Dirección de Operaciones
1 Sesión No.5 Nombre: El método simplex. Segunda parte. Objetivo Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de identificar las herramientas que permiten resolver problemas de programación lineal a través del método simplex Contextualización Qué me falta por conocer del método simplex? En la sesión anterior dimos inicio a la explicación del método simplex. Ahora conoceremos el resto de los pasos que nos llevarán a la correcta aplicación del mismo y a una segunda forma de representación a través de tablas. Podemos considerar lo visto en la sesión anterior como los fundamentos en los cuales se va a desarrollar todo el método. Estos fundamentos permiten una mayor comprensión del método y poder tener los elementos necesarios para una correcta resolución de problemas a través del método simplex ya sea algebraico o tabloide.
2 Introducción al Tema Es innecesaria una introducción exhaustiva en esta sesión, por tratarse de una continuación de la sesión anterior. Es importante destacar que el objetivo que perseguimos al finalizar esta sesión es tener las suficientes herramientas que nos permitan resolver problemas de programación lineal a través del método simplex y conocer los casos especiales que se pueden dar al momento de utilizar esta metodología. Al igual que la sesión anterior, primero explicaremos los conceptos y al final utilizaremos un ejemplo en dónde se ilustren los conocimientos adquiridos durante esta sesión.
3 Explicación Formulación del método La formulación del método consiste en plantear el problema de programación lineal que se nos propone en términos que permitan su resolución a través del método simplex. Como señalaba en una sesión anterior, es traducir la realidad a estudiar, en términos que permitan resolverse a través del método elegido. Recordemos que para el caso específico del método simplex es necesario que se cumplan las siguientes condiciones al momento de formularlo. En caso de que no se cumpla alguna de ellas, el problema no podrá ser resuelto a través de este método. El objetivo se debe plantear en la forma de maximización o de minimización. Todas las restricciones deben ser de igualdad. Todas las variables deben ser no negativas. Las constantes a la derecha de las restricciones deben ser no negativas. Se podría resumir lo anterior en la siguiente fórmula general: Max o Min Z = cx Sujeto a: Ax = b X > 0 b > 0
4 Tablado simplex La tabla simplex o el tabloide es una herramienta que hace más sencillo el trabajo con el problema, pues representa a modo de resumen detallado toda la información del mismo. Al finalizar la sesión a través de un ejemplo veremos la manera de realizar dicha tabla y cómo utilizarla para la resolución de problemas. Metodología de solución Los pasos a seguir para poder resolver un problema a través del método simplex son: 1. Convertir las desigualdades en igualdades. 2. Igualar la función objetivo a cero. 3. Escribir la tabla inicial simplex. 4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. 6. Ver si se ha encontrado la solución óptima, de ser así, hemos terminado el problema, sino seguir al paso 7. 7. Repetir el proceso a partir del paso 4. Se podrá pensar que esto es diferente al método simplex algebraico, pero en realidad estamos hablando del mismo método pero con herramientas diferentes. Es decir, en lugar de escribir la tabla inicial, se buscaría una solución factible, después verificaremos si se trata de ésta o no, en caso contrario se sigue buscando otra solución factible y así hasta llegar a la óptima. Casos especiales Al igual que en el método gráfico, en este método se pueden dar casos especiales en los resultados que se obtengan al momento de resolver el
5 problema. No se definirán pues ya se han definido anteriormente cada uno de ellos. Los posibles casos son: 1 2 Solución no 3 acotada Óptimos alternos Solución infactible Ejemplo: A continuación te presentamos un ejemplo del autor Vergara, J. (s/f, s/p) que se resolverá a través del método simplex para visualizar lo estudiado en esta sesión y la anterior. Max Z = 100X 1 + 200X 2 Sujeto a: 4X 1 + 2X 2 < 16 8X 1 + 8X 2 < 16 2X 2 < 10 X 1, X 2, > 0 1. Convertir la función objetivo en 0 y las restricciones en igualdades a través de variables de holgura -100x 1 200x 2 + z = 0 4x 1 + 2x 2 + H 1 = 16 8X 1 + 8x 2 + H 2 = 16 2x 2 + H 3 = 10
6 2. Escribir la tabla simplex inicial En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 Sol H 1 8 8 1 0 0 16 H 2 4 2 0 1 0 16 H 3 0 1 0 0 1 10 Z -100-200 0 0 0 0 3. Iniciar con las iteraciones hasta encontrar una solución óptima única. Para ello hay que encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base El método para elegir qué variable de decisión va a entrar en la base es necesario revisar la última fila en donde están los coeficientes de la función objetivo y se toma la variable con el coeficiente negativo que es mayor en su valor absoluto. En nuestro caso, la variable x 2 de coeficiente -200. X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 Sol H 1 8 8 1 0 0 16 H 2 4 2 0 1 0 16 H 3 0 1 0 0 1 10 Z -100-200 0 0 0 0
7 Si se llegara a dar el caso de que dos o más coeficientes cumplen la condición de ser el menor con su valor absoluto, se elige cualquiera de ellos. En caso de que en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo no existe ningún valor negativo, entonces se ha alcanzado la solución óptima. De ahí que concluyamos que lo que determina el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. El criterio de decisión para decidir qué variable de holgura es la que tiene que salir de la base, es dividiendo cada término de la última columna (valores solución) entre el término correspondiente de la columna pivote, sólo si estos últimos son mayores que cero; posteriormente, seleccionamos aquel que su valor sea el menor cociente (éste tiene que ser positivo). En nuestro caso: 16/8 [=2], 16/2 [=8] y 10/1 [=10]. Aquí la fila de la variable de holgura que sale de la base es H 1, pues el valor menor de la división es el correspondiente a dicha columna, [2]. Esta fila se llama fila pivote. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir aplicando el método para la solución del problema. Cuándo al hacer el cálculo de los cocientes, dos o más son iguales, esto indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 8. 4. Elaborar la nueva tabla simplex Para calcular los valores de la nueva tabla es necesario aplicar las siguientes operaciones. a. Para la nueva fila pivote= Fila pivote / elemento pivote
8 b. Nuevas filas= (Fila anterior coeficiente de la columna pivote) * fila pivote X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 Sol X 2 1 1 1/8 0 0 2 H 2 2 0-1/4 1 0 12 H 3-1 0-1/8 0 1 8 Z 100 0 25 0 200 400 Dado que ya no existen coeficientes de Z negativos, ya nos encontramos ante la solución óptima y no es necesario hacer más iteraciones. El resultado al problema es que el valor máximo puede tomar Z= 400 con un valor de X 2 = 2 En caso de que existiera aun algún coeficiente Z negativo, se repetirían las iteraciones hasta ya no tener el valor de Z negativo.
9 Conclusión Qué puedo concluir al finalizar esta sesión? Ya en esta sesión hemos concluido todo el método simplex. Es un método sencillo y aunque el día de mañana no seamos unos expertos en la resolución de problemas a través de este método, ya que existen muchos sistemas computacionales que los resuelven automáticamente, es importante saber interpretar los resultados que arrojan las tablas con las variables de decisión. Fuente imagen: Piixabay El auge que ha tenido esta herramienta dentro de las empresas ha sido grande, porque permite de forma sencilla encontrar soluciones a problemas de gran alcance para lograr los objetivos esperados.
10 Para aprender más Bellini, F. (2004). Problemas de programación lineal, método simplex. Consultado el 14 de julio de 2013: http://brd.unid.edu.mx/problemas-de-programacion-lineal-metodo-simplex/ Maestro dirige una clase a sus alumnos sobre la resolución de problemas a través del método simplex. Método simplex. (2011). Consultado el 14 de julio de 2013: http://brd.unid.edu.mx/metodo-simplex/
11 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: Qué vas a hacer? Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión resuelve e interpreta el siguiente problema a través de método simplex tabular. Max Z = 3X 1 + 5X 2 Sujeto a: X 1 < 4 2X 2 < 12 3X 1 + 2X 2 < 18 X 1, X 2 > 0 Material: Como material inicial de consulta puedes usar la lectura de la sesión, además de aquellas publicaciones especializadas, libros, artículos, materiales universitarios y productos que sean pertinentes. Cuál es la forma de entrega? Guarda tu archivo en Word y súbelo a la plataforma.
12 Cómo serás evaluado? En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente: Criterios Referencias bibliográficas completas y pertinentes. Ortografía y redacción adecuada. Solución e interpretación del problema empleando el método simplex tabular Organización adecuada de la información. Total Valor 5 pts. 10 pts. 70 pts. 15 pts. 100 puntos
13 Bibliografía Arreola, A y Arreola J. (1984).Programación lineal, introducción a la toma de decisiones cuantitativa. (Edición preliminar) México: ITESM. Hillier, F. y Lieberman, G. (2001).Introducción a la investigación de operaciones. (8ª Ed). México: McGraw Hill. Schroeder, R. (2011). Administración de operaciones. España: McGraw Hill. Cibergrafía Vergara, J. (s/f). Ejercicios resueltos. Investigación de operaciones. Consultado el 16 de julio de 2013: http://juancarlosvergara.50webs.org/apuntes/ejercicios%20resueltos%201,%20 Metodo%20grafico%20y%20simplex.pdf