3 - + - + f ' -2 0 2 f -2 0 2 Cónvava: (-, -2), (0, 2) Convexa: (-2, 0), (2, + ) Punto de inflexión: (0, 0)
Ejemplo 2: 2 x 2 f (x)= x 2 +4 Dominio: x 2 +4=0 x= Dom=R Corte en X: y=0 x=0 Corte en Y: x=0 y=0 Asíntotas Hor.: x ± f (x)=2 Asíntota horizontal en y=2 Asíntotas Ver.: No tiene Monotonía: f ' (x)= 16 x (x 2 +4) 2 ; f '=0 x=0 f' f Curvatura: f ' f - + 0 0 Decreciente: (-, 0) Creciente: (0, + ) Mínimo: (0, 0) f ' '(x)= 48 x2 +64 ; f ' '=0 x=± 4 (x 2 +4) 3 3 + Cónvava: (-, - 4/3), ( 4/3, + ) - - - 4/3 4/3-4/3 4/3 Convexa: (- 4/3, 4/3) Puntos de inflexión: (-1,15 ; 0,5) y (1,15 ; 0,5 )
6. Funciones radicales Aparecen raíces. Lo principal es estudiar bien el dominio Ejemplo: f (x)= 4 x Dominio: 4 x=0 x=4 Dom=(, 4 ] Corte en X: y=0 x=4 Corte en Y: x=0 y=2 + - 4 Asíntotas Hor.: Asíntotas Ver.: Monotonía: f' x x 4 f ' (x)= - f ( x)=+ Rama infinita f (x)=0 Punto cerrado (4,0) 1 2 4 x 4 ; f '=0 x= Decreciente: (-, 4) Mínimo: (4, 0) f 4
Curvatura: f ' '(x)= f' f - 1 4(4 x) 4 x 4 4 ; f ' '=0 x= Cóncava: (-, 4) Puntos inflexión: No tiene
7. Funciones exponenciales Base constante, exponente variable. f (x)=a x Ejemplo: f (x)=2 x 3 Dominio: Si no hay problemas en el exponente Dom = R Corte en X: y=0 x=log 2 0 x= Dom(f )=R Corte en Y: x=0 y= 1 8 Asíntotas Hor.: f (x)=+ Rama infinita Asíntotas Ver.: Monotonía: x + x f ( x)=0 Asínt Hor y=0 No tiene f ' (x)=2 x 3 ln 2 ; f '=0 x= f' f + Creciente: R Máximos o mínimos: No hay
Curvatura: f ' ' (x)=2 x 3 (ln 2) 2 ; f ' '=0 x= f ' f + Convexa: R Punto inflexión: No hay
8. Funciones logarítmicas f (x)=log a x Ejemplo: f (x)=log 5 (x 1) Dominio: x 1=0 x=1 Dom=(1,+ ) Corte en X: y=0 x 1=5 0 =1 x=2 Corte en Y: x=0 - + 1 Asíntotas Hor.: x + f (x)=+ Rama infinita Asíntotas Ver.: f (x)= As. Vert. x=1 x 1 + 1 Monotonía: f ' (x)= ; f '=0 x= (x 1) ln 5 f' 1 x + f (x)= Creciente: (1, + ) Máximos o mínimos: No hay f 1
Curvatura: 1 f ' ' (x)= ( x 1) 2 ln5 f ' 1 - ; f ' '=0 x= Cóncava: (1, + ) Puntos inflexión: No hay f 1
9. Derivadas f (x)=k f (x)=x f (x)=kx f (x)=k u f ' (x)=0 f ' (x)=1 f ' (x)=k f ' (x)=k u' Ejemplos f (x)=3 x f (x)=3( x 3) f ' (x)=3 f ' (x)=3 f (x)=x n f (x)=u n f (x)=e x f (x)=e u f ' (x)=nx n 1 f ' (x)=nu n 1 u' 1 f (x)= x (=x 2 ) f ' (x)= 1 2 x f (x)= u f ' (x)= u' 2 u f (x)=a x f (x)=a u f ' (x)=e x f ' (x)=e u u' f ' (x)=a x ln a f ' (x)=a u u' ln a f (x)=x 4 f ' (x)=4 x 3 f (x)=(5 x) 3 f '(x)=3(5 x) 2 ( 1)= 3(5 x) 2 f (x)= x 3 +2 x f ' (x)= 3 x2 +2 2 x 3 +2 x f (x)=e x2 1 f (x)=3 2 x2 f ' (x)=e x2 1 2 x f ' (x)=3 2 x2 ( 2 x) ln 3
f (x)=ln x f '(x)= 1 x f (x)=ln u f ' (x)= u' u f (x)=log a u f '(x)= u' u ln a f (x)=u v f (x)= u v f (x)= 1 v f ' (x)=u' v + u v ' f ' (x)= u' v u v ' v 2 Ejemplos f (x)=ln(4 x+x 3 4+3 x2 ) f ' (x)= 4 x+x 3 f (x)=log 3 ( 3 x) f ' (x)= 3 3 x ln3 = f (x)=(x x 2 ) e x f ' (x)=(1 2 x) e x +(x x 2 ) e x = =(1 x x 2 ) e x f (x)= x 1 x 5 f ' (x)= 1 (x 5) (x 1) 1 (x 5) 2 = = 4 ( x 5) 2 = 1 x ln3 f ' (x)= v ' f (x)= 1 f '(x)= 2 x = 2 v 2 x 2 x 4 x 3