Certamen # 2 Profesores: María Cristina Riff & Esteban Sáez 6 de junio de 2003 1. Una pequeña empresa constructora debe construir 3 casas en los próximos 5 meses. Una vez que alguna de las casas está terminada, puede ser arrendada mensualmente. Los requerimientos en horas hombre (HH) totales para la construcción y los valores de los posibles arriendos para cada una de las casas se muestran en la siguiente tabla: Casa Requerimientos (HH) Valor del arriendo (U.F.) 1 3000 10 2 4000 15 3 5000 20 Los obreros de la constructora representan una capacidad de 2500 HH mensuales, la que puede ser distribuida entre las tres obras mensualmente. La construcción de cada una de las casas puede comenzar en cualquiera de los próximos 5 meses, pero las tres deben estar terminadas al final del quinto mes. Durante el primer mes de construcción de cada casa se emplea una máquina excavadora. Luego del primer mes de construcción, la máquina queda desocupada y puede ser asignada a otra obra. La constructora dispone de sólo 2 máquinas excavadoras. Formule un modelo de programación lineal entera mixta que permita planificar la construcción de las tres casas de forma de maximizar el ingreso por arriendo durante los próximos 5 meses. 2. La Compañía de Sky Montpellier (MS) está planificando su producción trimestral de skis. Durante el mes de Julio, emplea un gran número de estudiantes. Este número disminuye en Agosto y en Septiembre se queda sin estudiantes. Debido a que los estudiantes reducen el costo, el número de estudiantes que emplean afecta tanto la capacidad de producción como los costos unitarios de producción durante esos meses. MS espera tener de antemano en stock disponibles 200 pares de skis nuevos al comienzo de Julio, es decir, antes de comenzar la producción del período. La predicción de la demanda y las capacidades de producción para los meses de Julio, Agosto y Septiembre están dados en la siguiente tabla: Mes Predicción Demanda Capacidad Producción a Julio 400 1000 Agosto 600 800 Septiembre 1000 400 a Estas capacidades pueden aumentarse hasta en un 50 % usando sobretiempo Además de esta demanda, Montpellier debe tener 1200 pares de skis disponibles para mandar a otros negocios el 30 de Septiembre. Los costos de producción de un par de ski en Julio es de US$25 y, US$ 26 y US$ 29 para los producidos en Agosto y Septiembre. Sin embargo, producir skis con horas extra o sobretiempo implica agregar US$ 5 al costo de producción en Julio y, US$ 6 y US$ 8 para Agosto y Septiembre respectivamente. El costo de almacenar un ski de un mes al otro es de 3 % de su costo de producción. La administración de Montpellier desea realizar una buena planificación de la producción. 1. Determinar la solución óptima 1
3. Una óptica ordena marcos de lentes a un costo de US$40 por marco y los vende a US$70. Costo de almacenamiento es de 20 % del costo de compra. Por cada orden de marcos se incurre en un costo de US$200. Debido a pérdida de prestigio, cada vez que un cliente desea comprar un marco y no se tiene, se incurre en un costo de US$50. Los marcos se reciben en dos semanas a partir del momento en que se solicitó el pedido. La demanda anual de marcos es N(1040; 15.73). 1. Para obtener el 95 % de todas las órdenes del inventario Cuál debería ser el punto de reorden? 2. Para tener una escasez que ocurra en promedio cada 2 lead-times al año Cuál debería ser el punto de reorden? 3. Usando el punto 2, evalúe el costo de la insatisfacción de los clientes y compare con el punto 1. Explique las diferencias. 4. Un jardinero debe comprar maceteros para una serie de plantas. El jardinero ha clasificado las plantas en 7 tamaños. El precio del macetero de tamaño mínimo necesario para cada tipo y el total de plantas de cada tipo se muestran en la siguiente tabla: Tipo de planta 1 2 3 4 5 6 7 Precio del macetero $3300 $3000 $2600 $2400 $1900 $1800 $1700 Cantidad de plantas 4 3 5 7 2 4 2 Evidentemente, el precio del macetero es proporcional a su tamaño. Una planta puede ser plantada en un macetero de tamaño mayor, pero no en uno de tamaño menor. El jardinero dispone de tierra y abono suficiente, por lo que sólo le interesa minimizar el costo de los maceteros. El problema consiste en que cada tipo de macetero es vendido en un lugar distinto. El jardinero estima en $1000 el costo de movilización por ir a comprar a cualquiera de las tiendas. Plantee y resuelva un modelo de grafos que permita definir cuántos maceteros de cada tipo deben ser comprados. Instrucciones: Responda cada pregunta en una hoja separada identificada con nombre y carnet de identidad. En caso de no responder una pregunta entregue una hoja en blanco bien identificada. Escriba las respuestas con tinta para tener derecho a eventuales recorrecciones. Ponderación de cada pregunta: Pregunta Porcentaje 1 25 % 2 25 % Tiempo: 150 minutos. 3 25 % No se permite ningún material de apoyo. 4 25 % Certamen # 2 Página 2
Pauta de corrección 1. Variables (15 %): x ij = cantidad de HH asignadas durante el mes i a la casa j (i = 1... 5, j = 1... 3) y ij = se arrienda el mes i la casa j (i = 1... 5, j = 1... 3) z ij = se inician el mes i las obras de la casa j (i = 1... 5, j = 1... 3) Función objetivo (10 %): Restricciones: Inicio de obras casa j (30 %): Min z = 10 5 y i1 + 15 i=2 5 y i2 + 20 i=2 x 1j M z 1j z 1j + z 2j + z 3j + z 4j + z 5j = 1 Dos excavadoras disponibles (10 %): Mes 1 (5 %): Mes 2 (5 %): Mes 3 (5 %): Mes 4 (5 %): x 2j M (z 1j + z 2j) 5 i=2 y i3 x 3j M (z 1j + z 2j + z 3j) x 4j M (z 1j + z 2j + z 3j + z 4j) x 5j M (z 1j + z 2j + z 3j + z 4j + z 5j) 3 z ij 2 i = 1... 5 j=1 x 11 3000 y 21 x 12 4000 y 22 x 13 5000 y 23 x 11 + x 12 + x 13 2500 x 11 + x 21 3000 y 31 x 12 + x 22 4000 y 32 x 13 + x 23 5000 y 33 x 21 + x 22 + x 23 2500 x 11 + x 21 + x 31 3000 y 41 x 12 + x 22 + x 32 4000 y 42 x 13 + x 23 + x 33 5000 y 43 x 31 + x 32 + x 33 2500 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 3000 y 51 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 4000 y 52 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 5000 y 53 x 41 + x 42 + x 43 2500 Certamen # 2 Página 3
Mes 5 (10 %): x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 3000 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 4000 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 5000 x 51 + x 52 + x 53 2500 Naturaleza de las variables (5 %): x ij 0 y ij = {0, 1} z ij = {0, 1} Certamen # 2 Página 4
2. El costo de almacenar las unidades disponibles al inicio de Julio se considerará igual al de las unidades producidas en Julio. De acuerdo a los restantes datos del problema se puede construir la siguiente matriz de costos unitarios de satisfaccción de la demanda (20 %): Julio Agosto Septiembre Finales Iniciales 0 25 0,03 = 0,75 25 0,03 2 = 1,5 25 0,03 3 = 2,25 Julio Normal 25 25 + 0,75 = 25,75 25 + 1,5 = 26,5 25 + 2,25 = 27,25 Extra 30 30 + 0,9 = 30,9 30 + 1,8 = 31,8 30 + 2,7 = 32,7 Agosto Normal M 26 26 + 0,78 = 26,78 26 + 1,56 = 27,56 Extra M 32 32 + 0,96 = 32,96 32 + 1,92 = 33,92 Septiembre Normal M M 29 29 + 0,87 = 29,87 Extra M M 37 37 + 1,11 = 38,11 Para llevar el problema un modelo de transporte es preciso incorporar un destino artificial para balancear el problema. Se escogerán costos unitarios nulos para la columna artificial. Luego, el tableau de transporte queda (30 %): Julio Agosto Septiembre Finales Artificial Oferta 0 0,75 1,5 2,25 0 Inicial 200 Julio Agosto Septiembre 25 25,75 26,5 27,25 0 Normal 1000 30 30,9 31,8 32,7 0 Extra 500 M 26 26,78 27,56 0 Normal 800 M 32 32,96 33,92 0 Extra 400 M M 29 29,87 0 Normal 400 M M 37 38,11 0 Extra 200 Demanda 400 600 1000 1200 300 Certamen # 2 Página 5
Aplicando el método de Vogel se encuentra la siguiente solución inicial indicada en la tabla (20 %). Se verifican n + m 1 = 7 + 5 1 = 11 asignaciones. Calculando los e ij, se obtienen que todos son no negativos salvo: e 14 = 0 y e 31 = 0,33, por lo que se busca el mayor valor posible de asignar en la casilla 3 1. Se obtiene α = 200 (10 %). Julio Agosto Septiembre Finales Artificial Oferta 0 0,75 1,5 2,25 0 Inicial 200 200 Julio Agosto Septiembre 25 25,75 26,5 27,25 0 Normal 200 α 800 + α 1000 30 30,9 31,8 32,7 0 Extra α 300 200 α 500 M 26 26,78 27,56 0 Normal 400 + α 400 α 800 M 32 32,96 33,92 0 Extra 300 100 400 M M 29 29,87 0 Normal 400 400 M M 37 38,11 0 Extra 200 200 Demanda 400 600 1000 1200 300 Certamen # 2 Página 6
Al incorporar el cambio α = 200 se generan dos casillas en cero. Cómo sólo se agrega un valor positivo en 3 1 es necesario incorporar un cero. Se escoge la casilla 1 4 ya que es una solución alternativa. El nuevo tableau se muestra a continuación (10 %): Julio Agosto Septiembre Finales Artificial Oferta 0 0,75 1,5 2,25 0 Inicial 200 α 0 + α 200 Julio Agosto Septiembre 25 25,75 26,5 27,25 0 Normal 1000 1000 30 30,9 31,8 32,7 0 Extra 200 + α 300 α 500 M 26 26,78 27,56 0 Normal α 600 200 α 800 M 32 32,96 33,92 0 Extra 300 100 400 M M 29 29,87 0 Normal 400 400 M M 37 38,11 0 Extra 200 200 Demanda 400 600 1000 1200 300 Luego de resolver el sistema, todos los e ij son negativos salvo: e 12 = 0,15, e 21 = 0, e 22 = 0,15 y e 42 = 0,21. Como el más negativo es el correspondiente a la casilla 4 2, se busca la mayor cantidad posible de incorporar. Se obtiene α = 200. Certamen # 2 Página 7
Al imponer α = 200 se generan dos ceros en el tableau, reemplazados sólo por un nuevo coeficiente positivo. Luego, se agrega arbitrariamente un cero en la casilla 1 3. El nuevo tableau queda (10 %): Julio Agosto Septiembre Finales Artificial Oferta 0 0,75 1,5 2,25 0 Inicial 0 200 200 Julio Agosto Septiembre 25 25,75 26,5 27,25 0 Normal 1000 1000 30 30,9 31,8 32,7 0 Extra 400 100 500 M 26 26,78 27,56 0 Normal 200 600 200 α 800 M 32 32,96 33,92 0 Extra 300 100 400 M M 29 29,87 0 Normal 400 400 M M 37 38,11 0 Extra 200 200 Demanda 400 600 1000 1200 300 Evaluando los e ij se obtiene: e 11 = 0 0 + 0,18 = 0,18 e 12 = 0,75 0 0,72 = 0,03 e 13 = 0 0 + 31,28 = 31,28 e 21 = 25 25 + 0,18 = 0,18 e 22 = 25,75 25 0,72 = 0,03 e 23 = 26,5 25 1,5 = 0 e 25 = 0 25 + 31,28 = 6,28 e 33 = 31,8 30,18 1,5 = 0,12 e 34 = 32,7 30,18 2,25 = 0,27 e 35 = 0 30,18 + 31,28 = 1,1 e 41 = M e 44 = 27,56 25,28 2,25 = 0,03 e 45 = 0 25,28 + 31,28 = 6 e 51 = M e 53 = 32,96 31,28 1,5 = 0,18 e 54 = 33,92 31,28 2,25 = 0,39 e 61 = M e 62 = M e 64 = 29,87 27,5 2,25 = 0,12 e 65 = 0 27,5 + 31,28 = 3,78 e 71 = M e 72 = M e 73 = 37 31,28 1,5 = 4,22 e 74 = 38,11 31,28 2,25 = 4,58 Por lo tanto, la solución es óptima y la función objetivo vale: 200 2,25 + 1000 27,25 + 400 30 + 100 30,9 + 200 26 + 600 26,78 + 300 32 + 400 29 = 85258 Certamen # 2 Página 8
3. 1. (35 %) Datos: Del análisis EOQ se obtiene: Q = c h = 0,2 40 = 8 [$/año] c 0 = 200 [$] 2Dc 0 2 1040 200 = = 228 [unidades] c h 8 Se desea satisfacer el 95 % de la demanda a tiempo, es decir, se impone SLM 1 = 0,95: ( ) r E[x] NL = Q (1 SLM 1) σ x σ x Donde x es la demanda durante el lead-time. Como el lead-time es de 2 semanas, en términos de años se obtiene: L = 2 52 = 1 26 Por lo tanto, la media y la desviación estándar de la demanda durante el lead-time queda: Evaluando: Como se satisface que: y NL(14,65) 0, se tiene: Por lo tanto: E[x] = L E[D] = 1 1040 = 40 26 σ x = 1 L σ D = 26 15,73 = 0,778 NL ( ) r E[x] 228(1 0,95) = = 14,65 σ x 0,778 NL(y) = NL( y) y NL( 14,65) 14,65 r E[x] σ x = 14,65 r = E[x] 14,65σ x = 28,6 29 [unidades] 2. (35 %) Si se desea que ocurra escasez cada 2 ciclos en promedio, se impone SLM 2 = n, donde n es el número 2 de ciclos. Luego: IP (x 0) = SLM2Q D = 1 2 Por lo tanto, el punto de reorden debe ser de 40 unidades. 3. (30 %) En el caso 1, el costo de insatisfacción queda (SLM 1 = 0,95): IP ( ) x 40 0,778 > r 40 = 0,5 0,778 CI 1 = 1040 0,05 50 = 2600 [$] En el caso 2 se puede obtener el SLM 1 correspondiente a un punto de reorden de 40 unidades: NL (0) = 0,3989 = Luego, el costo de insatisfacción queda: 228(1 SLM1) 0,778 SLM 1 = 0,9986 CI 2 = 1040 (1 0,9986) 50 = 72,8 [$] Certamen # 2 Página 9
c 15 c 16 Fundamentos de Investigación de Operaciones 4. El problema se puede plantear como un problema de ruta más corta, donde cada arco tiene un costo: c ij = costo de comprar maceteros de tamaño i + 1 para plantas de tamaño entre i + 1 y j La malla tendrá entonces 8 nodos (j = 0... 7): c 05 c 03 c 25 c 01 c 23 c 45 c 07 c 27 c 06 c 47 c 04 c 26 0 1 c 12 2 3 c 34 4 5 c 56 6 c 67 7 c 02 c 24 c 46 c 13 c 14 c 35 c 36 c 57 c 37 c 17 Calculando los costos: c 01 = 3300 4 + 1000 = 14200 c 02 = 3300 (4 + 3) + 1000 = 24100 c 03 = 3300 (4 + 3 + 5) + 1000 = 40600 c 04 = 3300 (4 + 3 + 5 + 7) + 1000 = 63700 c 05 = 3300 (4 + 3 + 5 + 7 + 2) + 1000 = 70300 c 06 = 3300 (4 + 3 + 5 + 7 + 2 + 4) + 1000 = 83500 c 07 = 3300 (4 + 3 + 5 + 7 + 2 + 4 + 2) + 1000 = 90100 c 12 = 3000 3 + 1000 = 10000 c 13 = 3000 (3 + 5) + 1000 = 25000 c 14 = 3000 (3 + 5 + 7) + 1000 = 46000 c 15 = 3000 (3 + 5 + 7 + 2) + 1000 = 52000 c 16 = 3000 (3 + 5 + 7 + 2 + 4) + 1000 = 64000 c 17 = 3000 (3 + 5 + 7 + 2 + 4 + 2) + 1000 = 70000 c 23 = 2600 5 + 1000 = 14000 c 24 = 2600 (5 + 7) + 1000 = 32200 c 25 = 2600 (5 + 7 + 2) + 1000 = 37400 c 26 = 2600 (5 + 7 + 2 + 4) + 1000 = 47800 c 27 = 2600 (5 + 7 + 2 + 4 + 2) + 1000 = 53000 c 34 = 2400 7 + 1000 = 17800 c 35 = 2400 (7 + 2) + 1000 = 22600 c 36 = 2400 (7 + 2 + 4) + 1000 = 32200 c 37 = 2400 (7 + 2 + 4 + 2) + 1000 = 37000 c 45 = 1900 2 + 1000 = 4800 c 46 = 1900 (2 + 4) + 1000 = 12400 c 47 = 1900 (2 + 4 + 2) + 1000 = 16200 c 56 = 1800 4 + 1000 = 8200 c 57 = 1800 (4 + 2) + 1000 = 11800 c 67 = 1700 2 + 1000 = 4400 Certamen # 2 Página 10
Resolviendo el grafo: c 05 c 03 c 25 c 01 c 23 c 45 c 07 c 27 c 06 c 47 c 04 c 26 0 1 c 12 2 3 c 34 4 5 c 56 6 c 67 7 c 02 c 24 c 46 c 13 c 14 c 35 c 36 c 57 c 15 c 16 c 37 c 17 [0,s] [14200,0] [24100,0] [40600,0] [39200,1] [38100,2] [63700,0] [60200,1] [56300,2] [55900,3] [70300,0] [66200,1] [61500,2] [60700,3 ó 4] [83500,0] [78200,1] [71900,2] [70300,3] [68300,4] [90100,0] [84200,1] [77100,2] [75100,3] [72100,4] Por lo tanto, se obtiene como ruta más corta los arcos: c 02 c 23 c 34 c 47 = 16200 + 17800 + 14000 + 24100 = 72100 En otras palabras, se deben comprar siete maceteros tipo 1 para las plantas tipo 1 y 2, cinco maceteros tipo 3 para plantas tipo 3, siete maceteros tipo 4 para plantas tipo 4 y ocho maceteros tipo 5 para las plantas tipo 5, 6 y 7, es decir: 7 3300 + 5 2600 + 7 2400 + 8 1900 + 4000 = 68100 + 4000 = 72100. Puntajes Planteo 65 % Resolución 20 % Interpretación resultados 15 % Certamen # 2 Página 11