2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA
Ojetivo: El lumno identificrá los conceptos de ls integrles definid e indefinid y los plicrá en el cálculo y otención de integrles
Notción sum Se k un numero rel y k un entero. Se denot l sum 1 + 2 + 3 como: n k1... k 1 2 3 n Not: el suíndice k puede ser diferente
Notción sum Propieddes de l notción sum: Pr m>0 y n>0 1) c c ; c cte. k k1 k1 2) ( ) 3) n n n n n k k k k k 1 k 1 k 1 n m n k k k k 1 k 1 k m1 k
Notción sum Fórmuls de sum: Si n pertenece los enteros: I) c nc II ) n k 1 III ) IV ) n k 1 n k 1 n k 1 nn ( 1) k 2 k k 2 3 n( n 1)(2n 1) 6 n ( n1) 4 2 2
L integrl definid
Método de exhusión
L integrl definid
Límite de l sum de Reimnn n A y ( x x ) y x T i i i1 i i i1 i1 n A y x f ( ) x T i i i i i1 i1 n A lim f ( ) x f ( x) dx T i i n i 1 n n
Límite de l sum de Reimnn f ( x) dx lim f ( ) x n n i 1 i i
Definición Si f es un función definid en el intervlo cerrdo [,], entonces l integrl definid de f desde hst que se denot f ( x) dx está dd por l iguldd: f ( x) dx lim f ( ) x n n i 1 i i
Función integrl Teorem: Si y=f(x) es continu en el intervlo [,], entonces y=f(x) es integrle en [,] Este teorem estlece un condición suficiente pero no necesrio pr que un función se integrle, es decir, si un función es continu es integrle, sin emrgo si es integrle puede ser discontinu
Propieddes de l integrl definid Se f(x) y g(x) integrles en [,] 1) kf ( x) dx k f ( x) dx; k cte. 2) [ f ( x) g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx c 3) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx; c c 4) f ( x) dx g( x) dx; si f ( x) g( x), x [, ]
5) kdx k[ ]; k cte 6) f ( x) dx f ( x) dx 7) f ( x) dx 0
Teorem del vlor medio
Teorem del vlor medio 1 f ( c) f ( x) dx
Antiderivd Definición: Existe un función F, y será ntiderivd de otr función f en [,] si: F (x)=f(x) x [, ] Checr formuls de ntiderivds
Teorem Fundmentl del cálculo integrl Prte 1 ó regl de Brrow L función de f(x) es continu en [,] L función F(x) es tl que F (x)=f(x) x [, ] f ( x) dx F( x) F( ) F( )
Teorem Fundmentl del cálculo integrl Prte 2, integrl con extremo superior vrile F( x) f ( t) dt x F '( x) f ( x)
LA INTEGRAL INDEFINIDA f ( x) dx F( x) C
Recordndo
Recordndo
Regl de L Hôpitl En el cálculo del límite de un función de l f( x) 0 form el resultdo es únicmente se gx ( ) 0 ó puede plicr l siguiente regl: lim f ( x) f '( x) lim g( x) g '( x) x x
Regl de L Hôpitl Un plicción de l regl de L Hôpitl es el cálculo de límites de funciones que tienen l form f( x) en donde el resultdo es 0 vemos: 0,,1
Integrles Impropis Se denominn sí ls integrles de l form Si: f ( x) dx ) L función integrndo no está definid en lgún vlor de [,] ) Al menos uno de los extremos es
Integrles Impropis.1) Cundo l función f(x) no está definid en el extremo inferior de integrción f ( x) dx lim f ( x) dx 0 AVM
Integrles Impropis.2) Cundo l función f(x) no está definid en el extremo superior de integrción f ( x) dx lim f ( x) dx 0 AVM
Integrles Impropis.3) Cundo l función f(x) no está definid en lgun prte del intervlo [,] c f ( x) dx lim f ( x) dx lim f ( x) dx 0 0 c
Integrles Impropis Si el límite existe, se dice que l integrl converge y el vlor es el resultdo del límite, si no existe se dice que diverge y su vlor no existe.
Integrles Impropis.1) Cundo el extremo inferior es -.2) Cundo el extremo superior es f ( x) dx lim f ( x) dx f ( x) dx lim f ( x) dx
Integrles Impropis Cundo mos extremos son infinito c f ( x) dx lim f ( x) dx lim f ( x) dx c