Guía I Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones José Luis Vásquez, Larry Mendoza, Remigio Medrano y Williams Castro,,, Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre" Vicerrectorado Luis Caballero Mejías" Departamento de Ciencias Básicas Sección de Matemática * Parte I.- Marque con una equis el o los conjunto(s) numérico(s) a los que pertenece cada uno de los siguientes números, que se presenta en siguiente tabla: 0 8 5 5,... e π + 4 N Z Z + Z Q Q + Q I I + I R R + R * José Luis Vásquez Rivas (945 0). Nació el de diciembre en la Guaira (actual Estado Vargas) y Falleció 9 de septiembre en Caracas. El Lic. José Luis Vásquez fue Profesor Asociado de nuestra casa de Estudio, con más de 45 años de servicio para el estado y fue caracterizado, por sus majestuosas clases magistrales. ** Profesor Agregado Jubilado de nuestra casa de Estudio.
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones.- Determine el conjunto resultante de:..- N Z..- N Z +..- N Z +.4.- N Z.5.- Z Z +.6.- Z {0} Z +.7.- Z Z +.8.- Z Z +.9.- Z Z.0.- Q Q +..- Q {0} Q +..- Q Q + José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía I Semestre 07 I..- Q + Z +.4.- Q Z.5.- Q + Z +.6.- Q Z.7.- Q I.8.- Q + I +.9.- Q I.0.- Q I +..- Q I..- Q + I +..- R N.4.- R Z.5.- R Q.6.- R I.7.- R R +.8.- R R.9.- R R +.0.- R R..- R Q..- R I..- Z N.4.- Z Z +.5.- Z Z.6.- Q Q +.7.- Q Q.8.- R Q +.9.- R Q.40.- R I +.4.- R I.4.- R R +.4.- R R.44.- R {0}.- Representar en la recta real y luego con notación de conjuntos los siguientes intervalos:..- [, ]..- (, 5]..- [, 4).4.- (, ).5.- 4.- Dados los intervalos 4..- I = [, 5) e I = [, 4] 4..- I = [, 5) e I = [ 4, ] 4..- I = (, 4) e I = [, ] 4.4.- I = (, 7) e I = [7, 9) 4.5.- I = [5, 6) e I = (4, ) 4.6.- I = [, ) e I = (, ] Calcular: 5.- Dados los intervalos ( i ) I I y ( ii ) I I 5..- I = [, 6) y I = [, 4) 5..- I = [ 4, 8) y I = [0, ] 5..- I = (, 4) y I = (, ) 5.4.- I = (, 7) y I = [, ) 5.5.- I = [, 4) y I = (, 0) 5.6.- I = (, ) y I = (, ] Determinar: ( i ) I I Š, Pág. /0
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 6.- Complemente la siguiente tabla, de acuerdo al ejemplo ilustrativo que se muestra en la primera fila, de la siguiente tabla: Notación de Representación Representación Representación Intervalo en la Recta Real algebraica Formal o de conjunto [, ) x < {x R : x < } (0, 4) [ 5, 6] (4, 5] [ 4, ) (, ) (, 6) (, ) (, 4] [0, 6] [, ] [, 5) [, ) (, 5) [, ] (, 5) [, ) [, 5) [, 5) [5, 8) [, ] [, 5) (, ) [, 5] (, ) (, 5) (, 5) (, ) (, ) [0, 5] [4, 6] (, ) (0, 5) (, ) {} (, ) {} (4, 6] {6} (, ) {} (, 4) { } (, 4) {, } (0, 5) {(, )} (0, 5) {[, ]} x < 4 x > x 5 x x < x > x x 5 y x 0 y x 4 x < x Pág. /0 José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía N I Semestre 06 II
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 4 Parte II.- Hallar el valor de x, que satisfacen las siguientes ecuaciones:..- x + = x + 7;..- 4x 0 = 6 6x;..- 4x 7 = x + 5;.4.- x = 6x + ; José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía I Semestre 07 I.5.- x = 4x + 8;.6.- 6x 8 = 8x + 6;.7.- x = (x + 4);.8.- 6x + = (x + );.9.- (x 5) = 8;.0.- x + 5 = ;..- x + 4 x = ;..- (x 5) = 5 + ;.- Resolver de forma analítica y representar gráficamente en la recta real, las siguientes inecuaciones:..- 5x + > x 6;..- x 9 + 4x;..- 4x 7 x + 5;.4.- x 4x + 5;.5.- x + 4x 6;.6.- x < 4x + 8;.7.- x + < x + 8;.8.- x > x 4;.9.- (x 5) 4(x + 5) x.0.- x ;..- x + x 5 x 6 ;..- x 8 x 6.- Encontrar los valores de x, que satisfacen las siguientes expresiones: > x;..- x = 7;..- x 4 = ;..- x 4 = 6;.4.- x 5 = x.5.- x = + x;.6.- x + = 4 + x;.7.- x + = x + 4;.8.- x + 5 = 6 4.- Hallar los valores de x, e ilustre gráficamente las siguientes expresiones, y además establezca las diferencias entre una ecuación y una inecuación con valor absoluto. 4..- (i) x = ; (ii) x < ; (iii) x > ; (iv) x ; (v) x ; 4..- (i) x = 5; (ii) x < 5 (iii) x > 5 (iv) x 5 (v) x 5 4..- (i) x = (ii) x < (iii) x > 7 (iv) x (v) x Pág. 4/0
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 5 5.- Resolver y representar gráficamente, las siguientes inecuaciones: 5..- < 6 4x 8; 5..- 5 x 5..- + x < 5x + < 6 5.4.- x 4 6 7x x + 6 5.5.- < x + 4 5.6.- 5 6 x + < 7 5.7.- < 6 4x 0 5.8.- + x < 5x 9 5.9.- 5 < x < 7 6.- Resolver y representar gráficamente, las siguientes inecuaciones: 6..- x 4 + 6..- 6..- + 5 6.4.- 6.5.- x + x + 4 (x ) x 4 x 4 5 > 8x 8 0 + x 4 5 x 5x x 4 6 x 4 > x > 4 x 6.6.- (x + (x )) + 5 0 (x + ) 7.- Resolver las siguientes inecuaciones, y utilice el método de Polos y Ceros o el Cementerio, para encontrar el conjunto solución: 7..- x 9 7..- x > 4 7..- x 5x 7.4.- (x ) 7.5.- x(x + ) + > 0 7.6.- 4x(x + 4) 0 0 7.7.- x + x + > 0 7.8.- x + x < 0 7.9.- x x 0 7.0.- 4x 5x + 6 > 0 7..- x + 7x 5 0 7..- x 4x + 0 7..- 4 + 5x x 0 7.4.- 4x + x 9 0 7.5.- x 4x + 4 > 0 7.6.- x 6x + 9 > 0 7.7.- x x + < 0 7.8.- x + 4x 8 > 0 7.9.- (x + )(x )(x + 7) 0 7.0.- x 5x 6x < 0 7..- x x 6x 0 7..- (x x )(x + 9) > 0 7..- (x )(x x + 6) < 0 7.4.- x x + 6 > 0 7.5.- (x )( x x ) < 0 7.6.- x x 5x + 6 0 7.7.- x 8 > 0 7.8.- x 4 + x 4 0 7.9.- x 4 6 > 0 7.0.- x 4 8 0 Pág. 5/0 + x, José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía N I Semestre 06 II
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 6 8.- Resolver las siguientes inecuaciones racionales: 7 x < ; 8..- x 4 8..- 5x 8 x 4 José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía I Semestre 07 I 8.9.- 8.0.- 8..- 8..- x + 5 x 0 8.5.- x x + 4 < 8.6.- x x > x x + > 0 8.8.- x 7 x x + x x + x + x 4 x > 8..- x x + 5 x + x + x x x x 4x + 0 8.7.- x x x(x + ) x + 9.- Hallar los valores de x, que satisfacen las siguientes expresiones 8..- 8.4.- 8.7.- x x x + x 6 0 x + x x 5 < 0 x x 6x x + 4x + 0 8.5.- x + x 6 x x x 0 9..- x + = 5; 9..- x 8 = 4; 9..- 5x 4 = ; 9.4.- 7x = 4 x; 9.5.- x 9 = x; 8.6.- x + = x + ; 9.7.- x 4 = x + 4; 9.8.- 4 x = (x + 4); 9.9.- x = x ; x + x = 5; 0.- Resolver las siguientes inecuaciones con valores absolutos: 0..- x < 4 0..- x + 5 > 0..- x 0.4.- x 5 0.5.- x < 0.6.- x x + 0.7.- x 4x + 5 0.8.- x 5x + < 0.9.- x + x 4 8.4.- 8.6.- 9.0.- 0.0.- + 5 x > 0..- x > 6 0..- x + x < 4 Pág. 6/0
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 7 0..- 6 5x + x x + x + x + 6 0.4.- 0.5.- x + x + x < 5 0.6.- x + x 0.7.- x x + 7 0.8.- + x < 4 x 0.9.- x + 4 x 6 0.0.- x + x < x 0..- x x x + x Pág. 7/0 José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía N I Semestre 06 II
Solución a los Problemas Propuestos. José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía I Semestre 07 I Parte I..- N Z Z + Z Q Q + Q I I + I R R + R 0 X X X X X X X X X 8 X X X X X X X X X X X 5 X X X X 5 X X X X X X X X,... X X X X e X X X X π X X X X + X X X X 4 X X X X X X X..- Z..- N = Z +..- N = Z +.4.-.5.- Z.6.- Z.7.-.8.- Z +.9.- Z.0.- Q..- Q..-..- Q +.4.- Q.5.- Z +.6.- Z.7.- R.8.- R +.9.- R.0.-..-..-..- R.4.- R.5.- R.6.- R.7.- R.8.- R.9.- R +.0.- R..- Q..- I..- Z {0}.4.- Z {0}.5.- Z + {0}.6.- Q {0}.7.- Q + {0}.8.- I Q {0}.9.- I Q + {0}.40.- Q I {0}..- [, ] {x R : x }..- (, 5] {x R : < x 5}..- (, 4] {x R : < x 4}.4.- (, ) {x R : x > }.5.- (, ) {x R : x < } 8
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 9 4..- I I = [, 5] y I I = [, 4] 4..- I I = [ 4, 5) y I I = [, ] 4..- I I = (, 4) y I I = [, ] 4.4.- I I = (, 9) y I I = 4.5.- I I = (4, 6) (6, + ) y I I = [5, 6) 4.6.- I I = R y I I = Parte II...- ;..- 8;.- ;.4.- ;.5.- 4;.6.- 7;.7.- ;.8.- R;.9.- 9;.0.- 4;..- 6;..- 6;..- (, )..- (, ]..- (, ].4.- (, ].5.-,.6.- ( 4, ).7.- R.8.- R.9.-.0.- (, ]..- [5, + )..- (, + )..- 7, 7..-, 6..-, 5.4.-, 5.5.-,.6.-,.7.-,.8.-, 4 4..- ( i ), ( ii ) (, ) ( iii ) (, ) (, ) ( iv ) [, ] ( v ) (, ] [, ) 4..- ( i ), 8 ( ii ) (, 8) ( iii ) (, ) (8, ) ( iv ) [, 8] ( v ) (, ] [8, ) 4..- ( i ), 5 ( ii ) (, 5) ( iii ) (, ) (5, ) ( iv ) [, 5] ( v ) (, ] [5, ) 5..-, 5..- 5..- (, ) 5.4.- 0, 0 Š 9 5.7.- [, ] 5.8.- 5.5.- [ 9, 9] 5.6.- [, 7] 6..- (9, ); 6..- (, 4); 6..-, + ); 6.4.- (, + ); 6.5.- [ 4, ); 6.6.- [, + ). 7..- [, ]; 7..- (, ) (, + ); 7..- (, 0] [5, + ); 7.4.- h 7, i ; 7.5.- (, ); 7.6.- [ 5, ]; 7.7.-, 5 + 5, ; 7.8.- ( 4, ); 7.9.-, ; 7.0.- R = (, ); 7..- (, 5] [, + ); 7..- (, 48] [5, + ); 7..- [, 4]; 7.4.- [ 5, + 5 ]; 7.5.- R; 7.6.- R {}; 7.7.- ; 7.8.- ; 7.9.- 7,, Š ; 7.0.- (, 6) (0, ); 7..- (, ] [0, ]; 7..- (, ) (, + ); 7..- (, ); 7.4.- ( 4, ) (, + ); 7.5.-, + Š ; 7.6.- [, ] [, + ]; 7.7.- (, ); 7.8.- (, ] [, + ); 8..- (, 0) 7, ; 8..-, Š 6 Š, ; 8..- [ 4, ); 8.4.- 5, Š 4 Š ; 8.5.- (, 0) ( 4, ); 8.6.- (, ) (, + ); 8.7.- (, ) (, ); 8.8.-, 7, Š ; 8.9.- (, ), (, ); 8.0.-, Š, Š ; Pág. 9/0 José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía N I Semestre 06 II
Guía I. Números Reales, Desigualdades e Inecuaciones 0 8..- (, ) {}; 8..- 5, Š, 5 Š ; 8..- [, ); 8.4.- (, ) [, ) [0, ]; 8.5.- 7, Š 0, + 7 (, ); 8.6.- (, ] (, ] [, ) (, ); 8.7.- [, ); José Luis Vásquez Larry Mendoza Remigio Medrano Williams Castro Matemática I Guía I Semestre 07 I 9..-, 7; 9..- 4, 4 9..- ; 9.4.-, ; 9.5.- ; 9.6.- ; 9.7.-, 4, 0; 9.8.- ; 9.9.- 5, ; 9.0.-, 4. 0..-, 5 Š ; 0..- (, 4 4) ( + ); 0..- (, ] [4, ); 0.4.- 4, ; 0.5.-, Š ; 0.6.- R; 0.7.- R; 0.8.- (0, ) (4, 5); 0.9.- 6, [, + 6]; 0.0.- (, 5) ( 5, 0) (0, + ); 0..- 9, 0Š 0, 9 Š ; 0..- (, ) (, + ); 0..- [0, 4]; 0.4.- R; 0.5.- ; 0.6.-, + Š ; 0.7.-, Š Š ; 0.8.- 7, ; 0.9.-, [0, ]; 0.0.- (, ) ( +, ); 0..- (0, ); Pág. 0/0